Luyện phương trình từ khó đến cực khó P1
Tài liệu tham khảo ôn thi TN ĐHCĐ, giúp các bạn tự học, nâng cao vốn kiến thức của mình, tài liệu bao gồm các bài tập tự luận và phương pháp giải hay.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Luyện phương trình từ khó đến cực khó P1
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
H−íng dÉn gi¶i bµi tËp
Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh
4x2 - 2(m + 1 + m )x + m 1 + m < 0 (1)
Gi¶i: + m + 1 < 0 ⇒ 1 + m kh«ng cã nghÜa ⇒ kh«ng tån t¹i bÊt ph−¬ng tr×nh (m <
-1).
+ NÕu m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1 gi¶i nghiÖm tam thøc vÕ tr¸i ®−îc
m m +1
xa = ; xb =
2 2
m m +1 1+ 5
+ NÕu < ⇔m< m + 1 ⇔ -1 ≤ m <
2 2 2
m m +1
th× nghiÖm cña (1) lµ ⇔m>
2 2 2
m +1 m
th× nghiÖm cña (1) lµ 0 víi ∀x
Gi¶i:
+ Thªm bít m2 ta cã:
(x - m)2 + 2x - m + 2 - m2 > 0 víi ∀x
+ §Æt x - m = t ≥ 0 ⇒ bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh
f(t) = t2 + 2t + 2 - m2 > 0 ∀t ≥ 0 ⇒ t®Ønh = -1
VËy t ≥ 0 hµm f(t) ®ång biÕn vµ min f (t ) = f(0) = 2 - m2
t ≥0
Do ®ã f(t) > 0 víi ∀t ≥ 0 ⇔ 2 - m2 > 0 ⇔ m < 2
Bµi 3: T×m a ®Ó x2 - ax + 1 > 0 (1) víi ∀x > 0
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
Gi¶i:
1
+ (1) ⇔ x + >a
x
1
+ §Æt f(x) = x + > 0 víi ∀x > 0 t−¬ng ®−¬ng min f (x ) > a
x x >0
1
+ Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: x + ≥ 2 víi ∀x > 0 dÊu b»ng x¶y ra khi x
x
1 x>0
= ⇔ x = 1 ⇒ min f (x ) = f(1) = 2 > a
x x >0
+ KL: a < 2 th× (1) ®óng ∀x > 0
m cos 2 x − m + m 2
Bµi 4: T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh: > 0 víi ∀x (1)
m 2 + 1 − m cos 2 x
Gi¶i:
+ §Æt t = cos2x ⇒ t ∈ [0, 1] khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh
mt − m + m 2
> 0 ⇔ (mt - m + m2)(m2 + 1 - mt) > 0 (2)
m + 1 − mt
2
Víi ∀t ∈ [0, 1]
+ Víi m = 0 ⇒ (2) kh«ng nghiÖm
+ Víi m ≠ 0 ⇒ Tam thøc vÕ tr¸i cã hÖ sè cña t2 lµ -m2 < 0 do ®ã ®Ó ∀ ∈ [0, 1]
lµ nghiÖm.
− m 2 f (0 ) < 0 f (0 ) > 0 m 2 − m > 0 m < 0
⇔ ⇔ ⇔ 2 ⇔
− m f (1) < 0 f (1) > 0 m − m + 1 > 0 m > 1
2
+ KÕt luËn m < 0 hoÆc m > 1 bÊt ph−¬ng tr×nh (1) ®óng ∀x
Bµi 5: T×m a ®Ó 2 bÊt ph−¬ng tr×nh sau t−¬ng ®−¬ng.
(a - 1)x - a + 3 > 0 (1)
(a + 1)x - a - 2 > 0 (2)
Gi¶i:
+ NÕu a = ± 1 ⇒ (1): ∓ 1 + 3 > 0
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
∓1− 2 > 0
⇒ kh«ng t−¬ng ®−¬ng
a −3 a+2
+ NÕu a > 1 nghiÖm cña (1) lµ x > vµ cña (2): x > ®Ó (1) t−¬ng
a −1 a +1
a −3 a +2
®−¬ng (2) ⇔ = ⇔ a = 5.
a −1 a +1
a −3 a+2
+ NÕu -1 < a < 1: nghiÖm cña (1): x < vµ nghiÖm cña (2): x > ⇒2
a −1 a +1
kho¶n trªn kh«ng thÓ trïng nhau ⇒ kh«ng t−¬ng ®−¬ng.
a −3 a+2
+ NÕu a < -1: nghiÖm cña (1): x < vµ cña (2) x <
a −1 a +1
a −3 a +2
(1) t−¬ng ®−¬ng (2) ⇔ = ⇔ a = 5 (lo¹i)
a −1 a +1
+ KÕt luËn: a = 5, 2 bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng.
§3. VÊn ®Ò 3: Ph−¬ng tr×nh - bÊt ph−¬ng tr×nh bËc 2 chøa gi¸
trÞ tuyÖt ®èi.
A. Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i:
§Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, ng−êi ta
th−êng t×m c¸ch khö gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng mét sè ph−¬ng ph¸p sau:
1. Ph−¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa
a. BÊt ph−¬ng tr×nh: f(x) > g(x)
f (x ) = g(x )
f ( x ) > g (x ) f (x ) ≥ 0
⇔ ; f (x ) = g (x ) ⇔
f ( x ) < − g (x ) f (x ) < 0
f (x ) = −g(x )
g(x ) > 0
b. BÊt ph−¬ng tr×nh: f(x) < g(x) ⇔
− g (x ) < f ( x ) < g ( x )
c. f(x) = g(x) ⇔ f(x) = ±g(x)
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
2. Ph−¬ng ph¸p luü thõa
a. f(x) > g(x)
f 2 (x ) > g 2 (x ) f 2 (x ) = g 2 (x )
; f (x ) = g (x ) ⇔
g(x ) ≥ 0 g(x ) ≥ 0
⇔
g(x ) < 0
x ∈ D (tËp x¸c dÞnh cña bpt )
g ( x ) > 0
b. f(x) < g(x) ⇔ 2
f (x ) < g (x )
2
c. f(x) ≥ g(x) ⇔ f2(x) ≥ g2(x) ⇔ [f(x) + g(x)][f(x) - g(x)] ≥ 0
3. Ph−¬ng ph¸p chia kho¶ng: t×m nghiÖm cña c¸c biÓu thøc trong gi¸ trÞ tuyÖt
®èi, xÐt dÊu c¸c biÓu thøc ®ã råi dùa vµo ®Þnh nghÜa ph¸ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi c¸c biÓu thøc;
sau ®ã gi¶i ph−¬ng tr×nh - bÊt ph−¬ng tr×nh trªn tõng kho¶ng ®· ®−îc ph¸ gi¸ trÞ tuyÖt
®èi vµ kÕt luËn.
4. Ph−¬ng ph¸p hµm sè vµ ®å thÞ: Dïng ®å thÞ cña hµm sè bËc 2 vµ bËc nhÊt ®Ó
gi¶i bµi to¸n ph−¬ng tr×nh - bÊt ph−¬ng tr×nh cã chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng c¸ch: ®iÒu
chØnh c¸c vÕ cña ph−¬ng tr×nh - bÊt ph−¬ng tr×nh sao cho mét vÕ viÖc vÏ ®å thÞ dÔ
dµng vµ th−êng cè ®Þnh vÕ kia ®å thÞ di ®éng theo tham sè hoÆc còng lµ ®å thÞ cè ®Þnh
vµ dÔ vÏ. Tõ ®ã xÐt vÞ trÞ t−¬ng ®èi cña 2 ®å thÞ ë 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh - bÊt ph−¬ng
tr×nh mµ suy ra kÕt qu¶.
B. C¸c vÝ dô:
(1) VÝ dô 1: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x2 - 5x + 5 ≤ -2x2 + 10x - 11(1)
C¸ch 1: + §Æt x2 - 5x + 5 = y th× bÊt ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh
1
y ≤ -2y - 1 ⇒ ®iÒu kiÖn -2y - 1 > 0 ⇔ y < - ⇒y
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
x -∞ 5− 5 5+ 5 +∞
2 2
x2-5x+5 0 0 - 0 +
5− 5
+ XÐt trªn kho¶ng x < ⇒ (1) x2 - 5x + 5 ≤ -2x2 + 10x - 11 gi¶i bÊt
2
5− 5
ph−¬ng tr×nh trªn kho¶ng x < ... c¸c em tù lµm trªn c¸c kho¶ng vÏ cã kÕt qu¶
2
nh− trªn.
2. VÝ dô 2: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh: x2 - 5x + 4 < 2a (1)
x 2 − 5x + 4 víi x ≤ 1; x ≥ 4
Gi¶i: ®Æt y1 = x - 5x + 4 =
2
− (x − 5x + 4 ) víi 1 < x < 4
2
⇒ VÏ ®å thÞ y = x2 - 5x + 4
+ §Æt y = a vµ vÏ ®å thÞ lµ ®−êng th¼ng song song ox c¾t oy ë ®iÓm cã tung ®é
b»ng 2a.
y1 = x2 - 5x + 4
9/4
A B C D y2 = a
0 4
+ Tõ ®å thÞ ta cã
-2a ≤ 0 bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm (v× ®å thÞ y1 trªn y2)
9
-0
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
9
-a> bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm xA < x < xD
8
(ë ®©y xA, xD lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x2 - 5x + 4 - 2a = 0
5 ± 9 + 8a
⇒ xA, D = ; xB, xC lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh -x2 + 5x - 4 - 2a = 0
2
5 ± 9 − 8a
⇔ x2 - 5x + 4 + 2a = 0, xB, xC = )
2
* Chó ý: cã thÓ gi¶i bµi to¸n trªn b»ng ph−¬ng ph¸p luü thõa
((x2 - 5x + 4)2 < 4a2 víi a > 0 hoÆc b»ng ph−¬ng ph¸p chia kho¶ng)
VÝ dô 3: T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) : -2x2 + 10x - 8 = x2 - 5x + a cã 4 nghiÖm
ph©n biÖt.
Gi¶i:
+ Ph−¬ng tr×nh trªn (1) ⇔ -2x2 + 10x - 8 - x2+ 5x = a
+ §Æt y1 = f(x) = -2x2 + 20x - 5 - x2 + 5x =
2 x ≤ 1
x − 5x + 8 (P1 ) víi
= x ≥ 4
− 3x + 15x − 8 (P2 ) víi 1 < x < 4
2
- VÏ ®å thÞ y1; y2 = a lµ y
®−êng th¼ng song song ox c¾t oy ë ®iÓm cã tung ®é a.
4/3
a
0 1 4 x
43
- Nh×n vµo ®å thÞ ta cã 4 < a < th× 2 ®å thÞ c¾t nhau t¹i 4 ®iÓm ⇒ ph−¬ng
4
tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm.
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
* NhËn xÐt: trong hai vÝ trô trªn; v× t¸ch riªng ®−îc tham sè m nªn viÖc gi¶i
b»ng ®å thÞ ng¾n gän vµ nhÑ nhµng h¬n.
4. VÝ dô 4: Gi¶i vµ biÖn luËn
x2 - 2x + a ≤ x2 - 3x - a (1)
Gi¶i: + (1) ⇔ (x2 - 2x + a)2 ≤ (x2 - 3x - a)2
⇔ (x2 - 2x + a)2 - (x2 - 3x - a)2 ≤ 0
≤ (x + 2a)(x2 - 5x) ≤ 0 (2)
+ BiÖn luËn
5
- NÕu a < 0 ⇒ -2a < 4 ⇔ - < a < 0 khi ®ã dÊu VT cña (2) lµ
2
- + - +
0 -2a 5
5
nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x ≤ 0 < khi ®ã dÊu vÕ tr¸i cña (2) lµ
2
- + - +
-2a 0 5/2
5
nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh : x ≤ -2a; 0 ≤ x ≤
2
5. VÝ dô 5: Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh
ax + 2 + ax - 1 = b (1)
Gi¶i: + (1) ⇔ (x + 2 + x - 1)a = b (2)
+ BiÖn luËn
- NÕu a = 0 vµ b ≠ 0 ⇒ (2) V« nghiÖm ⇒ (1) V« nghiÖm
- NÕu a = b = 0 ⇒ (2) cã nghiÖm ∀x ⇒ (1) nghiÖm ∀x
b
- NÕu a ≠ 0 th× (2) ⇔ f(x) = x + 2 + x - 1 = = g(x )
a
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
− 2x − 1 víi x < −2
⇒ f(x) = 3 víi − 2 ≤ x < 1 cã ®å thÞ
2x + 1 víi x ≥ 1
y
f(x)
3 b
b
a g(x) =
a
-2 0 x
BiÖn luËn:
- Dùa vµo ®å thÞ ta cã:
b
*/ 3 Ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm:
a
b
1 +
b a + b
-2x - 1 = ⇒ x 1 =
a
= −
a 2 2a
b
−1
b a b−a
2x + 1 = ⇒ x 2 = =
a 2 2a
6. VÝ dô 6: Cho y = 3x2 - 6x + 2a - 1 víi x ∈ [-2, 3]. T×m a ®Ó maxy ®¹t gi¸
trÞ min.
Gi¶i:
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
+ Ta thÊy ngay theo tÝnh chÊt cña hµm bËc 2:
maxy = max{y(-2); y(1); y(3)}
= max{2a + 23}; 2a - 4; 2a + 8}
+ Dùng ®å thÞ cña 3 hµm sè
y1 = 2a + 23; y2 = 2a - 4; y3 = 2a + 8 trªn 1 hÖ trôc täa ®é oay. Trªn ®å
thÞ cã: c¸c gi¸ trÞ maxy thuéc phÇn vÏ nÐt ®Ëm vµ trªn ®ã min chÝnh t¹i ®iÓm I lµ giao
19
cña 2a + 23 = -2a + 4 ⇒ a = - .
4
y
I
a
23 -4 0 2
-
2
Bµi tËp:
Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn : x - 1(x + 2) + m = 0
Bµi 2: X¸c ®Þnh a ®Ó ph−êng tr×nh: 2x2 - 3x - 2 - 5a + 8x + 2x2 = 0 cã nghiÖm duy
nhÊt.
Bµi 3: T×m m ®Ó miny = x2 + (m + 1)2 + 2x + m - 1 kh«ng lín h¬n 3.
Bµi 4: T×m m ®Ó f(x) = (x - 2)2 + 2x - m ≥ 3 víi ∀x
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
