intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Điều khiển số (Digital Control Systems) - ĐH Bách Khoa Hà Nội

Chia sẻ: Minh Le Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST
Báo xấu
93
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để tính tổng trên ta phải áp dụng nguyên lý tịnh tiến và sử dụng ảnh z của hàmbước nhẩy 1(t) và viết lại công thức trên:Tìm hàm gốc của ảnh z cho trước bằng phương pháp tách phân thức hữu tỷ thành các phân thức tối giản. Sau đó lần lượt tìm hàm gốc của các phân thức tối giản.Ví dụ xét khâu tỷ lệ có quán tính bậc 2 (khâu PT2), được điều khiển bởi tín hiệu vào có dạng bậc thang. Đây là khâu liên tục mang tính điển hình. Để dễ so sánh, ta chọn đối tượng là động cơ một chiều (ĐCMC),...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Điều khiển số (Digital Control Systems) - ĐH Bách Khoa Hà Nội

  1. Điều khiển số (Digital Control Systems) Các ví dụ: Đánh số thứ tự theo chương của giáo trình cùng tên (Version 5, 8/2011) 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 1
  2. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z Ví dụ 1.2.1 Một tín hiệu gián đoạn về 1 z thời gian được mô tả bởi: U ( z ) = = 1 − z −1 z −1 Hãy đi tìm ảnh U(z) và miền hội tụ của tín hiệu ! Lời giải: Dễ dàng tìm ảnh z của tín hiệu kể trên bằng cách tính tổng Laurent: k ∞ ∞ ⎛a⎞ U ( z ) = ∑ ( a k z −k ) = ∑ ⎜ ⎟⎜ ⎟ k =0 ⎜ ⎟ k =0 ⎝ z ⎠ Chuỗi trên chỉ hội tụ khi a z < 1, tức là ở vùng phía ngoài đường tròn có bán kính a. Ví dụ 1.2.2 Hãy đi tìm ảnh z của hàm bước nhẩy đơn vị 1(t) ! ⎧1 khi t ≥ 0 ⎪ ⎪ ⎧1 khi k = 0, 1, 2, … ⎪ ⎪ ∞ ∞ ⇒ U ( z ) = ∑ 1⋅ z = ∑ ( z −1 ) k u (t ) = 1(1) = ⎨ ⇒ uk = ⎨ −k ⎪0 khi t < 0 ⎪ ⎩ ⎪0 khi k < 0 ⎪ ⎩ k =0 k =0 ∞ r Khi thay vào chuỗi: ∑ (r q ) = s các giá trị q = z-1 và r = 1 ta thu được: s =0 1− q 1 z U ( z) = = 1 − z −1 z −1 Kết quả trên đúng với mọi giá trị trên toàn miền z, trừ điểm z = 1. 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 2
  3. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z Ví dụ 1.2.3 Hãy tìm ảnh z của hàm e mũ (hàm exponent) ! ∞ ∞ = ∑ (eaT z −1 ) k f (t ) = e ; t ≥ 0 ⇒ at f ( kT ) = f k = e akT ; k = 0, 1, 2, … ⇒ F ( z ) = ∑ e akT z −k k =0 k =0 1 e−aT z Kết quả tính tổng của chuỗi là: F ( z) = = 1− e aT z −1 e−aT z −1 Ví dụ 1.2.4 Hãy tìm ảnh z của hàm dốc tuyến tính ! f (t ) = at ; t ≥ 0; a = const ∞ Dễ dàng viết được ảnh F(z) dưới dạng chuỗi như sau: F ( z ) = a ∑ kTz −k k =0 Để tính tổng trên ta phải áp ⎡Tz −1 + Tz −2 + Tz −3 + ⎤ dụng nguyên lý tịnh tiến và ⎢ ⎥ ⎢ Tz + Tz + ⎥⎥ −2 −3 sử dụng ảnh z của hàm bước ⎢ F ( z) = a ⎢ nhẩy 1(t) và viết lại công ⎢ Tz −3 + ⎥⎥ ⎢ ⎥ thức trên: ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ z −1 z −2 ⎤ z ⎡ −1 −2 ⎤ = aT ⎢ z + z + ⎥ = aT ⎢⎣ z + z + ⎥⎦ ⎢⎣ z −1 z −1 ⎥⎦ z −1 z z −1 aTz = aT z = 2 z −1 z −1 ( z −1) 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 3
  4. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z Ví dụ 1.2.5 Bổ xung lý thuyết: Tìm hàm gốc của ảnh z cho trước bằng phương pháp tách phân thức hữu tỷ thành các phân thức tối giản. Sau đó lần lượt tìm hàm gốc của các phân thức tối giản. z ⎛ k ⎞ k −m+1 ⎟a •Điểm cực đơn: •Điểm cực lặp lại m lần: ⇔ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜m −1⎠ ; m = 1, 2, ( z − a) m ⎝ ⎟ z ⇔ ak z−a ⎛ k −1⎞ k −m ⎟ ( z − a) −m ⎜ ⇔ ⎜ ⎟ ⎜m −1⎠⎟a ⎟ ⎝ Ví dụ: Cho trước ảnh z có dạng phân thức: 0,9 z z z F ( z) = 2 = − z − 0,1z − 0, 2 z − 0,5 z + 0, 4 Áp dụng công thức để tìm hàm gốc: k f k = 0,5k − (−0, 4) 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 4
  5. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z Ví dụ 1.2.6 Bổ xung lý thuyết: Tìm hàm gốc của ảnh z cho trước bằng phương pháp tính Residuum. Khi z = zν là điểm cực 1 d m−1 ⎡ ⎡ F ( z ) z k −1 ⎤ = lim m−1 ⎢ F ( z )( z − zν ) z k −1 ⎤⎥ m - lặp lại m lần: Res ⎢ ⎥⎦ z ν ⎣ (m −1)! z → z dz ⎣ ν ⎦ - đơn: Res ⎡⎢ F ( z ) z k −1 ⎤⎥ = lim ⎡⎢ F ( z )( z − zν ) z k −1 ⎤⎥ zν ⎣ ⎦ z→ z ⎣ ν ⎦ n Hàm gốc có dạng: f k = ∑ Res ⎡⎢⎣ F ( z ) z k −1 ⎤⎥⎦ ν =1 0,9 z Xét hàm ảnh cho ở ví dụ 1.2.5: F ( z ) = ( z − 0,5)( z + 0, 4) ⎧ ⎪ ⎡ 0,9 z ( z − 0,5) z k −1 ⎤ ⎪ ⎪ z1 = 0,5 ⇒ Res ⎢⎡ F ( z ) z k −1 ⎤ = lim ⎢ ⎥ k ⎪ ⎣ ⎥⎦ z →0,5 ⎢ z − 0,5 z + 0, 4 ⎥ = 0,5 ⎪ ⎪ ⎪ z 1 ⎢⎣ ( )( ) ⎥⎦ Có hai điểm cực z1, z2, vậy khi: ⎨ ⎪ ⎡ k −1 ⎤ ⎪ z = −0, 4 ⇒ Res ⎡ F ( z ) z k −1 ⎤ = lim ⎢ 0,9 z ( z + 0, 4) z ⎥ = −(−0, 4)k ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ z →−0,4 ⎢ z − 0,5 z + 0, 4 ⎥ ⎪ ⎣⎢ ( )( ) ⎦⎥ z ⎪ 2 ⎩ k Hàm gốc có dạng sau: f k = 0,5 − (−0, 4) k 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 5
  6. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.1 Mô tả khâu có bản chất gián đoạn bằng phương trình sai phân Hãy tìm giá trị trung bình [xk], tính từ 4 giá trị mới nhất của dãy [uk] ! Chú ý: Còn gọi là phép tính trung bình trượt. 1 xk = (uk + uk −1 + uk −2 + uk −3 ) 4 Có thể giảm nhu cầu tính toán bằng cách sử dụng giá trị vừa tính trước đó: 1 1 xk −1 = (uk −1 + uk −2 + uk −3 + uk −4 ) Vậy: xk = xk −1 + (uk − uk −4 ) 4 4 Phép tính trên được gọi là thuật toán tính giá trị trung bình trượt, đặc trưng cho một khâu có bản chất gián đoạn. Ví dụ 1.3.2 Mô tả khâu có bản chất gián đoạn bằng hàm truyền đạt Tiếp ví dụ 1.3.1: −4 1 1⎡ ⎤ = 1 1− z U ( z ) xk = xk −1 + (uk − uk −4 ) ⇒ X ( z ) = z X ( z ) + ⎢U ( z ) − z U ( z )⎥ −1 −4 4 4⎣ ⎦ 4 1 − z −1 Thuật toán tính giá trung bình trượt có thể được mô tả bởi hàm truyền đạt sau: X ( z ) 1 1 − z −4 G ( z) = = U ( z ) 4 1 − z −1 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 6
  7. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.3 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm truyền đạt 1 Hãy tìm hàm truyền đạt của khâu tỷ lệ có quán tính bậc nhất (khâu PT1): G ( s ) = 1 + sT1 Cách 1: •Từ ảnh G(s) ta tìm ảnh H(s) để sau đó tìm hàm gốc h(t) 1 1 ⎛ t ⎞ G (s) = ⇒ H (s) = ⇒ h (t ) = ⎜1− e T1 ⎟1(t ) ⎜ ⎟ ⎟ 1 + sT1 s (1 + sT1 ) ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ −kT z z •Sau khi gián đoạn hóa hàm gốc h(t), hk = 1 − e kT T1 ⇒ H ( z) = − z −1 z − e−T T1 ta tìm ảnh z của tín hiệu gián đoạn hk: z −1 1− e−T T1 •Vậy hàm truyền đạt có dạng: G ( z ) = (1− z ) H ( z ) = 1− −1 = z − e−T T1 z − e−T T1 1 Cách 2: •Có thể tách ảnh H(s) thành 2 H (s) = T1 = − 1 1 phân thức tối giản: ( s s+ 1 T1 )s s+ 1 T1 •Dễ dàng tìm ảnh z của H(s) bằng z z Ζ {H ( s )} = H ( z ) = − cách tìm ảnh của từng phân thức z −1 z − e−T T 1 tối giản: 1− e−T T ⇒ G ( z ) = (1− z ) H ( z ) = 1 −1 z − e−T T 1 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 7
  8. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm truyền đạt Hãy tìm hàm truyền đạt trên miền ảnh z cho đối tượng sau: x (s) K GS ( s ) = = T1 ≠ T2 …≠ Tm u ( s ) (1 + sT1 )(1 + sT2 )…(1 + sTm ) •Tách HS(s) thành các phân thức tối giản: 1 1 1 K GS ( s ) T1 T2 Tm A A1 A2 Am H S (s) = = = 0+ + + + s ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ s 1 1 1 s⎜⎜ s + 1 ⎟⎜ s + 1 ⎟…⎜ s + 1 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ s+ s+ s+ ⎜ ⎜ T1 ⎠⎝⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ T2 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ Tm ⎠⎟ ⎟ T1 T2 Tm ⎝ m ⎛1⎞ m ⎛ 1 ⎞ A0 = K ; Ai = −K ∏ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− + 1 ⎟ ⎜T ⎟ j =1; j ≠i ⎝ ⎟ ⎟ ∏ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ j ⎠ j =1; j ≠i ⎝ Ti T j ⎠ ⎟ i = 1, 2, … , m •Chuyển HS(s) sang miền ảnh z: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎛ ⎞ m ⎜⎜ Ai ⎟ ⎟ m ⎜ ⎟ A0 A0 ⎜ Ai ⎟ H S (s) = + ∑⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⇒ Ζ {H ( s )} = ⎟ + ∑⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ s i =1 ⎜ s + 1⎟ ⎟ ⎟ S 1− z −1 i=1 ⎜ ⎜ − T ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜1 − z e ⎝ −1 Ti ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ Ti ⎠ 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 8
  9. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm truyền đạt •Quy đồng mẫu số: ⎛ T ⎞ m ⎛ T ⎞ ⎟ m ⎜ − ⎟ ⎟ + (1− z −1 )A m ⎜ ⎜ − ⎟ A0 ∏⎜1− z −1e T ⎟ ∑ i ∏ ⎜1 − z e −1 T ⎜ i ⎟ j ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ i =1 ⎝ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠ i=1 j =1; j ≠i ⎝ ⎠ GS ( z ) = (1− z −1 ) Ζ {H S ( s )} = m ⎛ − ⎞ T ∏⎜ ⎜1− z −1e T ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ i Nhận xét: Khi tăng dần T ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ i =1 ⎝ ⎠ •Giá trị các tham số ai nhỏ dần. •Ví dụ bằng số cụ thể: m = 3; K = 1; T1 = 10s; T2 = 7,5s; T3 = 5s •Giá trị các tham số bi tăng Bảng: Hệ số của GS(z) với các chu kỳ trích mẫu T khác nhau dần. •Tổng ∑bi=1+∑ai tăng dần. T [s] 2 4 6 8 10 12 •Khi T lớn, ta có: b1 0,00269 0,0186 0,05108 0,09896 0,15867 0,22608 b2 0,00926 0,0486 0,1086 0,17182 0,22570 0,26433 a3 1 + ∑ ai ; b3 ∑ bi b3 0,00186 0,0078 0,01391 0,01746 0,01813 0,01672 và vì vậy có thể bỏ qua a3, a1 -2,25498 -1,7063 -1,2993 -0,99538 -0,76681 -0,59381 a2 1,68932 0,958 0,54723 0,31484 0,18243 0,10645 b3. Mô hình ban đầu thực a3 -0,42035 -0,1767 -0,07427 -0,03122 -0,01312 -0,00552 tế chỉ còn là mô hình bậc 2. ∑bi=1+∑ai 0,01399 0,0750 0,17362 0,28824 0,40250 0,50712 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 9
  10. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.5 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm truyền đạt Ví dụ xét khâu tỷ lệ có quán tính bậc 2 (khâu PT2), được điều khiển bởi tín hiệu vào có dạng bậc thang. Đây là khâu liên tục mang tính điển hình. Để dễ so sánh, ta chọn đối tượng là động cơ một chiều (ĐCMC), được điều khiển bởi điện áp nuôi ở phần ứng. Gọi uA(t) là điện áp nuôi và n(t) là tốc độ quay, ĐCMC có mô hình trên miền ảnh Laplace sau: N (s) K J Mômen quán tính của các G (s) = = khối gắn vào trục ĐCMC U A ( s ) 1 + sTmech + s 2TmechTel ψ0 Từ thông (coi là const) J RA 6 L 1 1 1 −1 RA Điện trở mạch phần ứng Với: Tmech = 2 = sec; Tel = A = sec; K = = (V sec) LA Điện cảm mạch phần ứng ck ψ0 5 RA 6 cψ0 8 c, k Các hằng số của ĐCMC •Sau khi thay số cụ thể, ta biết rằng khâu PT2 1 K 8 trên có thể được thay thế bởi 2 khâu PT1, với G (s) = = T1 = 1sec và T2 = 0,2sec: (1 + sT1 )(1 + sT2 ) 1 + 6 s + 1 s 2 5 5 •Ta đã biết công thức: GS ( z ) = Ζ {GH ( s ) G ( s )} ⇔ GS ( z ) = (1− z −1 ) Ζ {H ( s )} 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 10
  11. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.5 (tiếp) ⎧ ⎪ 1 ⎫ ⎪ •Thay H(s) vào ta có: ⎪ GS ( z ) = K (1− z ) Ζ ⎨ −1 ⎪; K = 1 ⎬ ⎪ s (1 + sT1 )(1 + sT2 )⎪ ⎪ ⎪ 8 ⎩ ⎭ •Sau khi tách phân thức trong ngoặc {…} thành các phân thức tối giản và áp dụng công thức (trang 17, mục 1.3.2b của giáo trình) ta có: ⎛ 5 −T 1 −5T ⎞ −1 ⎛ 1 −T 5 −5T ⎞ ⎜1− e + e ⎟ z + ⎜ e − e + e−6T ⎟ z−2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎝ 4 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝4 4 ⎟ ⎠ 1 GS ( z ) = K ; K= 1− (e−T + e−5T ) z −1 + e−6T z−2 8 •Nếu chọn chu kỳ trích mẫu là T = 0,2 sec ta có hàm truyền đạt của ĐCMC trên miền ảnh z sau đây: 0, 00857 z −1 + 0, 00575 z −2 GS ( z ) = 1−1,18661z −1 + 0,30119 z −2 Dễ dàng kiểm tra kết quả trên bằng cách chọn tín hiệu vào U(z) = z/(z-1) để tìm đáp ứng ra X(z) = GS(z) U(z). Sau đó, chuyển X(z) sang chuỗi số tại các thời điểm t = 0,2k (với k = 0, 1, 2, …). Bằng cách đó có thể so sánh với tín hiệu x(t) trên miền gốc. 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 11
  12. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.6 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng mô hình trạng thái gián đoạn Ví dụ này sử dụng ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 để minh họa phương thức mô tả bằng mô hình trạng thái gián đoạn. Vì ĐCMC là đối tượng SISO, mô hình có cấu trúc như hình bên. •ĐCMC có thể được mô tả bởi phương trình vi phân bậc 2 (xuất phát điểm của khâu PT2 ở ví dụ 1.3.5) sau đây: •• • a2 n + a1 n+ a0 n = u A LA J 8 R J 48 Với: a2 = = V sec3 ; a1 = A = V sec2 ; a0 = cψ0 = 8V sec k ψ0 5 k ψ0 5 •Các biến điều khiển và biến •Mô hình trạng thái ⎧• ⎪ ⎪q1 = q2 ⎪ trạng thái được chọn như sau: có dạng bên: ⎪ ⎪• ⎪ ⎪q = − a0 q − a1 q + 1 u ⎧q1 = n = x ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a2 1 a2 2 a2 u = uA ; ⎪ ⎨ • ⎪ ⎪x = q ⎪q = n ⎪ 2 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 12
  13. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.6 (tiếp) •Có thể viết lại mô hình trạng thái dưới dạng ma trận: ⎧• ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎪ ⎪q (t ) = A q (t ) + b u (t ) ⎢ ⎥ ⎡0 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎨ với: A = ⎢ a0 a1 ⎥⎥ = ⎢ ⎥ ; b = ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 5 ⎥ ; cT = [1 0 ]; d = 0 ⎢− − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ x t = cT q t ⎪ () ⎪ () ⎢⎢ a ⎥⎥ ⎣−5 −6⎦ a2 ⎦ ⎢⎢ a2 ⎥⎥ ⎣⎢ 8 ⎦⎥ ⎩ ⎣ 2 ⎣ ⎦ •Để tìm được phương trình chuyển trạng thái: t q (t ) = Φ (t − tk ) q (tk ) + ∫ Φ (t − ν ) b d ν u (tk ); k = 0, 1, 2, tk ta cần phải tìm được Φ(t) và h(t): h(t −tk ) •Có thể tìm ma trận chuyển trạng thái bằng biến đổi Laplace ngược: { Φ (t ) = e A t = L−1 ( sI − A ) −1 } ⎡ s −1 ⎤ −1 1 ⎡ s + 6 1⎤ •Từ: ( sI − A ) = ⎢ ⎥ ⇒ ⎢ 5 s + 6⎥ ( sI − A ) = ⎢ ⎢ −5 s ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ 5 + 6s + s 2 ⎣ ⎦ 1 ⎡⎢ 5e − e e−t − e−5t ⎤⎥ −t −5 t ta thu được: Φ (t ) = ⎢ −t 4 ⎢−5e + 5e −5 t −e−t + 5e−5t ⎥⎥ ⎣ ⎦ 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 13
  14. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z ν =t Ví dụ 1.3.6 (tiếp) •Có thể tính tích phân h (t ) = ∫ Φ (t − ν ) b d ν ν =0 theo từng bước như sau: ⎡ − ϑ 1 −5 ϑ ⎤ t ⎡4 1 ⎤ 0 15 ⎢−e + e ⎥ 5 ⎢ − e−t + e−5t ⎥ thay ϑ = t − ν ⇒ h (t ) = −∫ Φ (ϑ) b d ϑ = ⎢ 5 ⎥ = ⎢5 5 ⎥ t 4 8 ⎢ −ϑ ⎥ 32 ⎢ ⎥ ⎢⎣ e − e−5ϑ ⎥⎦ 0 ⎢⎣ e−t − e−5t ⎥⎦ •Với T = tk+1 - tk ta có: ⎡ q1 ( k + 1)⎤ 1 ⎡ 5e−T − e−5T ⎡4 1 ⎤ ⎢ e−T − e−5T ⎤⎥ ⎡ q1 ( k )⎤ 5 ⎢ − e−T + e−5T ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢5 ⎥ u (k ) ⎢ q (k + 1)⎥ = 4 ⎢−5e−T + 5e−5T −5T ⎥ ⎢ −e + 5e ⎥ ⎢ q2 ( k )⎥⎥ 32 ⎢ −T 5 ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎣⎢ ⎦⎣ ⎦ ⎢⎣ e−T − e−5T ⎦⎥ Ví dụ 1.3.7 Tìm hàm truyền đạt từ mô hình trạng thái gián đoạn cho trước •Với mô hình: Theo giáo trình (mục 1.3.2d) ta có: ⎧q k +1 = Φ (T ) q k + h (T ) uk ⎪ adj ( zI − Φ) ⎪ ⎨ G ( z ) = cT h ⎪ x = cT q ⎪ k det ( zI − Φ) ⎩ k Giả sử, ĐCMC có mô hình trạng thái gián đoạn cho trước như kết quả của ví dụ 1.3.5. Hãy tìm hàm truyền đạt gián đoạn của động cơ ! 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 14
  15. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.7 (tiếp) Bổ sung công thức: Ký hiệu adj(A) được gọi là ma trận bù của ma trận A. Ma trận bù adj(A) có kích cỡ giống A, với các phần tử được tính theo công thức det(Aik) nhân với (-1)i+k. Trong đó, Aik là ma trận thu được từ A sau khi bỏ hàng thứ i và cột thứ k của A. ⎡ a11 a12 a1n ⎤ ⎡ A11 A21 An1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a21 a22 a2 n ⎥ ⎢A A22 An 2 ⎥ A = ⎢⎢ ⎥ ⇒ adj ( A ) = ⎢ 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢a ⎥ ⎢A Ann ⎥⎥⎦ ⎢⎣ n1 an 2 ann ⎥⎦ ⎢⎣ 1n A2 n ⎡ a11 a12 a1n ⎤ ⎢ ⎥ i +k ⎢ a21 a22 a2 n ⎥ A bỏ hàng thứ i Aik = (−1) det ( Aik ) với: Aik = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢a an 2 ann ⎥⎥⎦ ⎢⎣ n1 A bỏ cột thứ k 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 15
  16. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.7 (tiếp) ⎡ 5 1 1 1 ⎤ ⎢ z − e−T + e−5T − e−T + e−5T ⎥ ⎢ 4 4 4 4 ⎥ •Với: zI − Φ = ⎢ ⎥ ⎢ 5 −T 5 −5T 1 −T 5 −5T ⎥ ⎢ e − e z+ e − e ⎥ ⎢⎣ 4 4 4 4 ⎥⎦ ta tính được: ( ) ( )( ⎧ det ( zI − Φ) = z 2 − e−T + e−5T + e−6T = z − e−T z − e−5T ⎪ ⎪ ⎪ ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ 1 5 1 −T 1 −5T ⎤ ⎪ ⎢ z + e−T − e−5T e − e ⎥ ⇒⎨ ⎢ 4 4 4 4 ⎥ ⎪adj ( zI − Φ) = ⎢ ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ 5 −T 5 −5T 5 −T 1 −5T ⎥ ⎪ ⎪ ⎢− e + e z− e + e ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ ⎢⎣ 4 4 4 4 ⎥⎦ •Với: ⎡4 1 ⎤ 5 ⎢ − e−T + e−5T ⎥ cT = [1 0 ]; h (T ) = ⎢5 5 ⎥ 32 ⎢ ⎥ Dễ dàng kiểm tra sau khi thay vào: ⎢⎣ e−T − e−5T ⎥⎦ ta tính đa thức tử số của hàm truyền đạt: cT ⎡⎣ adj ( zI − Φ)⎤⎦ h cT ⎡⎣ adj ( zI − Φ)⎤⎦ h = det ( zI − Φ) 1 ⎡⎛ 5 −T 1 −5T ⎞ 1 5 ⎤ Ta sẽ thu được hàm truyền đạt GS(z) ⎢⎜1− e + e ⎟ z + e−T − e−5T + e−6T ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ 8 ⎢⎣⎝ 4 4 ⎟ ⎠ 4 4 ⎥⎦ đúng như ví dụ 1.3.5. 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 16
  17. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.8 Mô tả hệ trong khoảng giữa 2 thời điểm trích mẫu bằng phép biến đổi z mở rộng •ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 được nuôi bởi điện áp dạng bậc thang với ảnh Laplace: 58 GS ( s ) = GH ( s ) G ( s ) = (1− e−sT ) s ( s + 1)( s + 5) •Tra bảng biến đổi z mở rộng ta có công thức: 1 1 ⎡⎢ z b z e−aT ε a z e−bT ε ⎤ ⎥ ⇔ + − s ( s + a )( s + b) ab ⎢⎣ z −1 a − b z − e−aT a − b z − e−bT ⎥ ⎦ •Áp dụng vào trường hợp ĐCMC ta thu được kết quả: ⎢ ( ) ( )⎥ ⎡ z 2 1−1, 25e−0,2ε + 0, 25e−ε − z 1,18661−1, 70985e−0,2ε + 0, 45468e−ε ⎤ ⎢ ⎥ ⎢+ (0,30119 − 0, 45985e−0,2ε + 0, 20468e−ε ) ⎥ 1 ⎢⎣ ⎥⎦ GS ( z , ε) = 8 ( z − 0,81873)( z − 0,36788) 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 17
  18. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.8 (tiếp) •Để kiểm tra ta thay giá trị biên ε = 0 vào và thu được hàm truyền đạt ở ví dụ 1.3.5 0, 00857 z + 0, 00575 GS ( z ) = ( z − 0,81873)( z − 0,36788) •Với ảnh z mở rộng của hàm truyền đạt tổng quát: X ( z , ε) = GS ( z , ε)U ( z ) ta có một công cụ để khảo sát các giá trị nằm trong khoảng giữa hai thời điểm trích mẫu •Ví dụ: Khi tín hiệu vào có dạng bước nhẩy U ( z ) = z ( z −1) và ε = 0,5 (chính giữa k và k+1) ⎡ 2 ⎤ z ⎢⎣0, 002573 z − 0, 010595 z + 0, 001156⎥⎦ ta có: X ( z, 1 ) = 2 z −1 ( z − 0,81873)( z − 0,36788) •Khi áp dụng phép biến đổi z ngược ta thu được tín hiệu số, cho phép tính giá trị của chuỗi [xk+½], trùng với các giá trị của x(t) ở chính giữa hai thời điểm trích mẫu. 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 18
  19. 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.9 Mô tả hệ gián đoạn có trễ khi tín hiệu vào có dạng bậc thang •Hãy tìm hàm truyền đạt Gd(z) của hệ có trễ ở hình dưới đây khi KS = 1, TS = 1sec: ⎧ ⎪ 1 ⎫ ⎪ •Công thức tổng quát tính Gd(z): Gd ( z ) = Ζ ⎪(1− e−sT ) e−sTd ⎨ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ s (1 + s )⎪ ⎪ ⎭ a) Khi d = Td/T là số nguyên lần: ⎧ ⎪ 1 ⎪ Gd ( z ) = (1 − z−1 ) z−2Ζ ⎪ ⎫ (1− e−1 ) z−3 = 0,6321z−1 z−2 ⎨ ⎬ ( ) ⎪ = 1 − z−1 z−2 H ( z ) = ⎪ s (1 + s )⎪ ⎪ ⎪ 1 − e−1z−1 1 − 0,3679 z−1 ⎩ ⎭ b) Khi d = Td/T không phải là số nguyên lần: Phải sử dụng phép biến đổi z mở rộng. Giả sử ta có T = 1sec và Td = 1,6 sec → Vậy: Td = (dT - εT) với d = 2 và ε = 0,4 Gd ( z ) = (1− z −1 ) z−2 H ( z;0, 4) = (1− e−0,4 ) z−2 + (e−0,4 − e−1 ) z−3 = 0,3297 + 0,3024 z−1 z−2 1− e−1 z−1 1− 0,3679 z−1 Chú ý: Việc tìm ảnh z (có hay không có mở rộng) được tiến hành với sự trợ giúp của bảng 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 19
  20. 2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.1 Xét ổn định của hệ thống ĐK số Ví dụ 2.1.1 Sử dụng phép biến đổi tương đương z −1 1+ w w= →z= Ví dụ a): z +1 1− w •Cho trước đa thức đặc tính bên: N ( z ) = z 2 + a1 z + a2 1+ w ⎛1 + w ⎞2 ⎟ ⎛1 + w ⎞ ⎟+ a •Thay z = vào N(z) thu được N1(w): N1 ( w) = ⎜ ⎜ ⎜1− w ⎟⎟ + a1 ⎜ ⎜ ⎜1− w ⎠⎟ ⎟ 2 1− w ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 •Nhân N1(w) với (1-w)2 thu được N2(w): N 2 ( w) = (1 + w) + a1 (1 + w)(1 − w) + a2 (1 − w) = (1 − a1 + a2 ) w2 + 2(1 − a2 ) w + (1 + a1 + a2 ) Tiêu chuẩn HURWITZ -Điều kiện 1: 1 − a1 + a 2 > 0; a2 < 1;1 + a1 + a2 > 0 -Điều kiện 2: Các định thức HURWITZ phải dương Ví dụ b): Dùng phép biến đổi ở trên B ( z −1 ) b1 z−1 + b2 z−2 để xét ổn định cho vòng ĐC với: GS ( z ) = = ; GR ( z ) = K −1 1 + a1 z −2 + a2 z −1 ( ) A z •Phương trình đặc tính: ( ) ( ) N ( z ) = A z−1 + K B z−1 = 0 ⇒ z 2 + (a1 + b1K ) z + (a2 + b2 K ) = 0 ⎧ K < (1 − a2 ) b2 ⎪ •Sau khi tìm được N2(w) và ⎪ ⎪ Giả sử: b1=0,1087; b2=0,0729; ⎪ K > a − a −1 b − b áp dụng cả 2 điều kiện: ⎨ ( 1 2 ) ( 2 1) a1= -1,1197; a2=0,3012 ⎪ ⎪ ⎪ K > −(1 + a1 + a2 ) (b2 + b1 ) ⎪ Vậy: K
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2418 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2