Luyện phương trình từ khó đến cực khó P2
Tài liệu tham khảo ôn thi TN ĐHCĐ, giúp các bạn tự học, nâng cao vốn kiến thức của mình, tài liệu bao gồm các bài tập tự luận và phương pháp giải hay.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Luyện phương trình từ khó đến cực khó P2
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
H−íng dÉn gi¶i bµi tËp
1. Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn : |x-1|(x+2) + m = 0 (1)
Gi¶i:
x 2 + x − 2 = − m víi x ≥ 1 (3)
+ §Æt f(x) = |x-1| x+2) = 2
x + x − 2 = − m víi x < 1 (4 )
− 1 ± 9 − 4m
+ NÕu x2 + x – 2 = -m cã nghiÖm th× x1,2 =
2
− 1 ± 9 + 4m
+ NÕu x2 + x – 2 = m cã nghiÖm th× x3,4 =
2
y
y=m (m>0)
-1/2
-2 1 x
y=-m (m>0)
-9/4
+ Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy:
9 9
* NÕu m < - ⇒ -m > (®å thÞ vÕ tr¸i cña (3) c¾t y = - m ë 1 ®iÓm
4 4
− 1 + 9 − 4m
x2 = > 1 vµ ®å thÞ vÕ tr¸i cña (4) kh«ng c¾t y = m ⇒ ph−¬ng
2
tr×nh (1) cã 1 nghiÖm lµ x2
9
* NÕu - ≤m
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
* NÕu m > 0 th× (3) kh«ng cã nghiÖm (2 ®−êng th¼ng kh«ng c¾t nhau; vµ (4)
cho 1 nghiÖm x3 (v× 2 ®å thÞ chØ c¾t t¹i 1 ®iÓm x3 < 1)
2. Bµi 2: X¸c ®Þnh a ®Ó ph−¬ng tr×nh |2x2 – 3x – 2| = 5a – 8x – 2x2 (1) cã
nghiÖm duy nhÊt.
Gi¶i:
+ (1) ⇔ |2x2 – 3x – 2| + 2x2 + 8x = 5a
1
+ §Æt y1 = |2x2 – 3x – 2| + 2x2 + 8x = 4x2 + 5x – 2 víi x ≤ - ;x ≥ 2
2
1
11x + 2 víi - 0)
-7/2
-57/16
Bµi 3: T×m m ®Ó miny = x2 + |m+1|2 + 2+x+m-1| ≤ 3.
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
Gi¶i;
+ §Æt |x+m-1| = t ≥ 0.
+ Tr−êng hîp t = x+ m - 1 ⇒ y = t2 - 2(m-2)t + 2(m2+1)
⇒ Hoµnh ®é ®Ønh cña (P) lµ t§ = m-2; nÕu t§ > 0 ⇔ m >2 th× miny = y(t§) =
(m-2)2 - 2(m-2)2 + 2(m2+1) = m2 + 4m - 2 ≤ 3.
⇔ -5 ≤ m ≤ 1 kh«ng tho¶ m·n m > 2
2
NÕu t§ < 0 ⇔ m < 2 ⇔ min y = y(0) = 2m2 + 2 ≤ 3 ⇔ |m| < (do t≥ 0 hµm
t ≥0
2
®ång biÕn)
+ Tr−êng hîp t = -x - m + 1 ⇒ y = t2 + 2mt + 2(m2 + 1) ta cã ®Ønh cña (P) lóc
nµy cã hoµnh ®é t§ = -m
2
- NÕu t§ ≤ 0 ⇔ m ≥ 0 ⇒ min y = y(0) = 2m2 + 2 ≤ 3⇔0≤ m≤ (3)
t ≥0
2
2
+ Tõ (1) , (2), (3) kÕt luËn -1 ≤m ≤ th× min y≤ 3
2
Bµi 4: T×m m ®Ó f(x) = (x-2)2 + 2|x-m| ≥ víi ∀x (1)
Gi¶i: + (1) ⇔ (x-2)2 ≥ 3-2|x-m|
+ §Æt y1 = (x-2)2 vµ y2 = 3-2|x-m| bµi to¸n trë thµnh t×m m ®Ó ®å thÞ hµm y2
3 + 2x − 2m víi x ≤ m
n»m d−íi ®å thÞ hµm y1 . ta cã y2 =
3 − 2x + 2m víi x ≥ m
+ XÐt 2 tiÕp tuyÕn cña y1 cã hÖ sè gãc ± 2 ta cã 2 tiÕp tuyÕn ®ã cã ph−¬ng
tr×nh: y = 2x - 5 vµ y = -2x+3 nªn ®Ó y1 n»m trªn y2 víi ∀x cÇn vµ ®ñ lµ
y = -2x+3 ë trªn y = -2x + 2m + 3 ⇔ 3 ≥ 2m + 3 ⇔ m ≤0
y = 2x-5 ë trªn y = 2x - 2m + 3 ⇔ -5 ≥ 3-2m ⇔ m ≥ 4
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
V. Chuyªn ®Ò: Ph−¬ng tr×nh – bÊt ph−¬ng tr×nh v« tØ
§1. VÊn ®Ò 1: C¸c ph−¬ng ph¸p th−êng dïng khi gi¶i ph−¬ng tr×nh – bÊt
ph−¬ng tr×nh v« tØ
A. C¸c bÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n
1. 2x
f (x ) < g(x) ⇔ f(x) ≥ 0
g(x) > 0
f(x) < [g(x)]2k
2. 2x
f (x ) > g(x) ⇔ g(x) ≤0
f(x) > 0
g(x) ≥ 0
f(x) < [g(x)]2k
3. 2k
f (x ) > 2k
g (x ) ⇔ g(x) ≥ 0
f(x) > g(x)
B. C¸c ph−¬ng ph¸p th−êng dïng
1. Ph−¬ng ph¸p lòy thõa: C« lËp c¨n thøc vµ luü thõa 2 vÕ.
x2
a. VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh : − 3x − 2 = 1 − x (1)
3x − 2
2
Gi¶i: + §K: x > khö mÉu ta cã
3
+ Ta cã (1) ⇔ x2 – 3x +2 = (1-x) 3x − 2
⇔ (x-1)(x-2) + (x-1) 3x − 2 = 0
⇔ (x-1)[(x-2) + 3x − 2 ] = 0 ⇔ x –1 = 0 (2)
3x − 2 = 2-x (3)
+ Gi¶i (2) ⇔ x = 1
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
+ Gi¶i (3) ⇔ 2-x ≥ 0
3x – 2 = x2 – 4x + 4
x ≤ 2
⇔ x = 1 ⇔ x = 1
x = 6
+ KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1
b. VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3
x − 1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3 (1)
Gi¶i :
[ ]
+ (1) ⇔ (x-1)+ (x-2) + 3 3 (x − 1)(x − 2 ) 3 (x − 1) + 3 (x − 2 ) = 2x – 3
+ (1) ⇔ 3
(x − 1)(x − 2)(2x − 3) = 0 ⇔ x = 1; 2; 3
2
c. VÝ dô 3: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 2 x 2 − 6x + 1 > x-2 (1)
Gi¶i:
x − 2 < 0
2
2 x − 6 x + 1 ≥ 0
+ (1) ⇔ x − 2 ≥ 0 ⇔
2 x 2 − 6 x + 1 > 0
2
2 x − 6 x + 1 > (x − 2 )
2
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
x < 2
x ≤ 3 −
7
3− 7
2 x≤
2
x ≥ 3 + 7
2
x ≥ 2
3− 7
x <
2
x >3
3+ 7
x >
2
x < −1
x > 3
3− 7
+ KÕt luËn: NghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh x ≤ hoÆc x > 3
2
2. Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
a. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cñaph−¬ng tr×nh x2 +x + 12 x + 1 =36
Gi¶i (1): + ®Æt x + 1 = t ≥ 0 ⇒ (1) ⇔ (x+1)2 - (x+1)+12 x + 1 = 36
Do ®ã (1) cã d¹ng t4- t2 + 12t - 36 = 0
⇔ (t-2) (t3+2t2+3t+18) = 0 ⇔ (t-2)(t+2)(t2-t+6) = 0
do ®iÒu kiÖu t ≥ 0 ⇒ t = 2 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x == 3
b. VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
5x 2 + 10 x + 1 > -x2 - 2x + 7 (1)
Gi¶i:
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
t2 −1
+ §Æt 5x + 10 x + 1 = t ≥ 0 ⇒ x + 2x =
2 2
bÊt ph−¬ng tr×nh (1) trë
5
t ≤ −9 t ≥ 0
thµnh: t2 + 5t - 36 ≥ 0 ⇒ ⇒t ≥4
t≥4
Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 5x 2 + 10 x + 1 ≥ 4 ⇔ x2 + 2x - 3 ≥ 0
⇔ x ≤ -3 U x ≥ 1 lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh (1)
3. Ph−¬ng ph¸p ®−a ph−¬ng tr×nh vÒ mét hÖ ph−¬ng tr×nh bÊt ph−¬ng tr×nh
a. VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh x2 + x+5 =5 (1)
Gi¶i: §Æt x + 5 = t ≥ 0 ⇒ t2 = x+5 ta cã hÖ sau
x 2 + t = 5 x 2 + t = 5 x 2 + t = 5
2 ⇔ 2 ⇔
t − x = 5 x − t + (x − t ) = 0 (x + t )(x − t − 1) = 0
2
x ≤ 0
x + t = 5
2
t = − x ≥ 0
2 x = 1 ± 21
x + t = 0 x − t + (x − t ) = 0 ⇔
2
2
⇔ 2 ⇔
x + t = 5 t = x + 1 ≥ 0
2 x ≥ −1
x − t = 1 x + x − 4 = 0 − 1 ± 17
x =
2
1 − 21 − 1 + 17
VËy ph−¬ng tr×nh (1) cã c¸c nghiÖm : x1 = ; x2 =
2 2
4x − 9
c. VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 7x2 + 7x = víi x > 0
28
4x − 9 1 4x − 9 9 1 1
Gi¶i: + §Æt =t+ ⇔ t>0 v× > > =
28 2 28 28 4 2
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
2 1
7x + 7x = t + 2 1
2 7 x + 7 x = t +
+⇒ ⇒ 2
7 t 2 + 7 t = x + 1 (x − t )(7 x + 7 t + 8) = 0
2
x = t
⇒ 2 1 1
7 x + 7 x − x − 2 = 0 ⇔ 7 x + 6x − 2 = 0
2
− 6 ± 50 − 6 + 50
x= ⇒x= (lo¹i gt ©m v× x > 0)
14 14
4. Ph−¬ng ph¸p so s¸nh:
a. VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
x−2 + 4 − x = x2 – 6x + 11
gi¶i:
VT = x−2 + 4−x ≤ 2(x − 2 + 4 − x ) = 2 (B§TBCS)
VP = x2 – 6x + 11 = (x-3)2 + 2 ≥ 2.
+ VT ≤ 2 ≤ VP ⇒ VT = vP = 2 khi
x−2 = 4−x
x –3 = 0 ⇔x=3
b. VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5x + 4 (1)
Gi¶i:
+ §K : x ≤ 1; x ≥ 4
+ Víi x ≥ 4; (1) ⇔ (x − 1)(x − 2 ) + (x − 1)(x − 3) ≥ 2 (x − 1)(x − 4 )
⇔ ( )
x −2 + x −3 ≥2 x −4 lu«n ®óng ∀x ≥ 4.
V× : x−2 ≥ x−4
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
x −3≥ x − 4 ⇒ VT ≥ VP
+ Víi x < 1: (1) ⇔
(1 − x )(2 − x ) + (1 − x )(3 − x ) ≥ 2 (1 − x )(4 − x )
⇔ ( 2− x + 3− x ≥ 2 4− x) v« nghiÖm.
V× : 2−x < 4−x
3− x < 4−x ⇒ VT
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
π π
+ §Æt x = sinα ⇒ α ∈ − , ⇒ Ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh
2 2
sin3α + cos3α = 2 sinα cosα . NÕu ®Æt t = sinα + cosα
⇒ (sinα + cosα)( sin3α + cos3α - sinα cosα) = 2 sinα cosα
t2 −1 t2 −1
t(1- )= 2 ⇔ t3 + 2 t2 - 3t - 2 = 0
2 2
⇔ (t- 2 ) (t2 + 2 2 t + 1) = 0 ⇔ t = 2 ; -( 2 +1); 1- 2
π π π 2
* NÕu t = 2 ⇒ 2 cos (α- ) = 2 ⇔α= ⇒ x = sin =
4 4 4 2
* NÕu t = -( 2 +1) ⇒ lo¹i v× -( 2 +1) < - 2
NÕu t = 1 - 2 ⇒ sinα + cosα = 1- 2 ⇒
x+ 1 − x 2 =1 - 2 ⇔ 1 − x 2 =1 - 2 - x ≥0 ⇒ x ≤ 1 - 2
⇔ 1 - x 2 = (1- 2 -x)2 = (1- 2 )2 - 2(1- 2 )x + x2
⇔ 2x2 - 2(1- 2 )x - 2 2 + 2 = 0
∆' = 2 2 - 1
1− 2 ± 2 2 −1
x12 =
2
2 1− 2 − 2 2 −1
KÕt luËn Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x = vµ x =
2 2
Chó ý: Khi ®iÒu kiÖn cña ®èi sè: -1≤x≤1 th−êng ®Æt sinα = x; hoÆc cosα = x
Bµi tËp
Bµi 1: gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3
x + 34 - 3
x −3 = 1
Bµi 2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
a. x − 3 − x −1 < x − 2
b. 4(x+1)2 < (2x+10)(1- 3 + 2 x )2
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
____________________________________________________________
x 1+ x x
c. 4x2.3 .x+3 < 2. 3 .x2 + 2x + 6
5 1
d. 5 x + < 2x + +4
2 x 2x
Bµi 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
a. (4x -1) x 2 + 1 = 2x2 + 2x + 1
b. x3 + 1 = 2 3 2 x − 1
Bµi 4: T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh (4 + x )(6 − x ) ≤ x2 - 2x + m ®óng ∀x
∈ [-4,6]
Bµi 5: Cho y = x + 1 − x 2 - m. T×m m ®Ó y ≤ 0 víi ∀x ∈ TX§
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
