Luyện phương trình từ khó đến cực khó P3
Tài liệu tham khảo ôn thi TN ĐHCĐ, giúp các bạn tự học, nâng cao vốn kiến thức của mình, tài liệu bao gồm các bài tập tự luận và phương pháp giải hay.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Luyện phương trình từ khó đến cực khó P3
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________
H−íng dÉn gi¶i bµi tËp
Bµi 1:
+ Luü thõa bËc 3 hai vÕ råi thÕ vµo ph−¬ng tr×nh nh− vÝ dô (2) cña ph−¬ng
ph¸p luü thõa. Sau ®ã luü thõa bËc 3 hai vÕ ta ®−îc ph−¬ng tr×nh:
x3 + 31x - 1830 = 0 ⇔ x = 30; -61
Bµi 2: C©u a: B×nh ph−¬ng hai vÕ hai lÇn ta ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh
28
3x2 - 28 > 0 ⇒ x >
3
4(x + 1)
2
C©u b: - §−a bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng < 2x + 10
(1 − 3 + 2x )
2
3
- Trôc c¨n ë vÕ tr¸i ⇒ 3 + 2x < 3 ⇒ - ≤ x < 3
2
x ≠ -1
C©u c: ChuyÓn vÕ biÕn thµnh nh©n tö
(2x2 - x - 3)( 3 x - 2) > 0 mµ 3 x
> 2 ⇔ x > log232
⇒ BÊt ph−¬ng tr×nh ⇔ (2x2 - x - 3)(x - log232) > 0
0 ≤ x ≤ log 3 2
2
⇔
x > 3
2
1
C©u d: + §Æt x+ = t theo bÊt ®¼ng thøc c«si ⇒ t ≥ 2 vµ t2 = x +
2 x
1 t> 2
+ 1 khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh 2t2 - 5t + 2 > 0 ⇔ t > 2
4x
1 3 3
⇒ x+ > 2 gi¶i ra ®−îc 0 < x < − 2 hoÆc + 2 < x
2 x 2 2
Bµi 3: C©u a: ®Æt t = x 2 + 1 ≥ 1 bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh
+ 2t2 - (4x - 1)t + (2x - 1) = 0
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________
1 4
+ Gi¶i ra ®−îc t = lo¹i; t = 2x - 1 ⇔ x 2 + 1 = 2x - 1 gi¶i ra ®−îc x = .
2 3
C©u b: + §Æt 3
2x − 1 = t
x 3 + 1 = 2 t
⇒ ph−¬ng tr×nh trë thµnh hÖ 3
x − t = 2(t − x )
3
x 3 + 1 = 2 t
2
x = t
⇔ (x − t ) x +
t 3 2
+ t + 2 = 0 ⇔ 3
2 4
x − 2x + 1 = 0
>0
−1± 5
⇔ x = 1 hoÆc x =
2
Bµi 4: + Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p cÇn vµ ®ñ hoÆc
+ §Æt (4 + x )(6 − x ) = t ⇒ ®iÒu kiÖn 0 ≤ t ≤ 5
⇒ BÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: f(t) = t2 + t - (m + 24) ≤ 0 ∀ t: 0 ≤ t ≤ 5
f (0 ) ≤ 0
⇔ ⇔m≥6
f (5) ≤ 0
Bµi 5: - Theo yªu cÇu cña bµi to¸n ta cÇn: y = x + 1 − x 2 − m ≤ 0 víi ∀x ∈ [-1, 1]
π π π π
- §Æt x = sinα ⇒ α ∈ − , ⇒ y = sinα + cosα ≤ m víi ∀ α ∈ − 2 , 2
2 2
⇒ max y = 2 ≤ m ⇒ m ≥ 2
π π
− 2 , 2
1
+ VËy VT ≤ VP ⇒ VT = VP khi x = 1 - x ⇔ x =
2
1
+ KÕt luËn vËy ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt x = khi m= 4 8 + 2 .
2
§ VÊn ®Ò 1:
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________
C¸c ph−¬ng ph¸p th−êng dïng khi gi¶i ph−¬ng tr×nh - bÊt ph−¬ng tr×nh v« tØ
(tiÕp theo)
6. Ph−¬ng ph¸p hµm sè (b¶ng biÕn thiªn - ®å thÞ)
a. VÝ dô 1: BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
x + m = m x2 +1 (1)
Gi¶i:
x+m
+ (1) ⇔ m = (2)
x2 +1
x+m
+ §Æt y1 = vµ y2 = m
x +1
2
- Ta cã tËp x¸c ®Þnh cña y1 lµ Dy1 = R
1 − mx 1
- Sù biÕn thiªn cña y1 : y'1 = =0 ⇒x= (m ≠ 0 )
(1 + x )
2 3 m
x+m
- lim = ±1 . Ta cã c¸c b¶ng biÕn thiªn cña hµm y1 nh− sau:
x → ±∞
x +1
2
- NÕu m = 0
x -∞ +∞
y' +
y1 1
-1
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________
- NÕu m < 0
x -∞ 1 +∞
m
y' - 0 +
y1 -1 1
- m2 + 1
- NÕu m > 0
x -∞ 1 +∞
m
y' + 0 -
y1 m2 + 1
-1 1
+ BiÖn luËn: nh×n vµo c¸c b¶ng biÕn thiªn ta cã
- NÕu m = 0 2 ®å thÞ y1 c¾t y2 t¹i mét ®iÓm cã x = 0 ⇒ ph−¬ng tr×nh cã 1
nghiÖm x = 0.
- NÕu m < 0 ⇒ - m 2 + 1 < m ⇒ nÕu -1 ≤ m < 0 2 ®å thÞ c¾t t¹i 1 ®iÓm ⇒
ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm x = 0.
Cßn nÕu m < -1 2 ®å thÞ c¾t t¹i 2 ®iÓm trong ®ã cã 1 nghiÖm x = 0.
- NÕu m > 0 ⇒ m 2 + 1 > m do ®ã:
+ NÕu 0 < m ≤ 1 ⇒ ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm x = 0
+ NÕu m > 1 ⇒ ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm trong ®ã cã 1 nghiÖm x=0
KÕt luËn:
+ NÕu m ≤1 th× ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt x = 0
+ NÕu m > 1 ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm trong ®ã cã 1 nghiÖm x=0
b. VÝ dô 2: cho ph−¬ng tr×nh x 4 + 24 x + 2m + 4 x 4 + 24x + 23 = 6 (1).
BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1).
Gi¶i:
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________
+ §Æt 4
x 4 + 24x + 2m = t ≥ 0 ⇒ Ta biÖn luËn ph−¬ng tr×nh sau:
⇒ x4 + 24x + 2m = 16 ⇔ f(x) = x4 + 24x = 16 - 2m
+ XÐt f'(x) = 4x3 + 24 = 0 ⇒ x = -2 cã b¶ng biÕn thiªn sau:
x -∞ -2 +∞
y' - 0 +
y1 +∞ +∞
-32
+ Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh b»ng sè giao cña
f(x) = x4 + 24x víi y = 16 - 2m.
* NÕu 16 - 2m < -32 ⇔ m > 24 ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
* NÕu 16 - 2m = 32 ⇔ m > 24 ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
* NÕu 16 - 2m > -32 ⇔ m < 24 ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
7. Ph−¬ng ph¸p cÇn vµ ®ñ
a. VÝ dô 1: T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh: 4
x + 4 1 − x + x + 1 − x = m (1) cã
nghiÖm duy nhÊt.
Gi¶i: * §iÒu kiÖn cÇn: nhËn thÊy nÕu x = α lµ nghiÖm cña (1) th× x = 1 - α
còng lµ nghiÖm cña (1). VËy (1) nÕu cã nghiÖm duy nhÊt th× tr−íc hÕt ph¶i cã α = 1
1
-α⇒⇒= ⇒ Thay vµo ph−¬ng tr×nh (1) cã:
2
1 1
m = 24 +2 = 4
8 + 2 (a)
2 2
* §iÒu kiÖn ®ñ: gi¶ sö m = 4
8 + 2 lóc ®ã (1) cã d¹ng
4
x + 4 1− x + x + 1− x = 4 8 + 2
- Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski cho 2 bé sè ta cã:
x + 1 − x ≤ 2(x + 1 − x ) = 2 dÇu "=" khi x = 1 - x
⇒ 4
( )
x + 4 1 − x ≤ 2 x + 1 − x ≤ 2 2 = 4 8 dÇu "=" khi x =1-x
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________
1
+ vËy vt< vp ⇒ vt = vp khi x = 1 – x ⇔ x =
2
1
+ kÕt luËn vËy ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt x = khi m = 4
8+ 2
2
b. VÝ dô 2: T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh
(1) -4 (4 − x )(x + 2 ) ≤ x 2 − 2x + a − 18 nghiÖm víi ∀x ∈ [-2, 4]
G¶i: * §iÒu kiÖn cÇn:
Theo yªu cÇu bµi to¸n v× bÊt ph−¬ng tr×nh nghiÖm ∀x ∈ [-2, 4]
Gi¶i: * §iÒu kiÖn cÇn
Theo yªu cÇu bµi to¸n v× bÊt ph−¬ng tr×nh nghiÖm ∀x ∈ [-2, 4] ⇒ BÊt
ph−¬ng tr×nh trªn ph¶i nghiÖm x = 4 ⇒ 0 ≤ 16 - 8 + a - 18 ⇔ a ≥ 10.
* §iÒu kiÖn ®ñ:
Víi a ≥ 10 bÊt ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng:
x2 - 2x + a - 18 ≥ x2 - 2x - 8 ≥ -4 (4 − x )(x + 2 ) (3)
- §Æt (4 − x )(x + 2 ) = t ≥ 0 ⇒ -x2 + 2x + 8 = t2
Nªn (3) cã d¹ng: t2 - 4t ≤ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 4 tháa m·n ∀t: 0 ≤ t ≤ 3 (v× x ∈ [-2,
4]) ⇒ -x2 + 2x + 8 = t2 lóc ®ã 0 ≤ t2 ≤ 9 ⇔ 0 ≤ t ≤ 3.
VËy a ≥ 10 ⇒ BÊt ph−¬ng tr×nh (1) nghiÖm víi ∀x: x ∈ [-2, 4].
Chó ý: ë vÝ dô nµy chóng ta ®· sö dông ph−¬ng ph¸p lùa chän gi¸ trÞ thÝch
hîp lµ x = 4. nÕu lÊy gi¸ trÞ cña xa ∈ [-2, 4] ë ®iÒu kiÖn cÇn t×m ra gi¸ trÞ cña a ch−a
®ñ ®Ó kh¼ng ®Þnh th× cã thÓ lÊy vµi gi¸ trÞ x ∈ [-2, 4] sau ®ã lÊy giao cac gi¸ trÞ a;
khi chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ cã thÓ thu hÑp c¸c gi¸ trÞ a ®Ó chøng minh ®−îc ®iÒu
kiÖn ®ñ; tõ ®ã suy ra gi¸ trÞ a cÇn t×m.
c. VÝ dô 3: t×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh: x 2 + x + 3 ≥ - 1 - x t−¬ng ®−¬ng víi
ph−¬ng tr×nh: x - a - x + 1 = 2 (2) lµ t−¬ng ®−¬ng víi nhau.
Gi¶i: + Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh x 2 + x + 3 ≥ −1 − x (1)
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________
− 1 − x ≤ 0
2 ⇔ x ≥ −1
x + x + 3 ≥ 0
(1) ⇔
− 1 − x ≥ 0
x ≤ −1
⇔ ⇔ x ≤ −1
x 2 + x + 3 ≥ x 2 + 2 x + 1 x ≤ 2
VËy nghiÖm cña (1) lµ ∀x
* §iÒu kiÖn cÇn: gi¶ sö (1) t−¬ng ®−¬ng víi (2) ⇒ x = -1 lµ x0 cña (2) ⇒ -1
- a - -1 + 1 = 2 ⇒ a + 1 = ±2 ⇔ a = 1; -3
* §iÒu kiÖn ®ñ:
* Víi a = 1: (2) trë thµnh : x - 1 - x + 1 = 2 (3)
- Víi x ≤ -1 ⇒ (3) : -x + 1 + x + 1 = 2 lu«n ®óng
- Víi -1 < x ≤ 1 ⇒ (3): -x + 1 - x - 1 = 2 ⇒ x = -2 lo¹i
- Víi x > 1 ⇒ (3): x - 1 - x - 1 = 2 v« nghiÖm
VËy (2) cã nghiÖm x ≤ -1 kh«ng t−¬ng ®−¬ng víi (1)
* Víi a = -3 : (2) trë thµnh : x + 3 - x + 1 = 2 (4)
- x ≤ -3 : (4) trë thµnh : -x - 3 + x + 1 = 2 V« nghiÖm
- 3 < x ≤ -1 : (4) trë thµnh: x + 3 + x + 1 = 2 ⇔ x = -1
x > -1 : (4) trë thµnh: x + 3 - x - 1 = 2 ®óng
⇒ VËy bÊt ph−¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm lµ x ≥-1
KÕt luËn: Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña a ®Ó (1) t−¬ng ®−¬ng víi (2).
d. Chó ý: ng−êi ta cã thÓ dïng c¸c ph−¬ng ph¸p to¸n häc kh¸c ®Ó gi¶i ph−¬ng
tr×nh - bÊt ph−¬ng tr×nh. VÝ dô nh− cã thÓ dïng vÐct¬ ®Ó gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh nh−
sau:
VÝ dô: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
x − 1 + x − 3 ≥ 2(x − 3) + 2x − 2 (1)
2
Gi¶i:
+ Ta cã u = ( )
x − 1, x − 3 ; v = (1, 1) (Víi x ≥ 1)
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________
+ Ta thÊy u.v = x − 1 + x − 3
u = x − 1 + (x − 3 ) ; v = 2
2
+ VËy bÊt ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng vÐct¬ nh− sau:
u.v ≥ u v (2) mµ u.v = u v cos(u, v )
⇔ cos (u , v ) = 1 ⇔ u ↑↑ v ⇔ x − 1 = x − 3 = k ≥ 0
x ≥ 3 x ≥ 3
⇔ ⇔ 2 ⇔ x=5
x − 1 = x − 6 x + 9 x − 7 x + 10 = 0
2
VËy bÊt ph−¬ng tr×nh trªn cã 1 nghiÖm duy nhÊt x = 5.
Bµi tËp:
Bµi 1:
a. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : 3
2x + 1 + 3 6x + 1 > 3 2x − 1
12x − 8
b. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : 2x + 4 − 2 2 − x >
9x 2 + 16
Bµi 2:
x+3
a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 4 x + 1 − 3x − 2 =
5
b. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 3(2 + x − 2 ) = 2x + x + 6
Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
