zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Khai thác các tính chất số học liên quan đến bài toán về dãy số trong các kì thi Olympic sinh viên

Chia sẻ: Cánh Cụt đen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

68
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này, tác giả tổng hợp một số bài toán liên quan đến dãy số nhằm phát triển năng lực học tập và nghiên cứu của sinh viên. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết hơn nội dung nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khai thác các tính chất số học liên quan đến bài toán về dãy số trong các kì thi Olympic sinh viên

No.16_June 2020|Số 16 – Tháng 6 năm 2020| p. 110-115 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ KHAI THÁC CÁC TÍNH CHẤT SỐ HỌC LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC SINH VIÊN Dương Thị Hồng Hảia,, Lê Thiếu Tránga,* Trường Đại học Tân Trào a * Email: lttrang0466@tuyenquang.edu.vn Thông tin bài viết Tóm tắt Dãy số là một trong những chủ đề nằm trong chương trình giải tích của chương Ngày nhận bài: 2/5/2020 trình Đại học Sư phạm Toán, là một chuyên đề cơ bản trong nội dung dạy học cho Ngày duyệt đăng: các đội tuyển Olympic dành cho sinh viên toán các trường Đại học và Cao đẳng. 10/6/2020 Bài toán về dãy số giúp sinh viên hiểu sâu sắc hơn về hàm số, về qui luật phân bố các số, về tính chất các vô cùng bé, vô cùng lớn... Bài viết này, tác giả tổng hợp Từ khóa: một số bài toán liên quan đến dãy số nhằm phát triển năng lực học tập và nghiên Dãy số, giới hạn, số học, số chính phương, sinh viên. cứu của sinh viên. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong bài báo này, tác giả dựa trên các ý tưởng đã có cần thiết phải trang bị cho các em các kiến thức về dãy về số học và dãy số của một số tác giả như GS.TS Phan số thông qua một số bài toán cơ bản. Huy Khải (Viện Toán học Việt Nam), một số bài toán 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU trong Tạp chí Toán Học và Tuổi trẻ và một số chuyên đề Trong phần nội dung, do chuyên đề này là ứng dụng về dãy số, làm sáng tỏ một số vấn đề học sinh và sinh số học vào dãy số, nên kiến thức cơ sở sẽ được đề cập viên còn chưa rõ khi giải toán dạng này, hình thành trong từng bài cụ thể. phương pháp chung giải các dạng toán đó. 2.1. Bài toán 1. Tính tổng Thực tế giảng dạy, sinh viên tham gia dự thi Olympic Sk 1k 2k ...nk,n¥*,k¥. tại Trường Đại học Tân Trào năm 2018- 2019 tác giả 2.1.1. Xây dựng công thức tính: nhận thấy, sinh viên đội tuyển toán chưa nắm được hệ Ta đã biết: thống các ứng dụng số học vào dãy số hiệu quả, chưa có S0 10 20 ...n0 n cái nhìn tổng thể, nguồn gốc các bài toán và chưa có tính chủ động, sáng tạo trong thực tiễn. Do đó, để các đội S1 11 21 ...n1  n(n1) 2 tuyển sinh viên đạt kết quả cao trong các kì thi Olympic
L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 S2 12 22 ...n2  n(n1)(2n1) , xn 14 24 ...n4 12 22 ...n2  6 Đã có nhiều cách để tính các tổng trên, nhưng để tổng Đây chính là tổng S4 và S2 ở trên. Thay vào ta được: xn  (n 1)n(n 1)(2n 1)(n 2) quát được, ta có thể làm như sau: a bn k n 10 Ta đã có công thức: Cknankbk . 0 un  (n1)(2n1),n¥ *. Áp dụng vào các khai triển sau: 10(n1) n12 -1=CS 2 1 CS 1 2 2 0 Nhận xét: Bài toán trên là loại dãy sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên: Tìm số hạng tổng quát của dãy (n+1) -1= n 1 -1=CS 3 3 3 2 CS 1 3 1 CS 2 3 3 0 ... un biết u a; u (nn(nk1)...(n 1 1)...(nk) u 1 ,n¥ *. 2k1) n1   n Tổng quát ta có công thức truy hồi cho Sk : 2.1.3. Bài tập tương tự n1 -1=Ck1Sk Ck1Sk1 ...Ck1S1 Ck1S0 Bài 1.1. Cho dãy số (u ) biết: k 1 2 k k1 n 2.1 3.2 ...n1.n . Tính limu ? 2 2 2 2.1.2. Ví dụ 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un), un  n n4 biết: Bài 1.2. Tính các giới hạn sau: u1 0,un1  n(n1) un 1,n¥ *. (n2)(n3) lim1 2 6...n ; 5 5 5 1) n Giải: Phương trình dãy được viết lại: un+1= 2) lim1 2 ... n . k k k un1  n(n1) (n22) un 1 2 k1 n (n1)(n2) (n3) Bài 1.3. Tìm un biết n1n22n3un1 nn12n2un nn12n2. u1 1,un1  n1(un 2),n¥ *. n2 Đặt nn12 n2un xn 2.2. Bài toán 2. Tìm điều kiện hoặc chứng minh các số nn12 n2 fn , ta có phương trình: hạng của một dãy số không đổi dấu. an biết a0 a, a1 bvà và 2.2.1. Ví dụ: Cho dãy xn1 xn  fn, x1 0. an2 an1 2an 6. Tìm điều kiện của a, b để n1,2,..., ta có: an> 0,n¥ . Cho xn xn1 n1.n2.n 1 Giải: xn1 xx2 n2 . n12.n ... + Tìm số hạng tổng quát của dãy: Đặt x2 x1 1.2.3 2 an vn wn , với vn là dãy tuyến tính thuần Cộng các đẳng thức và rút gọn ta được: nhất, wn  là dãy đa thức của n. Phương trình đặc x2 x20, xn x1 1.2.32.3.4...n1.n  .n1. trưng của dãy là có nghiệm 2 2 2 x1 1, x2 2, nên ta có: Thay x1 0ta có: vn A.1n B.2n AB.2n và xn 1.2.3 2 2.3.42 ...n1.n2.n1. wn C.n. Ta hãy tìm cách tính tổng trên, ta có: Thay vào dãy ta có: n1.n .n1 n n . 2 4 2 Cn2 Cn1 2Cn6C2 Do đó:
L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 Do đó: wn 2n. Vậy: 2.3.2. Các bài tập tương tự an AB.2n 2n, n¥. Bài 3.1. Cho dãy xn biết: Thay n 0,1ta có: x1 1,xn1 3xn  8xn2 1,n¥ *. an (2)n 2abn2 2nn ab2,n¥ . Chứng minh mọi số hạng của dãy đều nguyên.  (2) (2) 3  Bài 3.2. Cho dãy un thoả mãn: Từ đó ta thấy: a b2 0 n2k1 un2  un.un1 ,n 1,2,....Tìm điều kiện - Nếu thì với có 2un un1 3 liman , loại. cần và đủ đối với u,1 u2 để dãy có vô số số hạng a b2 0 n2k nguyên. - Nếu 3 thì với có Bài 3.3. Cho dãy an  biết: liman , loại. a1 1,an1 5an  kan2 8,n¥ *. Tìm k a b2 0 thoả mãn và điều kiện cần tìm của nguyên dương để mọi số hạng của dãy đều nguyên. 3 Bài 3.4. Bài toán tổng quát 1: Cho a, bZvà dãy a, b là b a 2 và a 0. an biết: 2.2.2. Bài tập tương tự a1 1, an1 a.an  k.a2n b. Tìm k nguyên Bài 2.1. Xác định các dãy an biết: dương để an ¢,n¥ *. a0 1, an2 an1 a nmà an  0,n¥ . Bài 3.5. Bài toán tổng quát 2: Cho các số nguyên Bài 2.2. Chứng minh có duy nhất 1 dãy số dương a, b, c thoả mãn: a2 b1. Dãy un  un  thoả mãn điều kiện: được xác định như sau: u0 1, un un1  un2,n¥. u0  0, un1  aun  bu2n c2 ,n¥ . Chứng 2.3. Bài toán 3. Lập luận để các số hạng của một mọi số hạng của dãy đều nguyên. dãy số là số nguyên. Bài 3.6. Chứng minh tồn tại đúng một dãy un  2.3.1. Ví dụ: Cho dãy an biết: a1 a2 1, nguyên thoả mãn: u1 1,u2 1,u3n1 1unun2,n 1,2,... an  n1 2,n 3. Chứng minh mọi số hạng của 2 u1=1, u2 > 1, a an2 2.4. Bài toán 4. Chứng minh, phát hiện các đẳng thức về dãy số, số chính phương và số lập phương. dãy đều là số nguyên. Giải: Trước hết ta đưa dãy về dạng tuyến tính. Ta 2.4.1. Ví dụ: Cho dãy an  với a 3, a4 11, a5 41. Giả sử có: 3 a0 1, a1 13, an2 14an1 an, n¥. an an1 an2 .Thay n 1,2,3ta được Chứng minh với mọi số tự nhiên nta có: 1) a an.an2 120. 2 n1 3    4 hệ:   4a2n 1 là số chính phương. Từ đó suy 113    1 ra số . 2) 4111 3   0 3 2an 1và 2an 1 cũng là các số chính phương. Vậy: an 4an1 an2, n3. 3 Do a1 a2 1¢ an ¢,n¥ *. a 3) n là tổng của hai số chính phương liên tiếp và a2n là hiệu của hai số lập phương liên tiếp.
L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 Điều này đúng vì 2an 1, 2an 1 1nên Giải: 2a 1, 2an 1 1 1) Câu hỏi 1) có thể làm bằng phương pháp qui nạp  n 3  (các tài liệu đều giải theo cách này). Nhưng vấn đề đặt ra Mặt khác an 1mod3(chứng minh quy nạp) là: Nếu không yêu cầu chứng minh đẳng thức trên, mà 2an 33 M. hỏi các câu hỏi sau thì học sinh sẽ xử lí như thế nào? Ta 2an 1và 4an 1 là những số chính phương 2 hãy hướng dẫn học sinh tự xây dựng được đẳng thức 3) Vì phần 1), đó cũng là cách khác để chứng minh đẳng thức 3 lẻ nên ta có: này: Từ giả thiết dễ thấy an 0,n¥ và a2 181. 2an 12k12 an 2k2 2k1k2 k12. 4a2n 1 2k1 2 a 3k23k1 k1 3 k3. Nên đẳng thức:     an2 14an1 an an2 an 14. 3 an1 2.4.2. Bài tập tương tự Thay nbởi n1ta được: Bài 4.1. Cho dãy số an  với an1 an1 14an2 an  an1 an1 an an1 an a0 2, an1 4an  15a2n 60,n¥ . Tìm an  a2n1 an.an2 an2 an1.an1. Truy hồi biểu và chứng minh: 1a 8 bằng tổng bình phương 3 5 2n thức trên ta được: số nguyên liên tiếp, n¥ *. a2n1 an.an2 a12 a0.a2 12=-12. Vậy: Bài 4.2. Cho dãy un  biết a2n1 an.an2 120,¥ . u1 1, u2 3, un1 n2un n1un1, n 2,3,...Tìm n 2) Từ giả thiết dễ thấy an ¢,n¥ . Theo 1) thì để un là số chính phương. phương trình: a2n1 an.an2 120. Bài 4.3. Cho dãy số nguyên un  với a2n1 an.14an1 an   120 u0 1, u1 45, un2 45un1 7un,¥ . a2n1 14an1.an a  120 phải có nghiệm 1) Tìm số ước số tự nhiên của số x an1 ¢ ' 48a2n 12 phải là số chính Mu2n1 un.un2. phương. 2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì số Ta có ' 36. 4an 1 chính phương  4an 1 là 2 2 An 1997.4.7n1 là số chính phương.  3   3  số chính phương. Bài 4.4. Cho dãy un  biết u0 3, u1 17, un 6un1 un2,n2,3,...Chứng minh Ta cũng có:  4a2n 1  3  2an 1 2an31 chính   n¥ thì u2n 12 Mvà thương là số chính phương. phương. Bài 4.5. Cho dãy un  biết Để hai số 2an 1và 2an 1 chính phương thì phải 3 u1 1, u2 1, un un1 2un2, n3. 2a 1, 2an 1 1.  n Lập dãy vn  với 3  có:   2an 13 M vn 2n1 7un21,n2,3,...Chứng minh mọi số hạng của dãy vn  là số chính phương.
L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 2.5. Bài toán 5. Các bài toán liên quan đến tính chất Bài 5.2. a) Cho hai dãy un  và vn  xác định như chia hết và có dư sau: 2.5.1. Ví dụ: Cho dãy un  biết: u0 u1 1, un1 un 2un1,n1,2...; u0 1, u1 3 và v0 1, v1 7, vn1 2vn 3vn1,n1,2... u 9u :n 2k un2  9un1 5un :n2k1,n¥ . un và vn ?  n1 n Tìm S ui2 . Tìm số dư khi chia S cho 8, 1999 Tính tổng Chứng minh trong 2 dãy trên chỉ có 1 hạng tử chung, i0 ngoài ra không còn hạng tử nào chung khác. cho 5 và cho 40. Giải: Bài 5.3. Cho dãy un  xác định như sau: + Từ giả u2n2 u2n1 9u2n  thiết ta tính được: un= 2 3 2 3 ,n0,1,2,... n n u 9u 5u 23  2n1 2n 2n1 Chứng minh u2n2 u2n1 u2n (mod4) un ¢,n 0, 1, 2... Tìm tất u u u cả các số hạng của  2n1 2n 2n1 dãy chia hết cho 3. Khai triển dãy : u3 u4 u0 u5 ..... u1 u2 Bài 5.4. Cho dãy an  với 12 123 121 1 2794 3 a0 19, a1 98, an2 an an1. Sai2 cho 8. Do đó u0 u1 u2 u3 1998 u4 u5 u6 u7 u8 Tìm số dư khi chia 0 u9 ... lần lượt đồng dư 1 3 0 3 3 2 1 Bài 5.5. Cho dãy un , n¥ * với 3 0 3 (mod4)  Dãy số dư tuần hoàn chu kỳ 6 (mod4), n2. u1 2, un 3un1 2n3 9n2 3, n 2,3,... Vậy: Chứng minh với mỗi số p nguyên tố ta có: S12 32 33302 32 32 22 12 32  106662 2000uiM p1 p. (mod4)  S2 (mod8). i1 + Tương tự trên ta có: 3. KẾT LUẬN u2n2 u2n1 u2n (mod5). Khai triển được Qua một số bài toán cơ bản nêu trên, sẽ góp phần giúp u u các em sinh viên rút ra được định hướng tư duy và  2n1 2n phương pháp giải bài toán số học liên quan đến dãy số un  tuần hoàn chu kỳ 8 (mod5), n2, nên trong các kì thi Olympic Toán. Với những đánh giá và S=12+32+24922+32+...+12  3(mod5) bổ sung về lí luận và phương pháp giải sẽ giúp sinh viên củng cố vững hơn về dạng toán và giải quyết những bài + Từ hai ý trên do 8,5 1 nên ta có S18 toán khó hơn. Tuy nhiên, bài toán về dãy số là một chủ đề rất rộng nên rất cần tiếp tục có nghiên cứu, tổng hợp (mod40). chuyên sâu đến những dạng toán thường gặp trong các 2.5.2. Bài tập tương tự kì thi Olympic Toán của học sinh, sinh viên, đặc biệt là Bài 5.1. Cho dãy bn  với những bài toán giúp phát triển năng lực tư duy Toán học cho học sinh, sinh viên, góp phần nâng cao chất lượng b1 0, b2 14, b3 18, bn1 7bn1 6bn2,n¥ *. dạy học môn toán theo hướng tập trung vào phát triển Chứng minh nếu plà số nguyên tố thì bpM p. năng lực người học.
L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 TÀI LIỆU THAM KHẢO [4] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Nguyễn [1]. Phan Huy Khải, Các chuyên đề số học bồi dưỡng Viết Triều Tiên - Hoàng Quốc Toàn (2008), Bài tập giải học sinh giỏi Toán - Chuyên đề Số học và dãy số, Nxb tích tập I, Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội, Hà Nội. [5] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hoàng Giáo dục, 2016 (tái bản). Quốc Toàn (2009), Bài tập giải tích tập II, Nhà xuất bản [2]. Bộ Giáo dục và Đào tạo - Hội Toán học Việt ĐHQG Hà Nội, Hà Nội. Nam, Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, [6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên) - Tạ Văn Đĩnh - Nxb Giáo dục, 2013 (tái bản). Nguyễn Hồ Quỳnh (2001), Bài tập toán cao cấp tập hai, [3] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích tập 1, Nhà Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. xuất bản Giáo dục, Hà Nội. [7]. W.J.Kaczkor - M.T.Nowak (Người dịch: Đoàn Chi), Bài tập Giải tích 1, Nxb Đại học Sư phạm, 2003. Exploiting arithmetical properties related to numeral mathematical problems in student olympic exams Le Thieu Trang, Duong Thi Hong Hai Article info Abstract The sequence of numbers is one of the subjects in the analytic program of the Recieved: 2/5/2020 Mathematics Pedagogical University, it is a basic subject in teaching contents for the Accepted: Olympic of Maths students in colleges and universities. The problems of sequence’s 10/6/2020 number helps students understand more about the functions, the distribution rules of numbers, the properties of the infinitely small, infinitely great,... In this article, the Keywords: author summarizes a number of problems related to the sequence of number to develop Sequence of numbers, students' learning and research capacity. limit, arithmetics, square number, student.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.