intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình Toán cao cấp 1 - Trường ĐH Kiến trúc HCM

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST
Báo xấu
20
lượt xem 7
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán cao cấp 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm số và giới hạn hàm số; bổ sung về đạo hàm hàm một biến; tích phân suy rộng; hàm nhiều biến; ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp 1 - Trường ĐH Kiến trúc HCM

  1. TS. BÙI THANH DUY KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Trường Đại học Kiến trúc thành phố Hồ Chí Minh TOÁN CAO CẤP 1
  2. Mục lục 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ 1 1.1 ÁNH XẠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Các loại ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.2 Ví dụ về các hàm sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.3 Hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4.3 Một số kết quả thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4.4 Tính giới hạn của một dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 GIỚI HẠN HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.3 Giới hạn một bên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.4 Các dạng vô định khi tính giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.5 Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
  3. 2 BỔ SUNG VỀ ĐẠO HÀM HÀM MỘT BIẾN 15 2.1 ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Đạo hàm bên trái và bên phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng và trên một đoạn . . . . . . . . . . . 16 2.2 SỰ KHẢ VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Mối liên hệ giữa tính khả vi và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 ĐẠO HÀM HÀM HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 ĐẠO HÀM HÀM NGƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8 BÀI ĐỌC THÊM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9 CÁC BÀI TOÁN ĐƯỢC KHẢO SÁT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 32 3.1 ĐIỂM GIÁN ĐOẠN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.1 Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.2 Tích phân suy rộng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Bảng Nguyên Hàm Của Một Số Hàm Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 HÀM NHIỀU BIẾN 41 4.1 TÍCH DESCARTES VÀ KHÔNG GIAN Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.1 Tích Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.2 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 HÀM NHIỀU BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3 GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
  4. 4.3.2 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4 HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.5 ĐẠO HÀM RIÊNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.7 SỰ KHẢ VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7.2 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7.3 Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.8 ĐẠO HÀM HÀM HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.9 ĐẠO HÀM HÀM ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.9.1 Hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.9.2 Đạo hàm hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.10 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.10.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.10.2 Thuật toán tìm cực trị (tự do) của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.11 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 52 5.1 MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.1.2 Các loại ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.1 Phép nhân hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.2 Lũy thừa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.4.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng . . . 54 5.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.5.1 Ma trận bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.5.2 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
  5. 5.5.3 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.6 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.6.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.6.3 Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.7 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
  6. Chương 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.1 ÁNH XẠ 1.1.1 Định nghĩa Cho hai tập hợp E và F, ta gọi một ánh xạ từ tập E vào tập F là một quy luật tương ứng f sao cho với mỗi phần tử x ∈ E, có duy nhất một phần tử y ∈ F được xác định bởi y = f ( x ). Ta thường ký hiệu ánh xạ đó là f : E → F. 1.1.2 Các loại ánh xạ Cho ánh xạ f : E → F. Ta nói 1. f là một đơn ánh nếu với mọi y ∈ F, có nhiều nhất một x ∈ E sao cho y = f ( x ). 2. f là một toàn ánh nếu với mọi y ∈ F, có ít nhất một x ∈ E sao cho y = f ( x ). 3. f là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. 4. Cho ánh xạ f : E → F và ánh xạ g : F → G. Ta nói ánh xạ h = g ◦ f là ánh xạ hợp của g và f nếu với mọi x ∈ E, tồn tại duy nhất z ∈ G được xác định bởi z = h( x ) = ( g ◦ f )( x ) = g( f ( x )). 5. Cho ánh xạ f : E → F là một song ánh lúc này và ánh xạ g : F → E cũng là một song ánh sao cho với mọi y ∈ F, tồn tại duy nhất x ∈ E được xác định bởi x = g(y) với y = f ( x ). g được gọi là ánh xạ ngược của f ký hiệu là g = f −1 . 1.2 DÃY SỐ 1.2.1 Định nghĩa Cho ánh xạ f : N → R. Với n = 1, 2, 3, .... Ta có các giá trị f (1), f (2), f (3), ... lập thành một dãy các số thực và ta nói đây là một dãy số thực. Nếu đặt xn = f (n), ta có dãy số x1 , x2 , x3 , ..., xn , ..., ký hiệu là ( xn )n∈N hay { xn }n∈N . 1
  7. TOÁN CAO CẤP 1 1.2.2 Ví dụ Cho dãy số ( xn ) với xn như sau xn = 1, ta có dãy 1, 1, 1, ..., 1.... xn = (−1)n , ta có dãy −1, 1, −1, ..., (−1)n , .... 1 + (−1)n 1 1 + (−1)n xn = , ta có dãy 0, 1, 0, , ..., , .... n 2 n 1.3 HÀM SỐ 1.3.1 Định nghĩa Một hàm số f là một ánh xạ đi từ một tập con D của R vào chính nó. D được gọi là miền xác định của hàm số và tập f ( D ) = { f ( x ) : x ∈ D } gọi là miền giá trị của hàm số. Phần tử x ∈ D gọi là biến số của hàm. 1.3.2 Ví dụ về các hàm sơ cấp cơ bản Hàm lũy thừa Là hàm số có dạng y = f ( x ) = x α trong đó α ∈ R. Hàm số này có miền xác định phụ thuộc vào α. Ví dụ như: Nếu α = 0, 1, 2, ... thì miền xác định là D = R. Nếu α = −1, −2, ... thì miền xác định là D = { x ∈ R : x = 0}. 1 1 1 Nếu α = , , ... thì miền xác định là D = [0, +∞). 2 4 8 1 1 1 Nếu α = − , − , − ... thì miền xác định là D = (0, +∞). 2 4 8 1 1 1 Nếu α = , , ... thì miền xác định là D = R. 3 5 7 1 1 1 Nếu α = − , − , − ... thì miền xác định là D = { x ∈ R : x = 0}. 3 5 7 Nếu α là số vô tỉ và α > 0 thì D = [0, +∞), α < 0 thì D = (0, +∞). Nếu α ∈ R thì D = (0, +∞). Hàm mũ Là hàm số có dạng y = f ( x ) = a x trong đó 0 < a = 1. Hàm số này có miền xác định là D = R và miền giá trị f ( D ) = (0, +∞). Hàm số tăng khi a > 1 và giảm khi a ∈ (0, 1). Hàm logarit Là hàm số có dạng y = f ( x ) = loga x trong đó 0 < a = 1. Hàm số này có miền xác định là D = (0, +∞) và miền giá trị f ( D ) = R. Hàm số tăng khi a > 1 và giảm khi a ∈ (0, 1). TS. Bùi Thanh Duy 2 duybui55@gmail.com
  8. TOÁN CAO CẤP 1 Các hàm lượng giác y = f ( x ) = sin x, y = f ( x ) = cos x, y = f ( x ) = tan x, y = f ( x ) = cot x. Các hàm lượng giác ngược π π 1. Hàm số y = arcsin x. Hàm số này có miền xác định D = [−1, 1] và miền giá trị R = − , . 2 2 1 Với mọi x ∈ (−1, 1), ta có (arcsin x ) = √ . 1 − x2 2. Hàm số y = arccos x. Hàm số này có miền xác định D = [−1, 1] và miền giá trị R = [0, π ]. 1 Với mọi x ∈ (−1, 1), ta có (arccos x ) = − √ . 1 − x2 π π 3. Hàm số y = arctan x. Hàm số này có miền xác định D = R và miền giá trị R = − , . 2 2 1 Với mọi x ∈ R, ta có (arctan x ) = . 1 + x2 4. Hàm số y = arccotx. Hàm số này có miền xác định D = R và miền giá trị R = (0, π ). Với 1 mọi x ∈ R, ta có (arccotx ) = − . 1 + x2 5. Chú ý: y = arcsin x ⇔ x = sin y, y = arccos x ⇔ x = cos y, y = arctan x ⇔ x = tan y, y = arccotx ⇔ x = cot y. 1.3.3 Hàm sơ cấp Hàm sơ cấp là những hàm được tạo ra từ một số hữu hạn các phép lấy tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng số. 1.4 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.4.1 Định nghĩa Cho dãy số ( xn ) : x1 , x2 , x3 , ..., xn , .... Ta nói số L ∈ R là giới hạn của dãy số này nếu với mọi số ε > 0 đủ bé cho trước, tồn tại số nε ∈ N sao cho với mọi chỉ số n nε , ta có | xn − L| < ε. Lúc này ta ký hiệu L = lim xn . Nói một cách dễ hiểu hơn, số L ∈ R là giới hạn của dãy số ( xn ) nếu | xn − L| tiến về 0 khi n tiến ra vô cùng. Cho dãy số ( xn ), ta nói dãy số này có giới hạn là dương vô cùng hay dần tới dương vô cùng nếu với mọi số M > 0 đủ lớn cho trước, tồn tại số n M ∈ N sao cho với mọi chỉ số n n M , ta có TS. Bùi Thanh Duy 3 duybui55@gmail.com
  9. TOÁN CAO CẤP 1 xn M. Lúc này ta viết lim xn = +∞. Cho dãy số ( xn ), ta nói dãy số này có giới hạn là âm vô cùng hay dần tới âm vô cùng nếu với mọi số M < 0 sao cho | M| đủ lớn cho trước, tồn tại số n M ∈ N sao cho với mọi chỉ số n n M , ta có xn M. Lúc này ta viết lim xn = −∞. 1 1 Ví dụ: Xét dãy số ( xn ), xn = 1 + . Nhận xét rằng khi n càng lớn thì càng nhỏ nên xn tiến gần n n 1 về 1. Do vậy ta sẽ chứng minh giới hạn của dãy số trên là 1. Thật vậy, ta xét | xn − 1| = . Với n 1 1 mọi ε > 0 nhỏ tuỳ ý cho trước, theo định nghĩa, để | xn − 1| = < ε thì n > . Như vậy chọn n ε 1 1 1 nε = + 1 (số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn ) thì với mọi n nε , ta được | xn − 1| = < ε. ε ε n 1 Tóm lại, với mọi ε > 0 nhỏ tuỳ ý cho trước, tồn tại số nε = + 1 sao cho với mọi n nε , ta có ε 1 | xn − 1| = < ε. Vậy lim xn = 1. n 1.4.2 Các tính chất cơ bản 1. lim A = A, trong đó A là hằng số. 2. Cho lim xn = A, lim yn = B, với mọi α ∈ R, ta có (a) lim( xn + αyn ) = A + αB. (b) lim xn lim yn = AB. xn A (c) lim = với B = 0. yn B xn (d) Nếu lim xn = A, lim yn = ∞ thì lim = 0. yn xn (e) Nếu lim xn = A, lim yn = 0 thì lim = ∞. yn 1 3. lim = 0, ∀k ∈ Z+ . nk 4. Cho Pk (n) = ak nk + ak−1 nk−1 + ... + a1 n + a0 , ta có lim Pk (n) = lim ak nk . 5. lim αn = 0 nếu |α| < 1. 1.4.3 Một số kết quả thông dụng 1. Cho dãy số ( xn ). Nếu tồn tại hai dãy số (yn ), (zn ) và số n0 ∈ N sao cho yn xn zn , ∀n n0 đồng thời lim yn = lim zn = L thì lim xn = L. 2. Nếu lim xn = L thì lim xn+k = L, ∀k ∈ Z. √ 3. lim n n = 1, n 1 4. lim 1 + = e, n TS. Bùi Thanh Duy 4 duybui55@gmail.com
  10. TOÁN CAO CẤP 1 √ 5. Với p > 0, ta có lim n p = 1, nα 6. Với p > 0, α ∈ R, ta có lim =0 (1 + p ) n nα 7. Với α ∈ R, ta có lim = 0, n! xn 8. Với x ∈ R, ta có lim = 0. n! 1.4.4 Tính giới hạn của một dãy số Trong chương trình phổ thông, khi tính giới hạn của một dãy số ta thường gặp hai dạng vô định sau đây ∞ , ∞ − ∞. ∞ Lúc này, ta không thể xác định được liệu là giới hạn đang xét có tồn tại hay không do đó phải tìm cách khử các dạng vô định này đi. Có nhiều phương pháp để khử các dạng vô định như: Quy đồng mẫu số, nhân lượng liên hợp, đặt thừa số chung, đặt ẩn phụ, dùng các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn, dùng các giới hạn cơ bản... Sau đây, ta nhắc lại một vài ví dụ cho hai dạng vô định này. ∞ Dạng . Đây là dạng vô định thường gặp khi ta tính các giới hạn dạng phân thức, phương pháp ∞ chung là rút n có số mũ cao nhất nằm dưới mẫu ở trên tử lẫn dưới mẫu. Ví dụ: 2n5 − 3n3 + n2 + 1 1. Tính L1 = lim . n5 + 1 3 1 1 n 5 2 − n2 + n3 + n5 3 1 1 2 − n2 + n3 + n5 L1 = lim = lim 1 = 2. n 5 1 + n5 1 1 + n5 √ n3 + 2n + 1 + n2 − 2 2. Tính L2 = lim . n2 + 2n + 3 1 2 1 2 n2 n + n3 + n4 − n4 1 2 1 2 n + n3 + n4 − n4 L2 = lim = lim 2 3 = 0. 2 n 2 1 + n + n2 3 1 + n + n2 n3 3. Tính L3 = lim . − n2 + 1 n3 n L3 = lim = lim 1 = −∞. n2 −1 + 1 −1 + n2 n2 ∞ Dạng ∞ − ∞. Để giải quyết dạng này ta thường đặt thừa số chung hoặc đưa về dạng bằng cách ∞ nhân lượng liên hợp. Ta xem các trường hợp thường gặp sau đây. Ví dụ: TS. Bùi Thanh Duy 5 duybui55@gmail.com
  11. TOÁN CAO CẤP 1 1. Tính L4 = lim 4n2 + n + 1 − n . 1 1 L4 = lim n 4+ + 2 −1 = +∞. n n 2. Tính L5 = lim n2 + n + 1 − n . 1 1 L5 = lim n2 + n + 1 − n = lim n 1+ + 2 −1 =0 n n Cách làm trên sai vì dấu bằng thứ 2, giới hạn cần tính có dạng 0.∞ và đây cũng là một dạng vô định. Do đó, ta phải làm lại như sau 1 ( n2 + n + 1) − n2 n+1 1+ n 1 L5 = lim √ = lim √ = lim = . n2 + n + 1 + n n2 + n + 1 + n 1+ 1 + 1 +1 2 n n2 3 3. Tính L6 = lim n3 + n2 + 1 − n . n2 + 1 L6 = lim √ 3 2 ( n3 + n2 + 1) + n 3 n3 + n2 + 1 + n2 1 1+ n2 = lim 2 3 1 1 3 1 1 1+ n + n2 + 1+ n + n2 +1 1 = . 3 1.5 GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.5.1 Định nghĩa Cho hàm số f : D ⊂ R → R và điểm x0 ∈ R. Điểm x0 được gọi là điểm tụ của hàm số nếu với mọi h > 0 nhỏ tùy ý, ta có ( x0 − h, x0 + h)\{ x0 } ∩ D = ∅. Giả sử x0 là một điểm tụ của D, hàm số f được gọi là có giới hạn hữu hạn L khi x tiến về x0 nếu với mọi số ε > 0 nhỏ tùy ý cho trước, tồn tại số δ( x0 , ε) > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa 0 < | x − x0 | < δ( x0 , ε), ta có | f ( x ) − L| < ε. Lúc này ta viết lim f ( x ) = L. x → x0 Nói một cách dễ hiểu hơn, hàm số f có giới hạn hữu hạn là L khi x tiến về x0 ( x = x0 ) nếu | f ( x ) − L| → 0 khi | x − x0 | → 0. Ví dụ: Ta xét hàm số f ( x ) = x2 − x + 2 và tính giá trị của hàm số này tại các điểm x gần 2 như sau. TS. Bùi Thanh Duy 6 duybui55@gmail.com
  12. TOÁN CAO CẤP 1 x f (x) x f (x) 1.5 2.750000 2.5 5.750000 1.8 3.440000 2.5 4.640000 1.9 3.710000 2.1 4.310000 1.95 3.852500 2.05 4.152500 1.99 3.970100 2.01 4.030100 1.995 3.985025 2.005 4.015025 1.999 3.997001 2.001 4.003001 Ta thấy khi x gần bằng 2 thì giá trị hàm f ( x ) gần bằng 4. Vậy ta có thể nói "4 là giới hạn hàm số f ( x ) = x2 − x + 2 khi x tiến tới 2" và viết lim ( x2 − x + 2) = 4. x →2 x−1 Ta minh họa thêm bằng một ví dụ khác. Dự đoán giới hạn lim . Ta có bảng giá trị sau x →1 x 2 − 1 x1 f (x) 0.9 0.526316 1.1 0.476190 0.99 0.502513 1.01 0.497512 0.999 0.500250 1.001 0.499750 0.9999 0.500025 1.0001 0.499975 x−1 Hàm số f ( x ) = không xác định tại x = 1, nhưng vẫn có giới hạn tại 1, cụ thể khi x ≈ 1 thì x2 − 1 x−1 f ( x ) ≈ 0.5 từ bảng giá trị ta đoán lim 2 = 0.5. x →1 x − 1 Hàm số f dần về dương vô cùng khi x tiến về x0 nếu với mọi số M > 0 đủ lớn cho trước, tồn tại số δ( x0 , M) > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa 0 < | x − x0 | < δ( x0 , M), ta có f ( x ) > M. Lúc này ta viết lim f ( x ) = +∞. x → x0 Hàm số f dần về âm vô cùng khi x tiến về x0 nếu với mọi số M < 0 sao cho | M | đủ lớn, tồn tại số δ( x0 , M) > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa | x − x0 | < δ( x0 , M), ta có f ( x ) < M. Lúc này ta viết lim f ( x ) = −∞. x → x0 Một hàm số f không có giới hạn hữu hạn khi x tiến về x0 được hiểu theo hai nghĩa. Một là giới hạn này bằng vô cùng. Hai là giới hạn này hoàn toàn không có. Ngoài ra, người ta còn định nghĩa giới hạn của một hàm số thông qua giới hạn của dãy số như sau. Cho hàm số f xác định trên D ⊂ R và x0 ∈ R. Ta nói hàm số có giới hạn hữu hạn là L tại x0 nếu với mọi dãy ( xn ) ⊂ D sao cho lim xn = x0 ( xn → x0 ), ta có lim f ( xn ) = L ( f ( xn ) → L). Lúc này, ta viết lim f ( x ) = L. x → x0 x2 − 1 Ví dụ: Dùng định nghĩa tính lim . Giới hạn đang xét được viết lại như sau lim f ( x ), trong x →2 x + 2 x →2 x2 − 1 đó f ( x ) = xác định với mọi x = −2. Với mọi dãy ( xn ) ⊂ R\{−2} thỏa lim xn = 2, ta có x+2 x2 − 1 22 − 1 3 3 f ( xn ) = n và lim f ( xn ) = = . Vậy lim f ( x ) = . xn + 2 2+2 4 x →2 4 TS. Bùi Thanh Duy 7 duybui55@gmail.com
  13. TOÁN CAO CẤP 1 1.5.2 Các tính chất cơ bản 1. Giới hạn của một hàm số nếu có là duy nhất. 2. Giả sử f là một hàm sơ cấp có tập xác định là D ⊂ R và x0 ∈ D. Lúc này lim f ( x ) = f ( x0 ). x → x0 x2 − 1 x2 − 1 22 − 1 3 Ví dụ: Tính giới hạn lim như sau lim = = . x →2 x + 2 x →2 x + 2 2+2 4 C 3. lim C = C, lim C = C và lim n = 0, trong đó C là hằng số và n ∈ N. x → x0 x →±∞ x →±∞ x 4. (Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1) Giả sử các hàm số f , g, w xác định trên một lân cận của x0 ngoại trừ x0 và thỏa g( x ) f ( x ) w( x ). Nếu lim g( x ) = lim w( x ) = L thì lim f ( x ) = L. x → x0 x → x0 x → x0 5. (Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 2) Giả sử các hàm số f xác định trên [ a, +∞) với a là một số dương đủ lớn. Hơn nữa f là hàm đơn điệu tăng và tồn tại M sao cho f ( x ) M. Lúc này lim f ( x ) tồn tại. x →+∞ 6. Giả sử các hàm số f và g đều có giới hạn trong cùng một quá trình (x → x0 hay x → ±∞). Trong quá trình đó, ta có (a) lim[ f ( x ) + g( x )] = lim f ( x ) + lim g( x ). (b) lim[ f ( x ) g( x )] = lim f ( x ) lim g( x ). f (x) lim f ( x ) (c) lim = nếu lim g( x ) = 0. g( x ) lim g( x ) 7. Các giới hạn cơ bản sin u tan u eu − 1 lim = 1, lim = 1, lim = 1, u →0 u u →0 u u →0 u u ln(1 + u) 1 1 lim =1 lim (1 + u) u = e lim 1+ =e u →0 u u →0 u→+∞ u 8. (a) Nếu f ( x ) > 0 trên một lân cận của x0 và lim f ( x ) = L > 0 thì lim ln [ f ( x )] = x → x0 x → x0 ln lim f ( x ) = ln L. x → x0 (b) Nếu f ( x ) > 0 trên một lân cận của x0 và lim f ( x ) = L > 0, lim g( x ) = K thì x → x0 x → x0 lim g( x ) x → x0 lim [ f ( x )] g( x) = lim f ( x ) = LK . x → x0 x → x0 1.5.3 Giới hạn một bên Cho hàm số f xác định trên D ⊂ R và x0 ∈ R. 1. Ta nói hàm số có giới hạn bên trái là L tại x0 nếu với mọi dãy ( xn ) ⊂ D sao cho xn < x0 và xn → x0 , ta có f ( xn ) → L. Lúc này, ta viết lim f ( x ) = L. − x → x0 TS. Bùi Thanh Duy 8 duybui55@gmail.com
  14. TOÁN CAO CẤP 1 2. Ta nói hàm số có giới hạn bên phải là L tại x0 nếu với mọi dãy ( xn ) ⊂ D sao cho xn > x0 và xn → x0 , ta có f ( xn ) → L. Lúc này, ta viết lim f ( x ) = L. + x → x0 Từ định nghĩa ta suy ra lim f ( x ) tồn tại khi và chỉ khi lim f ( x ), lim f ( x ) tồn tại và bằng nhau. x → x0 − x → x0 + x → x0 Khi đó lim f ( x )= lim f ( x )= lim f ( x ). x → x0 − x → x0 + x → x0 Ví dụ: x2 − 3x + 1 1. Tính giới hạn sau: lim . Ta có lim ( x2 − 3x + 1) = −1 < 0 và lim ( x − 1) = 0. x →1 + x−1 x →1+ x →1+ x 2 − 3x + 1 Hơn nữa, do x → 1+ nên x − 1 > 0. Vậy lim = −∞. x →1 + x−1 2. Xét sự tồn tại của giới hạn tại x0 của các hàm số sau 2x + 1, x < 1, (a) f ( x ) = ( x0 = 1). Ta có lim f ( x ) = lim (2x + 1) = 3. Mặt khác, − x2 + 4, x 1 x →1− x →1− lim f ( x ) = lim (− x2 + 4) = 3. Vậy lim f ( x ) = lim f ( x ) = 3 nên lim f ( x ) = 3. x →1+ x →1+ x →1− x →1+ x →1 |x| x x (b) f ( x ) = ( x0 = 0). Ta có lim f ( x ) = lim = 1. Mặt khác, lim − = −1. Vậy x x →0+ x →0+ x x →0− x lim f ( x ) = lim f ( x ) nên lim f ( x ) không tồn tại. x →0+ x → 0− x →0 1.5.4 Các dạng vô định khi tính giới hạn của hàm số Khi tính giới hạn của một hàm số ta cũng thường gặp các dạng vô định sau đây 0 ∞ , , ∞ − ∞, 0 × ∞, 1∞ , 00 , ∞0 0 ∞ Lúc này, ta phải tìm cách khử các dạng vô định này đi. Có nhiều phương pháp để khử các dạng vô định như đã đề cập ở phần giới hạn của dãy số. Sau đây là một vài ví dụ minh hoạ. Ví dụ: 0 1. Dạng . 0 x2 + x − 6 ( x + 3)( x − 2) (a) lim = lim = lim ( x − 2) = −3 − 2 = −5. x →−3 x+3 x →−3 x+3 x →−3 √ x+8−3 x−1 1 1 (b) lim 2 = lim √ = lim √ = . x →1 x + 2x − 3 x →1 ( x + 8 + 3)( x − 1)( x + 3) x →1 ( x + 8 + 3)( x + 3) 24 √ √3 √ √ x + 3 − 3x2 + 5 ( x + 3 − 2) − ( 3 3x2 + 5 − 2) (c) lim = lim = x →1 x−1 x →1 x−1 x−1 3( x 2 − 1) lim √ − √ = x →1 ( x − 1)( x + 3 + 2) ( x − 1)( 3 (3x2 + 5)2 + 2 3 3x2 + 5 + 4) 1 3( x + 1) 1 lim √ − √ =− . x →1 x+3+2 3 (3x2 + 5)2 + 2 3 3x2 + 5 + 4 4 TS. Bùi Thanh Duy 9 duybui55@gmail.com
  15. TOÁN CAO CẤP 1 √ √ 3 x− 4 x √ (d) lim √ . Đặt t = 12 x, suy ra t → 1 khi x → 1 và giới hạn trên trở thành x →1 x ( x − 1) t4 − t3 t−1 1 1 lim 6 12 = lim 3 11 + t10 + ... + 1) = lim 3 11 10 + ... + 1) = . t →1 t ( t − 1 ) t→1 t ( t − 1)( t t →1 t ( t + t 12 ∞ 2. Dạng . ∞ 2x − 3 2− 3 2 (a) lim = lim 1 x = − . x →+∞ 1 − 3x x →+∞ − 3 3 x 2 (2x − 5)(1 − x )2 2− 5 x 1 x −1 2 (b) lim 3−x+1 = lim 1 1 = . x →+∞ 3x x →+∞ 3− + 3 x2 x3 1 3x + 1 3+ (c) lim √ = lim x = −1 (Lưu ý x → −∞ nên x < 0 x →−∞ 1 − x + 4x2 − x x →−∞ 1 1 − x2 − +4−1 x 2 do đó khi rút x ra khỏi căn ta được − x). 3x − 1 (1 − 2x )2 (3x − 1) √ √ (d) lim (1 − 2x ) 3 = lim − = −2 3 (lưu ý u = − u2 nếu x →+∞ √ x +1 x →+∞ x3 + 1 u < 0 và u = u2 nếu u 0). 3. Dạng ∞ − ∞. 1 x+1 1+ x 1 (a) lim x2 + x + 1 − x = lim √ = lim = . x →+∞ x →+∞ x2 +x+1+x x →+∞ 1 1 2 1+ x + x2 +1 3 x2 1 (b) lim x3 + x2 − x = lim √ √ = . x →+∞ 3 3 x →1 ( x 3 + x 2 )2 + x x 3 + x 2 + x 2 3 3 3 (c) lim x3 + 3x2 − x2 − 2x = lim ( x3 + 3x2 − x ) + ( x − x2 − 2x ) = x →+∞ x →+∞ 3x2 2x lim √ √ + √ = 2. x →+∞ ( x 3 3 + 3x2 )2 + x 3 x3 + 3x2 + x2 x + x2 − 2x 4. Dạng 0.∞. 1 1 sin x sin u 1 (a) lim x sin = lim 1 = 1. (Dùng lim = 1 với u = ). x →+∞ x x →+∞ u →0 u x x 1 1 sin x sin u 1 (b) lim x sin = lim 1 = 1. (Dùng lim = 1 với u = ). Cách làm này sai vì x →0 x x →0 x u →0 u x 1 sin u u = → ∞ khi x → 0. Do đó ta không thể áp dụng giới hạn cơ bản lim = 1. Bài x u →0 u 1 1 toán này làm lại như sau. Với mọi x = 0, ta có sin 1. Suy ra x sin | x |. x x 1 1 Do đó −| x | x sin | x |. Vì lim | x | = 0 = lim −| x | = 0 nên lim x sin . x x →0 x →0 x →0 x TS. Bùi Thanh Duy 10 duybui55@gmail.com
  16. TOÁN CAO CẤP 1 x x −( x +1) − x +1 x 1 1 5. Dạng 1∞ . lim = lim 1− = e−1 (Dùng lim (1 + u) u = x →+∞ x+1 x →+∞ x+1 u →0 1 x e với u = − và lim − = −1). x+1 x →+∞ x+1 6. Dạng 00 . lim x x . Với mọi x > 0, ta có x x = e x ln x . Xét L = lim x ln x. Đây là một giới hạn x →0+ x →0+ khó nếu chỉ dùng những biến đổi cơ bản. Do đó để có thể giải quyết bài toán này, ta dùng một ứng dụng của đạo hàm trong một quy luật sau. 1.5.5 Quy tắc L’Hospital f (x) Giả sử các hàm f , g có đạo hàm ở lân cận điểm x0 và g ( x ) = 0 ở lân cận x0 . Nếu lim có x → x0 g( x ) 0 ∞ f (x) f (x) f (x) dạng hay và nếu lim tồn tại hữu hạn thì lim = lim . Quy tắc này vẫn 0 ∞ x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) đúng cho trường hợp x → ∞. Quay lại ví dụ ở Dạng 00 , ta nhận thấy giới hạn L = lim x ln x có dạng 0.∞ do đó để sử dụng x →0+ ln x ∞ được quy tắc L’Hospital ta viết lại giới hạn này như sau L = lim (Dạng ). Áp dụng quy x →0+ 1 x ∞ 1 tắc L’Hospital ta được L = lim x 1 = lim (− x ) = 0. Suy ra lim x x = e L = e0 = 1. x →0+ − x2 x →0+ x →0+ 1 1 ln x ln x ∞ 7. Dạng ∞0 . lim x x . Với mọi x > 0, ta có x x = e x . Xét L = lim (Dạng ). Áp dụng x →+∞ x →+∞ x ∞ 1 1 quy tắc L’Hospital ta được L = lim = 0. Suy ra lim x x = e L = e0 = 1. x →+∞ x x →+∞ 8. Chứng minh lim sin x không tồn tại. Giới hạn đang xét có thể không tồn tại theo hai x →+∞ nghĩa. Một là lim sin x = ±∞, hai là lim sin x không xác định. Do sin x ∈ [−1, 1] nên x →+∞ x →+∞ lim sin x = ±∞ là vô lý. Vậy lim sin x là không xác định. Thật vậy, giả sử lim sin x x →+∞ x →+∞ x →+∞ tồn tại hữu hạn và có giá trị là L. Như vậy với mọi dãy ( xn ) ⊂ R sao cho xn → +∞, ta π có sin xn → L. Chọn xn = + n2π, ta có sin xn = 1. Suy ra L = 1. Chọn xn = nπ, ta có 2 sin xn = 0. Suy ra L = 0, điều này vô lý vì L là duy nhất. Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có các kết quả sau lim sin x, lim cos x không tồn tại. x →−∞ x →±∞ 1.6 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1. Chứng minh rằng √ n √ n 1. lim n = 1. (Đặt un = n − 1 và dùng Định lý kẹp.) TS. Bùi Thanh Duy 11 duybui55@gmail.com
  17. TOÁN CAO CẤP 1 1 2. lim x n = 0 nếu | x | < 1. (Xét x = 0 sau đó xét x = 0, lúc này đặt y = − 1 > 0 rồi dùng bất |x| đẳng thức Bernoulli.) √ √ 3. Với p > 0, ta có lim n p = 1. (Xét p 1. Đặt xn = n p − 1 và dùng Định lí kẹp.) nα 4. Với p > 0, α ∈ R, ta có lim = 0. (Ta chỉ xét α > 0. Chọn k là số nguyên nhỏ nhất lớn (1 + p ) n hơn α. Xét (1 + p)n Cn pk . ) k nα nα ( n + 1) α 5. Với α ∈ R, ta có lim = 0. (Giả sử L = lim . Suy ra lim = L. n! n! ( n + 1) ! n α ( n + 1) α Suy ra lim − . Suy ra L = 0.) n! ( n + 1) ! xn 6. Với x ∈ R, ta có lim = 0. (Tương tự câu trên.) n! 7. lim(sin n) và lim(cos n) không tồn tại. Bài 2. Tính các giới hạn sau √ √ 1 + 2x − 19 ln4 x 1. lim √ . 13. lim . x →9 x−3 x →+∞ x √ e x − e− x − 2x x4 + 2x3 − 4x2 + 9 14. lim . 2. lim . x →0 x − sin x x →∞ 3x2 + 1 1 3. lim x2 +7− x2 −1 . 15. lim (cos x ) x2 . x →+∞ x →0 1 3 16. lim x e x − 1 . 4. lim x x3 + 3x2 − 2 x2 + x + x . x →+∞ x →+∞ 2x 5x − 4x x+1 17. lim . 5. lim . x →0 x 2 + x x →+∞ x−2 1 1 18. lim − x . 6. lim (sin x ) x . x →0 x e −1 x →0+ x xx − 1 7. lim (cot x ) . 19. lim . x →0+ x →1 x − 1 1 sin 7x 20. lim (1 + sin x ) x . 8. lim . x →0 x →0 tan 10x 1 (1 − e x )(1 − cos x ) 9. lim − cot x . 21. lim . x →0 sin x x →0 x3 + sin3 x √ ln(cos x ) 1 − cos x 22. lim . 10. lim . x →0 ln(1 + x 2 ) x →0 x2 1 e x − cos x 23. lim − cot2 x . 11. lim . x →0 x 2 x →0 sin x 1 ln(cos x ) tan x x2 12. lim . 24. lim . x →0 x2 x →0 x TS. Bùi Thanh Duy 12 duybui55@gmail.com
  18. TOÁN CAO CẤP 1 25. lim ( x + 2x ) x . 1 e− x 1 x →+∞ 43. lim − x . x →0 x e −1 1 26. lim x ln(ex −1) . 44. lim xsin x . x →0+ x →0+ ln x 1 27. lim . x x →0+ 1 + 2 ln(sin x ) 45. lim e−3x + e−2x . x →+∞ x2 − sin2 2x x 28. lim . 46. lim x x . x →+∞ x2 + sin2 2x x →0+ x −1) 29. lim x + ln x + cos x . 47. lim x ( x . x →+∞ x →0+ x −x π − 2 arctan x 48. lim 1 − 2− x . 30. lim . x →0+ x →+∞ 1 ln 1 + x x3 ln2 x 49. lim . etan x − e x x →0+ ex 31. lim . x →0 tan x − x x2 1 1 − 12 50. lim 1+ . 32. lim e x x −100 . x →+∞ x ex x →0 33. lim (π − 2 arctan x ) ln x. 51. lim sin x ln x. x →0+ x →0+ tan( πx ) ex 34. lim tan πx 2 . 52. lim n (n ∈ Z+ ). x →1 4 x →+∞ x x ln x 1 + 35. lim ln . 53. lim x →+∞ x p ( p ∈ R ). x →0+ x √ √ ln x 1 + tan x − 1 + sin x 36. lim (arctan x ) x . 54. lim . x →+∞ x →0 x3 √ 1 1 2e tan x sin x − π4 log3 (1 + 4x ) ln 3 x 37. lim √ . 55. lim . π − (1 − x→ 2 sin x )(1 + tan2 x ) x →0 4x √3 √ πx x x3 + x2 − 2 x2 + x + x 56. lim ln x tan . 38. lim . x →1+ 2 x →+∞ 2x + 1 x 1 39. lim (2x + 1) + 4 2 x2 +4 3 x3 + 3x2 . 57. lim − . x →−∞ x →1 x − 1 ln x x ln(1 + xe2x ) 3 5 40. lim . 58. lim 1+ + 2 . x →+∞ x2 x →+∞ x x 1 1 cos x − 1 + x2 41. lim − 2 . 59. lim 2 . x →0 x sin x x x →0 x4 1 1 ln 2 42. lim 2 − . 60. lim x 1+ln x . x →0+ x x ln x x →+∞ TS. Bùi Thanh Duy 13 duybui55@gmail.com
  19. TOÁN CAO CẤP 1 Bài 3. Một vật thể có khối lượng m được thả rơi tự do từ trạng thái nghỉ. Vận tốc của vật sau thời gian t giây, có tính lực cản của không khí được cho bởi công thức mg ct v= (1 − e − m ) c trong đó g là gia tốc trọng trường, c là hằng số cản của không khí. Biết rằng lực cản của không khí là f = cv. Hãy chứng minh công thức trên. Giả sử vật thể rơi trong một không gian mở (không có đáy), hãy tìm vận tốc của vật lúc này. Với t cho trước, tính lim v qua đó ta có nhận xét gì về hiện c →0+ tượng này. TS. Bùi Thanh Duy 14 duybui55@gmail.com
  20. Chương 2 BỔ SUNG VỀ ĐẠO HÀM HÀM MỘT BIẾN 2.1 ĐẠO HÀM 2.1.1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm Cho hàm số f xác định trên ( a, b) và x0 ∈ ( a, b). Xét một số ∆x sao cho |∆x | nhỏ tuỳ ý để x0 + ∆x ∈ ( a, b). Nếu f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) lim ∆x →0 ∆x tồn tại hữu hạn thì ta nói hàm số có đạo hàm tại x0 và kí hiệu f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( x0 ) = lim . ∆x →0 ∆x Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = f ( x ) = x2 tại x0 = 1. Xét f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ( x0 + ∆x )2 − x0 2 ∆x (∆x + 2x0 ) lim = lim = lim = lim (∆x + 2x0 ) = 2x0 . ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 Vậy f ( x0 ) = 2x0 nên f (1) = 2.1 = 2. Từ đây ta cũng suy ra kết quả sau f ( x ) = 2x, ∀ x ∈ R với f ( x ) = x2 . 2.1.2 Đạo hàm bên trái và bên phải Cho hàm số f xác định trên ( a, x0 ]. Xét một số ∆x < 0 sao cho |∆x | nhỏ tuỳ ý để x0 + ∆x ∈ ( a, x0 ]. Nếu f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) lim ∆x →0 − ∆x tồn tại hữu hạn thì giới hạn này gọi đạo hàm bên trái của hàm số f tại điểm x0 và ta kí hiệu là − f ( x0 ). Cho hàm số f xác định trên [ x0 , b). Xét một số ∆x > 0 nhỏ tuỳ ý để x0 + ∆x ∈ [ x0 , b). Nếu f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) lim ∆x →0+ ∆x 15
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2