Khảo sát dao động của hệ hai bậc tự do có cản - NCS. Nguyễn Đắc Hưng

KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA HỆ HAI BẬC TỰ DO CÓ CẢN<br /> <br /> NCS. NGUYỄN ĐẮC HƯNG<br /> <br /> <br /> Tóm tắt: Việc khảo sát dao động của hệ hai bậc tự do có cản là thiết lập và giải hệ phương<br /> trình vi phân cấp hai không thuần nhất. Đây là vấn đề khá phức tạp, nên người ta chỉ tìm nghiệm<br /> riêng mà chưa tìm được nghiệm tổng quát. Trong công trình này, tác giả trình bày cách thiết lập và<br /> giải bài toán nói trên và tìm nghiệm tổng quát của bài toán dưới dạng giải tích. Kết quả này là cơ<br /> sở nghiên cứu bài toán hạ chìm kết cấu là vật rắn tuyệt đối vào đất bằng cách ghép hai máy rung.<br /> <br /> Đặt vấn đề 2. Thiết lập và giải phương trình vi phân<br /> Trong các tài liệu [1], [2], [3], [4] đã có một chuyển động<br /> số tác giả nghiên cứu bài toán dao động của hệ 2.1. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động<br /> có hai bậc tự do và ứng dụng của nó vào bài Áp dụng phương trình Lagrange loại II, ta có:<br /> toán hạ chìm kết cấu được coi là vật rắn tuyệt d T T<br /> ( )  Qi i=1,2 (1)<br /> đối vào đất bằng cách ghép. Nhưng các tác giả dt q i qi<br /> chưa tìm được nghiệm tổng quát của bài toán T: động năng của hệ:<br /> dưới dạng giải tích tường minh. Trong công<br /> 1 1<br /> trình này, chúng tôi tiếp tục khảo sát bài toán T  m1q12  m2 q 22 (2)<br /> dao động của hệ có hai bậc tự do và tìm nghiệm 2 2<br /> Qi (i=1,2) là các lực suy rộng gồm lực có<br /> tổng quát dưới dạng giải tích tường minh.<br /> Thiết lập bài toán thế, lực cản, lực kích động.<br /> 1. Mô tả bài toán  <br /> Hệ dao động gồm hai máy rung khối lượng Qi     Qip (3)<br /> m1, m2 đặt trên hệ lò xo có đó cứng là C1, C2 và<br /> qi q i<br /> bộ giảm chấn có hệ số là α1, α2, chịu lực cưỡng  : thế năng của hệ.<br /> bức P1, P2. Vận tốc góc của 2 máy rung là ω. 1 1<br />   C1 q12  C 2 (q 2  q1 ) 2 (4)<br /> Toạ độ của máy một và máy hai tại vị trí cân 2 2<br /> bằng là h1, h2. Fms là ma sát nhớt ở mặt bên của  : hàm hao tán của hệ.<br /> máy một (hình 1). 1 1 1<br /> P2 q2    1q12   2 ( q 2  q1 ) 2  kq12 (5)<br /> 2 2 2<br /> m2 Qip (i=1,2) là các lực cưỡng bức suy rộng:<br /> Q1p = P1cosωt + P2cosωt;<br /> Q2p = P2cosωt (6)<br /> q1 Đạo hàm T,  và  theo toạ độ và vận tốc suy<br /> m1 P1<br /> C2 rộng, sau đó thay vào (1) ta có:<br /> 2<br /> m1q1  (1  k )q1   2 (q 2  q1 ) <br /> h2  (7)<br /> Fms  C1q1  C 2 (q2  q1 )  ( P1  P2 ) cos t<br /> m q   (q  q )  C q  q   P cos t<br /> h1  2 2 2 2 1 2 2 1 2<br /> <br /> C1 1<br /> 2.2. Giải hệ phương trình vi phân chuyển<br /> động (7)<br /> Điều kiện đầu : q1(0) = h1; q2(0) = h2;<br /> <br /> <br /> <br /> 85<br /> q1 (0)  0; q 2 (0)  0 c<br /> c21  c2 k  c1 2<br /> ;<br /> Các hệ số m, m2, α1, α2, C1, C2, P1, P2, k, ω, m1 .m2<br /> h1, h2 là các hằng số không âm. (13)<br /> c1c2<br /> Biến đổi hệ (7) về dạng sau: d ;<br /> m1q1  m2 q2  (1  k ) q1  C1q1  ( P1  2 P2 ) cos t (7’)<br /> m1 .m2<br /> <br /> m2 q2   2 ( q 2  q1 )  C 2 q2  q1   P2 cos t Giải (12) theo phương pháp Ferrary để<br /> Hệ (7’) viết dưới dạng phương trình ma trận là: tìm λ<br /> AQ  BQ  CQ  F (8) Lập phương trình phụ trợ:<br /> y3 – by2 + (ac –4d)y + (4bd –a2d – c2) = 0 (14)<br /> Trong đó:<br /> Áp dụng công thức Cardano để tìm một<br />  m m2    k 0  nghiệm của (14) ta được:<br /> A   1  ; B   1  ;<br />  0 m2   2 2  b 3 q q2 p3<br />  c 0 q  y0      <br /> C   1  ; Q   1  3 2 4 27<br /> (15)<br />   c 2 c2   q2  2 3<br /> q q p<br />  ( P  2 P2 ) cos t  3   <br /> F   1  2 4 27<br />  P2 cos  t  Trong đó:<br /> 2.2.1. Tìm nghiệm tổng quát của hệ thuần b2<br /> p  ac  4d  ;<br /> nhất tương ứng 3<br /> Hệ thuần nhất tương ứng của (8) là: abc  8bd 2b 3<br /> AQ   BQ  CQ  0 (9) q   a 2d  c 2<br /> 3 27<br /> z  Theo Ferrary từ (12) suy ra:<br /> Tìm Q = Zeλt với Z   1   0 .<br />  z2   2 a y0<br />   ( 2   )  ( 2   )  0<br /> Đạo hàm Q , Q  thay vào (9) và chia hai vế<br /> <br /> cho eλt, ta được: 2  ( a   )  ( y 0   )  0<br /> (λ2A + λB+ C)Z = 0 (10)  2 2<br /> Vì Z ≠ 0 nên từ (9) suy ra: với<br /> det(λ2A + λB+ C) = 0 (11) a2 ay  2c<br /> Suy ra   b  y0 ;   0 (16)<br /> 4 4<br />  2 A  B  C  Bốn nghiệm của (16) cũng là nghiệm của<br />  2 m1   ( 1  k )  c1 2 m2  (12) và có các trường hợp như sau:<br />   <br />    2  c2  m2   2  c 2 <br /> 2 a. Trường hợp λ là một nghiệm thực, đơn<br /> 4 3 2 của phương trình đặc trưng.<br /> ↔   a   b   c  d  0 (12)<br /> Trong đó:  q1   2 m1   2  c2  t<br /> Q1      e<br />  (17)<br /> m   m21  m2 k  m2 2<br /> a 1 2 ;  q2    2  c 2 <br /> m.m2 b. Trường hợp λ là một nghiệm thực, kép<br /> m1c2   2 1   2 k  m2 c1  m2 c2 của phương trình đặc trưng.<br /> b ;<br /> m1 .m2 q <br /> Khi đó Q1 như (17), nghiệm Q2   21  = Q1u(t),<br />  q 22 <br />  u (t ) <br /> với u(t) là ma trận hàm cần tìm. u (t )   1  .<br />  u 2 (t ) <br /> <br /> <br /> 86<br /> Đạo hàm Q2 theo t và thay Q2 , Q 2 , Q<br />  vào (9) ta có:<br />  u  G1u1  0<br /> 2 (a )<br /> AQ1u  (2 AQ 1  BQ1 )u  0 (18)  1<br /> u2  G2 u 2  0 (b )<br />  ( 1  k ) z1<br /> G1  2  m z  m z<br /> 1 1 2 2<br /> với   2 ( z 2  z1 ) (19)<br />  G2  2 <br />  m2 z 2<br /> Giải phương trình (a), (b). ta được:<br />  z1 (  G1 )t <br />  G1t  G2 t  e <br /> e e G1<br /> u1   e G1t dt  ; u2   Q2    (20)<br />  G1  G2  z 2 (  G2 )t <br />  G e <br />  2 <br /> c. Trường hợp λ là cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng λ1,2 = α ± iβ<br />   (m2 2  m2  2   2  c2 )  i(2m2   2  )  t<br />  1 <br /> Q  e (cos t  i sin t )<br /> <br />   ( 2  c2 )  i( 2  ) <br /> Thì <br />   (m2 2  m2  2   2  c 2 )  i(2m2   2  )  t<br /> Q   e (cos t  i sin t )<br />  2  ( 2  c 2 )  i( 2  ) <br />   <br /> 2 2<br /> Đặt H  m2  m2    2  c 2 ; L  2m 2   2  (21)<br /> M   2  c 2 ; N  2<br />  H  iL  t  H  iL  t<br /> Thì Q1   e (cos  t  i sin  t ); Q2   e (cos  t  i sin  t );<br />  M  iN   M  iN <br />  q11   q11  et ( H cos t  L sin t )<br /> Q1   ;  t<br />  q12  q12  e ( M cos t  N sin t ) (22)<br />  q   q  et ( L cos t  H sin t )<br /> Q1   21 ;  21 t<br />  q 22  q 22  e ( N cos t  M sin t )<br /> <br /> NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH (9)<br /> Q = C1Q1+ C2Q2+ C3Q3 + C4Q4<br /> Với C1, C2, C3, C4 là các hằng số được xác định từ điều kiện đầu của bài toán.<br /> 2.2.2 Tìm nghiệm riêng của hệ không thuần nhất<br /> m1q1  m2 q2  ( 1  k ) q1  C1q1  ( P1  2 P2 ) cos t<br />  (7’)<br /> m2 q2   2 ( q 2  q1 )  C 2 q2  q1   P2 cos t<br />  q1   q1  a1 cos t  b1 sin t<br /> Tìm nghiệm riêng dưới dạng: Q   ; <br /> <br />  q 2  q 2  a 2 cos t  b2 sin t<br /> Với a1, a2, b1, b2 được xác định nhờ ma trận sau đây:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 87<br />   c1  m1 2  m2 2  ( 1  k ) 0 p1  p 2 <br />  <br />    ( 1  k ) 0 c1  m1 2  m 2 2<br /> 0 <br />   (23)<br />   c2 c 2  m 2 2   2  2 p2 <br />      2  c2 c 2  m 2 2 0 <br />  2<br /> 2 2<br /> Đặt A1= xuv  c 2 uz  v( x  z ) A2 = uvz  c 2 ux  y ( x 2  z 2 )<br /> 2<br /> B1 = yuz  u v  xuv B2 = xyu  uvz  c 2 u 2 (24)<br /> C1= p 2 uz  (uv  vu )( p1  2 p 2 ) C2= (c 2 u  xy )( p1  2 p 2 )<br /> D = A1B2 – A2B1; D1 = B2C1 – B1C2; D2 = A1C2 – A2C1; (25)<br /> D Dp1  2 Dp2  xD1  uD2<br /> a1  1 ; b1  ;<br /> D Dz (26)<br /> D2 D( p1  2 p 2 ) x  ( x 2  z 2 ) D1  xuD2<br /> a2  ; b2  ;<br /> D Duz<br /> <br /> 3. Nghiệm của bài toán<br /> Q  C1Q1  C 2 Q2  C3 Q3  C 4 Q4  Q<br /> Trong đó: C1, C2, C3, C4 là các hằng số. Q1, Q2, Q3, Q4 là nghiệm tổng quát của phương trình<br /> q <br /> thuần nhất. Q   1  là nghiệm riêng được xác định ở trên.<br />  q2 <br /> Các trường hợp nghiệm của bài toán phụ thuộc vào ∆1, ∆2 (trong đó ∆1, ∆2 là biệt thức của<br /> phương trình thứ nhất và thứ hai của (16).<br /> 3.1. Trường hợp thứ nhất: ∆1, ∆2>0<br /> Phương trình đặc trưng có 4 nghiệm đơn, thực λ1, λ2, λ3, λ4<br /> q1  C1 k1e 1t  C 2 k 2 e 2t  C3 k 3 e 3t  C 4 k 4 e 4t  a1 cos t  b1 sin t<br />  1t 2t 3t 4 t (27)<br />  q 2  C1l1e  C 2 l 2 e  C3 l3 e  C 4 l 4 e  a 2 cos t  b2 sin t<br /> k i  2i m 2  i 2  c 2<br /> Trong đó: (i = 1,2,3,4) (28)<br /> l i  i  2  c 2<br /> C1, C2, C3, C4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:<br />  k1 k2 k3 k4 h1  a1 <br />  <br />  l1 l2 l3 l4 h2  a 2 <br />  k  k  k  k (29)<br />  b1 <br />  1 1 2 2 3 3 4 4<br /> <br /> l <br />  1 1  2 l 2  3 l 3  4 l 4  b2  <br /> 3.2. Trường hợp thứ hai: ∆1>0, ∆2= 0<br /> Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm đơn λ1, λ2 và một nghiệm kép λ3 = λ4<br />  t t t  k 3  (3 G31 )t<br /> q1  C1 k1e 1  C 2 k 2 e 2  C3 k 3 e 3  C 4   e  a1 cos t  b1 sin t<br />   G31  (30)<br /> <br />  q  C l e 1t  C l e 2t  C l e 3t  C   l3 e ( 3 G32 )t  a cos t  b sin t<br /> 4 <br />  2 1 1 2 2 3 3<br />  G32 <br /> 2 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 88<br />  ( 1  k )k 3<br /> G31  23 <br /> m1 k 3  m2 l 3<br /> Trong đó: (31)<br />  2 (l3  k 3 )<br /> G32  23 <br /> m2 l 3<br /> C1, C2, C3, C4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:<br />  k3 <br />  k1 k2 k3  h1  a1 <br />  G31 <br />  l <br />  l1 l2 l3  3 h2  a 2 <br /> G32 (32)<br />  <br />  k k<br />  2 k 2 3 k 3  3 (3  G31 )  b1 <br />  1 1 G31 <br />  l <br />  1l1 2 l 2 3 l 3  3 (3  G32 )  b2 <br />  G32<br />  <br /> <br /> 3.3. Trường hợp thứ ba: ∆1= ∆2= 0<br /> Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm kép λ1= λ2 và λ3 = λ4<br />  t  k1  ( 1 G11 )t  k <br /> q1  C1 k1 e 1  C 2   e  C 3 k 3 e 3t  C 4   3 e ( 3 G31 ) t  a1 cos t  b1 sin t<br />   G11   G31  (33)<br /> <br /> q  C l e 1t  C   l1 e ( 1 G12 ) t  C l e 3t  C   l 3 e ( 3 G32 )t  a cos t  b sin t<br /> 2  4 <br />  2 1 1<br />  G12 <br /> 3 3<br />  G32 <br /> 2 2<br /> <br /> <br /> <br /> ( 1  k ) k1<br /> G11  21 <br /> mk1  m2 l1<br /> Trong đó: (34)<br />  2 (l1  k1 )<br /> G12  21 <br /> m2 l1<br /> C1, C2, C3, C4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:<br />  k1 k3 <br />  k1  k3  h1  a1 <br />  G11 G31 <br />  l1 l <br />  l1 l3  3 h2  a 2 <br />  G12 G32 <br /> (35)<br />  k k k<br />  1 (1  G11 ) 3 k 3  3 (3  G31 )  b1 <br />  1 1 G11 G31 <br />  l1 l3 <br />  1l1 (1  G12 ) 3 l3  (3  G32 )  b2 <br />  G12 G32<br />  <br /> 3.4. Trường hợp thứ tư: ∆1>0, ∆2< 0<br /> Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực đơn λ1,λ2 và cặp nghiệp phức α ± iβ<br /> q1  C1 k1 e 1t  C 2 k 2 e 2t  C 3 e t ( H cos  t  L sin  t )<br /> <br />  C 4 e t ( L cos  t  H sin  t )  a1 cos t  b1 sin t<br />  1t 2t t (36)<br /> q 2  C1l1 e  C 2 l 2 e  C 3 e ( M cos  t  N sin  t )<br />  C e t ( N cos  t  M sin  t )  a cos t  b sin t<br />  4 2 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 89<br />  Trong đó: H  m2 2  m2  2   2  c 2 ; L  2m2   2 <br /> <br /> M   2  c2 ; N   2  (37)<br /> C1, C2, C3, C4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:<br />  k1 k2 H L h1  a1 <br />  <br />  l1 l2 M N h2  a 2 <br />  k (38)<br />  2 k 2 H   L L   H  b1 <br />  1 1 <br /> l 2 l 2 M  N N  M  b2 <br />  11<br /> 3.5. Trường hợp thứ năm: ∆1=0, ∆2< 0<br /> Phương trình đặc trưng có nghiệm thực kép λ1=λ2 và cặp nghiệm phức α ± iβ<br />  t  k1  ( 1  G11 )t<br />  q1  C1k1e 1  C2   e  C3et ( H cos t  L sin  t )<br />   G 11 <br />   C et ( L cos  t  H sin  t )  a cos t  b sin t<br /> 4 1 1<br />  (39)<br />  l <br /> q  C l e1t  C   1 e( 1  G12 )t  C et ( M cos t  N sin t )<br /> 2 <br />  2 11<br />  G12 <br /> 3<br /> <br /> <br />  C4et ( N cos  t  M sin  t )  a2 cos t  b2 sin t<br /> <br /> C1, C2, C3, C4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:<br />  k1 <br />  k1  H L h1  a1 <br />  G11 <br />  l <br />  l1  1 M N h2  a 2 <br /> G12<br />   (40)<br />  k k<br />  1 (1  G11 ) H  L L   H  b1 <br />  1 1 G11 <br />  l <br />  1l1  1 (1  G12 ) M  N N   M  b2 <br />  G12 <br /> 3.6. Trường hợp thứ sáu: ∆1