Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số bài tập về mạng đảo

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài tập trung nghiên cứu cấu trúc tinh thể của vật rắn và mạng đảo. Nội dung khóa luận có kết cấu gồm 2 chương như sau: Chương 1 - cấu trúc tinh thể của vật rắn; chương 2 - một số bài tập về mạng đảo. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số bài tập về mạng đảo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ĐINH THỊ HUẤN MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ĐINH THỊ HUẤN MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS.PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Một số bài tập về mạng đảo” đã đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của gia đình, bạn bè và thầy cô. Qua đây, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hƣớng dẫn – Ts.Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm khóa luận. Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trƣờng Đại học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận này. Xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè trong suốt quá trình làm khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày ,tháng ,năm 2017. Sinh viên Đinh Thị Huấn
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hƣớng dẫn của Ts.Phạm Thị Minh Hạnh. Các dữ liệu đƣa ra trong khóa luận là hoàn toàn trung thực và không trùng với các công trình nghiên cứu của các tác giả khác.
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đ ch nghiên cứu ..................................................................................... 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1 5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2 NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 CHƢƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN................................. 3 1.1. Mạng tinh thể ............................................................................................ 3 1.1.1. Mạng tinh thể lý tƣởng ............................................................................ 3 1.1.2. Ô cơ sở ................................................................................................... 3 1.1.3. Cấu trúc tinh thể .................................................................................... 5 1.2. Các phép đối xứng của mạng tinh thể ....................................................... 5 1.2.1. Phép đối xứng tinh thể ........................................................................... 5 1.2.2. Nhóm điểm trong mạng tinh thể ............................................................ 6 1.3. Các chỉ số Miller ....................................................................................... 6 1.3.1. Chỉ số nút ............................................................................................... 6 1.3.2. Chỉ số hƣớng ........................................................................................... 7 1.3.3. Chỉ số mặt phẳng .................................................................................... 8 1.4. Mạng Bravais .......................................................................................... 10
1.4.1. Mạng Bravais trong không gian ba chiều ............................................ 10 1.4.2. Phân loại các mạng Bravais ba chiều ................................................... 11 1.5. Một số cấu trúc tinh thể đơn giản............................................................ 12 1.5.1. Cấu trúc Natri Clorua ............................................................................ 12 1.5.2. Cấu trúc Xêsi Clorua ............................................................................. 13 1.5.3. Cấu trúc kim cƣơng ............................................................................... 14 1.5.4. Cấu trúc Kẽm Sunfua lập phƣơng (Sphalerite) và vuazit (wurtzite) .... 15 1.5.5. Cấu trúc xếp chặt các quả cầu ............................................................... 16 1.6. Mạng đảo ................................................................................................. 18 1.6.1. Định nghĩa mạng đảo ............................................................................ 18 1.6.2. Một vài tính chất của mạng đảo ............................................................ 19 1.6.3. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo ................................................................. 20 Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 21 CHƢƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO...................................... 22 Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 33 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 35
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý chất rắn nghiên cứu các tính chất và các quá trình vật lý xảy ra bên trong vật rắn. Các tính chất và quá trình đặc biệt này chỉ bộc lộ khi các nguyên tử hoặc các phân tử liên kết mạnh với nhau và sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong tinh thể. Mạng đảo là một khái niệm quan trọng trong vật lý chất rắn. Khái niệm về mạng đảo lần đầu tiên đƣợc nhà vật lý ngƣời Pháp Auguste Bravais đề xuất vào năm 1850 và nhà vật lý ngƣời Mỹ Josiah Willard Gibbs xây dựng vào năm 1881, nhƣng không đƣợc chú ý nhiều. Khái niệm này lại đƣợc Paul Peter Ewald và Max Theodor Felix von Laue Tái phát minh và phát triển trong thời gian từ 1911-1914 cùng với các phát hiện về sự nhiễu xạ tia X trên tinh thể. Khái niệm này tiếp tục đƣợc hoàn thiện bởi Paul Peter Ewald cho đến năm 1962. Mạng đảo giúp đơn giản hóa các bài toán tinh thể học và nhiễu xạ các sóng trên tinh thể. Chính vì các lí do trên tôi quyết định chọn và nghiên cứu đề tài "Một số bài tập về mạng đảo". 2. Mục đ ch nghi n cứu Nghiên cứu cấu trúc tinh thể của vật rắn. Nghiên cứu về mạng đảo. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mạng tinh thể của vật rắn. Mạng đảo. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu cấu trúc tinh thể của vật rắn. Giải quyết một số bài tập về mạng đảo. 1
. Phư ng ph p nghi n cứu Vật lý lý thuyết và vật lý toán. Đọc, nghiên cứu tài liệu. 6. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì khóa luận bao gồm hai chƣơng: CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO 2
NỘI DUNG CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN 1.1. Mạng tinh thể 1.1.1. Mạng tinh thể lý tưởng Trong vật rắn tinh thể, các nguyên tử và phân tử đƣợc sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong không gian tạo thành mạng tinh thể. Mạng tinh thể lý tƣởng: Tinh thể trong đó sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn. Tinh thể lý tƣởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là ở mọi nơi, nó đều chứa những loại nguyên tử nhƣ nhau, đƣợc phân bố nhƣ nhau. Tinh thể lý tƣởng phải có k ch thƣớc trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn làm ảnh hƣởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử. [4] 1.1.2. Ô cơ sở Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp hay ô cơ sở. Ở các tinh thể đơn giản nhƣ tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô cơ sở chỉ chứa một nguyên tử. Ở các tinh thể phức tạp, mỗi ô cơ sở có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử.[4] Hình 1.1. Mạng tinh thể 3
Vị trí của 1 hạt bất kì của mạng đƣợc xác định nhờ vectơ: ⃗⃗ = n1 + n2 ⃗ + n3 trong đó: n1, n2, n3 là các số nguyên ⃗⃗⃗ , ⃗ , là các vectơ cơ sở Hình hộp đƣợc tạo từ ba vectơ cơ sở ⃗⃗⃗ , ⃗ , đƣợc gọi là ô cơ sở. Tất cả các ô cơ sở tạo thành mạng có cùng một hình dạng và thể tích. Tại tất cả các đỉnh của ô có các nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử nhƣ nhau gắn vào. Vì vậy tất cả các đỉnh của ô là tƣơng đƣơng nhau và đƣợc gọi là nút mạng. Về mặt nguyên tắc, để mô tả một ô cơ sở phải biết 6 đại lƣợng: 3 cạnh của ô (a, b, c) và ba góc giữa chúng (α, β, γ). Ô cơ sở mà chỉ chứa các hạt ở tại các đỉnh đƣợc gọi là ô đơn giản hay ô nguyên thủy. Với loại ô này chỉ có một hạt trên một ô cơ sở. Trong nhiều trƣờng hợp, để mô tả một cách đầy đủ hơn tính chất đối xứng của mạng, ô cơ sở đƣợc xây dựng bằng cách nó chứa các hạt không chỉ ở đỉnh mà còn ở các điểm khác. Ô cơ sở này gọi là ô phức tạp, ví dụ: ô lập phƣơng tâm khối, ô lập phƣơng tâm diện….. Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.4 Hình 1.2. Ô lập phƣơng đơn giản Hình 1.3. Ô lập phƣơng tâm khối Hình 1.4. Ô lập phƣơng tâm diện 4
1.1.3. Cấu trúc tinh thể [4] Chuyển từ mạng không gian là mô hình toán học trừu tƣợng sang cấu trúc tinh thể. Ta có đƣợc cấu trúc thực của tinh thể nếu ta đặt nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử vào mỗi nút mạng hoặc gần mỗi nút mạng. Chẳng hạn có thể đặt các nguyên tử sao cho ở trạng thái cân bằng, hạt nhân của chúng nằm ở các nút mạng không gian. Còn trong tinh thể hiđrô (ở thể rắn) tại mỗi nút mạng là một phân tử H2. Trong các tinh thể phân tử, ở mỗi nút mạng là một phân tử có chứa hàng chục, có khi hàng trăm nguyên tử. Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử nhƣ vậy đƣợc gọi là gốc. Do đó, ta có thể viết một cách tƣợng trƣng: Mạng không gian + gốc = cấu trúc tinh thể. Vì l do đó mà cấu trúc tinh thể có thể có những yếu tố đối xứng mà mạng không gian không có, đó là các trục xoắn ốc và mặt phẳng trƣợt. 1.2. C c phép đối xứng của mạng tinh thể [1] 1.2.1. Phép đối xứng tinh thể Tất cả các tinh thể đều có một tính chất chung là tính chất tuần hoàn tịnh tiến, ngoài ra, tùy vào các trƣờng hợp cụ thể chúng còn có thể có (hoặc không có) các tính chất đối xứng khác nữa. Phép đối xứng của tinh thể đƣợc định nghĩa chung nhƣ sau: Nếu sau một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong tinh thể) nào đó mà mạng tinh thể chuyển sang một vị trí mới hoàn toàn giống nhƣ vị tr cũ (chỉ có sự đổi chỗ các nguyên tử cùng loại) thì phép biến đổi này đƣợc gọi là phép đối xứng của tinh thể. Các phép đối xứng chủ yếu của mạng tinh thể là: + Tịnh tiến + Quay quanh một trục 5
+ Phản xạ gƣơng (qua một mặt phẳng) và các tổ hợp khác nhau của chúng. Chú ý: Có những trƣờng hợp mà một phép biến đổi trên đây, nếu xét đơn lẻ thì không phải là một phép đối xứng, nhƣng nếu xét một tổ hợp nhất định nào đó của chúng với nhau thì lại là một phép đối xứng. 1.2.2. Nhóm điểm trong mạng tinh thể [1] Một tập hợp các biến đổi đối xứng đi kèm thêm với hai định nghĩa: định nghĩa t ch của hai yếu tố và định nghĩa yếu tố nghịch đảo sẽ lập thành một nhóm. Các thí dụ về nhóm trong tinh thể là: + Nhóm tịnh tiến T(R) + Nhóm quay quanh một trục bậc n (góc quay là bội của 2 /n, với n = 1, 2, 3, 4, 6): Cn + Nhóm quay - nghịch đảo: Sn + Nhóm quay - phản xạ gƣơng: Cnv, Cnh. + Nhóm quay quanh hai trục, một trục bậc n và một trục bậc hai vuông góc với trục bậc n: Dn. Đáng chú ý là tất cả các biến đổi thuộc nhiều nhóm đối xứng của tinh thể, thí dụ: Cn, Cnv, Cnh, Sn, Dn…đều giữ cố định một điểm nào đó của tinh thể. Các nhóm có tính chất nhƣ vậy đƣợc gọi là các nhóm điểm. Tập hợp tất cả các phép đối xứng khác nhau của tinh thể lập thành một nhóm gọi là nhóm không gian của tinh thể. Có tất cả 230 nhóm không gian, tức là có 230 loại tinh thể có các tính chất đối xứng không gian khác nhau. 1.3. Các chỉ số Miller Để chỉ rõ các nút, các hƣớng và các mặt trong mạng tinh thể, ngƣời ta dùng các chỉ số Miller. 1.3.1. Chỉ số nút [3] Vị trí của nút đƣợc xác định bởi 3 tọa độ x, y, z. 6
Nếu tọa độ của nút M là x = ma, y = nb, z = pc, thì chỉ số của nút M là [[mnp]]. Nếu nút có tọa độ âm thì ghi dấu “-“ ở phía trên chỉ số tọa độ đó, th dụ: tọa độ của nút N là x = ma, y = nb, z = -pc, chỉ số của nút N là [[mn ̅]]. 𝑧 pc M [[mnp]] ma 𝑥 nb 𝑦 -pc N [[mn𝑝̅]] Hình 1.5. Chỉ số nút của điểm M và N 1.3.2. Chỉ số hướng [3] Để biểu thị một hƣớng ngƣời ta dựng đƣờng thẳng đi qua gốc tọa độ và song song với hƣớng đó. Vị trí của đƣờng thẳng này (cũng là vị trí vủa hƣớng nói trên) đƣợc xác định bằng chỉ số nút [[mnp]] của nút đầu tiên mà đƣờng thẳng này đi qua và chỉ số hƣớng đó đƣợc kí hiệu là [mnp]. 7
𝑧 [001] [011] [111] [[011]] 𝑥 [100] [[110]] [010] 𝑦 [110] Hình 1.6. Chỉ số của một số nút và một số hƣớng trong mạng lập phƣơng. Các hƣớng tƣơng đƣơng nhau về tính chất đối xứng tạo thành một họ hƣớng và đƣợc kí hiệu là . Thí dụ trong hệ lập phƣơng, họ hƣớng biểu thị các hƣớng [100], [ ̅ 00], [0 ̅ 0], [001], và [00 ̅ ]. 1.3.3. Chỉ số mặt phẳng [4] Trong mạng không gian, đƣờng thẳng đi qua vô số các nút mạng đƣợc gọi là đƣờng thẳng mạng. Có thể chứng minh đƣợc rằng đƣờng thẳng đi qua hai nút mạng, thì nó là đƣờng thẳng mạng. Mặt phẳng có chứa vô số các nút mạng đƣợc gọi là mặt phẳng mạng. Mặt phẳng chứa ba nút mạng là mặt phẳng mạng. Để xác định đƣờng thẳng mạng và mặt phẳng mạng ta sử dụng hệ tọa độ xyz có các trục dựa trên ba vectơ cơ sở ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ . Gốc O của hệ tọa độ đặt ở một nút mạng. 8
𝑧 C (0, 0, n3a3) ⃗⃗⃗⃗ 𝑎 B (0, n2a2, 0) ⃗⃗⃗⃗ 𝑎 O 𝑦 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ A (n1a1, 0, 0) 𝑥 Hình 1.7. Một mặt phẳng mạng cắt các trục tọa độ tại các nút có các tọa độ (n1a1, 0, 0), (0, n2a2, 0), (0, 0, n3a3) (hình 1.7). Để kí hiệu mặt phẳng này, ta dùng các chỉ số Miller đƣợc xác định nhƣ sau: Viết tọa độ của các giao điểm của mặt phẳng mạng với các trục tọa độ theo đơn vị a1, a2, a3, tức là n1, n2, n3. Lấy nghịch đảo của chúng , , Tìm bộ ba số nguyên h, k, l có trị số nhỏ nhất sao cho: h:k:l= : : Bộ ba số h, k, l đƣợc đặt trong dấu ngoặc (h k l) và đƣợc gọi là chỉ số Miller của mặt phẳng mạng. Ví dụ: n1 = 3, n2 = 4, n3 = 2, do đó: h:k:l= : : = : : = 4 : 3 : 6. Vậy chỉ số Miller của mặt phẳng đó là (4, 3, 6). Các mặt phẳng mạng song song nhau có cùng chỉ số Miller. Vì vậy chỉ số Miller (h k l) có thể kí hiệu một mặt phẳng hoặc một họ các mặt phẳng song song với nhau. 9
Nếu mặt phẳng mạng song song với một trục tọa độ, thì coi nhƣ nó cắt trục đó ở vô cực, và chỉ số Miller tƣơng ứng với trục đó bằng 0. Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ở điểm có tọa độ âm thì chỉ số Miller tƣơng ứng có dấu âm, và đƣợc kí hiệu bằng dấu “-“ bên trên chỉ số đó. Ví dụ (h ̅ l). 1.4. Mạng Bravais [3] 1.4.1. Mạng Bravais trong không gian ba chiều Trong tinh thể ba chiều, ta cũng luôn luôn chọn đƣợc ba vectơ ⃗⃗⃗ , ⃗ , sao cho khi dịch chuyển tinh thể theo vectơ: ⃗ = n1⃗⃗⃗ + n2 ⃗ + n3 với n1, n2, n3 là những số nguyên bất kì, thì tinh thể lại trùng với chính nó. 𝑅⃗ ⃗⃗𝑟 𝑟 𝑐 ⃗ 𝑏 𝑎 Hình 1.8. Mạng không gian ba chiều. Vectơ tịnh tiến tinh thể ⃗ ⃗ Nói cách khác những điểm có bán k nh vectơ ⃗⃗ đƣợc xác định bằng biểu thức: ⃗⃗ = + ⃗ hoàn toàn tƣơng đƣơng với điểm có bán k nh vectơ . Phép dịch chuyển ⃗ nói trên gọi là phép tịnh tiến tinh thể. 10
Tập hợp các điểm có bán k nh vectơ ⃗⃗ tạo thành một mạng không gian gọi là mạng Bravais, còn ch nh các điểm đó gọi là các nút mạng. Ba vectơ ⃗⃗⃗ , ⃗ , gọi là các vectơ cơ sở, chiều dài của chúng gọi là hằng số mạng hay chu kì mạng, hình hộp tạo bởi các vectơ cơ sở gọi là ô đơn vị hay ô cơ sở. 1.4.2. Phân loại các mạng Bravais ba chiều Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian, ngƣời ta chia chúng thành 7 hệ tinh thể, ứng với 14 loại mạng Bravais nhƣ sau: Bảng 1.1. Phân loại các mạng Bravais ba chiều Số Hệ tinh Đặc điểm của ô cơ sở 14 loại mạng Bravais thứ tự thể a#b#c 1 Tam tà Tam tà đơn giản α#β#γ a#b#c Đơn tà đơn giản 2 Đơn tà α=γ= Đơn tà tâm đáy β# Thoi đơn giản a#b#c Thoi tâm khối 3 Thoi α=β=γ= Thoi tâm đáy Thoi tâm mặt a=b#c Tứ giác đơn giản 4 Tứ giác α=β=γ= Tứ giác tâm khối a=b=c Tam 5 α=β=γ< Tam giác đơn giản giác α=β=γ# 6 Lập a=b=c Lập phƣơng đơn giản 11
phƣơng α = β = γ = Lập phƣơng tâm khối Lập phƣơng tâm mặt a=b#c Lục 7 α=β= Lục giác đơn giản giác γ= 1.5. Một số cấu trúc tinh thể đ n giản [3] 1.5.1. Cấu trúc Natri Clorua Hình 1.9. Cấu trúc NaCl Mạng không gian Bravais là mạng lập phƣơng tâm mặt, gốc mạng gồm hai nguyên tử: nguyên tử Cl nằm tại vị trí 0 0 0, nguyên tử Na nằm tại vị trí . Trong một ô cơ sở có 4 nguyên tử Cl và 4 nguyên tử Na nằm tại các vị trí sau: Cl: 0 0 0 0 0 0 Na: 0 0 0 0 0 0 12
Mỗi nguyên tử có 6 nguyên tử khác loại nằm ở lân cận gần nhất, do đó số phối vị là 6. Một số tinh thể có cấu trúc NaCl đƣợc dẫn ra trong bảng 1.2 trong đó a là hằng số mạng. Bảng 1.2. Các tinh thể có cấu trúc NaCl Tinh thể a (Å) Tinh thể a (Å) LiH 4,08 AgBr 5,77 MgO 4,20 PbS 5,92 MnO 4,43 KCl 6,29 NaCl 5,63 KBr 6,59 1.5.2. Cấu trúc Xêsi Clorua Hình 1.10. Cấu trúc CsCl Mạng không gian là mạng lập phƣơng, gốc mạng gồm hai nguyên tử: nguyên tử Cs nằm tại vị trí 0 0 0 nguyên tử Cl nằm tại vị trí . 13
Bảng 1.3. Các tinh thể có cấu trúc CsCl Tinh thể a (Å) Tinh thể a (Å) BeCu 2,70 LiHg 3,29 AlNi 2,88 NH4Cl 3,87 CuZn 2,94 TlBr 3,97 CuPd 2,99 CsCl 4,11 Trong một ô cơ sở có 1 nguyên tử Cs và một nguyên tử Cl nằm ở vị trí nhƣ trên. Mỗi nguyên tử có 8 nguyên tử khác loại ở vị trí lân cận gần nhất, vì thế số phối vị bằng 8. Một số tinh thể có cấu trúc tƣơng tự CsCl đƣợc dẫn ra trong bảng 1.3. 1.5.3. Cấu trúc kim cương Hình 1.11. Cấu trúc kim cƣơng. Mạng không gian của cấu trúc kim cƣơng là mạng lập phƣơng tâm mặt, gốc mạng gồm hai nguyên tử nằm tại các vị trí: 0 0 0; . 14