Khóa luận tốt nghiệp đại học: Phương trình vi phân cấp cao và ứng dụng trong vật lý

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận bao gồm 2 chương: chương 1 của khóa luận trình bày tổng quát về phương trình vi phân cấp cao phân dạng và đưa ra lời giải tổng quát cho một số dạng phương trình vi phân đặc biệt, còn chương 2 sẽ trình bày về ứng dụng của phương trình vi phân cấp cao trong Vật lý.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Phương trình vi phân cấp cao và ứng dụng trong vật lý

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ LINH PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ LINH PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: T.S HÀ THANH HÙNG HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả thầy giáo và cô giáo Khoa Vật lí trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy giúp đỡ tôi trong suốt thời gian theo học tại trƣờng và đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Hà Thanh Hùng ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn tôi đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ tôi hoàn thiện đề tài khóa luận tốt nghiệp này. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhƣng do lần đầu làm công tác nghiên cứu khoa học cũng nhƣ hạn chế về kinh nghiệm và kiến thức nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn đọc để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Linh
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dƣới sự hƣớng dẫn của thầy giáo Hà Thanh Hùng khóa luận của tôi đƣợc hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và trích dẫn rõ ràng. Tôi xin chịu trách nhiệm hoàn toàn về lời cam đoan này. Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Linh
MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................ 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................... 1 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ........................................................ 1 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ...................................................................... 2 6. Bố cục của khóa luận ............................................................................ 2 PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................... 3 CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO................................... 3 1.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số. ...................... 6 1.1.1. Hàm bù yc  x  ................................................................................ 6 1.1.2. Nghiệm riêng y p  x  . ................................................................... 10 1.1.3. Cấu trúc nghiệm tổng quát ........................................................... 13 1.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số. ..................... 14 1.2.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính Legendre và Euler. .................... 15 1.2.2. Phƣơng trình vi phân chính xác ................................................... 18 1.3. Phƣơng trình vi phân cấp cao thuần nhất ........................................ 20 1.3.1 Phƣơng trình thuần nhất đẳng cấp ................................................. 20 1.3.2 Phƣơng trình thuần nhất chỉ với x hoặc chỉ với y .......................... 22 1.4. Phƣơng trình vi phân có nghiệm là hàm luỹ thừa ........................... 24 1.5. Phƣơng trình vi phân tổng quát ....................................................... 24 1.5.1. Phƣơng trình vi phân không có biến phụ thuộc. ........................... 25 1.5.2. Phƣơng trình vi phân không có biến độc lập. ............................... 26 CHƢƠNG 2. NG D NG C PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO TRONG V T L ........................................................................................... 29
2.1. Phép biến đổi Laplace .......................................................................... 29 2.2. Hàm Green ........................................................................................... 32 2.3. Phƣơng trình vi phân thuần nhất chỉ với x hoặc y................................ 34 2.4. Phƣơng trình vi phân có hệ số là hằng số ............................................ 35 KẾT LU N ..................................................................................................... 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 39
PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý học vốn là một ngành khoa học tự nhiên tìm hiểu về cấu trúc và các quy luật vận động của thế giới vật chất trong tự nhiên và là một ngành khoa học thực nghiệm. Trong thực tiễn, Vật lý và Toán học luôn luôn có mối quan hệ mật thiết với nhau, Vật lý sử dụng những công cụ của Toán học có sẵn đồng thời sẽ đặt ra những yêu cầu mới đối với Toán học. Phƣơng trình vi phân trong Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong Vật lý. Tuy nhiên kiến thức về phƣơng trình vi phân cấp cao còn chƣa rõ ràng và khá khó hiểu đối với ngƣời học. Để giúp ngƣời học hiểu rõ hơn những kiến thức về phƣơng trình vi phân cấp cao cũng nhƣ vai trò của phƣơng trình vi phân cấp cao trong Vật lý tôi đã quyết định chọn đề tài: “PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ”. 2. Mục đích nghiên cứu Khóa luận bao gồm 2 chƣơng: chƣơng 1 của khóa luận tôi sẽ trình bày tổng quát về phƣơng trình vi phân cấp cao phân dạng và đƣa ra lời giải tổng quát cho một số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt, còn chƣơng 2 sẽ trình bày về ứng dụng của phƣơng trình vi phân cấp cao trong Vật lý. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Giới thiệu tổng quát về phƣơng trình vi phân cấp cao. 2. Phân loại và đƣa ra phƣơng pháp giải các dạng phƣơng trình vi phân cấp cao. 3. ng dụng của phƣơng trình vi phân cấp cao trong vật lý. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đề tài này chủ yếu nghiên cứu về một số dạng phƣơng trình vi phân cấp cao và ứng dụng của nó trong Vật lý. 1
5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc sách và tham khảo tài liệu. - Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp. - Phƣơng pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên. 6. Bố cục của khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, phần Nội dung của khóa luận bao gồm: Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân cấp cao Chƣơng 2: ng dụng của phƣơng trình vi phân cấp cao trong Vật lý 2
PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Phƣơng trình vi phân cấp cao là phần đƣợc mở rộng nghiên cứu tiếp theo của các phƣơng trình vi phân thông thƣờng cấp một, việc giải các phƣơng trình vi phân cấp cao đƣợc dựa chủ yếu trên cơ sở từ các phƣơng trình vi phân cấp một. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao đƣợc tập trung với ba khía cạnh chính: i) Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số. ii) Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số. iii) Một số phƣơng pháp giải tổng quát các phƣơng trình vi phân tuyến tính và không tuyến tính. Sau đây, chúng ta bắt đầu với một số các khái niệm cơ bản của phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao. Các phƣơng trình vi phân thông thƣờng là các phƣơng trình có chứa các đạo hàm toàn phần của hàm cần tìm y theo biến số x, mà không chứa các đạo hàm riêng phần. Phƣơng trình vi phân cấp cao là các phƣơng trình vi phân thông thƣờng có chứa các đạo hàm từ cấp hai trở lên của hàm y(x). Trong thực tế, để mô tả các hệ vật lý bằng ngôn ngữ toán học, chúng ta thƣờng gặp các phƣơng trình vi phân cấp cao một cách rất tự nhiên, đặc biệt là các phƣơng trình vi phân cấp hai. Do vậy, trƣớc tiên chúng ta quan tâm đến các phƣơng trình vi phân cấp hai trƣớc, trên cơ sở đó chúng ta sẽ tiếp tục mở rộng với các phƣơng trình vi phân cấp n (n>2). Một phƣơng trình vi phân thông thƣờng cấp cao, đƣợc đƣa ra dƣới dạng tổng quát: 3
dny d n1 y dy an  x  n  an1  x  n1   a1  x   a0  x  y  f  x  . (1) dx dx dx Nếu f ( x)  0 , thì phƣơng trình vi phân trên gọi là thuần nhất, ngƣợc lại thì phƣơng trình vi phân đƣợc gọi là không thuần nhất. Tƣơng tự với các phƣơng trình vi phân cấp một, nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1) sẽ chứa n tham số tùy ý và để xác định cụ thể n tham số này, chúng ta cần n điều kiện biên. Để giải phƣơng trình (1), chúng ta cần tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng, còn gọi là phƣơng trình bổ sung, tức là tìm nghiệm của phƣơng trình: dny d n1 y dy an  x   an 1   x   a1  x   a0  x  y  0 . (2) dx n dx n1 dx Nghiệm của phƣơng trình (2), đƣợc đƣa ra trên cơ sở chúng ta biết đƣợc n nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2). Giả sử, chúng ta có n nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2), ký hiệu là: y1 ( x); y2 ( x);...; yn ( x), thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2) đƣợc viết nhƣ là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm riêng. yc ( x)  c1 y1 (x)  c2 y2 (x)  ...  cn yn (x) , (3) Trong đó, ci , i  1, n là các hệ số Từ điều kiện các nghiệm riêng là độc lập tuyến tính nên hệ quả tất yếu là nếu: c1 y1 (x)  c2 y2 (x)  ...  cn yn (x)  0 (4) Thì kéo theo tất cả các hệ số bằng không, tức là: c1  c2  ...  cn  0 (5) 4
Đây là điều kiện để ràng buộc (2) không có nghiệm tầm thƣờng.Sử dụng điều kiện này và thay (2) vào (3), chúng ta có hệ phƣơng trình sau: c1 y1 (x)  c 2 y2 (x)  ...  c n yn (x)  0 c y ' (x)  c y ' (x)  ...  c y ' (x)  0  1 1 2 2 n n  (6) ... c y ( n1) (x)  c y ( n1) (x)  ...  c y ( n1) (x)  0  1 1 2 2 n n Từ hệ phƣơng trình (6), ta thấy điều kiện để phƣơng trình (2) có nghiệm không tầm thƣờng, liên quan đến một định thức sau, gọi là Wronskian, kí hiệu là Ws (y1, y2 ,..., yn ) :  y1 yn  Ws (y1 , y 2 ,..., y n )     (7)  y (n 1) (n 1)   1 yn  Điều kiện để phƣơng trình (2) có nghiệm không tầm thƣờng thì Wronskian phải khác 0. Ws (y1, y2 ,..., yn )  0 (8) Trở lại với phƣơng trình vi phân cấp cao có vế phải khác 0, tức là phƣơng trình vi phân cấp cao không thuần nhất, khi đó nghiệm của tổng quát của phƣơng trình sẽ bao gồm hai phần: phần thứ nhất là nghiệm yc (x) xác định từ (3), phần thứ hai là y p (x) , gọi là nghiệm riêng của phƣơng trình (1). Nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1) bây giờ có dạng. y(x)  yc (x)  y p (x) , (9) Phƣơng trình (9), chính là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1), đây cũng là phƣơng pháp chung để sử dụng tìm nghiệm cho các phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao. Tuy nhiên, với các phƣơng trình vi phân phi tuyến tính cấp cao thì không thể áp dụng phƣơng pháp trên để tìm nghiệm tổng 5
quát, việc tìm nghiệm còn phức tạp hơn nhiều và thông thƣờng, chúng ta phải dựa vào đặc điểm từng phƣơng trình cụ thể để tìm nghiệm tƣơng ứng. 1.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số. Phƣơng trình vi phân tuyến tính có hệ số là hằng số có dạng: dny d n1 y dy an n  an1 n1   a1  a0 y  f  x  . (1.1) dx dx dx Với các hệ số a0 , a1,..., an là các hằng số thực. Phƣơng trình dạng này là rất phổ biến trong các ngành khoa học vật lý và kỹ thuật, và nghiệm của nó rơi vào hai phần nhƣ đã thảo luận trong phần trƣớc, nghĩa là hàm bù yc  x  và tích phân riêng y p  x  . Nếu trong (1.1) f  x   0 thì chúng ta không cần phải tìm tích phân riêng, và hàm bù là một nghiệm tổng quát. 1.1.1. Hàm bù yc  x  Hàm bù phải thỏa mãn dny d n1 y dy an  x  n  an1  x  n1   a1  x   a0  x  y  0 (1.2) dx dx dx và chứa n hằng số tuỳ ý (3). Phƣơng pháp chuẩn để tìm hàm bù yc  x  là thế y  Ae x vào (1.2). Sau khi chia phƣơng trình kết quả cho Ae x , ta thu đƣợc phƣơng trình đại số cấp n của λ; đây gọi là phƣơng trình đặc trƣng tƣơng ứng với (1.2) ann  an1n1  ...  a1  a0  0 . (1.3) Các phƣơng trình đặc trƣng có n nghiệm là 1, 2 ,..., n có thể chia ra thành ba trƣờng hợp chính nhƣ sau: i. Toàn bộ nghiệm thực khác nhau. Trong trƣờng hợp này, n nghiệm riêng của (1.2) là exp m x với m  1, n . Bằng cách tính Wronskian ta dễ dàng chứng minh đƣợc nếu tất cả các m là 6
khác biệt thì nghiệm này là độc lập tuyến tính do đó lập nên hệ nghiệm cơ bản của phƣơng trình (1.2). Nhƣ vậy nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng: yc  x   c1e1x  c2e2 x  ...  cnen x . (1.4) Ví dụ: Xét phƣơng trình d3y d2y dy   4  4 y  0. dx3 dx 2 dx Phƣơng trình đặc trƣng tƣơng ứng là:  3   2  4  4  0 Hay    1   2  4   0    1   2   2  0 Do đó phƣơng trình đặc trƣng có các nghiệm thực khác nhau:   1,   2,   2. Phƣơng trình vi phân đang xét có hệ nghiệm cơ bản là: y1  e x , y2  e2 x , y3  e2 x . Vì vậy nghiệm tổng quát có dạng: y  y1  y2  y3  y  c1e x  c2e2 x  c3e2 x . ii. Toàn bộ nghiệm khác nhau nhƣng có một số nghiệm phức. Nếu một trong những nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng (1.3) là   i , thì liên hợp phức   i  của nó cũng là một nghiệm. Nhƣ vậy ứng với mỗi cặp nghiệm phức liên hợp này ta xây dựng đƣợc hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của phƣơng trình (1.2) là e x cos  x, e x sin  x . Trong trƣờng hợp này, ta có thể viết đƣợc hệ nghiệm cơ bản của (1.2) nhƣ sau: sin  c1e  e x  d1 cos  x  d 2 sin  x   Ae x     x     i   x  c2e  i   x (1.5) cos  7
Ví dụ: Xét phƣơng trình d3y d2y dy 3  3 2  9  13 y  0. dx dx dx Phƣơng trình đặc trƣng có dạng:  3  3 2  9  13  0 Hay    1   2  4  13  0 Do đó phƣơng trình đặc trƣng có các nghiệm là: 1  1, 2  2  3i, 3  2  3i. Theo lý luận trên ta đƣợc ba nghiệm thực độc lập tuyến tính của phƣơng trình đang xét là: y1  c1e x , y2  c2e2 x cos3x, y3  c3e2 x sin3x Do đó nghiệm tổng quát có dạng: y  y1  y2  y3  y  c1e x  c2e2 x cos3x  c3e2 x sin3x. iii. Phƣơng trình có một số nghiệm bội. Nếu nghiệm nào đó của phƣơng trình đặc trƣng có bội  2 thì bằng cách xây dựng nghiệm nhƣ các phần i và ii ta không thể xây dựng đủ n nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2). Cụ thể, chẳng hạn nghiệm 1 bội k , còn các nghiệm còn lại là đơn thì bằng cách xây dựng nhƣ trên ta chỉ đƣợc n  k  1 nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2). Do đó chúng ta phải tìm thêm k  1 nghiệm là độc lập tuyến tính nữa. Thế trực tiếp vào ( 1.2) ta nhận thấy các hàm xe1x , x 2e1x ,...., x k 1e1x cũng là nghiệm, và bằng cách tính Wronskian dễ dàng thấy các nghiệm cùng một họ, và nó bổ sung vào k  1 nghiệm độc lập tuyến tính thiếu ở trên. Do đó hàm bù đƣợc tính bằng cách lấy yc  x    c1  c2 x   ck x k 1  e1x  ck 1ek 1x  ck 2ek  2 x   cnen x . (1.6) 8
Nếu 1 là nghiệm phức bội k của phƣơng trình đặc trƣng và, 2 là nghiệm phức bội l ( k  1, l  1 ) thì từ lập luận bên trên, ta có hàm bù y  x  c  c x  1 2  ck x k 1  e1x   ck 1  ck 2 x   ck l x l 1  e 2 x . (1.7) c ck l 1ek l 1x  ck l  2e k l  2 x   cnen x Ví dụ: Xét phƣơng trình d3y d2y dy 3  3 2  3  y  0. dx dx dx Phƣơng trình đặc trƣng có dạng:  3  3 2  3  1  0 Hay    1 0 3 Suy ra nghiệm   1 bội 3. Các hàm e x , xe x , x 2e x lập nên hệ nghiệm cơ bản. Vậy nghiệm tổng quát có dạng: y  c1e x  c2 xe x  c3 x 2e x . Ví dụ: Tìm hàm bù của phƣơng trình d2y dy 2  2  y  ex. (1.8) dx dx Lời giải Đặt vế phải bằng 0, thế y  Ae x Sau đó rút gọn phƣơng trình cho: Ae x Ta thu đƣợc phƣơng trình đặc trƣng:  2  2  1  0 9
   1 0 2 Hay Nghiệm λ = 1 bội 2. Cho nên mặc dù e x là nghiệm của (1.8), chúng ta phải tìm một nghiệm nữa để cho phƣơng trình là độc lập tuyến tính với e x . Suy ra xe x cũng là một nghiệm. Các hàm e x , xe x lập nên hệ nghiệm cơ bản của phƣơng trình. Hàm bù đƣợc tính bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm yc  x    c1  c2 x  e x . Phƣơng pháp giải: Đặt vế phải của phƣơng trình vi phân bằng 0 (nếu vế phải chƣa bằng 0), và thế y  Ae x . Sau khi rút gọn phƣơng trình bằng cách chia cho Ae x , ta đƣợc một phƣơng trình cấp n của λ (phƣơng trình đặc trƣng (1.3)). Giải các phƣơng trình đặc trƣng ta tìm đƣợc n nghiệm của phƣơng trình này là: 1, 2 ,..., n . Nếu tất cả các nghiệm này là các nghiệm thực khác nhau thì yc  x  đƣợc cho bởi (1.4). Tuy nhiên, nếu một số là nghiệm phức hoặc nghiệm bội thì yc  x  đƣợc cho bởi (1.5) hoặc (1.6), hoặc phần mở rộng (1.7). 1.1.2. Nghiệm riêng y p  x  . Không có phƣơng pháp nào nói chung để tìm nghiệm riêng y p  x  nhƣng khi cho phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số và vế phải đơn giản, y p  x  có thể đƣợc tìm thấy qua kiểm tra hay là bằng giả thiết dạng tham số hóa tƣơng tự với f  x  . Phƣơng pháp đó gọi là phƣơng pháp hệ số bất định. 10
Phƣơng pháp hệ số bất định: Nếu f  x  có dạng đặc biệt (chỉ chứa đa thức, số mũ, hay là số hạng sin và cosin) ta giả thiết hàm cơ sở cho y p  x  trong từng dạng của f  x  tuy nhiên trong y p  x  có chứa một số tham số bất định. Sau đó thế hàm cơ sở này vào (1.2), từ đây có thể tìm đƣợc tham số và suy ra y p  x  . Hàm f  x  có những dạng đặc biệt (khá thông dụng) nhƣ sau. i. Nếu f  x   aerx thì y p  x   berx . ii. Nếu f  x   a1 sin rx  a2 cos rx ( a1 hoặc a2 có thể bằng 0) thì y p  x   b1 sin rx  b2 cos rx. iii. Nếu f  x   a0  a1 x   aN x N ( một vài am có thể bằng 0) thì y p  x   b0  b1x   bN x N . iv. Nếu f  x  không có dạng đặc biệt nhƣ trên nhƣng có thể viết f  x   f1  x   f 2  x  hoặc f  x   f1  x   f 2  x  với f1  x  , f 2  x  là các dạng đặc biệt trên thì y p  x  đƣợc tính nhƣ tổng hay là tích số của hàm cơ sở tƣơng ứng. Cần lƣu ý rằng phƣơng pháp này không thể thành công nếu số hạng bất kỳ trong hàm cơ sở cũng chứa trong hàm bù. Trong trƣờng hợp nhƣ vậy ta cần phải nhân hàm cơ sở với bội số nguyên bé nhất của x thì lúc này hàm cơ sở sẽ không chứa số hạng đã xuất hiện trong hàm bù. Hệ số bất định trong hàm cơ sở có thể đƣợc thay thế vào (1.1). 11
Ba phƣơng pháp hữu ích hơn trong tìm nghiệm riêng y p  x  là sử dụng hàm Green, biến thiên hằng số, và thay đổi biến phụ thuộc dùng kiến thức về hàm bù. Tuy nhiên, vì phƣơng pháp này cũng đƣợc áp dụng cho các phƣơng trình với hệ số là biến số, ta sẽ thảo luận về chúng trong phần 1.2. Ví dụ: Tìm nghiệm riêng của phƣơng trình d2y dy 2  2  y  ex. dx dx Lời giải Ta thấy: f  x  ex Suy ra nghiệm riêng sẽ có dạng: y p  x   be x . Tuy nhiên, phƣơng trình này có hàm bù là: yc  x    c1  c2 x  e x Trong hàm bù có chứa e x , xe x . Ta cần nhân be x với bội số nguyên nhỏ nhất của x sao cho kết quả không xuất hiện trong yc  x  . Do đó ta có: y p  x   bx 2e x . Thế vào phƣơng trình vi phân, ta đƣợc: b 1 2 Vậy nên nghiệm riêng có dạng: x 2e x yp  x  . 2 12
Phƣơng pháp giải: Nếu vế phải của phƣơng trình vi phân chỉ chứa các hàm f  x  có dạng đặc biệt đã đề cập ở phần đầu của tiểu mục này thì thay thế các hàm cơ sở thích hợp cho y p  x  , từ đó cố định tham số bất định . Tuy nhiên, nếu vế phải của phƣơng trình không theo các dạng đặc biệt này thì một trong các phƣơng pháp tổng quát là phƣơng pháp biến thiên tham số. 1.1.3. Cấu trúc nghiệm tổng quát Nhƣ đã nói ở phần trƣớc, các nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân (1.1) đƣợc tìm thấy bằng cách lấy tổng hàm bù và bất kỳ nghiệm riêng nào. Để minh hoạ thêm các tài liệu thảo luận trong hai phần 1.1.1 và 1.1.2, ta sẽ bắt đầu từ việc tìm nghiệm tổng quát cho ví dụ mới. Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình d2y 2  4 y  x 2 sin 2 x. (1.9) dx Lời giải Đặt vế phải bằng 0 và đặt y  Ae x . Thay vào (1.9) ta đƣợc phƣơng trình đặc trƣng  2  4  0    2i (1.10) Do đó hàm bù đƣợc tính bằng cách lấy y  c1e2ix  c2e2ix  d1 cos2 x  d2 sin 2 x. (1.11) Bây giờ ta đi tính nghiệm riêng y p  x  . Do f  x   x 2 sin 2 x  f1  x  . f 2  x  trong đó f1  x   x 2 f 2  x   sin 2 x 13
Theo cách phân loại những dạng đặc biệt của hàm cơ sở trong phần 1.1.2 thì ta có: y1  x   b0  b1 x  b2 x 2 , y2  x   a1 sin 2 x  a2 cos2 x. Nhƣ vậy n riêng sẽ có dạng:  ax 2  bx  c  sin 2 x   dx 2  ex  f  cos 2 x. (1.12) Tuy nhiên, ta thấy hàm cơ sở này chứa đựng số hạng sin2x và cos2x, cả hai số hạng này đều đã xuất hiện trong hàm bù (1.11). Do đó chúng ta phải nhân (1.12) với bội số nguyên nhỏ nhất của x để bảo đảm rằng không một số hạng nào xuất hiện trong yc  x  . Vậy nên ta nhân (1.12) với x, từ đó rút ra hàm cơ sở  ax 3  bx 2  cx  sin 2 x   dx3  ex 2  fx  cos 2 x. (1.13) Thay vào (1.9) để cố định các hằng số xuất hiện trong (1.13), ta tìm đƣợc nghiệm riêng x3 x2 x y p  x    cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x. (1.14) 12 16 32 Vậy nghiệm tổng quát của (1.9) là y  x   yc  x   y p  x  x3 x2 x  y  x   d1 cos 2 x  d 2 sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x . 12 16 32 1.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số. Không có phƣơng pháp tổng quát để giải phƣơng trình có hệ số là biến số. Tuy nhiên, có một số trƣờng hợp phƣơng trình có nghiệm duy nhất là có thể. 14