Tham khảo tài liệu 'đa thức một biến cộng trừ đa thức nghiệm của đa thức một biến', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đa thức một biến Cộng trừ đa thức Nghiệm của đa thức một biến
- CHỦ ĐỀ : ÑA THÖÙC, ÑA THÖÙC MOÄT BIEÁN, COÄNG TRÖØ ÑA THÖÙC,
NGHIEÄM CUÛA ÑA THÖÙC MOÄT BIEÁN.
1/ Toùm taét lyù thuyeát:
+ Ña thöùc laø moät soá hoaëc moät ñôn thöùc hoaëc moät toång (hieäu) cuûa hai hay nhieàu
ñôn thöùc. Moãi ñôn thöùc trong moät toång ñöôïc goïi laø moät haïng töû cuûa ña thöùc ñoù.
+ Baäc cuûa ña thöùc laø baäc cuûa haïng töû coù baäc cao nhaát trong haïng töû ôû daïng thu
goïn.
+ Muoán coäng hai ña thöùc, ta vieát lieân tieáp caùc haïng töû cuûa hai ña thöùc cuøng vôùi
daáu cuûa chuùng roài thu goïn caùc haïng töû ñoàng daïng (neáu coù).
+ Muoán tröø hai ñôn thöùc, ta vieát caùc haïng töû cuûa ña thöùc thöù nhaát cuøng vôùi daáu
cuûa chuùng roài vieát tieáp caùc haïng töû cuûa ña thöùc thöù hai vôùi daáu ngöôïc laïi. Sau ñoù
thu goïn caùc haïng töû ñoàng daïng cuûa hai ña thöùc (neáu coù).
+ Ña thöùc moät bieán laø toång cuûa caùc ñôn thöùc cuûa cuøng moät bieán. Do ñoù moãi moät
soá cuõng ñöôïc coi laø ña thöùc cuûa cuøng moät bieán.
+ Baäc cuûa ña thöùc moät bieán khaùc ña thöùc khoâng (sau khi ñaõ thu goïn) laø soá muõ lôùn
nhaát cuûa bieán coù trong ña thöùc ñoù.
+ Heä soá cao nhaát cuûa ña thöùc laø heä soá ñi cuøng phaàn bieán coù soá muõ lôùn nhaát. Heâï
soá töï do laø soá haïng khoâng chöùa bieán.
+ Ngöôøi ta thöôøng duøng caùc chöõ caùi in hoa keø m theo caëp daáu ngoaëc (trong ñoù coù
bieán) ñeå ñaët teân cho ña thöùc moät bieán.
Ví duï: A(x) = 3x3 + 5x + 1. Do ñoù giaù trò cuûa ña thöùc taïi x = -2 laø A(-2).
+ Neáu taïi x = a, ña thöùc P(x) coù giaù trò baèng 0 thì ta noùi a (hoaëc x = a) laø moät
nghieäm cuûa ña thöùc ñoù. Ña thöùc baäc n coù khoâng quaù n nghieäm.
2/ Baøi taäp:
ĐA THỨC. CỘNG VÀ TRỪ ĐA THỨC
Baøi 1: Trong caùc bieåu thöùc sau, bieåu thöùc naøo laø ña thöùc:
2 2 4x 2 y + 2xy
3 1
3x ; 5x -4xy; 18; -9xy + 3y ; ; 0; -2
y +5
2
5
1
Đa thức : 3x2; 5x2-4xy; 18; -9xy + 3y3 ; 0; -2
5
Baøi 2: Thu goïn caùc ña thöùc sau vaø xaùc ñònh baäc cuûa ña thöùc keát quaû:
M = 2x2y4 + 4xyz – 2x2 -5 + 3x2y4 – 4xyz + 3 – y9.
= (2x2y4 + 3x2y4 ) + ( 4xyz – 4xyz ) + (– 2x2 - y9 ) + (-5 + 3 )
= 5x2y4 – 2x2 - y9 - 2
Baäc cuûa ña thöùc là 6
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1
- Baøi 3 : Tính giaù trò cuûa caùc ña thöùc :
a) 5x2y – 5xy2 + xy taïi x = -2 ; y = -1.
1 2 2 2 1
b) xy + x y – xy + xy2 - x2y + 2xy. Taïi x = 0,5 ; y = 1.
2 3 3
a) Thay x = -2 ; y = -1 vào 5x2y – 5xy2 + xy
Ta được 5.(-2) 2.(-1) - 5(-2)(-1)2 + (-1).(-2) = -8
Vậy -8 là giá trị của biểu thức 5x2y – 5xy2 + xy tại x = -2 ; y = -1.
1 2 2 2 1
b) xy + x y – xy + xy2 - x2y + 2xy
2 3 3
1 2 1
= ( xy2 + xy2) + ( x2y - x2y) + (– xy + 2xy )
2 3 3
3 1
= xy2 - x2y + xy
2 3
1 3 2 1 2
Thay x = 0,5 = ; y = 1 vào xy - x y + xy
2 2 3
3 1 2 1 1 2 1 3 1 1 14 7
Ta được . .1 - .( ) .1 + .1 = - + = =
2 2 3 2 2 4 12 2 12 6
7 3 2 1 2
Vậy là giá trị của biểu thức xy - x y + xy taïi x = 0,5 ; y = 1.
6 2 3
Baøi 4 : Tính toång cuûa 3x2y – x3 – 2xy2 + 5 vaø 2x3 -3xy2 – x2y + xy + 6.
ĐS : 2x2y + x3 – 5xy2 + xy + 11
1 2
Baøi 5 : Cho ña thöùc A = 5xy2 + xy - xy2 - x y + 2xy + x2y + xy + 6.
3
a) Thu goïn roài xaùc ñònh baäc cuûa ña thöùc keát quaû.
b) Tìm ña thöùc B sao cho A + B = 0
c) Tìm ña thöùc C sao cho A + C = -2xy + 1.
1 2
a) A = (5xy2 - xy2 ) + ( xy + 2xy + xy ) + (- x y + x2y ) + 6
3
2 2
= 4 xy2 + 4xy + x y + 6 bậc của đa thức là 3
3
b) vì B + A = 0 nên B là đa thức đối của đa thức A
1 2
=> B = -5xy2 - xy + xy2 + x y - 2xy - x2y - xy - 6.
3
c) Ta có A + C = -2xy + 1.
2 2
Nên 4 xy2 + 4xy + x y + 6 + C = -2xy + 1.
3
2 2
C = -2xy + 1. – (4 xy2 + 4xy + xy +6 )
3
2 2
= -6xy - 4 xy2 - xy -5
3
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2
- 3 5
Bài 6. Cho hai đa thức: P(x) = 2x4 − 3x2+ x − và Q(x) = x4 − x3 + x2 +
2 3
a. Tính M (x) = P(x) + Q(x)
b. Tính N(x) = P(x) − Q(x) và tìm bậc của đa thức N(x).
Baøi 7 : Cho ña thöùc :
A = 4x2 – 5xy + 3y2; B = 3x2 + 2xy - y2
Tính A + B; A – B ; B – A
A + B = (4x2 – 5xy + 3y2 ) + (3x2 + 2xy - y2 )
= (4x2 + 3x2 ) + (-5xy + 2xy ) +( 3 y2 - y2 )
= 7x2 - 3xy + 2y2
A - B = (4x2 – 5xy + 3y2 ) - (3x2 + 2xy - y2 )
= (4x2 - 3x2 ) + (-5xy - 2xy ) +( 3 y2 + y2 )
= x2 - 7xy + 4y2
B - A = (3x2 + 2xy - y2 ) - (4x2 – 5xy + 3y2 )
= (3x2 - 4x2 ) + (2xy + 5xy ) +( - y2 -3 y2 )
= -x2 +- 7xy - 4y2
Baøi 8 : Tìm ña thöùc M,N bieát :
a. M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2
b. (3xy – 4y2)- N= x2 – 7xy + 8y2
ĐS : M = x2 + 11xy - y2
N = -x2 +10xy -12y2
Bài 9 : Cho ña thöùc
A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – 3 B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5
Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);
A(x) + B(x) = 11x4 – 11/15x3 + 2x2 - 9x -13/5
A(x) - B(x) = -5x4 – 19/15x3 + 2x2 + 9x -17/5
B(x) - A(x) = 5x4 + 19/15x3 - 2x2 - 9x +17/5
Bài 10 : Hãy viết các đa thức dưới dạng tổng của các đơn thức rồi thu gọn.
a/ D = 4x(x+y) - 5y(x-y) - 4x2
b/ E = (a -1) (x2 + 1) - x(y+1) + (x +y2 - a + 1)
ĐS : D = 5y2 - xy
E = ax2 - x2 + y2 - xy
Bài 11: Xác định a, b và c để hai đa thức sau là hai đa thức đồng nhất
A = ax2 - 5x + 4 + 2x2 – 6 = (a + 2 )x2 - 5x - 2
B = 8x2 + 2bx + c -1 - 7x = 8x2 + ( 2b – 7 )x + c – 1
Để A và B là hai da thức đồng nhất thì
a + 2 = 8 => a = 6 ; 2b – 7 = -5 => b = 1 ; c - 1 = -2 => c = -1
Bài 12: Cho các đa thức :
A = 16x4 - 8x3y + 7x2y2 - 9y4
B = -15x4 + 3x3y - 5x2y2 - 6y4
C = 5x3y + 3x2y2 + 17y4 + 1.Tính A+B-C
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3
- A + B – C = x4 - 10x3y - x2y2 - 32y4 - 1
Baøi 13: Cho ña thöùc M(x) = -9x5 + 4x3 – 2x2 + 5 x – 3. Tìm ña thöùc N(x) laø ña thöùc ñoái cuûa ña thöùc
M(x).
N(x) = 9x5 - 4x3 + 2x2 - 5 x + 3.
Bài 14: Tính giá trị của các đa thức sau biết x - y = 0
a/ M = 7x - 7y + 4ax - 4ay - 5
b/ N = x (x2 + y2) - y (x2 + y2) + 3
M = 7( x - y ) + 4a( x – y ) – 5
Vì x – y = 0 nên giá trị của biểu thức M là -5
N = x.x2 + x.y2 - yx2 - y.y2 + 3
= x2 ( x – y ) + y2 (x – y ) + 3 = 3
Bài 15 (1điểm) Tìm đa thức A biết: A+ (3x2y −2xy3) = 2x2y − 4xy3
A = ( 2x2y − 4xy3 ) – ( 3x2y −2xy3 ) = (2x2y - 3x2y) + (-4xy3 + 2xy3 )
A = -x2y - 2xy3
Bài 16. Cho đa thứcA = −2xy2 + 3xy + 5xy2 + 5xy + 1
a. Thu gọn đa thức A.
1
b. Tính giá trị của A tại x = ; y = − 1.
2
a) A = 3xy2 + 8xy + 1
1
b) Thay x = ; y = − 1 vaøo bieåu thöùc 3xy2 + 8xy + 1
2
1 1 3 3
Ta ñöôïc 3. .(-1) + 8. .(-1) + 1 = -4+1=-
2 2 2 2
3
Vaäy - laø giaù trò cuûa bieåu thöùc treân taïi 3xy2 + 8xy + 1
2
1 3
Baøi 17: Cho ña thöùc f(x) = 2x3 – x5 + 3x4 + x2 - x + 3x5 – 2x2 – x4 + 1.
2
a) Thu goïn vaø xaùc ñònh baäc cuûa ña thöùc treân.
b) Xaép xeáp ña thöùc theo luõy thöøa giaûm daàn cuûa bieán.
c) Tính f(1); f(-1)
1 3
a) 2x3 – x5 + 3x4 + x2 - x + 3x5 – 2x2 – x4 + 1
2
1
= (– x5+ 3x5 ) + (3x4 – x4) + (2x3 - x3) +( x2 – 2x2) + 1
2
3
= 2 x5 + 2x4 + x3 - x2 + 1 Bậc 5
2
3
b) 2 x5 + 2x4 + x3 - x2 + 1
2
17 3
c) f(1) = ; f(-1) = -
2 2
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 4
- Baøi 18: Cho A(x) = 3x5 + 2x4 – 4x3 + x2 – 2x + 1
vaø B(x) = -x4 + 3x3 – 2x2 + x3 – 3x + 2 – 3x4.
a) Thöïc hieän thu goïn (neáu coù) caùc ña thöùc treân.
b) Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x).
a) B(x) = -x4 + 3x3 – 2x2 + x3 – 3x + 2 – 3x4.
= (-x4 – 3x4 ) + ( 3x3 + x3) -2x2 – 3 x + 2
= -4x4 + 4x3 -2x2 – 3 x + 2
Bài 19:
Cho đa thức P(x) = 2x3 + 2x – 3x2 + 1
Q(x) = 2x2 + 3x3 – x – 5
Tính: a. P(x) + Q(x)
b. P(x) – Q(x)
a ) P(x) + Q(x) = 5x3 – x2 + x – 4
b) P(x) – Q(x) = -x3 – 52 + 3x + 6
Bài 20 (2 điểm) Cho đa thức M = x2+ 5x4 − 3x3+ 4x2 + x4 +3x3 −x + 5
và đa thức N=x −5x3− 2x2−8x4+ 4x3−x+5.
a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến;
b. Tính M + N, M − N ;
a) M = x2+ 5x4 − 3x3+ 4x2 + x4 +3x3 −x + 5
= 6x4 + 5x2 − x + 5
N = x − 5x3 − 2x2 −8x4 + 4x3 − x + 5.
= −8x4 - x3 − 2x2 + 5.
b) M + N = −2x4 - x3 + 3x2 - x + 10
M – N = 14x4 + x3 + 7x2 - x
Baøi 21 : Tính ña thöùc h(x) sao cho h(x) = g(x) – f(x):
a) f(x) = x2 + 2x – 1 vaø g(x) = x + 3.
b) f(x) = x4 – 3x3 + 2x – 1 vaø g(x) = - 5x4 + 3x3 – 2 x2 – 5x + 3
a) h(x) = g(x) – f(x) = -x2 - x + 4
b) h(x) = g(x) – f(x) = -6x4 + 6x3 – 2 x2 - 7x – 1 + 4
Bài 22: Cho f(x) + g(x) = 6x4 - 3x2 - 5
f(x) - g(x) = 4x4 - 6x3 + 7x2 + 8x - 9
Hãy tìm các đa thức f(x) ; g(x)
Ta có f(x) + g(x) + f(x) - g(x) = 10x4 - 6x3 + 4x2 + 8x – 14
2f(x) = 10x4 - 6x3 + 4x2 + 8x – 14
f(x) = 5x4 - 3x3 + 2x2 + 4x – 7
g(x) = ( 6x4 - 3x2 – 5 ) - (5x4 - 3x3 + 2x2 + 4x – 7)
= x4 + 3x3 - 5x2 - 4x + 2
Bài 23: Cho f(x) = ax3 + 4x(x2 - x) + 8
g(x) = x3 - 4x(bx +1) + c- 3
Trong đó a, b, c là hằng.Xác định a, b, c để f(x) = g(x)
f(x) = ax3 + 4x(x2 - x) + 8 = ( a + 4 )x3 - 4x2 + 8
g(x) = x3 - 4x(bx +1) + c- 3 = x3 – 4bx2 - 4x + c- 3
Để f(x) = g(x) thì a + 4 = 1 => a = -3
4b = 4 => b = 1
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 5
- c - 3 = 8 => c = 11
NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1: Cho hai đa thức f(x) = 5x - 7 ; g(x) = 3x +1
a/ Tìm nghiệm của f(x); g(x)
b/ Tìm nghiệm của đa thức h(x) = f(x) - g(x)
c/ Từ kết quả câu b suy ra với giá trị nào của x thì f(x) = g(x) ?
7
a ) Cho 5x – 7 = 0 => x =
5
7
Vậy là nghiệm của đa thức f(x)
5
1
Cho 3x + 1 = 0 => x =
3
1
Vậy là nghiệm của đa thức g(x)
3
b) h(x) = f(x) - g(x) = 5x – 7 - 3x - 1 = 2x - 8
Cho 2x - 8 = 0 => x = 4
Vậy 4 là nghiệm của đa thức h(x)
c) Vậy với x = 4 thì f(x) = g(x)
Bài 2: Cho đa thức f(x) = x2 + 4x - 5
Số -5 có phải là nghiệm của f(x) không?
Ta có f(-5) = 25 – 20 - 5 = 0
Vậy -5 là nghiệm của đa thức f(x)
Bài 3: Thu gọn rồi tìm nghiệm của các đa thức sau:
a/ f(x) = x(1-2x) + (2x2 -x + 4)
b/ g(x) = x (x - 5) - x ( x +2) + 7x
c/ h(x) = x (x -1) + 1
f(x) = x( 1 - 2x ) + (2x2 - x + 4) = x - 2x2 + 2x2 - x + 4 =4
vậy f( x) = 4 0 với mọi x
Vậy phương trình f(x) vô nghiệm
Bài 4: Xác định hệ số m để các đa thức sau nhận 1 làm nghiệm.
a/ mx2 + 2x + 8; b/ 7x2 + mx - 1; c/ x5 - 3x2 + m
a/ Để 1 là nghiệm của mx2 + 2x + 8 nên m + 2 + 8 = 0 => m = -10
b/ Để 1 là nghiệm của 7x2 + mx - 1 nên 7 + m – 1 = 0 => m = -6
c/ Để 1 là nghiệm của x5 - 3x2 + m nên 1 - 3 + m = 0 => m = 2
Bài 5: Cho đa thức f(x) = x2 +mx + 2
a/ Xác định m để f(x) nhận -2 làm một nghiệm
b/ Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị vừa tìm được của m
a/ Để f(x) nhận -2 làm một nghiệm thì 4 - 2m + 2 = 0 => m = 3
b/ x2 + 3x + 2 = 0 => x2 + x + 2x + 2 = 0 => x( x + 1 ) + 2(x + 1)
( x + 1)( x + 2 ) = 0 => x = -1 hoặc x = -2
1
Bài 6 Cho đa thức P(x) = 5x −
2
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 6
- 3
a. Tính : P(1) , P(− )
10
b. Tìm nghiệm của đa thức trên
9 3
a) P(1) = ; P(− ) = -2
2 10
1 9
b) Cho 5x − = 0 => x = -
2 2
9
Vậy nghiệm của P(x) là -
2
3 2 1
Bài 7 Cho P(x) = x4 − 5x + 2x2 + 1 và Q(x) = 5x + x + 5+ x2+ x4 .
2 2
a. Tìm M(x) = P(x) + Q(x) .
3 2
b. Chứng tỏ M(x) không có nghiệm.M(x) = P(x) + Q(x) = ( x4 − 5x + 2x2 + 1 ) + (5x + x + 5+
2
1 2 4
x+x)
2
= 2x4 + 4x2 + 5 + 6
Vì 2x 0 => 4x2 0 nên 2x4 + 4x2 + 5 + 6 0
4
Vậy M(x) không có nghiệm
Baøi 8 : Kieåm tra xem trong caùc soá -2; -1; 2; 1; 3; -4 soá naøo laø nghieäm cuûa ña thöùc:
F(x) = 3x3 – 2x2 + x3 – 3x + 3
F(-2) = -31 => -2 không phải là nghiệm của f(x)
F(-1) = 0 => -1 là nghiệm của f(x)
F(2) = 21 => 2 không phải là nghiệm của f(x)
F(1) = 2 => 1 không phải là nghiệm của f(x)
F(3) = 8 => 3 không phải là nghiệm của f(x)
. F(-4) = -273 => -4 không phải là nghiệm của f(x)
Baøi 10: Tìm nghieäm cuûa caùc ña thöùc:
a) f(x) = 2x + 5. c) h(x) = 6x – 12.
1
b) g(x) = -5x - . d) k(x) = ax + b (vôùi a, b laø caùc haèng soá)
2
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 7
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
