Đề cương bài giảng Toán cơ sở - Nguyễn Thị Tuyết Mai

Chia sẻ: Kiếp Này Bình Yên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:96

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề cương bài giảng tập hợp kiến thức trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như số học, đại số, hình học và được tham khảo từ nhiều tài liệu. Nội dung đề cương bài giảng Toán cơ sở trình bày những kiến thức cơ bản về tập hợp, quan hệ, ánh xạ, cấu trúc đại số, đại số tuyến tính, tập hợp số tự nhiên, hình học giải tích và giải tích tổ hợp. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề cương bài giảng Toán cơ sở - Nguyễn Thị Tuyết Mai

Tr−êng ®¹i häc s− ph¹m Khoa ®μo t¹o gi¸o viªn mÇm non NguyÔn ThÞ TuyÕt Mai §Ò c−¬ng bµi gi¶ng To¸n c¬ së Dïng cho sinh viªn chuyªn ngµnh gi¸o dôc mÇm non Tr×nh ®é ®¹i häc Th¸i Nguyªn - 2009 1
Môc lôc Lêi nãi ®Çu Ch−¬ng 1. C¬ së cña lý thuyÕt tËp hîp 1.1. TËp hîp 4 1.2. C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp 7 1.3. ¸nh x¹ 10 1.4. Quan hÖ 13 1.5. Gi¶i tÝch tæ hîp 18 Bµi tËp ch−¬ng 1 20 Ch−¬ng 2. CÊu tróc ®¹i sè 2.1. PhÐp to¸n hai ng«i 24 2.2. CÊu tróc nhãm 28 2.3. CÊu tróc vµnh 32 2.4. CÊu tróc tr−êng 35 Bµi tËp ch−¬ng 2 37 Ch−¬ng 3. §Þnh thøc, ma trËn, hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 3.1. Ma trËn 40 3.2. §Þnh thøc 47 3.3. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 53 Bµi tËp ch−¬ng 3 59 Ch−¬ng 4. Sè tù nhiªn 4.1. HÖ thèng sè tù nhiªn 64 4.2. C¸c phÐp to¸n trªn tËp c¸c sè tù nhiªn 66 4.3. HÖ ®Õm vµ c¸ch ghi sè ®Õm 69 Bµi tËp ch−¬ng 4 78 Ch−¬ng 5. §¹i sè vÐc t¬ vµ h×nh häc gi¶i tÝch 5.1. VÐc t¬ 80 5.2. To¹ ®é trªn ®−êng th¼ng 84 5.3. Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trªn mÆt ph¼ng 85 5.4. Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian 87 Bµi tËp ch−¬ng 5 95 Tµi liÖu tham kh¶o 96 2
lêi nãi ®Çu Mét trong nh÷ng nhiÖm vô cña ng−êi gi¸o viªn mÇm non lµ h×nh thµnh cho trÎ nh÷ng biÓu t−îng to¸n häc s¬ ®¼ng. V× vËy, ng−êi gi¸o viªn mÇm non cÇn ph¶i n¾m v÷ng nh÷ng kiÕn thøc to¸n häc c¬ b¶n, cã kü n¨ng gi¶i to¸n vµ øng dông nh÷ng kiÕn thøc ®· häc vµo viÖc gi¸o dôc trÎ. Häc phÇn To¸n c¬ së nh»m trang bÞ cho sinh viªn nh÷ng kiÕn thøc to¸n häc c¬ b¶n, gióp cho sinh viªn cã vèn kiÕn thøc cÇn thiÕt ®Ó cã thÓ häc häc phÇn ph−¬ng ph¸p h×nh thµnh biÓu t−îng to¸n häc s¬ ®¼ng cho trÎ mÇm non. §ång thêi gióp cho sinh viªn cã thÓ häc tèt mét sè häc phÇn: To¸n thèng kª, dinh d- −ìng, ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu khoa häc, ... Gi¸o dôc mÇm non nãi chung vµ sù nghiÖp ®µo t¹o gi¸o viªn mÇm non nãi riªng ®ang trªn con ®−êng x©y dùng vµ ph¸t triÓn. V× vËy tµi liÖu häc tËp cßn rÊt thiÕu thèn. §Ó gióp cho sinh viªn cã ®−îc mét tµi liÖu häc tËp, ®−îc sù phª duyÖt cña Ban Gi¸m hiÖu tr−êng §¹i häc S− ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn t«i ®· biªn so¹n ®Ò c−¬ng bµi gi¶ng To¸n c¬ së cho sinh viªn chuyªn ngµnh MÇm non, hÖ ®¹i häc. §Ò c−¬ng bµi gi¶ng tËp hîp kiÕn thøc trong c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc nh− sè häc, ®¹i sè, h×nh häc vµ ®−îc tham kh¶o tõ nhiÒu tµi liÖu. Néi dung ®Ò c−¬ng bµi gi¶ng To¸n c¬ së tr×nh bµy nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ tËp hîp, quan hÖ, ¸nh x¹, cÊu tróc ®¹i sè, ®¹i sè tuyÕn tÝnh, tËp hîp sè tù nhiªn, h×nh häc gi¶i tÝch vµ gi¶i tÝch tæ hîp. T¸c gi¶ mong nhËn ®−îc nh÷ng gãp ý cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp vµ ®éc gi¶ vÒ néi dung còng nh− viÖc tr×nh bµy ®Ó ®Ò c−¬ng bµi gi¶ng nµy ®−îc hoµn thiÖn h¬n. 3
Ch−¬ng 1: C¬ së cña lý thuyÕt tËp hîp 1.1. TËp hîp 1.1.1. Kh¸i niÖm tËp hîp TËp hîp lµ mét trong nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n nhÊt cña to¸n häc, nã kh«ng ®−îc ®Þnh nghÜa, d−íi ®©y lµ mét h×nh ¶nh trùc quan cña kh¸i niÖm tËp hîp. Nh÷ng vËt, nh÷ng ®èi t−îng to¸n häc,... ®−îc tô tËp do mét tÝnh chÊt chung nµo ®ã thµnh lËp nh÷ng tËp hîp. Ng−êi ta nãi: TËp hîp c¸c häc sinh trong mét líp, tËp hîp c¸c líp trong mét tr−êng, tËp hîp c¸c sè tù nhiªn, tËp hîp c¸c sè nguyªn, tËp hîp c¸c sè h÷u tû, tËp hîp c¸c sè thùc, tËp hîp c¸c nghiÖm cña mét ph−¬ng tr×nh, ... C¸c vËt trong tËp hîp X ®−îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp X. KÝ hiÖu x ∈ X ®äc lµ “ x lµ mét phÇn tö cña tËp X” hoÆc “x thuéc X”. NÕu x kh«ng thuéc tËp X, kÝ hiÖu x ∉ X . 1.1.2. Ph−¬ng ph¸p biÓu diÔn mét tËp hîp a) Ph−¬ng ph¸p liÖt kª Ta liÖt kª ®Çy ®ñ (nÕu cã thÓ) tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña tËp hîp. C¸c phÇn tö ®−îc viÕt trong dÊu ngoÆc { . }, phÇn tö nä c¸ch phÇn tö kia bëi dÊu phÈy (hoÆc dÊu ;). VÝ dô: TËp hîp A cã 4 phÇn tö a, b, c, d ®−îc viÕt d−íi d¹ng liÖt kª lµ A = { a , b, c , d } . Ph−¬ng ph¸p liÖt kª kh«ng chØ ¸p dông ®èi víi nh÷ng tËp hîp cã kh«ng nhiÒu phÇn tö mµ cßn cã thÓ ¸p dông ®èi víi c¸c tËp hîp cã v« sè phÇn tö. Trong tr−êng hîp nµy ta lÞªt kª mét sè phÇn tö ®¹i diÖn võa ®ñ ®Ó ta cã thÓ nhËn biÕt ®−îc mét ®èi t−îng nµo ®ã cã thuéc tËp hîp ®ã hay kh«ng. VÝ dô: +) TËp hîp c¸c sè tù nhiªn = {0,1,2,3,...} . +) TËp hîp c¸c sè tù nhiªn ch½n: 2 = {0,2, 4,6,...} . +) TËp hîp c¸cc −íc cña 20: 2 = {1,2,4,5,10,20} . 4
Chó ý: Mét tËp hîp ®−îc x¸c ®Þnh kh«ng phô thuéc vµo thø tù liÖt kª c¸c phÇn tö cña nã. b) Ph−¬ng ph¸p nªu tÝnh chÊt ®Æc tr−ng Mét tËp hîp cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng c¸ch nªu c¸c tÝnh chÊt chung (tÝnh chÊt ®Æc tr−ng) cña c¸c phÇn tö trong tËp hîp mµ nhê vµo c¸c tÝnh chÊt chung Êy ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc mét phÇn tö bÊt kú cã thuéc tËp hîp ®ã hay kh«ng. NÕu tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña tËp hîp X ®Òu cã tÝnh chÊt P th× ta cã thÓ biÓu diÔn X nh− sau: X = {x | x cã tÝnh chÊt P} hoÆc X = { x | P ( x)} . VÝ dô: +) TËp hîp c¸c sè tù nhiªn ch½n: 2 = { x | x = 2n, n ∈ }. +) TËp hîp c¸c −íc cña 15: X = { x | x ∈ ;15M x} . +) TËp hîp c¸c béi cña 3: X = { x | x = 3n, n ∈ }. 1.1.3. C¸c tËp hîp ®Æc biÖt a) TËp hîp rçng Mét tËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµo ®−îc gäi lµ tËp rçng, ký hiÖu: ∅ VÝ dô: +) TËp c¸c nghiÖm thùc cña ph−¬ng tr×nh x 2 + 1 = 0 lµ tËp rçng. +) TËp c¸c ®−êng th¼ng ®i qua 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng lµ tËp rçng. b) TËp hîp mét, hai phÇn tö Gi¶ sö x lµ mét vËt hay mét ®èi t−îng nµo ®ã, tËp hîp kÝ hiÖu lµ { x} chØ gåm mét phÇn tö x ®−îc gäi lµ tËp hîp mét phÇn tö (tËp ®¬n tö). Gi¶ sö x, y lµ hai vËt hay hai ®èi t−îng nµo ®ã, tËp hîp kÝ hiÖu lµ { x, y} chØ gåm 2 phÇn tö x, y ®−îc gäi lµ tËp hîp hai phÇn tö. T−¬ng tù nh− trªn ta cã thÓ ®Þnh nghÜa c¸c tËp hîp ba, bèn, ... phÇn tö, c¸c tËp hîp ®ã cïng víi tËp hîp rçng ®−îc gäi lµ c¸c tËp h÷u h¹n, cßn c¸c tËp hîp kh¸c ®−îc gäi lµ c¸c tËp v« h¹n. VÝ dô: +) TËp c¸c −íc cña 15 lµ tËp h÷u h¹n (v× nã chØ cã 5 phÇn tö). +) TËp c¸c béi cña 3 lµ tËp v« h¹n. +) tËp c¸c sè tù nhiªn lµ tËp v« h¹n. +) TËp c¸c trÎ trong mét líp lµ tËp h÷u h¹n. 5
1.1.4. Hai tËp hîp b»ng nhau a) §Þnh nghÜa: Hai tËp hîp A vµ B ®−îc gäi lµ b»ng nhau, kÝ hiÖu A = B khi vµ chØ khi mäi phÇn tö thuéc tËp hîp A ®Òu thuéc tËp hîp B vµ ng−îc l¹i. Nh− vËy A = B khi vµ chØ khi chóng chøa c¸c phÇn tö nh− nhau. ⎧∀x ∈ A ⇒ x ∈ B Hay A = B ⇔ ⎨ . ⎩∀x ∈ B ⇒ x ∈ A b) VÝ dô: +) X = { x | x ∈ , xM 6} ;Y = { x | x ∈ , xM 2, xM3} ⇒ X = Y . +) X lµ tËp hîp c¸c h×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng, Y lµ tËp c¸c h×nh ch÷ nhËt th× X = Y. 1.1.5. Quan hÖ bao hµm gi÷a c¸c tËp hîp a) §Þnh nghÜa: Cho mét tËp hîp X. Mét tËp hîp A ®−îc gäi lµ tËp con (hay bé phËn) cña tËp hîp X nÕu mäi phÇn tö thuéc tËp hîp A ®Òu thuéc tËp hîp X. KÝ hiÖu A ⊂ X (hoÆc X ⊃ A ) vµ ®äc lµ A chøa trong X, hoÆc A lµ mét bé phËn cña X, hoÆc A lµ mét tËp con cña X. Quan hÖ A ⊂ X ®−îc gäi lµ quan hÖ bao hµm. b) VÝ dô: +) 2 ⊂ N +) TËp hîp c¸c h×nh vu«ng lµ tËp con cña tËp hîp c¸c h×nh ch÷ nhËt. c) TÝnh chÊt +) ∅ ⊂ A, ∀A +) A ⊂ A +) NÕu A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C +) NÕu A ⊂ B vµ B ⊂ A ⇒ A = B 1.1.6. Hä c¸c tËp con cña mét tËp hîp a) §Þnh nghÜa: Gi¶ sö X lµ mét tËp hîp, c¸c tËp con cña X lËp thµnh mét tËp hîp, kÝ hiÖu P(X) vµ gäi lµ tËp c¸c tËp con cña tËp hîp X. TËp hîp nµy bao gåm Ýt nhÊt mét phÇn tö chÝnh lµ tËp X. 6
b) VÝ dô: +) NÕu X = ∅ th× P(X) = {∅} . +) NÕu X = {a} th× P(X) = {∅,{a}} . +) NÕu X = {a, b} th× P(X) = {∅,{a} ,{b} ,{a, b}} . Chó ý: Ta cã thÓ chøng minh ®−îc r»ng nÕu X lµ mét tËp hîp h÷u h¹n gåm n phÇn tö th× P(X) lµ mét tËp hîp h÷u h¹n gåm 2 n phÇn tö. 1.2. C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp 1.2.1. Hîp cña c¸c tËp hîp a) §Þnh nghÜa: Cho hai tËp hîp X, Y. Mét tËp hîp gåm c¸c phÇn tö thuéc Ýt nhÊt mét trong hai tËp hîp X, Y ®−îc gäi lµ hîp cña hai tËp hîp X, Y, kÝ hiÖu X ∪ Y . Theo ®Þnh nghÜa X ∪ Y = {x | x ∈ X hoÆc x ∈ Y } . Ta cã thÓ më réng ®Þnh nghÜa cho tr−êng hîp n tËp hîp: §Þnh nghÜa: Cho n tËp hîp A1 , A2 ,..., An . Mét tËp hîp gåm c¸c phÇn tö thuéc Ýt nhÊt mét trong n tËp hîp A1 , A2 ,..., An ®−îc gäi lµ hîp cña c¸c tËp hîp A1 , A2 ,..., An , kÝ hiÖu A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An . b) VÝ dô: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } ⇒ X ∪ Y = {a, b, c, d , e, f }. +) X lµ tËp c¸c sè tù nhiªn chia hÕt cho 2, Y lµ tËp c¸c sè tù nhiªn chia hÕt cho 6 th× X ∪ Y lµ tËp c¸c sè tù nhiªn chia hÕt cho 2. c) TÝnh chÊt: Víi c¸c tËp A, B, C bÊt kú ta cã: +) A ∪ A = A , A ∪ ∅ = A +) NÕu B ⊂ A th× A ∪ B = A +) A ∪ B = B ∪ A +) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) 1.2.2. Giao cña c¸c tËp hîp a) §Þnh nghÜa: Cho hai tËp hîp X, Y. Mét tËp hîp gåm c¸c phÇn tö thuéc c¶ hai 7
tËp hîp (phÇn tö chung cña) X, Y ®−îc gäi lµ giao cña hai tËp hîp X, Y, kÝ hiÖu X ∩Y . Theo ®Þnh nghÜa X ∩ Y = {x | x ∈ X vµ x ∈ Y } . Ta cã thÓ më réng ®Þnh nghÜa cho tr−êng hîp n tËp hîp: §Þnh nghÜa: Cho n tËp hîp A1 , A2 ,..., An . Mét tËp hîp gåm c¸c phÇn tö thuéc tÊt c¶ n tËp hîp A1 , A2 ,..., An ®−îc gäi lµ giao cña c¸c tËp hîp A1 , A2 ,..., An , kÝ hiÖu A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An . b) VÝ dô: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } ⇒ X ∩ Y = {d }. +) X lµ tËp c¸c sè tù nhiªn chia hÕt cho 2, Y lµ tËp c¸c sè tù nhiªn chia hÕt cho 6 th× X ∩ Y lµ tËp c¸c sè tù nhiªn chia hÕt cho 6. c) TÝnh chÊt: Víi c¸c tËp A, B, C bÊt kú ta cã: +) A ∩ A = A , A ∩ ∅ = ∅ +) NÕu B ⊂ A th× A ∩ B = B +) A ∩ B = B ∩ A +) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) 1.2.3. HiÖu cña hai tËp hîp a) §Þnh nghÜa: Cho hai tËp hîp X, Y. Mét tËp hîp gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc tËp hîp X nh−ng kh«ng thuéc tËp hîp Y ®−îc gäi lµ hiÖu cña tËp hîp X vµ tËp hîp Y, kÝ hiÖu X \ Y . Theo ®Þnh nghÜa X \ Y = {x | x ∈ X vµ x ∉ Y } . b) VÝ dô: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } ⇒ X \ Y = {a, b, c} , Y \ X = {e, f }. +) X lµ tËp c¸c sè tù nhiªn chia hÕt cho 2, Y lµ tËp c¸c sè tù nhiªn chia hÕt cho 6 th× X \ Y lµ tËp c¸c sè tù nhiªn chia hÕt cho 2 nh−ng kh«ng chia hÕt cho 3, Y \ X =∅. c) TÝnh chÊt: Víi c¸c tËp A, B, C bÊt kú ta cã: +) A \ A = ∅, A \ ∅ = A . +) NÕu B ⊂ A th× B \ A = ∅; A \ B ®−îc gäi lµ phÇn bï cña B trong A vµ kÝ hiÖu A \ B = C A B . 8
+) B \ ( B \ A) = A . +) NÕu B ⊂ A th× C \ A ⊂ C \ B . 1.2.4. TÝch §Ò C¸c cña hai tËp hîp. a) §Þnh nghÜa: +) Mét d·y gåm 2 phÇn tö a, b s¾p thø tù ®−îc gäi lµ mét cÆp s¾p thø tù, kÝ hiÖu (a, b). +) Cho hai tËp hîp X, Y kh¸c rçng. Mét tËp hîp gåm tÊt c¶ c¸c cÆp s¾p thø tù (x,y), trong ®ã x thuéc tËp hîp X, y thuéc tËp hîp Y ®−îc gäi lµ tÝch §Ò C¸c cña tËp hîp X vµ tËp hîp Y, kÝ hiÖu X × Y . Theo ®Þnh nghÜa X × Y = {( x, y ) | x ∈ X , y ∈ y} . Kh¸i niÖm tÝch §Ò c¸c cã thÓ më réng cho tr−êng hîp nhiÒu tËp hîp: §Þnh nghÜa: Cho c¸c tËp hîp A1 , A2 ,..., An . Ta ®Þnh nghÜa A1 × A2 × A3 = ( A1 × A2 ) × A3 , A1 × A2 × A3 × A4 = ( A1 × A2 × A3 ) × A4 ,..., A1 × A2 × ... × An = ( A1 × A2 × ... An−1 ) × An . TÝch §Ò C¸c X × X × ... × X cña n tËp hîp X kÝ hiÖu X n . TÝch §Ò C¸c X × X = X 2 cßn ®−îc gäi lµ b×nh ph−¬ng §Ò C¸c cña tËp hîp X. b) VÝ dô: X = {a, b, c} , Y = {1,2} ⇒ X × Y = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)} ; Y × X = {(1, a),(1, b),(1, c),(2, a ),(2, b),(2, c)} . c) TÝnh chÊt: Víi c¸c tËp A, B, C bÊt kú ta cã: A × ∅ = ∅ +) NÕu X, Y lµ hai tËp hîp h÷u h¹n th× sè phÇn tö cña tËp tÝch §Ò C¸c X × Y b»ng tÝch cña sè phÇn tö cña tËp X vµ sè phÇn tö cña tËp Y. *) Chó ý: TÝch §Ò C¸c cña 2 tËp hîp kh«ng cã tÝnh chÊt giao ho¸n nh−ng cã tÝnh chÊt kÕt hîp. 1.2.5. Mèi quan hÖ gi÷a c¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp a) §Þnh lý: Víi c¸c tËp A, B, C bÊt kú ta cã: +) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) +) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) HÖ qu¶: Víi c¸c tËp A, B bÊt kú ta cã: 9
+) A ∩ ( A ∪ B) = A +) ( A ∩ B) ∪ B = B b) §Þnh lý: Víi c¸c tËp A, B, C bÊt kú ta cã: +) A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B ) ∩ ( A \ C ) +) A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B ) ∪ ( A \ C ) 1.3. ¸nh x¹ 1.3.1. Kh¸i niÖm ¸nh x¹ a) §Þnh nghÜa: Cho hai tËp hîp X, Y. Mét quy t¾c cho t−¬ng øng mçi phÇn tö x thuéc tËp hîp X víi mét vµ chØ mét phÇn tö kÝ hiÖu f(x) thuéc tËp hîp Y ®−îc gäi lµ mét ¸nh x¹ tõ tËp hîp X ®Õn tËp hîp Y, kÝ hiÖu f : X →Y hoÆc X ⎯⎯ f →Y x a f ( x) x a f ( x) TËp hîp X ®−îc gäi lµ tËp nguån hay miÒn x¸c ®Þnh, tËp hîp Y ®−îc gäi lµ tËp ®Ých hay miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ f. b) VÝ dô: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } t−¬ng øng: aad bad cae da f lµ mét ¸nh x¹ tõ tËp X ®Õn tËp Y. +) X = {a, b} , Y = {1,2,3} t−¬ng øng: a a1 ba2 lµ mét ¸nh x¹ tõ tËp X ®Õn tËp Y. +) XÐt tËp hîp c¸c sè tù nhiªn, t−¬ng øng: n a 2n lµ mét ¸nh x¹ tõ ®Õn . +) XÐt tËp hîp c¸c sè thùc, t−¬ng øng: x a x 2 − 3 x + 2 lµ mét ¸nh x¹ tõ ®Õn . 10
+) ViÖc xÕp chç ngåi cho c¸c trÎ trong líp chÞ phô tr¸ch lµ mét ¸nh x¹ tõ tËp c¸c trÎ trong líp ®Õn tËp c¸c chç ngåi cña líp ®ã (víi ®iÒu kiÖn sè ghÕ trong líp lín h¬n hoÆc b»ng sè trÎ). +) T−¬ng øng tõ tËp c¸c con ng−êi trªn tr¸i ®Êt ®Õn tËp c¸c con ng−êi trªn tr¸i ®¸t theo quy t¾c mçi ng−êi phô n÷ t−¬ng øng víi con ®Î cña m×nh kh«ng ph¶i lµ mét ¸nh x¹ v× mét ng−êi phô n÷ cã thÓ cã nhiÒu h¬n mét con. Nh−ng nÕu theo quy t¾c mçi ng−êi víi mÑ ®Î cña m×nh th× lµ mét ¸nh x¹ v× mçi ng−êi ®Òu cã mét vµ chØ mét mÑ ®Î. NhËn xÐt: +) Kh¸i niÖm ¸nh x¹ lµ kh¸i niÖm më réng cña kh¸i niÖm hµm sè mµ ta ®· häc trong ch−¬ng tr×nh phæ th«ng. Hµm sè lµ nh÷ng ¸nh x¹ mµ tËp nguån vµ tËp ®Ých lµ tËp hîp sè thùc hoÆc bé phËn cña nã vµ sè f(x) t−¬ng øng víi x ®−îc x¸c ®Þnh bëi mét biÓu thøc ®¹i sè hoÆc mét biÓu thøc l−îng gi¸c, ch¼ng h¹n f ( x) = 3x 2 − 2 x + 4 hay f ( x) = 2sin x + 4cos 2 x . +) Trong ®Þnh nghÜa ¸nh x¹, c¸c tËp nguån, tËp ®Ých kh«ng nhÊt thiÕt lµ c¸c tËp hîp sè vµ phÇn tö f(x) t−¬ng øng víi x còng kh«ng chØ x¸c ®Þnh bëi biÓu thøc ®¹i sè, kh«ng b¾t buéc lµ sè. 1.3.2. ¶nh vµ t¹o ¶nh a) §Þnh nghÜa: Gi¶ sö f : X → Y lµ mét ¸nh x¹ tõ tËp hîp X ®Õn tËp hîp Y. x lµ mét phÇn tö bÊt kú cña X, A lµ mét tËp con bÊt kú cña X, B lµ mét tËp con bÊt kú cña Y. Ta gäi: +) f(x) lµ ¶nh cña x bëi f hay gi¸ trÞ cña f t¹i x. +) f ( A) = { y ∈ Y | ∃x ∈ A sao cho f ( x) = y} lµ ¶nh cña tËp hîp A bëi f. +) f −1 ( B) = {x ∈ X | f ( x) ∈ B} lµ t¹o ¶nh toµn phÇn cña tËp hîp B bëi f. b) VÝ dô: XÐt ¸nh x¹ f tõ tËp hîp X = {a, b, c, d } ®Õn tËp hîp Y = {d , e, f } x¸c ®Þnh bëi: a a d ; b a d ; c a e; d a f A = {a, b, c} ⊂ X , B = {e, f } ⊂ Y . Ta cã f ( A) = {d , e} , f −1 ( B) = {c, d } . 11
NhËn xÐt: +) f (∅) = ∅ víi mäi ¸nh x¹ f. +) A ⊂ f −1 ( f ( A)) víi mäi bé phËn A cña X. +) B ⊃ f ( f −1 ( B )) víi mäi bé phËn B cña Y. 1.3.3. §¬n ¸nh a) §Þnh nghÜa: ¸nh x¹ f : X → Y ®−îc gäi lµ mét ®¬n ¸nh nÕu víi mäi x, x ' thuéc X, nÕu f ( x) = f ( x ') th× x = x ' hay víi mäi y thuéc Y cã nhiÒu nhÊt mét x thuéc X sao cho f(x) = y. Hay ®Þnh nghÜa t−¬ng ®−¬ng: ¸nh x¹ f : X → Y ®−îc gäi lµ mét ®¬n ¸nh nÕu víi mäi x, x ' thuéc X, nÕu x ≠ x ' th× f ( x) ≠ f ( x ') . Mét ®¬n ¸nh cßn ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ mét ®èi mét. b) VÝ dô: +) ¸nh x¹ xÕp chç ngåi cho c¸c trÎ trong líp chÞ phô tr¸ch lµ mét ®¬n ¸nh. +) ¸nh x¹ f : → , x a x 3 lµ mét ®¬n ¸nh. +) ¸nh x¹ f : → , x a x 2 − 3 x + 2 kh«ng lµ ®¬n ¸nh v× cã f(1) = f(2) = 0 mµ râ rµng 1 ≠ 2 . +) ¸nh x¹ X → X , x a x lµ mét ®¬n ¸nh vµ gäi lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt cña X, kÝ hiÖu id x hoÆc 1x . +) NÕu X ⊂ Y th× ¸nh x¹ X → Y , x a x lµ mét ®¬n ¸nh vµ gäi lµ ®¬n ¸nh chÝnh t¾c tõ X ®Õn Y hay ¸nh x¹ nhóng chÝnh t¾c X vµo Y. 1.3.4. Toµn ¸nh a) §Þnh nghÜa: ¸nh x¹ f : X → Y ®−îc gäi lµ mét toµn ¸nh nÕu víi mäi phÇn tö y thuéc Y, cã Ýt nhÊt mét phÇn tö x thuéc X sao cho f(x) = y. Hay nãi c¸ch kh¸c f lµ toµn ¸nh nÕu f ( X ) = Y . Mét toµn ¸nh cßn ®−îc gäi lµ mét ¸nh x¹ lªn. b) VÝ dô: +) ¸nh x¹ xÕp chç ngåi cho c¸c trÎ trong líp chÞ phô tr¸ch lµ mét toµn 12
¸nh nÕu sè ghÕ võa b»ng sè trÎ. +) ¸nh x¹ X → X , x a x lµ mét toµn ¸nh. +) ¸nh x¹ f : → 2 , n a 2n lµ mét toµn ¸nh. +) ¸nh x¹ f : → , x a x 2 − 3 x + 2 kh«ng lµ toµn ¸nh v× ch¼ng h¹n cã −2 ∈ mµ kh«ng cã phÇn tö x nµo thuéc sao cho f(x) = -2. +) NÕu X ⊂ Y th× ¸nh x¹ X → Y , x a x kh«ng lµ mét toµn ¸nh. 1.3.5. Song ¸nh a) §Þnh nghÜa: ¸nh x¹ f : X → Y ®−îc gäi lµ mét song ¸nh (¸nh x¹ 1 – 1) nÕu nã v÷a lµ ®¬n ¸nh võa lµ toµn ¸nh. Nãi c¸ch kh¸c ¸nh x¹ f : X → Y lµ mét song ¸nh nÕu víi mäi phÇn tö y thuéc tËp Y cã mét vµ chØ mét phÇn tö x thuéc tËp X sao cho f(x) = y. b) VÝ dô: +) ¸nh x¹ xÕp chç ngåi cho c¸c trÎ trong líp chÞ phô tr¸ch lµ mét song ¸nh nÕu sè ghÕ võa b»ng sè trÎ. +) ¸nh x¹ ®ång nhÊt lµ mét song ¸nh. +) ¸nh x¹ f : → 2 , n a 2n lµ mét song ¸nh. +) ¸nh x¹ f : → * , n a n + 1 lµ mét song ¸nh. 1.4. Quan hÖ 1.4.1. Quan hÖ hai ng«i a) §Þnh nghÜa: Cho X, Y lµ hai tËp tïy ý, kh¸c rçng. Mçi tËp con S cña tËp tÝch §Ò C¸c X × Y ®−îc gäi lµ mét quan hÖ hai ng«i trªn X × Y . NÕu ( x, y ) ∈ S ta nãi x cã quan hÖ S víi y vµ viÕt xSy . NÕu ( x, y ) ∉ S ta nãi x kh«ng cã quan hÖ S víi y vµ viÕt x$ y . Mét quan hÖ hai ng«i trªn X × X ®−îc gäi ®¬n gi¶n lµ quan hÖ hai ng«i trªn t©p X. b) VÝ dô: +) TËp con S = {( x, y ) ∈ × | x = y} x¸c ®Þnh quan hÖ b»ng nhau trªn . 13
+) TËp con S = {( x, y ) ∈ × | x ≤ y} x¸c ®Þnh quan hÖ nhá h¬n hoÆc b»ng n trªn . c) Mét sè tÝnh chÊt cña quan hÖ hai ng«i Gi¶ sö S lµ mét quan hÖ hai ng«i trªn tËp X. +) S ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt ph¶n x¹ nÕu víi mäi x ∈ X , x cã quan hÖ S víi chÝnh nã. +) S ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt ®èi xøng nÕu víi mäi x, y ∈ X mµ x cã quan hÖ S víi y th× y cã quan hÖ S víi x. +) S ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt ph¶n ®èi xøng nÕu víi mäi x, y ∈ X mµ x cã quan hÖ S víi y vµ y cã quan hÖ S víi x th× x = y. +) S ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt b¾c cÇu nÕu víi mäi x, y, z ∈ X mµ x cã quan hÖ S víi y vµ y cã quan hÖ S víi z th× x cã quan hÖ S víi z. Hay ta cã thÓ ph¸t biÓu ng¾n gän h¬n: +) S ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt ph¶n x¹ nÕu ∀x ∈ X , xSx . +) S ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt ®èi xøng nÕu ∀x, y ∈ X , xSy ⇒ ySx . +) S ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt ph¶n ®èi xøng nÕu ∀x, y ∈ X , xSy, ySx ⇒ x = y . +) S ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt b¾c cÇu nÕu ∀x, y, z ∈ X , xSy, ySz ⇒ xSz . VÝ dô: +) Quan hÖ cïng hä, quan hÖ cïng tªn cña c¸c ch¸u trong líp MÇm non cã c¸c tÝnh chÊt ph¶n x¹, ®èi xøng, b¾c cÇu. +) Quan hÖ b»ng nhau trªn c¸c tËp hîp sè cã c¸c tÝnh chÊt ph¶n x¹, ®èi xøng, b¾c cÇu. * +) Quan hÖ chia hÕt cho trªn tËp c¸c sè tù nhiªn kh¸c 0 cã c¸c tÝnh chÊt ph¶n x¹, ph¶n ®èi xøng, b¾c cÇu. 1.4.2. Quan hÖ t−¬ng ®−¬ng a) §Þnh nghÜa: Mét quan hÖ hai ng«i trªn tËp hîp X ®−îc gäi lµ quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn X nÕu nã cã ®ång thêi ba tÝnh chÊt: ph¶n x¹, ®èi xøng vµ b¾c cÇu. 14
Quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp X th−êng ký hiÖu , nÕu x, y ∈ X , x t−¬ng ®−¬ng víi y th× ta viÕt x y. VÝ dô: +) Quan hÖ b»ng nhau trªn c¸c tËp hîp sè lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. +) Quan hÖ cïng hä, quan hÖ cïng tªn lµ nh÷ng quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. +) Quan hÖ cã cïng sè d− trong phÐp chia cho 3 trªn tËp sè tù nhiªn lµ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. b) Líp t−¬ng ®−¬ng *) §Þnh nghÜa: Gi¶ sö trªn tËp X x¸c ®Þnh mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng . a lµ mét phÇn tö thuéc X. TËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc X mµ t−¬ng ®−¬ng víi a ®−îc gäi lµ líp t−¬ng ®−¬ng cña phÇn tö a trªn quan hÖ t−¬ng ®−¬ng , kÝ hiÖu [ a ] . Theo ®Þnh nghÜa [ a ] = { x ∈ X | x a} , nh− vËy líp t−¬ng ®−¬ng cña phÇn tö a thuéc X lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc X mµ t−¬ng ®−¬ng víi a. *) VÝ dô: +) XÐt quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn c¸c tËp hîp sè lµ quan hÖ b»ng nhau. Líp t−¬ng ®−¬ng cña phÇn tö a lµ [a] = {a} +) XÐt quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp c¸c häc viªn cña líp mÇm non ...lµ quan hÖ cïng hä th× líp t−¬ng ®−¬ng cña phÇn tö NguyÔn ThÞ Lan lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c häc viªn cã hä NguyÔn. +) XÐt quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp sè tù nhiªn lµ quan hÖ cã cïng sè d− trong phÐp chia cho 3. +) Líp t−¬ng ®−¬ng cña phÇn tö 0 lµ [0] = {0, 3, 6, 9,...}. +) Líp t−¬ng ®−¬ng cña phÇn tö 1 lµ [1] = {1, 4, 7, 10,...}. +) Líp t−¬ng ®−¬ng cña phÇn tö 2 lµ [2] = {2, 5, 8, 11, 14,...}. *) TÝnh chÊt: Gi¶ sö trªn tËp X x¸c ®Þnh mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng , a, b, x, y lµ c¸c phÇn tö thuéc X. Ta cã: +) a ∈ [ a ] . +) [ a ] ≠ ∅ . +) NÕu x, y ∈ [ a ] ⇒ x y. +) NÕu x ∈ [ a ] , y x ⇒ y ∈ [a] . 15
+) [ a ] = [b ] ⇔ a b . +) NÕu a kh«ng t−¬ng ®−¬ng víi b th× [ a ] ∩ [b ] = ∅ . c) TËp th−¬ng *) §Þnh nghÜa: Gi¶ sö trªn tËp X kh¸c rçng x¸c ®Þnh mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng . TËp hîp tÊt c¶ c¸c líp t−¬ng ®−¬ng cña X trªn qua hÖ t−¬ng ®−¬ng ®−îc gäi lµ tËp th−¬ng cña X trªn qua hÖ t−¬ng ®−¬ng , kÝ hiÖu X . Theo ®Þnh nghÜa: X = {[ a ] | a ∈ X } . Nh− vËy mçi phÇn tö cña tËp th−¬ng X lµ mét líp t−¬ng ®−¬ng cña mét phÇn tö a cña X, tøc lµ mét tËp hîp gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña X mµ t−¬ng ®−¬ng víi a. *) VÝ dô: +) XÐt quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp sè tù nhiªn lµ quan hÖ cã cïng sè d− trong phÐp chia cho 3. = {[ 0] , [1] , [ 2]} . +) XÐt quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp X c¸c häc viªn cña líp mÇm non ...lµ quan hÖ cïng hä th× tËp th−¬ng X = {[NguyÔn], [TrÇn], [Lª], [Ph¹m], ...}. 1.4.3. Quan hÖ thø tù a) §Þnh nghÜa: Mét quan hÖ hai ng«i trªn tËp hîp X ®−îc gäi lµ quan hÖ thø tù trªn X nÕu nã cã ®ång thêi ba tÝnh chÊt: ph¶n x¹, ph¶n ®èi xøng vµ b¾c cÇu. TËp hîp X ®−îc gäi lµ tËp s¾p thø tù nÕu trªn X cã mét quan hÖ thø tù. Quan hÖ thø tù trªn tËp X th−êng ký hiÖu ≤ , nÕu x, y ∈ X , x cã quan hÖ thø tù ≤ víi y th× ta viÕt x ≤ y . *) VÝ dô: +) Quan hÖ nhá h¬n hay b»ng trªn tËp sè tù nhiªn lµ mét quan hÖ thø tù. * +) Quan hÖ chia hÕt cho trªn tËp c¸c sè tù nhiªn kh¸c 0 lµ mét quan hÖ thø tù. +) Quan hÖ bao hµm gi÷a c¸c tËp con cña mét tËp hîp lµ mét quan hÖ thø tù. *) Chó ý: Trong mét tËp s¾p thø tù X cã thÓ x¶y ra 2 tr−êng hîp: 16
+) TÊt c¶ mäi phÇn tö cña X ®Òu n»m trong quan hÖ thø tù ®ã, khi ®ã quan hÖ thø tù trªn X ®−îc gäi lµ quan hÖ thø tù toµn phÇn. +) Cã nh÷ng phÇn tö cña X kh«ng n»m trong quan hÖ thø tù ®ã, khi ®ã quan hÖ thø tù trªn X ®−îc gäi lµ quan hÖ thø tù bé phËn. *) VÝ dô: +) Quan hÖ nhá h¬n hay b»ng trªn tËp sè tù nhiªn lµ mét quan hÖ thø tù toµn phÇn. * +) Quan hÖ chia hÕt cho trªn tËp c¸c sè tù nhiªn kh¸c 0 lµ mét quan hÖ * thø tù bé phËn bëi v× ch¼ng h¹n 2, 3 thuéc nh−ng kh«ng n»m trong quan hÖ chia hÕt cho v× 2 kh«ng chia hÕt cho 3 vµ 3 còng kh«ng chia hÕt cho 2. +) Quan hÖ bao hµm gi÷a c¸c tËp con cña mét tËp hîp lµ quan hÖ thø tù bé phËn. Ch¼ng h¹n X = {1, 2,3} ⊂ , Y = {4,5,6,7} ⊂ nh−ng X ⊄ Y vµ Y ⊄ X . b) PhÇn tö lín nhÊt, phÇn tö nhá nhÊt *) §Þnh nghÜa: Gi¶ sö X lµ mét tËp s¾p thø tù. +) Mét phÇn tö a ∈ X ®−îc gäi lµ phÇn tö lín nhÊt cña X nÕu víi mäi x ∈ X , ta cã x ≤ a . +) Mét phÇn tö a ∈ X ®−îc gäi lµ phÇn tö nhá nhÊt cña X nÕu víi mäi x ∈ X , ta cã a ≤ x . * *) VÝ dô: XÐt quan hÖ thø tù trªn tËp hîp c¸c sè tù nhiªn kh¸c 0 lµ quan hÖ chia hÕt cho. * +) TËp chØ cã phÇn tö nhá nhÊt lµ 1, kh«ng cã phÇn tö lín nhÊt. +) TËp A = {1, 2,5,7,35,70} ⊂ * cã phÇn tö lín nhÊt lµ 70 v× 70 chia hÕt cho mäi phÇn tö cña A, phÇn tö nhá nhÊt lµ 1 v× mäi phÇn tö cña A ®Òu chia hÕt cho 1. +) TËp B = {2,5,7,35,70} ⊂ * chØ cã phÇn tö lín nhÊt lµ 70. +) TËp C = {1, 2,3,5,7,9,10, 25} ⊂ * chØ cã phÇn tö nhá nhÊt lµ 1. 17
+) TËp D = {2,3, 4,5,7,35} ⊂ * kh«ng cã phÇn tö lín nhÊt, phÇn tö nhá nhÊt. c) PhÇn tö tèi ®¹i, phÇn tö tèi tiÓu *) §Þnh nghÜa: Gi¶ sö X lµ mét tËp s¾p thø tù. +) Mét phÇn tö a ∈ X ®−îc gäi lµ phÇn tö tèi ®¹i cña X nÕu víi mçi x ∈ X , quan hÖ x ≥ a kÐo theo x = a . +) Mét phÇn tö a ∈ X ®−îc gäi lµ phÇn tö tèi tiÓu cña X nÕu víi mäi x ∈ X , quan hÖ x ≤ a kÐo theo x = a . * *) VÝ dô: XÐt quan hÖ thø tù trªn tËp hîp c¸c sè tù nhiªn kh¸c 0 lµ quan hÖ chia hÕt cho. * +) TËp chØ cã phÇn tö tèi tiÓu lµ 1, kh«ng cã phÇn tö tèi ®¹i. +) TËp A = {1, 2,5,7,35,70} ⊂ * cã phÇn tö tèi tiÓu lµ 1, phÇn tö tèi ®¹i lµ 70. +) TËp B = {2,5,7,35,70} ⊂ * cã c¸c phÇn tö tèi tiÓu lµ 2,3,5,7, phÇn tö tèi ®¹i lµ 70. +) TËp C = {1, 2,3,5,7,9,10, 25} ⊂ * chØ cã phÇn tö tèi tiÓu lµ 1, c¸c phÇn tö tèi ®¹i lµ 7, 9, 10, 25. *) Chó ý: +) Mét tËp hîp cã nhiÒu nhÊt mét phÇn tö lín nhÊt vµ mét phÇn tö nhá nhÊt. +) Mét tËp hîp cã thÓ cã nhiÒu phÇn tö tèi ®¹i vµ nhiÒu phÇn tö tèi tiÓu. 1.5. Gi¶i tÝch tæ hîp 1.5.1. ChØnh hîp a) §Þnh nghÜa: Mçi tËp hîp con s¾p thø tù gåm k phÇn tö kh¸c nhau cña mét tËp hîp gåm n phÇn tö ®−îc gäi lµ mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö. Sè c¸c chØnh k hîp chËp k cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ An . 18
b) C«ng thøc Mçi chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö lµ mét tËp gåm k phÇn tö kh¸c nhau s¾p xÕp theo mét thø tù nhÊt ®Þnh. Nh− vËy sè c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö chÝnh lµ sè c¸c c¸ch chän k phÇn tö s¾p thø tù. V× Chän phÇn tö thø nhÊt cã n c¸ch. Chän phÇn tö thø hai cã n - 1 c¸ch. Chän phÇn tö thø ba cã n - 2 c¸ch.... Chän phÇn tö thø k -1 cã n - k +2 c¸ch. Chän phÇn tö thø k cã n – k + 1 c¸ch. Do ®ã cã tÊt c¶ n.(n-1).(n-2)...(n-k+2)(n-k+1) c¸ch chän. n! VËy An = n.(n-1).(n-2)...(n-k+2)(n-k+1)= k . (n-k)! 1.5.2. Ho¸n vÞ a) §Þnh nghÜa: Mçi c¸ch s¾p thø tù n phÇn tö ®−îc gäi lµ mét ho¸n vÞ cña n phÇn tö. Sè c¸c ho¸n vÞ cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ Pn . b) C«ng thøc V× mçi ho¸n vÞ cña n phÇn tö chÝnh lµ mét chØnh hîp chËp n cña n phÇn tö nªn sè c¸c ho¸n vÞ cña n phÇn tö chÝnh lµ sè c¸c chØnh hîp chËp n cña n phÇn tö. Do ®ã, sè c¸c ho¸n vÞ cña n phÇn tö lµ: Pn = n.(n-1).(n-2)...(n-n+2)(n-n+1) = n.(n-1).(n-2)...2.1 = n! 1.5.3. Tæ hîp a) §Þnh nghÜa: Mét tËp hîp con gåm k phÇn tö kh¸c nhau (kh«ng ph©n biÖt thø tù) cña mét tËp hîp gåm n phÇn tö ®−îc gäi lµ mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö. k Sè c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ Cn . b) C«ng thøc V× mçi ho¸n vÞ cña k phÇn tö trong mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö chÝnh lµ mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö nªn mçi tæ hîp chËp k cña n phÇn tö cã k! chØnh 19
hîp chËp k cña n phÇn tö . Do ®ã sè c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö b»ng sè c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö chia cho sè c¸c ho¸n vÞ cña k phÇn tö n! VËy sè c¸c tæ hîp cña n phÇn tö lµ: Cn = k . (n − k )!k ! 1.5.4. NhÞ thøc Newton a) C«ng thøc nhÞ thøc Newton Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1 ta cã: (a + b) = Cn0 a n + Cn1 a n−1b + Cn2 a n−2b 2 + ... + Cnn−1ab n−1 + Cnn b n . n b) VÝ dô: +) Víi n = 2, 3 ta cã c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí: (a + b) = a 2 + 2ab + b 2 ; ( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 2 3 +) Víi n = 4: (a + b) = C40 a 4 + C41a 4−1b + C42 a 4−2b 2 + C44−1ab 4−1 + C44b 4 4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b 4 +) Víi n = 5: ( a + b ) = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b . 4 5 4 3 2 2 3 4 5 Bμi tËp ch−¬ng 1 1. H·y tr×nh bµy c¸c tËp hîp sau b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp a) TËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè mµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 3. b) TËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè mµ tæng cña hai ch÷ sè b»ng 15. c) TËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè mµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ gÊp ®«i ch÷ sè hµng chôc. d) TËp hîp c¸c sè tù nhiªn lµ −íc cña 15. e) TËp hîp c¸c sè tù nhiªn lµ béi cña 3. f) TËp hîp c¸c ch÷ sè x sao cho 13 x8 chia hÕt cho 3. 2. H·y tr×nh bµy c¸c tËp hîp sau b»ng c¸ch nªu tÝnh chÊt ®Æc tr−ng a) A = {1, 2, 4,8,16,32} 20