Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán - Trường THCS Đỗ Động (Năm học 2015-2016)

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

122
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sau đây là đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn "Toán - Trường THCS Đỗ Động" năm học 2015-2016. Mời các bậc phụ huynh, thí sinh và thầy cô giáo cùng tham khảo để để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán - Trường THCS Đỗ Động (Năm học 2015-2016)

PHÒNG GD& ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 2016 TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG MÔN : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6 điểm) a +1 a a −1 a2 − a a + a −1 1.(4đ) Cho biểu thức: M = + + với a > 0; a 1 a a− a a −a a a) Rút gọn M. 6 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N = nhận giá trị nguyên. M 1 + xy 1 − xy 2.( 2đ) Tính giá trị của biểu thức E = − với x+ y x− y 3 8 − 2 12 + 20 x = 4 + 8. 2 + 2 + 2 . 2 − 2 + 2 ; y = 3 18 − 2 27 + 45 Câu 2: (4 điểm) 1.(2đ) Giai ph ̉ ̀ ( x + 4 − 2) .( 4 − x + 2) = 2x ương trinh: a 2b 2.(2đ) Với a; b là các số thực dương thỏa mãn + = 1. 1+ a 1+ b Tìm giá trị lớn nhất của P = ab2 Câu 3 : (4 điểm) 1.(2đ) Tìm các số nguyên (x,y) thỏa mãn: 5x2 + 13y2 + 6xy = 4(3x – y) ̀ ́ ́ ớn hơn 1. Chưng minh bât đăng th 2.(2đ) Cho a, b, c la cac sô l ́ ́ ̉ ức sau: Câu 4 : (5 điểm) Cho điêm ̉ M năm trên n ̀ ửa đường tron tâm ̀ O đương kinh ̀ ́ AB = 2R (M không trung v ̀ ơí A và B). Trong nửa măt phăng ch ̣ ̉ ưa n ́ ửa đường tron co b ̀ ́ ờ la đ ̀ ường ̉ AB, ke tiêp tuyên thăng ̉ ́ ́ Ax. Đương thăng ̀ ̉ BM căt ̣ I; tia phân giac cua ́ Ax tai ́ ̉ IAMﾷ ́ ửa đường tron căt n ̣ ̀ O tai E, căt ̣ F; đương thăng ́ IB tai ̀ ̉ BE căt ̣ H, căt ́ AI tai ́ AM taị K. a) Chưng minh 4 điêm ́ ̉ F, E, K, M cung năm trên môt đ ̀ ̀ ̣ ường tron. ̀ b) Chưng minh ́ HF ⊥ BI . ́ ̣ ̣ ́ ̉ M trên nửa đương tron c) Xac đinh vi tri cua ̀ ̉ ̀ O đê chu vi ∆AMB đat gia tri ̣ ́ ̣ lơn nhât va tim gia tri đo theo ́ ́ ̀ ̀ ́ ̣ ́ R? Câu 5 (1.0 điêm). ̉ Tim cac sô t ̀ ́ ́ ự nhiên x, y biêt răng: ́ ̀
(2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) − 5 y = 11879 . Hết PHÒNG GD& ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG 9 NĂM HỌC 20152016 MÔN : TOÁN Đáp án và hướng dẫn chấm Điêm ̉ Câu1 6đ ĐKXĐ a > 0; a 1 (*) 0,25 M= a +1 + ( )( a −1 a + a +1 ) − ( a − 1) ( a − a +1 ) a a a( a −1 ) a ( a − 1) a + 2 a +1 Vậy M = với a > 0; a 1 (*) 2,25 a a + 2 a +1 a +1 1 Ta có M = = +2 a a (4đ) Do a > 0; a 1 nên ( a − 1) > 0 � a + 1 > 2 a � M > 2 2 a +2=4 0.25đ a 6 3 �0< N = < do đó N nguyên thì N = 1 M 2 0,5đ b ( ) 2 a = 2+ 3 a = 2+ 3 6 a ( ) 0,5đ 2 � =1� a −2 =3� � (TM *) a +1+ 2 a a = ( 2 − 3) 2 a = 2− 3 { Vậy N nguyên khi a � ( 2 + 3 ) ; ( 2 − 3 ) 2 2 } 0,25đ 2 (2đ) Ta có: x = 4 + 8. 2 + 2 + 2 . 2 − 2 + 2 x = 4 + 2 2 . 4 − 2 − 2 = 2 ( 2 + 2 ) ( 2 − 2 ) = 2.2 = 2 0,75 y = 3 8 − 2 12 + 20 = 4 3 2 −2 3+ 5 = 2 ( ) 0,75 3 18 − 2 27 + 45 9 3 2 −2 3+ 5 3 ( )
4 4 1+ 1− 0,5 �E= 3− 3 =9 8 4 8 3 3 Câu 2 4đ ĐK: −4 x 4 . PT đã cho tương đương với: x x+4 +2 . ( ) 4 − x + 2 = 2x 0.5đ * x = 0 là nghiệm * Giải 4 − x + 2 = 2. ( x + 4 + 2 ) 0.25đ Đặt u = x + 4 ; v = 4 − x ta thu được 1 v = 2u + 2 2 14 0.5đ u = ;v = 2 96 � u + ( 2u + 2 ) = 8 � � 5 2 5 � x + 4 = � x = − (TM) 2 (2đ) �2 2 u +v =8 5 25 u = −2(loai) 96 ̣ ̣ x1 = 0 , x2 = − Vây pt đã cho co 2 nghiêm: ́ 25 0.25đ Theo BĐT Cô – si cho hai số dương ta có: 1 b a b ab 0.5đ = 1− = + 2 1+ b 1+ b 1+ a 1+ b ( 1+ a) ( 1+ b) 2 �1 � 4ab = 1 4ab 0.5đ 2 Suy ra : � � . 1+ b � � ( 1+ a) ( 1+ b) 1+ a 1+ b (2đ) 2 1 a 2b � 1 � 2b 4ab 1 Mà 1 � � . = ab 2 − = 1+ a 1+ a 1+ b 1+ b � 1+ b 1+ b � 8 0.5đ 1 1 1 Dấu bằng xảy ra � a = b = . Vậy Pmax = tại a = b = 2 8 2 0.5đ Câu 3 4 đ 1 PT tương đương ( x + 3 y ) + ( 2 x − 3) + ( 2 y + 1) = 10 2 2 2 (2đ) Mà 10 chỉ có thể biểu diễn dưới dạng tổng 3 bình phương : 0,5 10 = 02 + 12 + 32 và 2x – 3; 2y + 1 là số lẻ nên: 0,25 x + 3y = 0 x + 3y = 0 0,25 ( 2 x − 3) = 1 (*) hoặc ( 2 x − 3) = 9 (**) 2 2 ( 2 y + 1) = 9 ( 2 y + 1) = 1 0,25 2 2 Xét hệ (*) từ Phương trình đầu � x = −3 y � ( 2 ( −3 y ) − 3) = 1 2
PT vô nghiệm 0,25 2x − 3 = 3 x= y=0 Xét hệ (**) 2 y + 1 = 1 x=3 0,25 x + 3y = 0 y = −1 Đáp số: x = y = 0; x = 3, y = 1 0,25 ̣ Đăt P = 0,25 P = P = 0,5 P = 0,5 Do ́ ̣ ́ ̉ ap dung bât đăng thức Côsi cho 2 số dương ta có : 2 (2đ) P 0,5 ̣ Vây P (đpcm) ́ ̉ Dâu đăng thưc xay ra khi a = b = c = 2. ́ ̉ 0,25 Câu 4 5đ Hinh ve ̀ ̃ x I F M H E K A O B Ta co M, E năm trên n ́ ̀ ửa đường tron đ ̀ ường kinh AB nên ́ ﾷ FMK = 900 a va ﾷ ̀ FEK = 900 . 0.5 ̣ ̉ F, E, K, M cung năm trên đ Vây 4 điêm ̀ ̀ ường tron đ ̀ ường kinh FK ́ 0.25 b Ta co ́ ∆HAK cân tai ̣ A nên AH = AK (1) 0.25
K la tr ̉ ∆AFB nên ta co ́ FK ⊥ AB suy ra FK // AH (2) ̀ ực tâm cua 0.25 ﾷ Do đo ́ FAH = ﾷAFK ma ̀ FAH ﾷﾷ = FAK (gt) cho nên ﾷAFK = FAK ﾷ 0.25 ́ ợp vơi (1) ta đ Suy ra AK = KF, kêt h ́ ược AH = KF (3) 0.25 Từ (2) va (3) ta co ̀ ́AKFH la hinh binh hanh nên ̀ ̀ ̀ ̀ HF // AK. Mà 0.25 AK ⊥ IB suy ra HF ⊥ IB . ̉ ∆AMB = C∆AMB = MA + MB + AB lơn nhât khi chi khi Chu vi cua ́ ́ ̉ MA + 0.25 MB lơn nhât (vi AB không đôi). ́ ́ ̀ ̉ ́ ( a + b) 2 ( a 2 + b 2 ) dâu "=" xay ra 2 ́ ̣ ́ ̉ Ap dung bât đăng thưc ́ ̉ � a = b , ta co ́( MA + MB ) 2 2( MA2 + MB 2 ) = 2 AB 2 0.25 c ̣ ́ ̣ ơn nhât băng Nên MA + MB đat gia tri l ́ ̀ ̉ ́ ̀ AB 2 khi va chi khi MA = MB hay M năm chinh gi ̀ ́ ưa cung ̃ AB. 0.25 ̣ Vây khi M năm chinh gi ̀ ́ ưa cung ̃ AB thi ̀C∆AMB đat gia tri l ̣ ́ ̣ ơn nhât. Khi ́ ́ 0.25 đóC∆AMB = MA + MB + AB = AB 2 + AB = (1 + 2) AB = 2 R(1 + 2) Câu 5 1đ ̣ A = ( 2 + 1) ( 2 + 2 ) ( 2 + 3) ( 2 + 4 ) , ta co ́ 2 x. A la tich cua 5 sô t 0.25 x x x x Đăt ̀ ́ ̉ ́ ự nhiên liên tiêp nên ́ 2 x. A chia hêt cho 5. Nh ́ ưng 2 x không chia hêt cho 5, ́ do đo A chia hêt cho 5. ́ ́ ́ y 1, ta co ́ ( 2 + 1) ( 2 + 2 ) ( 2 + 3) ( 2 + 4 ) − 5 chia hêt cho 5 ma x x x x y Nêu ́ ̀ 11879 không chia hêt cho 5 nên ́ y 1 không thoa man, suy ra ̉ ̃ y = 0. 0.25 Khi đo ́, ta có ( 2 + 1) ( 2 + 2 ) ( 2 + 3) ( 2 + 4 ) − 5 = 11879 x x x x y 0.25 � ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) − 1 = 11879 � ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) = 11880 � ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) = 9.10.11.12 � x = 3 . ̣ x = 3; y = 0 la hai gia tri cân tim. Vây ̀ ́ ̣ ̀ ̀ 0.25 ́ ̉ ̉ ́ ́ ́ ́ ̃ ̉ Chu y: HS co thê giai theo cach khac, nêu đung vân cho điêm tôi đa. ́́ ́
Giáo viên ra đề Tổ ký duyệt Ban giám hiệu duyệt Nguyễn Đình Tuấn