Đề cương bài giảng Toán cơ sở: Phần 2- Nguyễn Thị Tuyết Mai

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

132
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung Phần 2 Đề cương bài giảng Toán cơ sở gồm 3 chương trình bày các nội dung về định thức, ma trận, hệ phương trình tuyến tính; số tự nhiên; đại số vec tơ và hình học giải tích. Mời bạn đọc tham khảo tài liệu để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề cương bài giảng Toán cơ sở: Phần 2- Nguyễn Thị Tuyết Mai

Ch−¬ng 3: §Þnh thøc, ma trËn, hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 3.1. Ma trËn 3.1.1. §Þnh nghÜa: Cho m, n ∈ . Mét b¶ng gåm m × n sè (thùc hoÆc phøc) s¾p thµnh m dßng, n cét, kÝ hiÖu: ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ ⎜a a22 ... a2 n ⎟ ⎢a a22 ... a2 n ⎥ A = ⎜ 21 ⎟ hoÆc A = ⎢ 21 ⎥ ⎜ ... ... ... ... ⎟ ⎢ ... ... ... ... ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ am1 am 2 ... amn ⎠ ⎣ am1 am 2 ... amn ⎦ ®−îc gäi lµ mét ma trËn cì (m, n) (hoÆc m × n ). Trong ®ã: +) aij víi mäi 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n ®−îc gäi lµ phÇn tö n»m ë dßng thø i, cét thø j cña ma trËn A. i, j ®−îc gäi t−¬ng øng lµ chØ sè dßng vµ chØ sè cét cña phÇn tö aij . +) m, n ®−îc gäi t−¬ng øng lµ sè dßng, sè cét cña ma trËn A Ma trËn A cì (m, n) cã phÇn tö n»m ë dßng thø i, cét thø j ®−îc ký hiÖu lµ A = (aij ) m×n = (aij )( m, n ) . +) NÕu m ≠ n th× A ®−îc gäi lµ ma trËn (ch÷ nhËt) cì (m, n). m = n th× A ®−îc gäi lµ ma trËn vu«ng cÊp n. m=1 th× A ®−îc gäi lµ ma trËn dßng. n =1 th× A ®−îc gäi lµ ma trËn cét. +) NÕu aij ∈ víi mäi 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n th× A ®−îc gäi lµ ma trËn thùc. NÕu aij ∈ víi mäi 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n th× A ®−îc gäi lµ ma trËn phøc. KÝ hiÖu: Mat(m,n) lµ tËp c¸c ma trËn cì (m,n). ⎛1 0 2⎞ *) VÝ dô: +) A = ⎜ −2 3 −1⎟ lµ mét ma trËn ch÷ nhËt cì (2,3) víi c¸c phÇn tö ⎝ ⎠ a11 = 1; a12 = 0; a13 = 2; a21 = −2; a22 = 3; a23 = −1. 40
⎛1 3⎞ +) A = ⎜ ⎟ lµ ma trËn vu«ng cÊp 2 víi c¸c phÇn tö a11 = 1; a12 = 3; ⎝ 2 4⎠ a21 = 2; a22 = 4 . +) A = (1 −2 0 3) lµ ma trËn dßng cì (1, 4). ⎛ 0⎞ +) A = ⎜ 1 ⎟ lµ ma trËn cét cì (3,1). ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ Tõ ®©y vÒ sau ta chØ xÐt c¸c ma trËn thùc. 3.1.2. Mét sè ma trËn d¹ng ®Æc biÖt a) Ma trËn kh«ng §Þnh nghÜa: Mét ma trËn mµ mäi phÇn tö ®Òu b»ng kh«ng ®−îc gäi lµ ma trËn kh«ng, kÝ hiÖu: 0. ⎛0 0⎞ ⎛0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ VÝ dô: A = ⎜ , B = ⎜ ⎟, C = ⎜ ⎝0 0⎟ ⎠ ⎝0⎠ ⎟ ⎝ 0 0 0⎠ b) Ma trËn chÐo §Þnh nghÜa: Mét ma trËn vu«ng cÊp n A = (aij ) ®−îc gäi lµ ma trËn chÐo nÕu ⎛ a11 0..........0 ⎞ ⎜ ⎟ aij = 0 ∀i ≠ j , tøc lµ A cã d¹ng A = ⎜ 0 a22 .........0 ⎟ . §−êng th¼ng ®i qua a ⎜ ...................... ⎟ ii ⎜ ⎟ ⎝ 0 0..........ann ⎠ ®−îc gäi lµ ®−êng chÐo, c¸c phÇn tö aii ®−îc gäi lµ phÇn tö chÐo cña ma trËn A. ⎛1 0 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ VÝ dô: A = ⎜ ⎟ ; A = ⎜0 0 0⎟ ⎝0 -1⎠ ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠ c) Ma trËn ®¬n vÞ §Þnh nghÜa: Mét ma trËn chÐo mµ mäi phÇn tö chÐo aii ®Òu b»ng 1 ®−îc gäi lµ ma trËn ®¬n vÞ, ký hiÖu I (hoÆc I n nÕu muèn chØ râ cÊp cña I ). 41
Nãi c¸ch kh¸c: ma trËn vu«ng cÊp n mµ mäi phÇn tö aii ®Òu b»ng 1, mäi phÇn tö aij , ∀i ≠ j ®Òu b»ng 0 ®−îc gäi lµ ma trËn ®¬n vÞ. ⎛1 0 0 ⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ VÝ dô: A = ⎜ ⎟ , B = ⎜ 0 1 0 ⎟ , C = (1) . ⎝0 1⎠ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ d) Ma trËn tam gi¸c §Þnh nghÜa: Ma trËn vu«ng cÊp n A = (aij ) ®−îc gäi lµ ma trËn tam gi¸c trªn (d−íi) nÕu aij = 0, ∀i > j ( ∀i < j ) ⎛ a11 a12 ... ... a1n ⎞ ⎛ a11 0 ... 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 a22 ... ... a2 n ⎟ ⎜ a21 a22 ... 0 0 ⎟ Tæng qu¸t: A = ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ; A = ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ... a( n −1)( n −1) a( n −1) n ⎟ ⎜ a( n −1)1 ... ... a( n −1)( n −1) 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ a ann ⎟ ⎝ 0 ... 0 ann ⎠ ⎝ n1 an 2 ... an ( n −1) ⎠ Ma trËn tam gi¸c trªn Ma trËn tam gi¸c d−íi ⎛1 2 1 ⎞ VÝ dô: A = ⎜ 0 2 -1⎟ lµ ma trËn tam gi¸c trªn. ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 0⎞ B = ⎜ -1 2 0 ⎟ lµ ma trËn tam gi¸c d−íi. ⎜ ⎟ ⎜ 4 1 -2 ⎟ ⎝ ⎠ 3.1.3. Hai ma trËn b»ng nhau a) §Þnh nghÜa Hai ma trËn A, B ®−îc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã cïng cì vµ c¸c phÇn tö ë cïng vÞ trÝ ®Òu b»ng nhau, tøc lµ A = (aij ) m×n , B = (bij ) m×n vµ aij = bij ∀i = 1, m , ∀j = 1, n . KÝ hiÖu: A = B . b) VÝ dô ⎛1 2 -3 ⎞ ⎛1 2 a ⎞ ⎜ 0 1 - 2 ⎟ ; B = ⎜ 0 1 b ⎟ th× A = B ⇔ a = −3; b = −2; c = −1 . A=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 0 -1 ⎟ ⎜3 0 c ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 42
3.1.4. Céng ma trËn a) §Þnh nghÜa: Cho hai ma trËn cïng cì A = (aij ) m×n , B = (bij ) m×n . Tæng cña hai ma trËn A, B kÝ hiÖu lµ A + B lµ ma trËn C = (cij ) m×n x¸c ®Þnh bëi: cij = aij + bij ∀i = 1, m , ∀j = 1, n . NhËn xÐt: Tæng hai ma trËn cïng cì lµ mét ma trËn cïng cì ®ã mµ phÇn tö ë dßng thø i cét j b»ng tæng cña c¸c phÇn tö ë dßng i cét j cña hai ma trËn ®· cho. ⎛ 1 0⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛3 1⎞ b) VÝ dô: +) ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ −1 3 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎛ 1 2 −1⎞ ⎛ 2 −1 0 ⎞ ⎛ 3 1 −1⎞ +) ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 0 −3 4 ⎠ ⎝ 3 1 −2 ⎠ ⎝ 3 −2 2 ⎠ c) TÝnh chÊt : Víi A, B, C lµ c¸c ma trËn cïng cì, dÔ thÊy: +) A + B = B + A, +) A + 0 = 0 + A = A. +) Cho A = (aij ) m×n . KÝ hiÖu − A = (− aij ) m×n ⇒ A + (- A) = (- A) + A = 0 +) A + (B + C) = (A + B) + C. Chó ý. TËp Mat (m,n) cïng víi phÐp céng hai ma trËn lµ mét nhãm giao ho¸n. 3.1.5. Nh©n mét sè víi mét ma trËn a) §Þnh nghÜa: Cho ma trËn A = (aij ) m×n vµ k ∈ . Ma trËn (k .aij ) m×n ®−îc gäi lµ tÝch cña ma trËn A víi sè k kÝ hiÖu lµ kA mµ c¸c phÇn tö lµ k .aij , ∀i = 1, m , ∀j = 1, n . *) NhËn xÐt: Nh©n mét ma trËn víi mét sè ta nh©n tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña ma trËn víi sè ®ã. ⎛ 1 2⎞ ⎛ 4 8⎞ b) VÝ dô: 4.⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ − 4 0 ⎠ c) TÝnh chÊt: ∀A, B cïng cì, k , h ∈ , tõ tÝnh chÊt cña c¸c phÐp to¸n trªn tËp c¸c sè thùc ta dÔ dµng chøng minh c¸c tÝnh chÊt sau: +) k.(A + B) = k.A + .kB. 43
+) (k + h).A = k.A + h.A. +) k.(h.A) = (k.h).A. +) 1.A = A, 0.A = 0 (ma trËn kh«ng cïng cì víi A). +) k.0 = 0 (ma trËn kh«ng). 3.1.6. Nh©n ma trËn víi ma trËn a) §Þnh nghÜa: Cho hai ma trËn A = (aij ) m×n , B = (b jk ) n× p . Ma trËn C = (cik ) m× p n x¸c ®Þnh bëi cik = ∑ aij b jk , ∀i = 1, m; k = 1, p ®−îc gäi lµ tÝch cña hai ma trËn A, B j =1 theo thø tù ®ã vµ kÝ hiÖu A.B hoÆc A × B . * NhËn xÐt: +) PhÇn tö ë dßng i cét k cña ma trËn tÝch A.B b»ng tæng cña c¸c tÝch cña c¸c phÇn tö trªn dßng i cña ma trËn A t−¬ng øng víi c¸c phÇn tö trªn cét k cña ma trËn B. +) §Ó cã tÝch A.B sè cét cña ma trËn A ph¶i b»ng sè dßng cña ma trËn B. b) VÝ dô ⎛1 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎛1 2⎞ ⎜ +) A = ⎜ 2 ⎟ , B = ⎛ 1 2 ⎞ ⇒ A.B = ⎜ 2 ⎟⎛ 1 2⎞ = ⎜ 1 ⎟ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ 7⎟ . ⎜ -1 ⎟ ⎝ −1 3 ⎠ ⎜ -1 ⎟ ⎝ −1 3 ⎠ ⎜ -2 1⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ ⎠ Kh«ng cã tÝch B.A v× sè cét cña B lµ 2 kh¸c sè dßng cña A lµ 4. ⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ 2 −4 ⎞ +) A = ⎜ ⎟ ; B = ⎜ 1 3 ⎟ ⇒ A.B = ⎜ 2 8 ⎟ ; B. A = ⎜ −2 6 ⎟ . ⎝ −1 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2⎞ ⎛ 2 −6 ⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ −10 −20 ⎞ +) A = ⎜ ⎟ ; B = ⎜ −1 3 ⎟ ⇒ A.B = ⎜ 0 0 ⎟ ; B. A = ⎜ 5 ⎝ 2 4⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 10 ⎟⎠ c) Chó ý +) Cã thÓ cã tÝch A.B nh−ng ch−a ch¾c cã tÝch B.A. +) Cã c¶ tÝch A.B vµ B.A nh−ng ch−a ch¾c A.B = B.A. +) Cã nh÷ng ma trËn A ≠ 0 , B ≠ 0 nh−ng A.B = 0. +) TËp hîp c¸c ma trËn vu«ng cïng víi phÐp céng hai ma trËn vµ phÐp nh©n nh©n hai ma trËn t¹o thµnh mét vµnh kh«ng giao ho¸n. 44
d) TÝnh chÊt +) A.(B.C) = (A.B).C. +) A.(B + C) = A.B + A.C. +) (A + B).C = A.C + B.C. +) I.A = A; A.I = A. 3.1.7. Ma trËn chuyÓn vÞ cña mét ma trËn a) §Þnh nghÜa Cho A = (aij ) lµ ma trËn cì (m, n). Mét ma trËn B = (b ji ) cì (n, m) mµ aij = b ji ∀ i = 1, m , ∀ j = 1, n (phÇn tö ë dßng j cét i cña ma trËn B b»ng phÇn tö ë dßng i cét j cña ma trËn A) ®−îc gäi lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn A vµ kÝ hiÖu B = A t . Hay nãi c¸ch kh¸c: Cho A lµ mét ma trËn cì (m,n). Mét ma trËn B cì (n,m) cã ®−îc tõ ma trËn A b»ng c¸ch ®æi dßng thµnh cét (vµ do ®ã cét thµnh dßng) ®−îc gäi lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn A. ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 1 0⎞ b) VÝ dô : +) A = ⎜ ⎜ ⎟ ⇒ At = ⎜ ⎟ ⎜ −1 2⎟ . ⎟ ⎝0 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 4⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 2 3⎞ +) A = ⎜ 2 5 ⎟ ⇒ At = ⎜ ⎜ 4 5 6⎟ . ⎟ ⎜3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 6⎠ ⎛1⎞ +) A = ⎜ 2 ⎟ ⇒ At = (1 2 3) ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ 3.1.8. Ma trËn kh¶ nghÞch a) §Þnh nghÜa: Cho A lµ mét ma trËn vu«ng cÊp n. A ®−îc gäi lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i ma trËn B vu«ng cÊp n sao cho A.B = B.A = In. Khi ®ã ma trËn B ®−îc gäi lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A vµ kÝ hiÖu: B = A −1 . b) VÝ dô 45
+) Ma trËn ®¬n vÞ I lµ kh¶ nghÞch vµ ma trËn nghÞch ®¶o cña I chÝnh lµ I. ⎛1 2⎞ ⎛0 − 1⎞ ⎜ 1 ⎟. ⎜ −1 0⎟ ⇒ A = ⎜ 1 −1 +) A = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝2 2⎠ c) C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp trªn c¸c dßng cña mét ma trËn - §æi chç hai dßng cña ma trËn. - Nh©n c¸c phÇn tö trªn mét dßng cña ma trËn víi cïng mét sè kh¸c 0. - Céng vµo c¸c phÇn tö cña mét dßng cña ma trËn c¸c phÇn tö t−¬ng øng cña dßng kh¸c sau khi ®· nh©n víi cïng mét sè thùc kh¸c 0. d) Hai ma trËn t−¬ng ®−¬ng Ma trËn B ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng víi ma trËn A nÕu B cã ®−îc tõ A sau mét sè kÕ tiÕp c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp. KÝ hiÖu: A ∼ B. e) C¸ch t×m ma trËn nghÞch ®¶o *) T×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng c¸ch dïng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp Cho A lµ mét ma trËn vu«ng cÊp n, ®Ó t×m ma trËn nghÞch ®¶o cña A ta lµm nh− sau: - ViÕt ma trËn ®¬n vÞ cïng cÊp bªn c¹nh ma trËn A. - Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp t¸c ®éng ®ång thêi lªn c¸c dßng cña ma trËn A vµ ma trËn ®¬n vÞ. - Khi c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp biÕn ma trËn A thµnh ma trËn ®¬n vÞ th× chóng ®ång thêi biÕn ma trËn ®¬n vÞ thµnh ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A. ⎛1 4⎞ *) VÝ dô: T×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A = ⎜ ⎜ −1 2⎟ . ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 4⎞ ⎛ 1 4 1 0⎞ ⎛1 4 1 0⎞ ⎛1 4 1 0⎞ ⎜1 0 − ⎟ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ 1 1⎟ → ⎜ 6 6⎟ ⎜ −1 2 0 1⎟ ⎜0 6 1 1⎟ ⎜0 1 ⎟ ⎜0 1 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 6 6⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 6 6 ⎠ ⎛ 2 4⎞ ⎜ − ⎟ ⇒ A −1 = ⎜ 6 6⎟. ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 6 ⎠ f) TÝnh chÊt 46
i) Cho A, B lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n, kh¶ nghÞch. Khi ®ã A.B còng kh¶ nghÞch vµ ( A.B ) = B −1. A−1 . −1 ii) Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n, kh¶ nghÞch. Khi ®ã: +) A−1 còng kh¶ nghÞch vµ ( A−1 ) −1 = A . ) còng kh¶ nghÞch vµ ( Am ) −1 = ( A−1 ) . m +) Am ( m ∈ * +) Víi mäi sè k ∈ ; k ≠ 0 ta cã kA còng kh¶ nghÞch vµ 1 (k . A) −1 = . A−1 . k iii) Cho A lµ mét ma trËn kh¶ nghÞch. Khi ®ã At còng kh¶ nghÞch vµ (A ) t −1 = ( A−1 ) . t 3.2. §Þnh thøc 3.2.1. Ma trËn con øng víi mét phÇn tö a) §Þnh nghÜa: Cho A = (aij ) lµ ma trËn vu«ng cÊp n. KÝ hiÖu M ij lµ ma trËn cã ®−îc tõ ma trËn A khi bá ®i dßng thø i, cét thø j . Khi ®ã M ij lµ ma trËn vu«ng cÊp n – 1. M ij ®−îc gäi lµ ma trËn con cña ma trËn A øng víi phÇn tö aij . ⎛a a ⎞ b) VÝ dô : +) A = ⎜ 11 12 ⎟ ⇒ M 11 = (a 22 ) , M 21 = (a12 ) , M 12 = (a 21 ) , M 22 = (a11 ) . ⎜a ⎟ ⎝ 21 a 22 ⎠ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛a a 23 ⎞ ⎛ a11 a12 ⎞ +) A = ⎜ a 21 a 23 ⎟ ⇒ M 11 = ⎜ 22 ⎟ ; M 23 = ⎜ a32 ⎟ a 22 ⎜a ;… ⎜a ⎝ 32 a33 ⎟⎠ ⎝ a31 ⎠ ⎝ 31 a32 a33 ⎟⎠ 3.2.2. §Þnh thøc cña mét ma trËn vu«ng a) §Þnh nghÜa: §Þnh thøc cña ma trËn vu«ng A cÊp n kÝ hiÖu lµ detA hoÆc A ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: +) NÕu A lµ ma trËn vu«ng cÊp 1 tøc A = (a11 ) th× det A = a11 . ⎛a a ⎞ +) NÕu A lµ ma trËn vu«ng cÊp 2 tøc A = ⎜ 11 12 ⎟ th× ⎜a ⎟ ⎝ 21 a 22 ⎠ 47
det A = a11 det M 11 − a12 det M 12 = a11a22 − a12 a21 . +) NÕu A lµ ma trËn vu«ng cÊp n th× det A = a11 det M 11 − a12 det M 12 + a13 det M 13 − a14 det M 14 + ...... + (−1) n +1 a1n det M 1n (*) §Þnh thøc cña ma trËn vu«ng cÊp n ®−îc gäi lµ ®Þnh thøc cÊp n, ký hiÖu a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n ... ... ... ... an1 an 2 ... ann Chó ý: +) §Þnh thøc cña mét ma trËn vu«ng lµ mét sè. +) Trong c«ng thøc nªu trªn c¸c phÇn tö a11 , a12 ,...., a1n lµ c¸c phÇn tö cïng n»m trªn dßng thø nhÊt cña ma trËn A vµ c«ng thøc (*) ®−îc gäi lµ c«ng thøc khai triÓn ®Þnh thøc theo dßng 1. +) C«ng thøc khai triÓn ®Þnh thøc cña ma trËn A theo dßng i, 1 ≤ i ≤ n lµ n det A = ∑ (−1)i + j .aij .det M ij . i =1 ⎛ a11 a12 a13 ⎞ +) NÕu A lµ ma trËn vu«ng cÊp 3, A = ⎜ a21 ⎜ a22 ⎟ a23 ⎟ th× tõ (*) ta cã: ⎜a a33 ⎟ ⎝ 31 a32 ⎠ det A = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a32 a21 − a11a23 a32 − a22 a13 a31 − a33 a12 a21 *) C¸c quy t¾c nhí c«ng thøc tÝnh ®Þnh thøc cÊp 3 - Quy t¾c tam gi¸c: a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 - Quy t¾c h×nh b×nh hµnh a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a21 a22 a23 a21 a31 a32 a33 a31 a32 a31 a32 a33 - Ngoµi ra ®Ó tÝnh ®Þnh thøc cÊp 3 ta cã thÓ khai triÓn ®Þnh thøc theo mét dßng hoÆc mét cét hoÆc dïng c«ng thøc h¹ bËc: 48
det M 11.det M 33 − det M 13 .det M 31 det A = . a22 b) VÝ dô +) A = ( 3) ⇒ det = 3, A = ( −1) ⇒ det = −1 ⎛ 1 −1⎞ +) A = ⎜ ⎟ ⇒ det A = 1.3 − 2.(−1) = 5 ⎝2 3⎠ ⎛ 1 −2 4 ⎞ +) A = ⎜ 0 3 1 ⎟ ⇒ det A = 1.3.0 + (−2).1.2 + 4.0.(−1) − 2.3.4. − 1.1.(−1) − (−2).0.0 ⎜ ⎟ ⎜ 2 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ = −4 − 24 + 1 = −27 c) TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc +) det A = det At HÖ qu¶: Mét tÝnh chÊt ®· ®óng khi ph¸t biÓu ®èi víi dßng cña ®Þnh thøc th× còng ®óng khi trong ph¸t biÓu ®ã ta thay ch÷ dßng b»ng ch÷ cét. +) §æi chç hai dßng cña mét ®Þnh thøc cho nhau th× ®Þnh thøc ®æi dÊu. +) Mét ®Þnh thøc cã hai dßng b»ng nhau (hoÆc tØ lÖ) th× ®Þnh thøc b»ng 0. +) NÕu ta nh©n vµo c¸c phÇn tö cña cïng mét dßng cña ®Þnh thøc víi cïng mét hÖ sè k th× ta ®−îc ®Þnh thøc míi b»ng k ®Þnh thøc lÇn ®Þnh thøc ®· cho. HÖ qu¶: Khi ®Þnh thøc cã mét dßng cã mét thõa sè chung th× cã thÓ ®−a thõa sè chung ®ã ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc. +) Mét ®Þnh thøc cã mét dßng hay mét cét gåm toµn sè 0 th× ®Þnh thøc ®ã b»ng 0. +) Khi tÊt c¶ c¸c phÇn tö trªn mét dßng cña mét ®Þnh thøc ®Òu cã d¹ng tæng cña hai sè h¹ng th× ®Þnh thøc cã thÓ ph©n tÝch ®−îc thµnh tæng cña hai ®Þnh thøc cïng cÊp. Tøc lµ: a11 ... ... ... a1n a11 ... ... ... a1n a11 ... ... ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... D = ai1 + ai′1 ... ... ... ain + ain th× D = ai1 ′ ... ... ... ain + ai′1 ′ ... ... ... ain ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... an1 ... ... ... ann an1 ... ... ... ann an1 ... ... ... ann 49
+) NÕu mét ®Þnh thøc cã mét dßng lµ tæng cña mét sè dßng kh¸c (cña ®Þnh thøc ®ã) th× ®Þnh thøc ®ã b»ng 0. +) NÕu ta céng vµo mét dßng cña ®Þnh thøc mét dßng kh¸c sau khi ®· nh©n víi mét sè k th× ®Þnh thøc kh«ng thay ®æi. d) C¸ch tÝnh ®Þnh thøc C«ng thøc (*) trong ®Þnh nghÜa ®Þnh thøc cßn ®−îc gäi lµ c«ng thøc khai triÓn theo mét dßng cña ®Þnh thøc. Tõ tÝnh chÊt a) ta cã c«ng thøc khai triÓn theo cét cña ®Þnh thøc. +) C¸ch 1: khai triÓn theo mét dßng (cét) ®Ó ®−a viÖc tÝnh ®Þnh thøc vÒ viÖc tÝnh c¸c ®Þnh thøc cÊp thÊp h¬n. 1 3 −1 VÝ dô: TÝnh ®Þnh thøc D = −1 0 4 2 −2 0 Khai triÓn ®Þnh thøc theo dßng 2 ta ®−îc: 3 −1 1 −1 1 3 D = (−1) 2+1.(−1). + (−1) 2+ 2 .0. + (−1) 2+3 .4. −2 0 2 0 2 −2 = −2 − 4.(−8) = 30 *) C¸ch 2: dïng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp ®Ó ®−a ®Þnh thøc vÒ d¹ng tam gi¸c tõ ®ã dÔ dµng tÝnh ®−îc ®Þnh thøc. 1 3 −1 1 3 −1 1 3 −1 VÝ dô: D = −1 0 4 = 0 3 3 = 0 3 3 = 1.3.10 = 30 2 −2 0 0 −8 2 0 0 10 3.2.3. Ma trËn phô hîp ~ a) §Þnh nghÜa: Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n, ma trËn A = ( Aij ) trong ®ã Aij = (−1) i + j M ij ®−îc gäi lµ ma trËn phô hîp cña ma trËn A. ⎛ − 1 1⎞ b) VÝ dô: +) A=⎜ ⎜ − 2 3⎟ ⎟ ⇒ A11 = (−1) 2 3 = 3 , A12 = (−1)3 − 2 = 2 , ⎝ ⎠ ~ ⎛3 2⎞ A21 = (−1)3 1 = −1 , A22 = (−1) 4 − 1 = −1 ⇒ A = ⎜ ⎜ − 1 − 1⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 50
⎛ 1 4 − 2⎞ ⎜ ⎟ +) A = ⎜ − 1 2 1 ⎟ ⎜ 0 3 −1⎟ ⎝ ⎠ 2 1 −1 1 −1 2 A11 = (−1) 2 = −5 ; A12 = (−1)3 = −1 ; A13 = (−1) 4 = −3 3 −1 0 −1 0 3 4 −2 1 −2 1 4 A21 = (−1)3 = −2 ; A22 = (−1) 4 = −1 ; A23 = (−1)5 = −3 3 −1 0 −1 0 3 4 −2 1 −2 1 4 A31 = (−1) 4 = 8; A32 = (−1)5 = 1; A33 = (−1)6 =6 2 1 −1 1 −1 2 ⎛ − 5 − 1 − 3⎞ ~ ⎜ ⎟ ⇒ A = ⎜ − 2 − 1 − 3 ⎟ ; A = −3 ⎜ 8 6 ⎟ ⎝ 1 ⎠ 3.2.4. C¸ch t×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng ph−¬ng ph¸p ®Þnh thøc a) §Þnh lÝ: Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. A kh¶ nghÞch khi vµ chØ khi det A ≠ 0 . 1 ~t Khi ®ã, A −1 = A . det A b) C¸c b−íc t×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng ph−¬ng ph¸p ®Þnh thøc - B−íc 1: T×m det A +) NÕu det A = 0 ⇒ A kh«ng kh¶ nghÞch ⇒ ∃A−1 . +) NÕu det A ≠ 0 ⇒ ∃A−1 chuyÓn sang b−íc 2. % % - B−íc 2: T×m A, At . 1 %t - B−íc 3: T×m A−1 = .A det A c) VÝ dô ⎛ −1 2 ⎞ i) A = ⎜ ⎟ ⇒ A = −1 ≠ 0 ⇒ ∃ A . −1 ⎝ −1 3 ⎠ 51
+) A11 = (−1) 2 3 = 3 , A12 = (−1)3 − 1 = 1, A21 = (−1)3 2 = −2 , % ⎛ 3 1 ⎞ ⇒ At = ⎛ 3 −2 ⎞ A22 = (−1) 4 − 1 = −1 ⇒ A = ⎜ % ⎟ −2 −1 ⎠ ⎜ 1 −1 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ 1 %t ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ − 3 2 ⎞ +) A−1 = A = −⎜ ⎟=⎜ ⎟ det A ⎝ 1 −1 ⎠ ⎝ − 1 1 ⎠ ⎛ 1 4 − 2⎞ ⎜ ⎟ ii) A = ⎜ − 1 2 1 ⎟ ; A = −3 ≠ 0 ⇒ ∃ A −1 . Theo vÝ dô ë môc 2.2.3 ⎜ 0 3 −1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −5 −1 −3 ⎞ ⎛ −5 − 2 8 ⎞ % A=⎜⎜ −2 −1 −3 ⎟ ⇒ At = ⎜ −1 −1 1 ⎟ % ⎟ ⎜ ⎟ ⎜8 1 6⎟ ⎜ −3 −3 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −5 −2 8 ⎞ ⎛ 5 / 3 2 / 3 −8/ 3 ⎞ ⇒ A = ⎜ −1 −1 1 ⎟ = ⎜ 1/ 3 1/ 3 −1/ 3 ⎟ −1 1 ⎜ −3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 1 −2 ⎟ ⎝ −3 −3 6 ⎠ ⎝ 1 ⎠ 3.2.5. H¹ng cña ma trËn a) §Þnh nghÜa: Cho A ∈ Mat (m, n) , cÊp cña ®Þnh thøc con cÊp cao nhÊt kh¸c 0 cã ®−îc tõ ma trËn A ®−îc gäi lµ h¹ng cña ma trËn A. KÝ hiÖu: hgA. b) VÝ dô ⎛1 1⎞ ⎜ 2 2⎟ ⇒ A=⎜ ⎟ A = 0, 2 = 2 ≠ 0 ⇒ hgA = 1. ⎝ ⎠ ⎛1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 A = ⎜3 − 4 0 ⎟ ⇒ A = 0 , = −7 ≠ 0 ⇒ hgA = 2. ⎜ 0 −1 − 6⎟ 3 −4 ⎝ ⎠ c) §Þnh nghÜa; Hai ma trËn A, B ∈ Mat (m, n) ®−îc gäi lµ hai ma trËn t−¬ng ®−¬ng nÕu chóng cïng h¹ng. d) §Þnh lý: NÕu ta t¸c ®éng lªn c¸c dßng (cét) cña mét ma trËn nh÷ng phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp th× ta ®−îc mét ma trËn míi t−¬ng ®−¬ng víi ma trËn ®· cho. e) C¸ch t×m h¹ng cña ma trËn Tõ ®Þnh lÝ trªn ta cã c¸ch t×m h¹ng cña ma trËn nh− sau: 52
+) Sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp ®Ó ®−a ma trËn ®· cho vÒ mét ma trËn míi (cã nöa d−íi ®−êng chÐo chÝnh b»ng 0 tÊt c¶) khi ®ã dÔ dµng tÝnh ®−îc h¹ng cña ma trËn nµy. +) H¹ng cña ma trËn ®· cho b»ng h¹ng cña ma trËn võa t×m ®−îc. VÝ dô: TÝnh h¹ng cña ma trËn ⎛ 1 -1 4 3⎞ ⎛1 -1 4 3⎞ ⎛1 3 4 -1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → ⎜ 0 1 -8 A = ⎜2 5 0 7⎟ → 0 ⎜ 7 -8 1⎟ ⎜ 7⎟⎟ ⎜ 1 7 - 4 4⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ 8 -8 1⎟ ⎠ ⎜ 0 1 -8 ⎝ 8⎟⎠ ⎛1 3 4 -1⎞ 1 3 −1 → ⎜ 0 1 -8 ⎜ 7⎟⎟ ⇒ 0 1 7 = 1 ≠ 0 ⇒ hgA = 3. ⎜0 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ 0 0 1 3.3. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 3.3.1. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t a) §Þnh nghÜa: HÖ ph−¬ng tr×nh: ⎧a11 x1 + a12 x 2 + .... + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + .... + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ (1) ⎪............................................... ⎪a m1 x1 + a m 2 x 2 + .... + a mn x n = bm ⎩ Trong ®ã aij , bi ( i = 1, m , j = 1, n ) lµ c¸c sè (thùc hoÆc phøc) cho tr−íc; x j ( j = 1, n ) lµ c¸c Èn sè ®−îc gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (tæng qu¸t) gåm m ph−¬ng tr×nh, n Èn sè; aij ®−îc gäi lµ c¸c hÖ sè cña Èn; bi ®−îc gäi lµ hÖ sè tù do. Ph−¬ng tr×nh (1) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng tæng qu¸t: n ∑a j =1 ij x j = bi ; i = 1, m (2) ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ Ma trËn A = ⎜ 21 a a 22 ... a 2 n ⎟ ⎜ ... ®−îc gäi lµ ma trËn c¸c hÖ sè cña hÖ ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ... a mn ⎟ ⎝ m1 am2 ⎠ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1). 53
⎛ a11 a12 ... a1n b1 ⎞ ⎜ ⎟ Ma trËn A = ⎜ 21 bs a a 22 ... a 2 n b2 ⎟ ⎜ ... cã ®−îc tõ ma trËn A b»ng c¸ch ... ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a bm ⎟ ⎝ m1 am2 ... a mn ⎠ thªm vµo A cét hÖ sè tù do ®−îc gäi lµ ma trËn bæ sung cña (1). ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ Ma trËn X = ⎜ 2 ⎟ ®−îc gäi lµ ma trËn c¸c Èn sè. x ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ Ma trËn b = ⎜ 2 ⎟ ®−îc gäi lµ ma trËn c¸c hÖ sè tù do. b ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠ Khi ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh (1) (hay (2)) cã thÓ viÕt ®−îc d−íi d¹ng ma trËn: AX = b (3) Mçi nghiÖm cña mét hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh n Èn sè lµ mét bé s¾p thø tù gåm n sè (c1 ,..., cn ) mµ khi thay c¸c ci vµo c¸c xi th× mçi ph−¬ng tr×nh trong hÖ (1) ®Òu trë thµnh ®¼ng thøc. b) VÝ dô ⎧2 x − 3 y = 1 +) ⎨ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 2 ph−¬ng tr×nh 2 Èn. ⎩x + y = 2 ⎧2 x − y + z + t = 1 ⎪ +) ⎨ x + y + z − 3t = 2 hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 3 ph−¬ng tr×nh 4 Èn. ⎪3x − y − z + 2t = 0 ⎩ 3.3.2. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Crame a) §Þnh nghÜa: HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh n ph−¬ng tr×nh, n Èn sè cã ®Þnh thøc cña ma trËn c¸c hÖ sè kh¸c 0 ®−îc gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Crame (hÖ Crame). ⎧2 x − 3 y = 1 2 −3 VÝ dô:+) ⎨ (*), A = = 5 ≠ 0 (*) lµ hÖ Crame. ⎩x + y = 2 1 1 54
⎧2 x − y + z = 1 2 −1 1 ⎪ +) ⎨ x + y + z = 2 (**) ⇒ A = 1 1 1 = −8 ≠ 0 ⇒ (**) lµ hÖ Crame. ⎪3x − y − z = 0 3 −1 −1 ⎩ b) §Þnh lÝ: HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Crame cã mét vµ chØ mét nghiÖm Di (c1 ,..., cn ) x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: ci = ( i = 1, n ). D Trong ®ã: D lµ ®Þnh thøc cña ma trËn c¸c hÖ sè. Di lµ ®Þnh thøc cña ma trËn cã ®−îc tõ ma trËn c¸c hÖ sè b»ng c¸ch thay cét thø i b»ng cét hÖ sè tù do. VÝ dô: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh sau: ⎧ x1 + x 2 − x3 = 1 ⎪ ⎨2 x1 + x 2 + x3 = 0 (*) ⎪− x + 2 x + 2 x = −1 ⎩ 1 2 3 ⎛ 1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ A=⎜ 2 1 1 ⎟ ⇒ A = −10 ≠ 0 ⇒ (*) lµ hÖ Crame ⇒ (*) cã nghiÖm duy nhÊt. ⎜−1 2 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 −1 1 1 −1 D = A = −10 , D1 = 0 1 1 = −2 , D2 = 2 0 1 = −2 , −1 2 2 −1 −1 2 1 1 −1 −2 1 −2 1 6 −3 D3 = 2 1 0 = 6 ⇒ x1 = = , x2 = = , x3 = = . − 10 5 − 10 5 − 10 5 −1 2 −1 1 1 3 NghiÖm cña (*) lµ ( ; ; − ) . 5 5 5 3.3.3. §Þnh lÝ vÒ sù tån t¹i nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh a) §Þnh lý (§Þnh lÝ Gauss hoÆc ®Þnh lý Kronecke – Kapelli) Mét hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cã nghiÖm khi vµ chØ khi h¹ng cña ma trËn c¸c hÖ sè b»ng h¹ng cña ma trËn bæ sung. b) VÝ dô: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh sau theo λ : 55
⎧λx1 + x 2 + x3 = 1 ⎪ ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 1 (1) ⎪ x + x + λx = 1 ⎩ 1 2 3 ⎛λ 1 1 ⎞ λ 1 1 λ 1 0 λ 1 1 ⎜ ⎟ A = ⎜1 λ 1⎟ ⇒ A = 1 λ 1 = 1− λ λ −1 0 = 1− λ λ −1 0 ⎜1 1 λ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 λ 1− λ 0 λ −1 0 1− λ λ −1 λ 1 λ 1 = (λ − 1) + (λ − 1) = (λ − 1)(λ − 1) + (λ − 1)[λ (λ − 1) + (λ − 1)] . 1− λ 0 1− λ λ −1 = (λ − 1) 2 (1 + λ + 1) = (λ − 1) 2 (λ + 2) ⎛1 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ +) NÕu λ = 1 ⇒ A = ⎜ 1 1 1 1⎟ bs ⎜1 ⇒ hgAbs = hg A = 1 ⇒ hÖ (1) cã 1 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 1⎟ ⎝ 1 1 ⎠ nghiÖm. Khi ®ã (1) ⇔ x1 + x2 + x3 = 1 ⇒ x1 = 1 − x 2 − x3 . (1) cã v« sè nghiÖm, mäi nghiÖm cã d¹ng (1 − a − b, a, b) a, b ∈ R . +) NÕu λ = −2 ⇒ A = 0 ⇒ hgA = 2. ⎛ - 2 1 1 1⎞ −2 1 1 ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 - 2 1 1⎟ cã 1 − 2 1 = 9 ≠ 0 ⇒ hgAbs = 3 ≠ hgA ⇒ hÖ ph−¬ng bs ⎜ 1 1 - 2 1⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 tr×nh (1) v« nghiÖm. +) NÕu λ ≠ −2, λ ≠ 1 ⇒ A ≠ 0 ⇒ (1) lµ hÖ Crame ⇒ (1) cã nghiÖm duy nhÊt. 1 1 1 1 1 1 λ 1 1 D1 = 1 λ 1 = (λ − 1) , D2 = 1 1 λ = (λ − 1) , D3 = 1 λ 1 = (λ − 1) 2 2 2 1 1 λ 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ x1 = x 2 = x3 = λ+2 3.3.4. Hai hÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng 56
a) §Þnh nghÜa: Hai hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cã cïng sè Èn ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu c¸c tËp nghiÖm cña chóng trïng nhau. b) §Þnh lÝ: NÕu ta thùc hiÖn trªn c¸c dßng cña ma trËn bæ sung cña mét hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh nh÷ng phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp th× ta ®−îc mét hÖ ph−¬ng tr×nh míi t−¬ng ®−¬ng víi hÖ ®· cho. 3.3.5. C¸ch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t a) Ph−¬ng ph¸p khö dÇn c¸c Èn sè (Ph−¬ng ph¸p Gauss) +) LËp ma trËn bæ sung cña hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. +) Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp ®Ó ®−a ma trËn bæ sung vÒ d¹ng cã c¸c phÇn tö n»m d−íi “®−êng chÐo chÝnh” b»ng 0 tÊt c¶. +) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh cã ma trËn bæ sung lµ ma trËn võa t×m ®−îc. +) NghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho chÝnh lµ nghiÖm cña hÖ míi võa gi¶i. b) VÝ dô: i) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh sau: ⎧x + y + z = 2 ⎪2 x − 3 y + z = 1 ⎪ ⎨ (*) ⎪ − x − 6 y − 2 z = −5 ⎪ x − 4 y = −1 ⎩ ⎛1 1 1 2 ⎞ ⎛1 1 1 2 ⎞ ⎛1 1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 −3 1 1 ⎟ ⎜ 0 − 5 − 1 − 3⎟ ⎜ 0 − 5 − 1 − 3⎟ A =⎜ bs → ⎜ → ⎜ − 1 − 6 − 2 − 5⎟ 0 − 5 − 1 − 3⎟ 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 − 4 0 − 1⎟ ⎜ 0 − 5 − 1 − 3⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⇒ hgA = hgAbs = 2. HÖ (*) cã nghiÖm. ⎧x + y + z = 2 ⎧x = 5 y −1 (*) ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ (*) cã v« sè nghiÖm, mäi nghiÖm cã ⎩− 5 y − z = −3 ⎩ z = 3 − 5y d¹ng (4a − 1, a, 3 − 5a) , a ∈ . ii) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh sau: ⎧ x1 − 3 x 2 + 2 x3 − x 4 = 2 ⎪ ⎨4 x1 + x 2 + 3 x3 − 2 x 4 = 1 ⎪ 2 x + 7 x − x = −1 ⎩ 1 2 3 57
⎛ 1 - 3 2 -1 2⎞ ⎛1 - 3 2 -1 2 ⎞ ⎛1 - 3 2 -1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 1 3 - 2 1 ⎟ → ⎜ 0 13 - 5 2 − 7 ⎟ → ⎜ 0 13 - 5 2 − 7 ⎟ bs ⎜ 2 7 -1 0 1⎟ ⎜ 0 13 - 5 2 5 ⎟ ⎜0 0 0 0 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ hgA = 2 ≠ 3 = hgAbs ⇒ hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. 3.3.6. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (®¼ng cÊp) a) §Þnh nghÜa HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh mµ c¸c hÖ sè tù do ®Òu b»ng 0 gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt. Nh− vËy, hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt lµ hÖ cã d¹ng: ⎧a11 x1 + a12 x 2 + .... + a1n x n = 0 ⎪a x + a x + .... + a x = 0 ⎪ 21 1 n ⎨ 22 2 2n n .............................................. hoÆc ∑a ij x j = 0 ( i = 1, m ). (1) ⎪ j =1 ⎪a m1 x1 + a m 2 x 2 + .... + a mn x n = 0 ⎩ b) NhËn xÐt +) HÖ (1) bao giê còng cã nghiÖm, Ýt nhÊt lµ nghiÖm (0, 0, .....,0) ®−îc gäi lµ nghiÖm tÇm th−êng. +) NÕu h¹ng cña ma trËn c¸c hÖ sè b»ng n th× hÖ ph−¬ng tr×nh (1) chØ cã duy nhÊt nghiÖm lµ nghiÖm tÇm th−êng. +) NÕu h¹ng cña ma trËn c¸c hÖ sè nhá h¬n n th× hÖ ph−¬ng tr×nh (1) cã v« sè nghiÖm do ®ã cã nghiÖm kh«ng tÇm th−êng. §Æc biÖt: mét hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt n ph−¬ng tr×nh, n Èn cã nghiÖm kh«ng tÇm th−êng khi vµ chØ khi ®Þnh thøc cña ma trËn c¸c hÖ sè b»ng 0. c) VÝ dô: i) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎧ x1 − x 2 + x3 = 0 ⎪ ⎨2 x1 + x 2 + 3 x3 = 0 (*) ⎪x + 2x + 2x = 0 ⎩ 1 2 3 ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1⎞ ⎛ 1 −1 1 ⎞ A = ⎜ 2 1 3 ⎟ → ⎜ 0 3 1⎟ → ⎜ 0 3 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 2 ⎟ ⎜ 0 3 1⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 58
⎧ x1 − x2 + x3 = 0 ⎧ x1 = 4 x2 (*) ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩ 3x 2 + x3 = 0 ⎩ x3 = −3 x2 NghiÖm tæng qu¸t (4a, a, − 3a) ; a ∈ . HÖ nghiÖm c¬ b¶n {(4,1, − 3)} . ⎧ x1 + 2 x 2 + 4 x3 − 3x 4 = 0 ⎪3 x + 5 x + 6 x − 4 x = 0 ⎪ 1 2 3 4 ii) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎨ (*) ⎪4 x1 + 5 x 2 − 2 x3 + 3x 4 = 0 ⎪3 x1 + 8 x8 + 24 x3 − 19 x 4 = 0 ⎩ ⎛1 2 4 −3 ⎞ ⎛ 1 2 4 −3 ⎞ ⎛ 1 2 4 −3 ⎞ ⎜3 ⎟ ⎜ 0 −1 −6 5 6 −4 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 0 −1 − 6 5 ⎟ A=⎜ → ⎟→⎜ ⎟ ⎜4 5 −2 3 ⎟ ⎜ 0 −3 −18 15 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3 8 24 −19 ⎠ ⎝ 0 2 12 −10 ⎠ ⎝ 0 0 0 0 ⎠ ⎧ x1 + x2 + 4 x3 − 3 x4 = 0 ⎧ x1 = 8 x3 − 7 x4 (*) ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩ -x 2 − 6 x3 + 5 x4 = 0 ⎩ x 2 = −6 x3 + 5 x4 NghiÖm tæng qu¸t: (8a − 7a, − 6a + 5b, a, b) a, b ∈ . x1 x2 x3 x4 8 -6 1 0 1 5 0 1 HÖ nghiÖm c¬ b¶n: {(8; − 6;1;0);(−7;5;0;1)} Bμi tËp ch−¬ng 3 ⎡1 3⎤ ⎡0 1⎤ ⎡2 − 3⎤ 1. Cho A = ⎢− 1 ⎢ ⎥, B = ⎢ 3 2⎥ ⎢ ⎥ , C = ⎢1 2⎥ ⎢ 2 ⎥ . TÝnh: ⎥ ⎢3 ⎣ 4⎥ ⎦ ⎢− 2 ⎣ 3⎥ ⎦ ⎢4 ⎣ − 1⎥ ⎦ a) (A - B) + C c) At , B t , C t b) 3A; -2B d) 2A -3B + 4C 2. TÝnh : 59