Giáo trình Toán cao cấp 1: Phần 2 - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

Chia sẻ: Dương Hàn Thiên Băng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 của giáo trình "Toán cao cấp 1" tiếp tục trình bày kiến thức cơ bản về phép tính giải tích hàm nhiều biến như giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân và cực trị tự do của hàm nhiều biến; phép tính tích phân bội, bao gồm định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính và ứng dụng của tích phân hai lớp và tích phân ba lớp;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp 1: Phần 2 - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 2.1. Các khái niệm cơ bản 2.1.1. Tập hợp trong Rn Trước hết, ta định nghĩa tập tích đề các Rn như sau   Rn  ( x1 , x2 ,..., xn ) xi  R, i  1, n Mỗi phần tử trong Rn gọi là điểm, thường kí hiệu là M(x1,x2,...,xn), N(y1,y2,...,yn). Trong toàn bộ giáo trình, khi nói khoảng cách giữa hai điểm M(x1,x2,...,xn), N(y1,y2,...,yn) trong không gian Ơclid Rn , kí hiệu d(M, N), ta hiểu khoảng cách được định nghĩa như sau: d(M, N) =  y1  x1 2   y2  x2 2     yn  xn 2 Vậy nếu M ( x1; x2 ), N ( y1; y2 ) là hai điểm trong R2, khoảng cách giữa hai điểm kí hiệu là d(M, N) được tính theo công thức: d(M, N) = ( y1  x1 )2  ( y2  x2 )2 Cho M0 là một điểm thuộc R2. Người ta gọi -lận cận của M0 là tập hợp tất cả những điểm MR2 sao cho d(M0, M) < , kí hiệu V ( M 0 ) . Người ta gọi lận cận của M0 là mọi tập hợp chứa một -lận cận của M0.    M0 M0  - lận cận của M0 lận cận của M0 Hình 2-1 Cho ER2. Điểm ME được gọi là một điểm trong của E nếu tồn tại một -lận cận của M nằm hoàn  (E)  M toàn trong E. Tập E được gọi là tập  - lận cận của M M là điểm trong của E mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm o trong. Tập hợp tất cả các điểm trong của E kí hiệu E . Hình 2-2 Cho tập hợp ER2. Điểm NR2 được gọi là điểm biên của E nếu mọi - lận cận của N đều vừa chứa những điểm thuộc E, vừa chứa những điểm không thuộc E. 107
Điểm biên của tập hợp E có thể thuộc E, cũng có thể không thuộc E. Tập hợp tất cả các điểm biên của E được gọi là biên của E, kí hiệu E . N  (E) N là điểm biên của E M  M là điểm biên của E Hình 2-3 Tập hợp E được gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó (tức là điểm biên của E là một bộ phận của E) Ta có thể liên hệ các khái niệm trên đối với tập con của tập số thực R. Trong tập hợp số thực, tập (a;b) là tập mở, các điểm x thoả mãn a
Tập hợp E được gọi là được gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kỳ M1, M2 của E bởi một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong E. Tập hợp liên thông gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một đường cong kín, là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau từng đôi một.  (A) M1   M2   M2 M1 (B) A là miền đơn liên B là miền đa liên Hình 2-5 Tương tự như trong R2, các khái niệm: -lận cận, lân cận, điểm trong,... đựơc mở rộng cho trường hợp Rn (n  3). Trong chương 1, ta đã định nghĩa hàm số một biến thông qua khái niệm ánh xạ. Tương tự như vậy, ta định nghĩa hàm nhiều biến thông qua khái niệm ánh xạ như sau: 2.1.2. Định nghĩa hàm số nhiều biến số 2.1.2.1. Định nghĩa hàm n biến ( n  2) Cho D R n = R  R  ... R. Người ta gọi ánh xạ n tập hợp R f: D  R, x=(x1,x2,...,xn) u=f(x)=f(x1,x2,...,xn) là một hàm số của n biến số xác định trên D. D được gọi là miền xác định của hàm f. x1,x2,...,xn được gọi là các biến độc lập. Để thuận lợi cho việc kí hiệu hàm nhiều biến, ta xem x1,x2,...,xn là các toạ độ của một điểm MR n trong một hệ toạ độ nào đó, khi đó ta cũng có thể viết hàm số một cách ngắn gọn u = f(M) và coi f là hàm điểm của M. 2.1.2.2. Miền xác định của hàm nhiều biến cho bởi biểu thức Cho hàm số u = f(M), nếu không nói gì thêm về miền xác định của hàm số, ta hiểu miền xác định của hàm số u là tập hợp tất cả y 1 những điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa, thường đó là một tập hợp liên thông. -1 0 1 x -1 109
Ví dụ. Hàm số z = 1  x 2  y 2 có miền xác định là tập hợp D=  x, y  x 2  y 2  1   Đó là hình tròn đóng, tâm ở gốc toạ độ, bán kính bằng 1. Hình 2-6 Hàm số z= ln x  y  1 có miền xác định là y tập hợp D = ( x, y ) x  y  1 y=x+1 Đó là phần trên nửa mặt phẳng bờ là 1 đường thẳng y = x +1. 0 1 x 1 Hàm số f ( x, y, z )  có 4  x2  y 2  z 2 miền xác định là tập hợp D  {( x, y, z ) x 2  y 2  z 2  4} Hình 2-7 tức là hình cầu mở tâm O, bán kính bằng 2. Các phương pháp thường được sử dụng để biểu diễn hàm nhiều biến là: 2 2 Biểu diễn bằng biểu thức giải tích, ví dụ f ( x, y, z)   xye x  y , biểu diễn bằng đồ thị (biểu diễn hình học), biểu diễn bằng các đường đồng mức, sử dụng bảng số liệu. 2.1.2.3. Biểu diễn hình học hàm hai biến Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên miền D. Người ta biểu diễn hình học hàm hai biến z z z = f(x,y) như sau: - Trong không gian 0xyz, biểu diễn miền p(x,y,z) D trên mặt phẳng 0xy.  - Với mỗi điểm M(x,y)D, cho ứng với điểm P(x,y,z)(0xyz) sao cho z=f(x,y). - Khi đó với M chạy trong miền D thì ta  có tập hợp điểm P tương ứng trong không gian. O Tập hợp điểm P được gọi là đồ thị của hàm số z = f(x,y). x Vậy đồ thị hàm số z = f(x,y) là tập hợp  y G f  ( x, y, z ) : z  f ( x, y ), ( x, y )  D f  M(x,y) Đồ thị của hàm số f(x,y) còn được gọi là mặt z = f(x,y). Đây là một mặt cong trong không Hình 2-8 110
gian ba chiều với hệ tọa độ Decartes Oxyz Nếu không dùng phần mềm vẽ đồ thị thì rất khó có thể vẽ đồ thị hàm biến. Tuy nhiên, có một cách khác để hiểu và mô tả bản chất hình học của một hàm số, đó là vẽ các đường mức. Cho hàm số z = f(x,y). Tập hợp các điểm (x ,y) nằm trong miền xác định của hàm số và thỏa mãn f(x,y)=c gọi là một đường mức của hàm số. Tập hợp các điểm này tạo thành các đường cong, đó là hình chiếu thẳng đứng lên Oxy của giao đồ thị của hàm với mặt phẳng ngang z = C. Hình 2-9 Hình 2-10. Đồ thị hàm số Hình 2-11. Đường mức của hàm số 3x 3x f ( x, y )  2 f ( x, y )  2 x  y2 1 x  y2 1 Trong thực tế, các bản đồ địa lý và khí tượng thường ở dạng tập các đường mức, chẳng hạn là các đường có cùng độ cao trong bản đồ địa hình, các đường đẳng áp, các đường đẳng nhiệt… trong bản đồ khí tượng. Tương tự đối với hàm số 3 biến u= f(x,y,z), tuy không biết được hình dạng của hàm 3 biến trong không gian, nhưng ta có thể dùng các mặt mức để biểu diễn hình học hàm 3 biến. Tập hợp các điểm (x ,y,z) nằm trong tập xác định của hàm số và thỏa mãn f(x,y,z)=c gọi là một mặt mức của hàm số. 2.1.2.4. Các mặt cong bậc hai 111
x2 y 2 z 2 a. Mặt ellipsoid    1 (Hình 2-12) a 2 b2 c 2 Mặt cầu là mặt ellipsoid với ba trục bằng nhau a = b = c Hình 2-12 2 2 x y b .Mặt elliptic paraboloid 2  2  z  0 (Hình 2-13) a b Hình 2-13 x2 y 2 z 2 c. Mặt Hyperbol oid một tầng    1 (Hình 2-14) a 2 b2 c 2 Hình 2-14 2 2 x y z2 d.Mặt Hyperboloid hai tầng 2  2  2  1 (Hình 2-15) a b c Hình 2-15 x2 y 2 e. Mặt hyperbolic paraboloid   z  0 (Hình 2-16) a 2 b2 112
Hình 2-16 x2 y 2 z 2 f. Mặt nón elliptic thực    0 (Hình 2-17) a 2 b2 c2 Hình 2-17 g. Mặt trụ x2 y 2 Mặt trụ elliptic:   1 (Hình 2-18) a 2 b2 Hình 2-18 Mặt trụ parabolic : x 2  2ax  0 (Hình 2-19) Hình 2-19 2 2 x y Mặt trụ hyperbolic 2  2  1 (Hình 2-20) a b Hình 2-20 113
2.1.3. Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến số 2.1.3.1. Giới hạn của hàm 2 biến Định nghĩa 2.1.3.1. Ta nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) dần tới điểm M0(x0; y0) trong R2 và viết M n  M 0 khi n   nếu lim d ( M n , M 0 )  0 hay nếu n   lim xn  x0 n    lim y n  y0 n  Định nghĩa 2.1.3.2. Giả sử hàm số z = f(x,y) = f(M) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M0(x0,y0), có thể trừ tại M0. Ta nói rằng hàm số f(M) có giới hạn L khi M(x,y) dần đến M0(x0,y0) nếu mọi dãy điểm Mn(xn, yn) (khác M0) thuộc lân cận V dần đến M0 ta đều có lim f ( xn , yn )  L . n  Khi đó ta viết: lim f ( x, y)  L hay lim f (M )  L ( x , y ) ( x0 , y0 ) M M 0 Định nghĩa 2.1.3.2. tương đương với định nghĩa sau đây: Định nghĩa 2.1.3.3. Hàm số f(M) có giới hạn L khi M dần đến M0 nếu    0,     sao cho d(M,M0)     f(M) - L  . Khái niệm về giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến số. Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương, tính chất giới hạn kẹp đối hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến số và được chứng minh tương tự. Ví dụ 1. lim x 1. ( x , y )(1,2) Thật vậy,    0 bé tùy ý, tồn tại    sao cho d(M,M0)   thì x 1   Ta có thể chọn    , khi đó d(M, M0) = ( x  1) 2  ( y  2) 2   suy ra x 1   . Tương tự ta có lim x  a, lim y  b ( (a, b)  R 2 ) ( x , y )( a ,b ) ( x , y )( a ,b ) Áp dụng tính chất giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương suy x 2  3xy  4 11 ra lim  , tương tự như vậy ta cũng dễ dàng suy ra ( x , y ) (1,2) x2  1 2 3xy  2 y 2 lim  = 2,... ( x , y ) (0,1) x 2  y 2  xy 1 xy3 Ví dụ 2. Tính lim h( x, y) với h( x; y)  . ( x , y )(0,0) 2 x2  3 y6 Giải. Hàm số có miền xác định D = R2\{(0,0)}. 114
Do ( x; y )  (0, 0) thì 2 x 2  3 y 6 →0 nên không thể áp dụng các tính chất giới hạn của thương. Cho ( x, y ) tiến đến điểm (0;0) theo phương của đường thẳng y = kx ta có: k 3 x2 h( x; kx)  0 2  3k 6 x 4 Nếu cho ( x, y)  (0, 0) trên đường cong x = y3, ta có: y6 1 h(y3, y) = h( y 3 , y)  6  5y 5 Như vậy, cho ( x, y ) tiến đến điểm (0, 0) theo hai cách khác nhau cho hai giới hạn khác nhau. Vậy giới hạn trên không tồn tại. xy Ví dụ 3 . Tính lim x 0 x 2  y 2 . y 0 Giải. Hàm số f(x, y) xác định trên R2 \{(0, 0)}. Nếu cho (x, y)  (0, 0) theo xy kx2 k phương của đường thẳng y = kx, ta có   x y 2 2  1  k .x 2 2 1 k2 Vậy khi (x, y)  (0, 0) theo phương khác nhau, f(x, y) dần tới những giới hạn khác nhau. Do đó không tồn tại giới hạn nói trên. Giới hạn hàm n biến (n  3) định nghĩa hoàn toàn tương tự như giới hạn của hàm 2 biến. Định lý 2.1.3.1. Cho hai hàm số f : X  R và g : Y  R; ( X , Y )  R n . Gi¶ sö f  M   g  M  trong lân cận nào đó của M0 (có thể trừ M0) vµ tån t¹i c¸c giíi h¹n lim f  M  vµ lim g  M  . Khi đó, lim f  M   lim g  M  . M M 0 M M 0 M M 0 M M 0 Thật vậy, giả sử lim f  M   a, lim g  M   b, a  b . M M 0 M M 0 a b Chọn  >0 đủ nhỏ sao cho 0    , khi đó b    a   2 Do lim f  M   a nên 1  0 sao cho 0
Định lý 2.1.3.2.(Nguyên lí kẹp) Cho các hàm số f : X  R, h : Z  R và g : Y  R; ( X , Y , Z  R n ) . Giả sử f ( M )  h( M )  g ( M ) với mọi M trong lân cận nào đó U của M0 (có thể trừ M0) và tồn tại giới hạn lim f  M  và lim g  M  . M M 0 M M 0 Khi đó, nếu lim f  M  = lim g  M  = L thì lim h  M   L . M M 0 M M 0 M M 0 Thật vậy, do lim f  M   L nên 1  0 sao cho mọi M thuộc miền G1 xác định M M 0 bởi G1  M  X 0  d ( M , M 0 )  1 thì f  M   L   , khi đó L    f  M  . Do lim g  M   L nên  2  0 sao cho M thuộc miền G2 xác định bởi M M 0 G2  M  Y 0  d ( M , M 0 )   2  thì g  M   L   , khi đó ta cũng có g  M   L   . f ( M )  h( M )  g ( M ) nên với mọi M nằm trong lân cận G cuả M0 xác định bởi G  G1  G2  U thì L    f ( M )  h( M )  g ( M )  L   . Vậy chứng tỏ lim h  M   L . M M 0 xy 2 Ví dụ 4. Tính lim g ( x, y) với g(x,y) = ( x , y )(0,0) x2  y 2 x Giải. Miền xác định D = R2\{(0,0)}. Vì  1 (x, y)  (0, 0) nên ta có: x2  y 2 x 0|g(x, y)| = .|y2| |y2|. x y 2 2 Áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim g ( x, y) = 0 ( x , y )(0,0) Định lý 2.1.3.3. (Giới hạn của hàm hợp) Cho hai hàm số f : X  Y và g : Y  R; f ( X )  Y , ta có hàm hợp g f : X  R. Nếu lim f (M ) = b và lim g ( y)  c thì lim g ( f (M )) = c. M M 0 y b M M 0 Chứng minh. Do lim g ( y)  c nên   1 , với mọi y: 0 < |y - b| < 1  |g(y)-c|<  y b Do lim f (M )  b nên   , với mọi x: 0 < d(M,M0) <   | f (M)- b|<  1 M M 0 Vậy với mọi x: 0 < d(M,M0) <  ta có| g(f(x))- c|<  , điều này chứng tỏ lim g ( f ( x)) =c xa sin 3 xy Ví dụ 5. lim x 0 2 xy y 0 116
sin 3xy sin 3 xy 3 3 Giải. Ta có: lim  lim .  x 0 2 xy x  0 3 xy 2 2 y 0 y 0 2.1.3.2. Tính liên tục Định nghĩa 2.1.3.4. Cho hàm số f(M) xác định trong miền D  Rn, M0 là một điểm thuộc D. Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại M0 nếu lim f (M )  f (M 0 ) M M 0 Định nghĩa 2.1.3.5. Hàm số f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tại mọi điểm thuộc D. Ví dụ lim x  a, lim y  b, lim C  C (C là hằng số, mọi (a, b)  R 2 ). ( x , y )( a ,b ) ( x , y ) ( a ,b ) ( x, y ) ( a ,b ) Vậy các f ( x, y)  x, g ( x, y)  y, h( x, y)  C là các hàm liên tục trên R2 Định nghĩa 2.1.3.6. Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu 0,  sao cho với mọi cặp điểm M', M" thuộc D mà d(M',M") <  ta đều có  f(M') - f(M") < . Các tính chất của hàm liên tục Hàm số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến liên tục. Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trên một miền đóng và bị chặn thì nó bị chặn trên miền đó; nó đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên miền đó. Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến số. Hàm đa thức hai biến là tổng đại số của các đơn thức dạng cxm y n , trong đó c là hằng số, m, n là các số tự nhiên, vậy nó được xây dựng từ các hàm đơn giản f ( x, y)  x, g ( x, y)  y, h( x, y)  C bằng hữu hạn các phép toán cộng, nhân. Các hàm này liên tục trên R2, vậy hàm đa thức hai biến liên tục trên R2 Hàm phân thức hai biến là tỉ số của hai đa thức hai biến , vậy hàm phân thức hai biến liên tục trên tập xác định của nó . Ví dụ x3  x2 y  xy  2 là hàm đa thức, nó liên tục trên R2, x3  x 2 y  xy  2 x y 2 là hàm phân thức, liên tục trên D = ( x, y) x 2  y  0 .   x3  x 2 y  xy  2 16 Vậy ta có lim ( x3  x 2 y  xy  2)  7 , lim  ( x , y ) (1,2) ( x , y ) (2,1) x2  y 3 Ta cũng dễ dàng suy ra các giới hạn sau: 117
ex y e lim sin xy  sin(1.2)  sin 2, lim  ,… ( x , y )(1,2) ( x , y ) (1,0) cos(x-y) cos1 Liên hệ giữa tính liên tục và liên tục đều Nếu hàm số nhiều biến số liên tục trên một miền đóng và bị chặn thì nó liên tục đều trên miền đó. 2.2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến 2.2.1. Đạo hàm riêng 2.2.1.1. Đạo hàm riêng cấp 1 Định nghĩa 2.2.2.1. Cho hàm số u = f(x, y) xác định trong một miền D. Cho M0(x0, y0) là một điểm của miền D. Nếu cho y = y0, hàm số một biến số u = f(x, y0) có đạo hàm tại x = x0, thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0 và ký hiệu là f u f x' x0 , y0  hay x0 , y0  hay x0 , y0  x x Đặt  x f  f x0  x, y0   f x0 , y0  . Biểu thức đó gọi là số gia riêng của hàm số f(x, y) theo x tại (x0, y0). Ta có f x f x0 , y0   lim x x  0 x Tương tự như vậy, người ta định nghĩa đạo hàm riêng của f(x,y) đối với y tại M0, ký hiệu là f u f y' x0 , y 0  hay x0 , y0  hay  x0 , y 0  y y Chú thích. Ý nghĩa hình học của hàm số có thể được minh họa qua ví dụ cụ thể sau: Trong không gian Oxyz cho mặt cong có phương trình z  f ( x, y ) , trong đó f(x,y)=x2y + 2x - 5y2. Ta có f(x,2)= z  2 x 2  2 x  20 , vậy mặt phẳng y=2 cắt mặt cong z= x2y + 2x - 5y2 theo một đường cong có hình chiếu trên mặt phẳng xOz là đường z  2 x 2  2 x  20 . Đạo hàm hàm số z  2 x 2  2 x  20 tại tại x=1 là 6, vậy ta có f x' (1, 2)  6 . f x' (1, 2)  6 chính là hệ số của góc tạo bởi tiếp tuyến với đồ thị hàm z  2 x 2  2 x  20 tại điểm x=1 và trục Ox 118
Hình 2-21 Hình 2-21 mô tả hình ảnh parabol là giao của mặt có phương trình z= x2y + 2x - 5y2 và mặt phẳng y=2. Tương tự cho x=1 ta có hàm một biến h  y   f 1, y   y  2  5 y 2 , đạo hàm hàm số trên tại y=2 là -19, ta viết f y' (1, 2)  19 . (Xem hình 2-22) Hình 2-22 119
Một cách khái quát, cho hàm số u= f  x, y  xác định trong một miền D. f ( x  x, y )  f ( x, y ) Ta cho y cố định và x biến thiên. Nếu tồn tại giới hạn lim thì x 0 x giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng của hàm số u= f  x, y  đối với x ( hoặc đạo hàm riêng của hàm số u= f  x, y  theo x), đạo hàm riêng đó có các kí hiệu như sau f f , hay f ' x ( cũng có thể viết cụ thể hơn ( x, y ) , f ' x (x,y)) x x u Ta cũng có thể viết u thay bởi f như sau , u 'x x Để ý rằng cách viết khác hẳn khi f là một hàm của một biến x. Đạo hàm df của hàm một biến u= f  x  ) kí hiệu là hay f ' ( x) )). dx Tương tự người đọc cũng có thể dễ dàng định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số u = f(x, y) đối với y Nhận xét. Khi tính đạo hàm riêng của hàm số theo biến nào, ta xem như hàm số chỉ phụ thuộc vào biến ấy, các biến số khác coi như không đổi, rồi áp dụng các quy tắc tính đạo hàm ( đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, đạo hàm hàm hợp…) của hàm số một biến số. Đạo hàm của hàm n biến (n  ) được định nghĩa một cách tương tự như hàm số hai biến số. Chẳng hạn, cho hàm u = f(x, y), khi tính đạo hàm riêng theo biến x, ta coi y là hằng số, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm một biến x để tính đạo hàm theo biến x. Cho hàm u = f(x,y, z), khi tính đạo hàm riêng theo biến x, ta coi y, z là hằng số, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm một biến x để tính đạo hàm theo biến x. Khi tính đạo hàm riêng theo biến y của hàm số u = f(x, y,z), ta lại coi x,z như hằng số. Ví dụ 1. Cho hàm số u= x2y + 3x - 4y2. Tính : u u u u 1) (x, y) , (x, y). 2) (1, 2) , (1, 2). x y x y 120
u Giải. 1) Để tính , ta coi y như hằng số và đạo hàm hàm số trên với biến x, ta x u có:  2 xy  3 x u Để tính , ta coi x như hằng số và đạo hàm hàm số trên với biến y, ta có: y u  x2  8 y y u u u 2) Thay x=1, y=2 vào (x, y) , (x,y) vừa tính được ta có (1, 2)=7, x y x u (1, 2)=-15 y Ví dụ 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm số u = xy ( x > 0 ). u Giải. Để tính , ta coi y là hằng số, áp dụng công thức tính đạo hàm hàm lũy x u thừa x a . Ta có:  yx y 1 x u Để tính , ta coi x là hằng số, áp dụng công thức tính đạo hàm hàm mũ a y . Ta y có u  x y ln x . y 2 3 Ví dụ 3. Tính các đạo hàm riêng của hàm số f ( x, y)  e x  xy . Áp dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp (eu )'  eu .u ' 2  xy3 2  xy3 f 'x  ex .( x 2  xy 3 )' x  e x .(2 x  y 3 ) 2  xy 3 2  xy 3 f ' y  ex .( x 2  xy 3 )' y  e x .3xy 2 Ví dụ 4. Tính các đạo hàm riêng của hàm số u  x y  ln  x  zy 2  xz 3  1 2 yz 3xz 2 u 'x  yx y 1  , u ' y  x y ln x  , u ' z  x  zy 2  xz 3 x  zy 2  xz 3 x  zy 2  xz 3 Mặt phẳng tiếp diện Cho mặt S có phương trình z= f  x, y  , điểm M 0 trên mặt S gọi là một điểm chính quy nếu tại đó đều tồn tại các đạo hàm riêng f x '  x, y  , f y '  x, y  và các đạo hàm riêng ấy không đồng thời bằng 0. Đường thẳng M 0T được gọi là tiếp 121
tuyến của mặt S nếu nó là tiếp tuyến tại M 0 của một đường nào đó trên mặt S đi qua M 0 . Tập hợp gồm tất cả những tiếp tuyến của mặt S tại một điểm chính quy M 0 là một mặt phẳng đi qua M 0 (xem hình 2.23). Mặt phẳng này được gọi là tiếp diện của S tại M 0 . Giả sử f có các đạo hàm riêng liên tục. Phương trình tiếp diện của mặt cong z= f  x; y  tại điểm M 0 ( x0 , y0 , z0 ) là: z  z0  f ' x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f ' y ( x0 , y0 )( y  y0 ) Chú ý rằng hàm z  z0  f ' x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f ' y ( x0 , y0 )( y  y0 ) là một hàm xấp xỉ tốt đối với hàm z=f(x, y) khi M(x, y) gần với điểm M 0 ( x0 , y0 ) Hình 2-23 2.2.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao Định nghĩa 2.2.1.2. Các đạo hàm của đạo hàm riêng hàm hai biến z  f ( x, y ) vừa định nghĩa như trên còn gọi là đạo hàm riêng cấp một, các hàm số này cũng là hàm số hai biến. Đạo hàm riêng của các hàm đạo hàm riêng cấp một (nếu tồn tại) được gọi là đạo hàm riêng cấp hai f Ta biết rằng đạo hàm riêng có theo biến x được kí hiệu x  f Tiếp tục tính đạo hàm riêng hàm số này theo biến y, tức là tính ( ) , ta có y x đạo hàm riêng cấp 2, để đơn giản ta có thể kí hiệu đạo hàm riêng cấp 2 này là là 2 f (trong cách kí hiệu này, thứ tự đạo hàm tính phải qua trái ) yx Ta biết rằng đạo hàm riêng theo biến x cũng có thể kí hiệu là f ' x , tính đạo hàm riêng hàm f ' x theo biến y , tức là tính ( f ' x )' y , ta có đạo hàm riêng cấp 2 , để đơn giản, ta kí hiệu đạo hàm là f '' xy . 122
 f Như vậy ta có các cách kí hiệu đạo hàm riêng cấp hai ( ) (hay y x  ' 2 f ( f ' x )' y , f x ) là hay f '' xy , các cách kí hiệu này ban đầu có thể gây nhầm y yx lẫn nhưng kí hiệu vậy cũng thực sự hợp lý và đảm bảo tính ngắn gọn. Đối với hàm hai biến có 4 đạo hàm riêng cấp 2 được kí hiệu như sau :  f 2 f ( ) = = f x//2 ( x, y) x x x 2  f 2 f ( )= = f yx// ( x, y) x y xy  f 2 f ( )= = f xy// ( x, y) y x yx  f 2 f ( )= = f y/2/ ( x, y ) y y y 2 Ví dụ 5. Cho u  y ln( x  2 y ) . Tính u '' yx . u  ln( x  2 y ) y 2 Giải. y  ln( x  2 y )  y  ln( x  2 y ) , y y y x  2y 2 ( y  ln( x  2 y )) u2 x  2y 2y 1    xy x ( x  2 y) 2 x  2y Ví dụ 6. f ( x, y)  x2 y3  2 xy  y 4 . Tính f '' x , f '' y , f '' xy , f '' yx , , 2 2 Giải . f ( x, y)  xy 3  2 xy  y 4 f ' x  2 xy 3  2 y, f ' x2  2 y 3 , f '' xy  6 xy 2  2 f ' y  3 x 2 y 2  2 x, f ' y2  6 x 2 y, f '' yx  6 xy 2  2 Ta thừa nhận định lý sau : Định lí Schwarz. Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M 0 ( x0 , y0 ) hàm số y=f(x) có các đạo hàm riêng f '' xy , f '' yx và các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M 0 thì f '' xy  f '' yx tại M 0 . Mở rộng: Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp hai nếu tồn tại gọi là các đạo hàm riêng cấp 3;… Các đạo hàm riêng cấp 3 hoặc cấp cao hơn cũng có thể xác định tương tự.  (3)u   2u Ví dụ  ( )  (u '' yx )' x  u ''' yxx  u ''' yx 2 xxy x xy Áp dụng định lý Schwarz có thể chứng minh rằng u''' yxx  u'''xyx  u'''xxy nếu các đạo hàm ấy liên tục tại điểm đang xét. 123
 (3)u Ví dụ 7. Cho u = x2y3 z+x4. Tính . zyx u  2u  (3)u Giải.  2 xy z  4 x , 3 3  6 xy z , 2  6 xy 2 . x yx zyx Ví dụ 8. Chứng minh rằng hàm số f(x,t)= sin( x  at ) thỏa mãn phương trình 2 f 2  f 2 truyền sóng  a . t 2 x 2 Giải. f 't  acos( x  at ), f ''t  a2 sin( x  at ) 2 f ' x  cos( x  at ), f '' x2   sin( x  at ) 2 f 2  f 2 Vậy  a . t 2 x 2 2 f 2  f 2 Phương trình truyền sóng  a mô tả chuyển động trên một chiều t 2 x 2 không gian x, như chuyển động của các loại sóng : sóng biển, sóng âm thanh, sóng chuyển động dọc theo một sợi dây rung. 2.2.2. Vi phân toàn phần 2.2.2.1. Vi phân toàn phần Định nghĩa 2.2.2.1. Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D. Lấy các điểm M0(x0, y0)  D, M (x0 + x, y0 + y )  D. Biểu thức f(x0 + x, y0 + y ) - f(x0, y0) được gọi là số gia toàn phần của f(x, y) tại M0 , kí hiệu là f (x0, y0 ) hay z (x0, y0). Nếu có thể biểu diễn nó dưới dạng f (x0, y0 ) = Ax + By + x + y trong đó A,B là những số chỉ phụ thuộc (x0, y0), còn ,  dần tới 0 khi M  M0, tức là khi x  0, y  0, thì ta nói rằng hàm số z khả vi tại M0, còn biểu thức Ax + By được gọi là vi phân toàn phần của hàm số z = f(x, y) tại M0 và được ký hiệu là dz (x0, y0) hay df (x0, y0). Vậy: df (x0, y0 )= Ax + By Định nghĩa 2.2.2.2. Hàm số z = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D. Nhận xét. Nếu hàm số z = f(x, y) khả vi tại điểm M0(x0, y0) thì z = f(x, y) liên tục tại điểm M0(x0, y0). Vấn đề đặt ra là A,B được xác định như thế nào. a. Công thức tính vi phân toàn phần 124
1) Nếu hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M0(x0, y0) và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0(x0, y0) thì hàm số z = f(x, y) khả vi tại điểm M0(x0, y0) và ta có dz( x0 , y0 )  f x, ( x0 , y0 )x  f y, ( x0 , y0 )y Ý nghĩa hình học của vi phân dz là biểu thị sự thay đổi theo chiều cao của mặt phẳng tiếp diện của mặt cong z  f ( x, y ) khi ( x, y ) thay đổi từ ( x0 , y0 ) đến ( x0  x, y0  y) , trong khi z là biểu thị sự thay đổi theo chiều cao của mặt cong z  f ( x, y ) khi ( x, y ) thay đổi từ ( ( x0 , y0 ) ) đến ( x0  x, y0  y) Nhận xét. Cũng như đối với hàm số một biến số, nếu x, y là các biến số độc lập thì dx = x, dy = y, do đó df  dz  f x, .dx  f y, .dy . Khi x và y có trị số tuyệt đối khá bé, ta có thể xem f  dz. Ví dụ 1. Cho f ( x, y)  x 2  2 xy  y 3 1)Tính df. 2)Khi x thay đổi từ 2 đến 2,02 còn y thay đổi từ 3 đến 2,99. So sánh f , df. Giải. 1) f ( x, y)  x2  2xy  y3 , f ' x  2x  2 y, f ' y  2x  3 y 2 2) df ( x, y )  (2 x  2 y)x  (2 x  3 y 2 )y x0  2, y0  3, x  0, 02, y  0, 01 df (2,3)  (2, 2  2,3)0, 02  (2, 2  3,32 )( 0, 01)  0,11 f (2,3)  f (2, 02; 2,99)  f (2;3)  2, 022  2(2, 02)(2,99)  (2,99)3  [22  2.2.3  33 ]  42,890899  43  0,109101 Hai giá trị gần giống nhau nhưng df tính toán đơn giản hơn. b. Công thức tính gần đúng. Cho hàm số z = f(x, y) khả vi tại điểm M0(x0, y0). Khi x và y có trị số tuyệt đối khá bé, ta có thể xem f  df, vì vậy ta có: f(x0 + x, y0 + y ) = f(x0 ,y0)+ f(x0, y0) suy ra f(x0 + x, y0 + y )  f(x0, y0) + df(x0, y0) tức là : f(x0 + x, y0 + y )  f(x0,y0) + f x' x0 , y0 x  f y' x0 , y0 y . Ví dụ 2. Tính gần đúng 1, 021,99 . Giải. Xét hàm số z  x y . Ta cần tính z(x0 + x, y0 + y), với x0 = 1, y0 = 2, x= 0,02, y = -0,01. 125
Ta có: z ' x  yx y 1 , z ' y  x y ln x Vậy theo công thức tính gần đúng: z(1 + 0,02; 1 - 0,05)  z(1, 2) + 2.11.0,02 + 12.ln1.(-0,01) = 1,04. Tương tự ta có thể định nghĩa vi phân toàn phần và ứng dụng tính gần đúng cho hàm n biến số (n 3 ). Nếu hàm số z = f(x, y, z) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M0(x0, y0, z0 ) và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì hàm số z = f(x, y, z) khả vi tại điểm M0 và ta có dz  f ' x dx  f ' y dy  f ' z dz . 2.2.2.2. Vi phân toàn phần cấp cao Định nghĩa 2.2.2.3. Cho hàm số z = f(x, y). Vi phân toàn phần của dz nếu tồn tại, được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 của z và được kí hiệu d2z. Vậy d2z=d(dz) Tương tự như vậy ta định nghĩa vi phân cấp n: dn(z)=d(dn-1z). Công thức tính Giả sử x, y là các biến số độc lập, khi ấy dx  x, dy  y là những hằng số không phụ thuộc x, y. Giả sử f’’xy và f’’yx liên tục, khi đó chúng bằng nhau. Áp dụng công thức tính vi phân ta có: d 2 z  f '' x2 dx 2  2 f '' xy dxdy  f '' y 2 dy 2 2     Ta thường dùng kí hiệu tượng trưng: d z   dx  dy  f . 2  x y  n     Tương tự ta có d z   dx  dy  f . n  x y  Mở rộng với hàm u=f(x,y,z) là hàm ba biến độc lập x,y,z. n      d u   dx  dy  dz  f n  x y z  Chú ý các công thức trên chỉ áp dụng nếu x,y là các biến độc lập. Khi x, y không là biến độc lập, công thức trên không còn đúng nữa. Ví dụ 3. Cho f(x; y)=xcos(xy.) 1) Tính df ( x, y ) . 126