Luận văn: Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng đều địa phương

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dãy chính quy lọc (filter regular sequences) cho các vành và modun đã được giới thiệu bởi Cuong-Trung-Schenzel vào năm 1978 nhằm nghiên cứu một loại vành và modun có quỹ tích không Cohen-Macaulay bằng 0. Lớp vành và modun này đã được hàng trăm chuyên gia về lĩnh vực đại số trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Ngày nay, vành và modun Cohen-Macaulay đã trở nên rất quen biết và có nhiều ứng dụng trong Hình học....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng đều địa phương

1 I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN TRUNG DÔNG TNH ÊN ÀNH TIM CN CÕA TP IAN NGUYN TÈ LIN KT CÕA MÆUN ÈI ÇNG IU ÀA PH×ÌNG LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN TRUNG DÔNG TNH ÊN ÀNH TIM CN CÕA TP IAN NGUYN TÈ LIN KT CÕA MÆUN ÈI ÇNG IU ÀA PH×ÌNG Chuy¶n ng nh: ¤i sè v Lþ thuy¸t sè M¢ sè: 60. 46. 05 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. Nguy¹n V«n Ho ng Th¡i Nguy¶n - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 Möc löc Trang Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc cð sð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Mæun 1.3. Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Chi·u v ë s¥u cõa mæun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. V nh v mæun ph¥n bªc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ch÷ìng 2. T½nh ên ành ti»m cªn cõa mët sè mð rëng cõa ë s¥u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 M −d¢y >k 2.1. tø chi·u v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Chùng minh ành lþ 0.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 depthk 2.3. Mët sè t½nh ch§t li¶n quan ¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ch÷ìng 3. T½nh ên ành ti»m cªn cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 3.1. Chùng minh ành lþ 0.0.2 (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1. Chùng minh ành lþ 0.0.2 (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1. Chùng minh ành lþ 0.0.2 (iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 Líi c£m ìn Luªn v«n ÷ñc ho n th nh sau hai n«m håc t¤i Tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n v d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v nghi¶m khc cõa TS. Nguy¹n V«n Ho ng. Nh¥n dàp n y tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n Th¦y v gia ¼nh. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi GS.TSKH Nguy¹n Tü C÷íng, PGS.TS Nguy¹n Quèc Thng, PGS.TS L¶ Thanh Nh n v TS. Nguy¹n Thà Dung; c¡c th¦y cæ ð Khoa To¡n v Pháng o t¤o Sau ¤i håc Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y v gióp ï tæi trong suèt thíi gian håc tªp. Cuèi còng tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi ng÷íi th¥n, b¤n b± v t§t c£ nhúng ng÷íi ¢ gióp ï, ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 8 n«m 2010 Håc vi¶n Nguy¹n Trung Dông Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 Mð ¦u (R, m) Cho l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, I, J l hai R−mæun i¶an cõa R v M l mët húu h¤n sinh. N«m 1979, M. AssR (J n M/J n+1 M ) Brodmann ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng c¡c tªp v AssR (M/J n M ) n l ên ành khi õ lîn. º chùng minh k¸t qu£ depth(I, J n M/J n+1 M ) tr¶n, æng ¢ düa v o t½nh ên ành cõa v depth(I, M/J n M ) n khi õ lîn. G¦n ¥y, M. Brodmann v L.T. M −d¢y >k Nh n ¢ ành ngh¾a kh¡i ni»m tø chi·u nh÷ sau: cho k ≥ −1, x1 , ..., xr m sè nguy¶n mët d¢y c¡c ph¦n tû cõa ÷ñc gåi l M −d¢y i ∈ {1, ..., r} xi ∈ p >k / tø chi·u n¸u vîi méi ta câ vîi måi p ∈ AssR (M/(x1 , ..., xi−1 )M ) dim(R/p) > k . m Hå ¢ ch¿ ra r¬ng måi M −d¢y tø chi·u > k I tèi ¤i trong ·u câ ë d i nh÷ nhau v b¬ng sè i p ∈ Supp(HI (M )) i dim(R/p) > k . nguy¶n b² nh§t sao cho tçn t¤i câ depthk (I, M ). depth−1 (I, M ) Ta k½ hi»u ë d i chung n y l °c bi»t, M −d¢y depth(I, M ) M I l ë s¥u cõa trong l ë d i cõa tèi ¤i I , depth0 (I, M ) f-depth(I, M ) M I trong l ë s¥u låc cõa trong ÷ñc k½ hi»u bði Lu v Tang v ¨ depth1 (I, M ) l ë s¥u suy rëng cõa M trong I ÷ñc ành ngh¾a bði L. T. Nh n. Tø â ta câ mët c¥u häi mð °t ra l : C¥u häi 1: Li»u r¬ng c¡c sè depthk (I, J n M/J n+1 M ) v depthk (I, M/J n M ) câ trð n¶n ên ành hay khæng khi n õ lîn? N«m 2008, trong mët b i b¡o cõa N. T. C÷íng, N. V. Ho ng v P. H. Kh¡nh (xem [8]), hå ¢ tr£ líi kh¯ng ành cho c¥u häi tr¶n, â công l mët k¸t qu£ mð rëng cho mët ành lþ cõa Brodmann, cö thº l ành lþ sau: ành lþ 0.0.1. [8, ành lþ 1.1] Cho (R, m) l v nh àa ph÷ìng, I, J ⊆ R l c¡c i¶an v M l R−mæun húu h¤n sinh. Khi â vîi måi sè Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 nguy¶n k ≥ −1, c¡c sè depthk (I, J n M/J n+1 M ) v depthk (I, M/J n M ) trð th nh c¡c h¬ng sè rk v sk vîi n õ lîn. M°t kh¡c, n«m 1990, C. Huneke ¢ ÷a ra gi£ thuy¸t r¬ng tªp j AssR (HI (M )) M, l húu h¤n vîi måi mæun húu h¤n sinh måi i¶an I, j v måi . C¥u tr£ líi kh¯ng ành cho c¥u gi£ thuy¸t â ÷ñc ÷a ra bði Huneke-R.Y. Sharp, G. Lyubeznik cho c¡c v nh ch½nh quy àa ph÷ìng chùa mët tr÷íng. M°c dò, sau â A. Singh, M. Katzman ¢ ch¿ ra c¡c ph£n v½ dö cho gi£ thuy¸t n y, nh÷ng gi£ thuy¸t â v¨n cán óng trong nhi·u tr÷íng hñp. Ch¯ng h¤n, K. Khashyarmanesh-Sh. j AssR (HI (M )) l tªp húu h¤n Salarian, L.T. Nh n ¢ chùng minh r¬ng j ≤ depth1 (I, M ). vîi måi Tø â v tø ành lþ 0.0.1 ta th§y r¬ng khi j ≤ r1 = depth1 (I, J n M/J n+1 M ) i ≤ s1 = depth1 (I, M/J n M ) v th¼ j AssR (HI (J n M/J n+1 M )) v AssR (HI (M/J n M )) l húu h¤n vîi i c¡c tªp n õ lîn. V¼ th¸ nh÷ mët l³ tü nhi¶n, ng÷íi ta häi r¬ng Cho c¡c sè nguy¶n j ≤ r1 v i ≤ s1 , li»u r¬ng c¡c tªp C¥u häi 2. j AssR (HI (J n M/J n+1 M )) v AssR (HI (M/J n M )) câ trð n¶n ên ành hay i khæng khi n õ lîn? Công trong b i b¡o n¶u tr¶n cõa N. T. C÷íng, N. V. Ho ng v P. H. Kh¡nh (xem [8]), hå ¢ tr£ líi kh¯ng ành cho mët c¥u häi y¸u hìn c¥u häi tr¶n, cö thº hå thu ÷ñc ành lþ sau: ành lþ 0.0.2. [8, ành lþ 1.2] Cho (R, m) l v nh àa ph÷ìng, I, J ⊆ R l c¡c i¶an v M l R−mæun húu h¤n sinh. L§y rk = depthk (I, J n M/J n+1 M ) v sk = depthk (I, M/J n M ) khi n õ lîn nh÷ trong ành lþ 0.0.1. Khi â c¡c m»nh · sau l óng: r s (i) AssR (HI −1 (J n M/J n+1 M )) v AssR (HI −1 (M/J n M )) l c¡c tªp ên ành khi n õ lîn. j (ii) AssR HI (J n M/J n+1 M )) v AssR HI (M/J n M )) l c¡c tªp i j ≤r0 i≤s0 ên ành khi n õ lîn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 (iii) AssR HI (J n M/J n+1 M )) ∪{m} v t AssR HI (M/J n M )) ∪{m} t t≤j t≤i vîi måi j ≤ r1 v i ≤ s1 l c¡c tªp ên ành khi n õ lîn. Nhúng v§n · n¶u tr¶n câ mët þ ngh¾a quan trång chuy¶n ng nh ¤i sè, ¤i sè giao ho¡n v ¤i sè çng i·u, v¼ th¸ nâ ¢ thu hót sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc tr¶n th¸ giîi v trong n÷îc. Möc ½ch cõa luªn v«n n y l h» thèng mët sè ki¸n thùc c¦n thi¸t v· ¤i sè giao ho¡n, ¤i sè çng i·u câ li¶n quan ¸n c¡c c¥u häi 1, 2; Sau â tr¼nh b y l¤i mët c¡ch chi ti¸t chùng minh cho c¡c ành lþ 0.0.1 v ành lþ 0.0.2 v mët sè h» qu£ cõa chóng. Luªn v«n gçm 3 ch÷ìng. Ch÷ìng 1 d nh º nhc l¤i mët sè ki¸n thùc cì sð v· ¤i sè giao ho¡n, èi çng i·u àa ph÷ìng, mæun ph¥n bªc nh¬m phöc cho vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ cõa c¡c ch÷ìng ti¸p sau. M −d¢y Trong ph¦n ¦u cõa ch÷ìng 2, chóng tæi giîi thi»u kh¡i ni»m M −d¢y > k, >k I. tø chi·u ë d i cõa tø chi·u trong Ti¸p theo, chóng tæi chùng minh ành lþ 0.0.1 v h» qu£ cõa nâ. Ph¦n cuèi cõa M −d¢y ch÷ìng n y, chóng tæi x²t mët sè t½nh ch§t quan trång cõa tø >k chi·u v mð rëng cõa ë s¥u. Ch÷ìng cuèi còng, chóng tæi d nh to n bë cho vi»c chùng minh ành lþ 0.0.2. Trong â, tr÷îc méi ph¦n chùng minh chóng tæi ·u ÷a ra c¡c t½nh ch§t câ li¶n quan. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð (R, m) Trong suèt luªn v«n n y, ta luæn k½ hi»u l v nh giao ho¡n, R−mæun m; v M àa ph÷ìng, Noether vîi i¶an cüc ¤i duy nh§t l húu h¤n sinh. 1.1 I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t ành ngh¾a 1.1.1. R p Mët i¶an nguy¶n tè cõa ÷ñc gåi l i¶an x∈M M nguy¶n tè li¶n k¸t cõa n¸u tçn t¤i mët ph¦n tû sao cho Ann(x) = p. M Tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa ÷ñc k½ hi»u l AssR (M ) Ass(M ). ho°c Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t. M»nh · 1.1.2. (a) Cho p l i¶an nguy¶n tè cõa R. Khi â p ∈ AssR (M ) n¸u v ch¿ n¸u M chùa mët mæun con ¯ng c§u vîi R/p. (b) Cho p l ph¦n tû tèi ¤i cõa tªp c¡c i¶an câ d¤ng Ann(x) trong â 0 = x ∈ M . Khi â p ∈ AssR (M ). V¼ th¸, M = 0 khi v ch¿ khi AssR (M ) = 0. Hìn núa, tªp ZD(M ) c¡c ÷îc cõa khæng cõa M ch½nh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 l hñp cõa c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M. (c) Cho 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 l d¢y khîp c¡c R−mæun. Khi â AssR M ⊆ AssR M ⊆ AssR M ∪ AssR M . (d) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) v méi ph¦n tû tèi thiºu cõa SuppR (M ) ·u thuëc AssR (M ). (e) N¸u M l R−mæun húu h¤n sinh th¼ AssR (M ) l tªp húu h¤n. Hìn núa, AssR (M ) ⊆ V (Ann M ) v méi ph¦n tû tèi thiºu cõa V (Ann M ) ·u thuëc AssR (M ). V¼ th¸ Ann(M ) l giao c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M . (f) N¸u N l mæun con cõa M th¼ AssR (N ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M/N ) ∪ AssR (N ). (h) AssRp (Mp ) = {qRp |q ∈ AssR (M ), q ⊆ p}. D÷îi ¥y l mët k¸t qu£ r§t quan trång cõa M. Brodmann v· t½nh ên ành cõa tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t. ành lþ 1.1.3. Cho I l mët i¶an cõa R v M l húu h¤n sinh. Khi â c¡c tªp AssR (M/I n M ) v AssR (I n−1 M/I n M ) khæng phö thuëc v o n khi n õ lîn. 1.2 Mæun Ext º ti»n theo dãi, trong möc n y, ta nhc ngn gån c¡c kh¡i ni»m mæun Ext v mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa nâ. ành ngh¾a 1.2.1. M Mët gi£i x¤ £nh cõa l mët d¢y khîp . . . −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→ M −→ 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 Pi trong â méi l mæun x¤ £nh. Chó þ 1.2.2. M Gi£i x¤ £nh cõa mët mæun luæn tçn t¤i. Thªt vªy, P0 = ⊕y∈Y Ry , Y M, Ry = R, gi£ sû l mët h» sinh cõa gåi vîi l R−mæun ϕ : P0 −→ M tü do tr¶n tªp Y. Khi â ta câ to n c§u cho ϕ(ay )y∈Y = Σy∈Y ay y . K1 = Ker ϕ. Y1 K1 bði °t L§y l h» sinh cõa v R−mæun tü do sinh bði Y1 . Khi â ta câ mët to n c§u tü nhi¶n P1 l f1 : P1 −→ K1 . j 1 : K 1 → P0 µ1 = j1 f1 , °t trong â l ph²p nhóng K1 P0 . D¹ th§y Im µ1 = Ker ϕ. °t K2 = Ker µ1 . B¬ng tü nhi¶n tø v o f2 : P2 −→ K2 P2 c¡ch lªp luªn t÷ìng tü, ta câ mët to n c§u sao cho j 2 : K 2 → P1 Im µ2 = Ker µ1 , trong â µ2 = j2 f2 l mæun tü do v vîi l ph²p nhóng tü nhi¶n. Cù ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n ta thu ÷ñc mët d¢y khîp µ2 µ1 ϕ . . . −→ P1 −→ P0 −→ M −→ 0 Pi trong â méi l mæun tü do. V¼ méi mæun tü do l x¤ £nh n¶n M. d¢y khîp tr¶n l gi£i x¤ £nh cõa ành ngh¾a 1.2.3. R−mæun. Hom(−, N ) N Cho l X²t h m tû l R−mæun. M M. ph£n bi¸n, khîp tr¡i. Cho l L§y gi£i x¤ £nh cõa f2 f1 f0 µ . . . −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→ M −→ 0. Hom(−, N ) T¡c ëng h m tû v o d¢y khîp tr¶n ta câ phùc f∗ f∗ f∗ 0 1 2 0 −→ Hom(P0 , N ) −→ Hom(P1 , N ) −→ Hom(P2 , N ) −→ . . . . Exti (M, N ) = Ker fi∗ / Im fi∗ 1 . Khi â Mæun n y khæng phö thuëc − R M. v o vi»c chån gi£i x¤ £nh cõa Ext. Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa mæun M»nh · 1.2.4. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 (a) N¸u M l x¤ £nh th¼ Exti (M, N ) = 0 vîi måi i ≥ 1. R (b) Ext0 (M, N ) ∼ Hom(M, N ). = R (c) N¸u 0 −→ N −→ N −→ N ” −→ 0 l d¢y khîp ngn th¼ tçn t¤i c¡c çng c§u nèi Extn (M, N ) −→ Extn+1 (M, N ) vîi måi n ≥ 0 sao R R cho ta câ d¢y khîp d i 0 −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M, N ) −→ Ext1 (M, N ) R −→ Ext1 (M, N ) −→ Ext1 (M, N ) −→ Ext2 (M, N ) −→ . . . R R R (d) N¸u 0 −→ N −→ N −→ N ” −→ 0 l d¢y khîp ngn th¼ tçn t¤i c¡c çng c§u nèi Extn (N , M ) −→ Extn+1 (N , M ) vîi måi n ≥ 0 sao R R cho ta câ d¢y khîp d i 0 −→ Hom(N ”, M ) −→ Hom(N, M ) −→ Hom(N , M ) −→ Ext1 (N , M ) R −→ Ext1 (N, M ) −→ Ext1 (N , M ) −→ Ext2 (N , M ) −→ . . . R R R Ext Tø Chó þ 1.2.2 v tø ành ngh¾a ta câ ngay k¸t qu£ sau. H» qu£ 1.2.5. N¸u M, N l c¡c R−mæun húu h¤n sinh th¼ Extn (M, N ) R l húu h¤n sinh vîi måi n. Ext K¸t qu£ sau ¥y cho ta t½nh ch§t giao ho¡n giúa v h m tû àa ph÷ìng hâa. M»nh · 1.2.6. N¸u S l tªp âng nh¥n cõa R th¼ S −1 (Extn (M, N )) ∼ Extn −1 R (S −1 M, S −1 N ) = R S trong â S −1 l h m tû àa ph÷ìng hâa. °c bi»t, (Extn (M, N ))p ∼ Extn p (Mp , Np ) = R R vîi måi i¶an nguy¶n tè p cõa R. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 1.3 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng ành ngh¾a 1.3.1. R−mæun M , I R. Cho l i¶an cõa Vîi méi ta I n ). f : M −→ N ΓI (M ) = n≥0 (0 :M ành ngh¾a N¸u l çng c§u c¡c f ∗ : ΓI (M ) −→ ΓI (N ) R−mæun th¼ ta câ çng c§u c£m sinh cho bði f ∗ (m) = f (m). ΓI (−) Khi â l mët h m tû hi»p bi¸n, khîp tr¡i tø R−mæun R−mæun. ΓI (−) ÷ñc ph¤m trò c¡c ¸n ph¤m trò c¡c gåi h m tû I −xon. Bê · 1.3.2. Cho I l i¶an cõa v nh Noether R. Gi£ sû M l húu h¤n sinh. C¡c ph¡t biºu sau l óng. (a) ΓI (M ) = 0 n¸u v ch¿ n¸u I ⊆ ZD(M ), trong â ZD(M ) = {a ∈ R : tçn t¤i 0 = m ∈ M sao cho am = 0} (b) Ass(ΓI (M )) = Ass(M ) ∩ V (I ) v Ass(M/ΓI (M )) = Ass(M ) \ V (I ). ành ngh¾a 1.3.3. Mët gi£i nëi x¤ cõa M l mët d¢y khîp µ f0 f1 f2 0−→M −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ . . . trong â méi Ei l mæun nëi x¤. Chó þ 1.3.4. Gi£i nëi x¤ cõa mët mæun M luæn tçn t¤i. ành ngh¾a 1.3.5. Cho M l R−mæun v I l i¶an cõa R. Cho gi£i nëi x¤ cõa M µ f0 f1 f2 0−→M −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ . . . T¡c ëng h m tû I −xon v o d¢y khîp tr¶n ta ÷ñc phùc f∗ f∗ f∗ 0 1 2 0 −→ ΓI (E0 ) −→ ΓI (E1 ) −→ ΓI (E2 ) −→ . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 Khi â HI (M ) = Ker fi∗ / Im fi∗ 1 l mæun èi çng i·u thù i cõa i − phùc v ÷ñc gåi l mæun èi çng i·u àa ph÷ìng thù i cõa M èi vîi i¶an I. Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng. M»nh · 1.3.6. (a) N¸u M l nëi x¤ th¼ HI (M ) = 0 vîi måi i ≥ 1. i (b) ΓI (M ) ∼ HI (M ). 0 = (c) N¸u 0 −→ M −→ M −→ M ” −→ 0 l d¢y khîp ngn th¼ tçn t¤i c¡c çng c§u nèi HI (M ) −→ HI +1 (M ) vîi måi n ≥ 0 sao cho ta câ n n d¢y khîp d i 1 0 −→ ΓI (M ) −→ ΓI (M ) −→ ΓI (M ) −→ HI (M ) 1 1 2 −→ HI (M ) −→ HI (M ) −→ HI (M ) −→ . . . K¸t qu£ sau ¥y cho ta t½nh ch§t giao ho¡n giúa èi çng i·u àa ph÷ìng v h m tû àa ph÷ìng hâa. M»nh · 1.3.7. N¸u S l tªp âng nh¥n cõa R v S −1 l h m tû àa ph÷ìng hâa th¼ S −1 HI (M ) ∼ HS −1 I (S −1 M ). °c bi»t, (HI (M ))p ∼ n =n n = HIRp (Mp ) vîi måi i¶an nguy¶n tè p cõa R. n Tø m»nh · tr¶n ta câ k¸t qu£ sau. Bê · 1.3.8. Vîi méi i¶an nguy¶n tè p cõa R ta câ p ∈ Ass HIn(M ) n¸u v ch¿ n¸u pRp ∈ Ass HIRp (Mp ). n 1.4 Chi·u v ë s¥u cõa mæun ành ngh¾a 1.4.1. R M Cho l v nh giao ho¡n Noether v l R−mæun a1 , . . . , a n ∈ R húu h¤n sinh kh¡c 0. D¢y c¡c ph¦n tû ÷ñc M −d¢y gåi l ch½nh quy n¸u: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 M/(a1 , . . . , an )M = 0, (i) v ai l ph¦n tû M/(a1 , . . . , ai−1 )M −ch½nh quy, vîi måi i = 1, . . . , n. (ii) M −d¢y M −d¢y ë d i cõa l sè ph¦n tû cõa d¢y. khæng câ ph¦n tû M −d¢y n o gåi l câ ë d i 0. L÷u þ: * a∈R M −ch½nh a (i) l ph¦n tû quy n¸u khæng l ÷îc cõa 0 trong M. a1 , . . . , a n ∈ R M −d¢y (ii) ÷ñc gåi l ch½nh quy khi v ch¿ khi ai ∈ p p ∈ AssR M/(a1 , . . . , ai−1 )M M/(a1 , . . . , an )M = 0 / v vîi måi i = 1, . . . , n. vîi ành ngh¾a 1.4.2. R M Cho l v nh giao ho¡n Noether v l R−mæun húu h¤n sinh kh¡c 0. L§y I R sao cho M = IM l i¶an cõa M −d¢y a1 , . . . , a n I. a1 , . . . , a n v l ch½nh quy trong Ta nâi r¬ng l M −d¢y an+1 ∈ I I ch½nh quy tèi ¤i trong n¸u khæng tçn t¤i ph¦n tû M −d¢y a1 , . . . , an , an+1 n + 1. sao cho l ch½nh quy câ ë d i ành ngh¾a 1.4.3. R M Cho l v nh giao ho¡n Noether v l R−mæun húu h¤n sinh kh¡c 0. L§y I R sao cho M = IM . l i¶an cõa M I Khi â måi d¢y ch½nh quy cõa trong ·u câ thº mð rëng th nh I M d¢y ch½nh quy tèi ¤i trong v c¡c d¢y ch½nh quy tèi ¤i cõa trong I M I. câ còng ë d i. ë d i n y gåi chung l ë s¥u cõa trong K½ depth(I, M ). hi»u l Nhªn x²t: R l v nh àa ph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i m. Khi â * N¸u M −d¢y ch½nh quy a1 , . . . , an ph£i câ c¡c ph¦n tû thuëc m, ìn gi£n måi M = (a1 , . . . , an )M . M = mM v¼ Chó þ ta câ theo Bê · Nakayama. M −d¢y R Do â d¢y c¡c ph¦n tû cõa l ch½nh quy khi v ch¿ khi nâ M −d¢y M m. l ch½nh quy trong Trong tr÷íng hñp n y, ë s¥u cõa M depth M. m trong gåi l ë s¥u cõa v k½ hi»u l Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 K¸t qu£ sau ¥y l °c tr÷ng qua t½nh khæng tri»t ti¶u cõa mæun Ext . M»nh · 1.4.4. Cho R l v nh Noether, I l i¶an cõa R v M l R−mæun húu h¤n sinh. Khi â depth(I, M ) = inf {i | Exti (R/I, M ) = 0}. R ë s¥u công câ thº ÷ñc °c tr÷ng qua t½nh khæng tri»t ti¶u cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng. M»nh · 1.4.5. Gi£ sû I l i¶an cõa R v M l húu h¤n sinh. Khi â i depth(I, M ) = inf {i | HI (M ) = 0}. p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn , Ta gåi mët d¢y c¡c i¶an nguy¶n tè trong â câ ë d i n. Chi·u cõa v nh R, pi = pi+1 l mët d¢y nguy¶n tè k½ hi»u dim R, l cªn tr¶n cõa c¡c ë d i cõa c¡c d¢y i¶an nguy¶n tè trong l R. Chi·u cõa mæun M , dim M n k½ hi»u l l cªn tr¶n cõa c¡c sè sao n Supp M . M cho câ mët d¢y nguy¶n tè câ ë d i trong Khi l húu Supp M = V (AnnR M ), h¤n sinh th¼ do â dim M = dim R/ AnnR M = sup dim(R/p). p∈Ass M R−mæun húu h¤n sinh R Khi l v nh Noether àa ph÷ìng th¼ måi ·u câ chi·u húu h¤n. °c bi»t, ta câ k¸t qu£ sau ¥y. M»nh · 1.4.6. Cho (R, m) l v nh àa ph÷ìng v M l R−mæun húu h¤n sinh. Khi â (M/mn M ) l mët a thùc vîi h» sè húu t khi n õ lîn v dim M = deg( (M/mn M )) = inf {t : ∃a1 , . . . , at º (M/(a1 , . . . , at M )) < ∞}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 dim M = d. Theo m»nh · tr¶n, câ c¡c ph¦n tû a1 , . . . , ad ∈ m Gi£ sû (M/(a1 , . . . , ad M )) < ∞. Mët h» nh÷ th¸ ÷ñc gåi l h» tham sao cho sè M. cõa K¸t qu£ sau ¥y ch¿ ra r¬ng chi·u cõa mët mæun câ thº °c tr÷ng thæng qua t½nh tri»t ti¶u v khæng tri»t ti¶u cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng. M»nh · 1.4.7. Cho I l i¶an cõa R v M l R−mæun húu h¤n sinh kh¡c 0. Khi â (a) HI (M ) = 0 vîi måi i > dim M. i (b) N¸u (R, m) l v nh àa ph÷ìng th¼ dim M = sup{i : Hm (M ) = 0}. i 1.5 V nh v mæun ph¥n bªc ành ngh¾a 1.5.1. A (i) Mët v nh ph¥n bªc l mët v nh giao ho¡n ∞ A= n=0 An (têng trüc ti¸p c¡c nhâm con An thäa m¢n c¡c t½nh ch§t An .Am ⊆ An+m A) n, m. An cõa v vîi måi Méi ph¦n tû cõa ÷ñc gåi n. l ph¦n tû thu¦n nh§t bªc A = ⊕n≥0 An A0 N¸u l mët v nh ph¥n bªc th¼ l mët v nh con cõa A0 −mæun vîi måi n ≥ 0. °c bi»t, A câ c§u tróc tü nhi¶n A v An l a1 , . . . , an ∈ A1 A0 l mët ¤i sè. N¸u tçn t¤i húu h¤n ph¦n tû sao cho A0 −¤i A = A0 [a1 , . . . , an ] A th¼ ta nâi l sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n A l £nh çng c§u cõa v nh a thùc n bi¸n sinh, trong tr÷íng hñp n y A0 . A0 tr¶n N¸u l v nh Noether th¼ theo ành l½ cì sð Hilbert, v nh A0 A a thùc tr¶n l v nh Noether. V¼ th¸ l v nh Noether. A−mæun th¼ M A−mæun A l v nh ph¥n bªc v M (ii) Cho l gåi l ∞ M= n=0 Mn (nh÷ l nhâm) ph¥n bªc n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau An .Mm ⊆ Mn+m x ∈ Mn n, m. v vîi måi Khi â mët ph¦n tû gåi l n. N c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t (ph¥n bªc) câ bªc l Cho l mæun con Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 M, N cõa mæun ph¥n bªc ÷ñc gåi l mæun con thu¦n nh§t (ph¥n ∞ ∩ N ). N= n=0 (Mn bªc) n¸u Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18 Ch÷ìng 2 T½nh ên ành ti»m cªn cõa mët sè mð rëng cõa ë s¥u M −d¢y tø chi·u > k v chùng Trong ch÷ìng n y, ta nhc l¤i kh¡i ni»m minh ành lþ 0.0.1. 2.1 d¢y tø chi·u > k v c¡c t½nh ch§t M− ành ngh¾a 2.1.1. k≥0 x1 , ..., xr Cho l mët sè nguy¶n. Mët d¢y M −d¢y >k m c¡c ph¦n tû cõa ÷ñc gåi l tø chi·u n¸u vîi méi i ∈ {1, ..., r} xi ∈ p p ∈ AssR (M/(x1 , ..., xi−1 )M ) / ta câ vîi måi m dim(R/p) > k . M −d¢y > −1 x1 , ..., xr D¹ th§y r¬ng l mët tø chi·u n¸u v ch¿ M −d¢y M, x1 , ..., xr n¸u nâ l mët d¢y ch½nh quy cõa v l mët tø >0 M chi·u n¸u v ch¿ n¸u nâ l mët d¢y låc ch½nh quy cõa ÷ñc giîi thi»u bði N. T. C÷íng, P. Schenzel v N. V. Trung (xem [9]). Hìn núa, M −d¢y x1 , ..., xr >1 l mët tø chi·u n¸u v ch¿ n¸u nâ l mët d¢y M ch½nh quy suy rëng cõa ÷ñc ành ngh¾a bði L. T. Nh n (xem [21]). Chó þ 2.1.2. k dim(M/IM ) > k . (i) Cho l mët sè nguy¶n. Gi£ sû M −d¢y >k I Khi â b§t k¼ tø chi·u trong câ ë d i húu h¤n, v Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19 M −d¢y >k I t§t c£ c¡c tø chi·u tèi ¤i trong ·u câ ë d i nh÷ i p ∈ Supp(HI (M )) i nhau v b¬ng sè nguy¶n b² nh§t sao cho tçn t¤i dim(R/p) > k vîi (xem [4, ành lþ 2.4]). Trong tr÷íng hñp n y ta M −d¢y depthk (I, M ) >k k½ hi»u, l ë d i cõa mët tø chi·u tèi I. x1 , ..., xr >k ¤i trong Hìn núa, n¸u l mët d¢y tø chi·u tèi x1 , ..., xr M, ¤i trong I, th¼ l mët ph¦n h» tham sè cõa v do â depthk (I, M ) ≤ dim(M ) − dim(M/IM ). depth−1 (I, M ) Chó þ r¬ng, depth(I, M ) M depth0 (I, M ) l ë s¥u thæng th÷íng cõa trong I, l f-depth(I, M ) M I ÷ñc k½ hi»u bði Lu v Tang ¨ ë s¥u låc cõa trong depth1 (I, M ) M I (xem [15]), v l ë s¥u suy rëng cõa trong ÷ñc ành ngh¾a bði L. T. Nh n (xem [21]). dim(M/IM ) ≤ k M −d¢y >k (ii) N¸u th¼ ta câ thº chån mët tø chi·u I r trong câ ë d i nguy¶n d÷ìng b§t k¼, v trong tr÷íng hñp n y ta depthk (I, M ) = ∞. °t i≥0 S Spec(R) Cho l tªp con cõa v l mët sè nguy¶n, ta °t S≥i := {p ∈ S | dim(R/p) ≥ i} v S>i := {p ∈ S | dim(R/p) > i}. Bê · 2.1.3. Cho k ≥ −1 l mët sè nguy¶n. Khi â depthk (I, M ) = inf {j | dim(Extj (R/I, M )) > k } R = inf {depthk−i (Ip , Mp )|p ∈ Supp(M/IM )≥i } vîi måi 0 ≤ i ≤ k + 1, ð ¥y ta quy ÷îc r¬ng inf(∅) = ∞. Chùng minh. depthk (I, M ) = ∞ dim(M/IM ) ≤ Ta câ n¸u v ch¿ n¸u depthk (I, M ) = ∞. k, do â m»nh · óng trong tr÷íng hñp Gi£ sû Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20 r = depthk (I, M ) l mët sè nguy¶n khæng ¥m. Theo [ 4, Bê · 2.4 ], ta câ i r = inf {i|∃p ∈ Supp(HI (M )), dim(R/p) > k }. Hìn núa, theo [ 7, Bê · 2.8 ], ta ÷ñc j Supp(Extj (R/I, M )) Supp(HI (M )) = R j ≤l j ≤l l ≥ 0. vîi måi Do â r = inf {j |∃p ∈ Supp(Extj (R/I, (M )), dim(R/p) > k } R hay r = inf {j | dim(Extj (R/I, M )) > k }. R x1 , . . . , x r Ta chùng minh d§u b¬ng thù hai trong bê ·. Cho l M −d¢y i ∈ {0, . . . , k + 1}. >k mët tø chi·u trong I v Vîi méi p ∈ Supp(M/IM )≥i , Mp −d¢y x1 /1, . . . , xr /1 ta th§y l mët tø chi·u > k − i trong Ip . Thªt vªy, xi /1 ∈ Ip do xi ∈ I 1 ∈ p. Gi£ sû, tçn t¤i i / v x i /1 ∈ q R p qRp ∈ (AssR (Mp /(x1 , . . . , xi−1 )Mp ))>k−i , sao cho vîi khi â pRp ⊃ . . . ⊃ qRp câ ë d i > k − i, do â tçn tçn t¤i mët x½ch nguy¶n tè m ⊃ . . . ⊃ p ⊃ . . . ⊃ q câ ë d i > k − i + i = k . t¤i mët x½ch nguy¶n tè xi ∈ q q ∈ Ass(M/(x1 , . . . , xi−1 )M ) dim(R/q) > k , Nh÷ vªy, vîi v r ≤ depthk−i (Ip , Mp ). i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t. Do â, M°t q ∈ Supp(Extr (R/I, M )) kh¡c, theo d§u b¬ng thù nh§t, tçn t¤i vîi R dim(R/q) > k . Do â, tçn t¤i d¢y nguy¶n tè q ⊂ q0 ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qk ⊂ qk+1 ⊂ . . . ⊂ m qi ∈ Supp(M/IM ). vîi Tø â, ta câ thº chån ÷ñc mët i¶an p ⊃q dim(R/p ) = i dim(Rp /qRp ) > p nguy¶n tè sao cho m v ∈ SuppRp (Extr (R/I, M ))p )>k−i k − i. ∈ qRp qRp Do â, hay R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn