Lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn tinh thể

Chia sẻ: Tào Tuấn Mạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

378
lượt xem 59
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài thuyết trình 'lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn tinh thể', tài liệu phổ thông, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn tinh thể

Band Theory of Solids Lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn tinh thể Người soạn: Lê Tuấn, PGS-TS Bộ môn Vật liệu điện tử Viện Vật lý kỹ thuật Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Cho tới nay chúng ta đã học qua và còn cần nghiên cứu Bằng cách giải phương trình Schrodinger ⇒ Cấu trúc nguyên tử Hydrogen ⇒ Các tính chất của các nguyên tử khác ⇒ Cấu hình vỏ electron của nguyên tử và Bảng tuần hoàn các nguyên tố ⇒ Hệ các nguyên tử, tinh thể chất rắn ⇒ Chất bán dẫn và vật lý linh kiện bán dẫn ⇒ Nguyên tắc vật lý truyền dẫn tín hiệu quang và các thiết bị
Mở đầu Vật liệu σ ( Ω-m )-1 Cu 6 x 107 Al 3 x 107 Ge 2 x 10-2 chênh lệch về độ lớn: 1027 Si 4 x 10-4 Thủy tinh (SiO2 ) 2 x 10-11 Polystyrene 1 x 10-20 • Làm sao có thể giải thích một cách nhất quán về độ dẫn điện của các vật rắn khác nhau??? • Trong thực tế Æ Hàm sóng của vi hạt (như electron) trong vật rắn tinh thể là hàm tuần hoàn theo tọa độ
Định lý Bloch - là tính chất tổng quát của hàm sóng trong trường thế tuần hoàn • đối với một electron tự do với năng lượng Ep = constant: χ(x) = e±ikx • một trường thế tuần hoàn với chu kỳ d (khoảng cách giữa các ion = d): Ep(x) = Ep(x+d) • Định lý Bloch: đối với một vi hạt chuyển động trong trường thế tuần hoàn với chu kỳ d Æ χ(x) = uk(x) • e±ikx , uk(x) = uk(x+d) • χ*(x) χ(x) = uk*(x) e-ikx uk(x) e+ikx = uk*(x) uk(x) Æ χ*(x+d) χ(x+d) = uk*(x+d) uk(x+d) = uk*(x) uk(x) = χ*(x) χ(x) Æxác suất tìm thấy vi hạt tại các vị trí với tọa độ (x) và ( x+d ) là như nhau (xét trường hợp 1 chiều)
Mô hình Kronig-Penny 1 q⎪e⎪ Ep( x ) = – ——— —— Trường ion các nguyên tử trong mạng tinh thể 1 chiều 4πε0 x
Mô hình Kronig-Penney • bề rộng giếng: c khoảng cách: b chu kỳ: d=b+c • trong vùng I : d2χI h2 Ep = 0 Æ – —— ——2 =E χI , χI : hàm sóng trong vùng I 2m dx d2χI ——2 + γ2 χI = 0 , γ = 2mE / h2 dx d2uI duI thay thế χI = uI( x ) eikx Æ ——2 + 2ik —— + ( γ2-k2 ) uI = 0 dx dx Æ uI( x ) = Aei( γ-k )x + Be-i( γ+k )x
Mô hình Kronig-Penney • trong vùng II: Ep = Ep0 χII : hàm sóng trong vùng II h2 d2χII – —— ——— + EpoχII = E χII 2m dx2 d2χII 2m( Epo – E ) ——— + ε2χII = 0 , ε= —————— dx2 h2 tương tự, thay thế χII = uII( x ) eikx Æ uII = Ce( ε-ik ) x + De-( ε+ik )x
• χvà dχ/dx phải liên tục qua các biên phân cách giếng và rào thế χI(c/2) = χII(c/2) , dχI(c/2) / dx = dχII(c/2) / dx • điều kiện tuần hoàn đòi hỏi đối với hàm u(x): uI(-c/2) = uII(b+ c/2) , duI(-c/2) / dx = duII(b+ c/2) / dx ⇒ta thu được 4 phương trình tuyến tính cho 4 hệ số A, B, C, D ⇒ các nghiệm chấp nhận được cho A, B, C, D, và χchỉ tồn tại, nếu P( sinγd / γd ) + cos γd =cos kd Phương trình liên hệ P = ( mEpobd ) / h2 , γ = 2mE / h2 năng lượng E và vector sóng k của electron γcó thứ nguyên năng lượng của electron (và động lượng) k liên quan tới động lượng electron ( k = 2π/λ và từ giả thiết de Broglie: λ = h/p Æ p = hk)
• Hệ thức tán sắc Æ là quan hệ giữa năng lượng (E) của vi hạt và vector sóng (k) đối với vi hạt tự do Æ E = p2 / 2m p = h / λ (giả thiết de Broglie) , λ = 2π / k Æ p = h / λ = hk / 2π = hk ⇒ E = h2k2 / 2m , E ∝ k2 E E = h2k2 / 2m k đối với một e- chuyển động trong mảng 1 chiều các giếng thế năng hệ thức tán sắc có dạng: P( sinγd / γd ) + cos γd =cos kd γ = 2mE / h2
• Các vùng năng lượng được phép và bị cấm P( sinγd / γd ) + cos γd =cos kd γ = 2mE / h2 phương trình này có thể giải được bằng số: (chọn giá trị E Æ tìm được k tương ứng) đối với một số giá trị E Ænhận được k ảo Ækhông có ý nghĩa vật lý ⇒ những giá trị E đó bị cấm ⇒ phổ năng lượng của electron hình thành các vùng cấm và được phép Sự không liên tục của vùng năng lượng xảy ra ở k = ± nπ / d
• các hạn chế tồn tại với mô hình Kronig-Penney: (1) thể hiện không nhiều tính vật lý (2) không cho biết tổng số trạng thái năng lượng trong một vùng
Gần đúng electron liên kết chặt • giếng thế 1 chiều vuông góc sâu vô hạn (- χ1 ) và (- χ2 ) cũng là nghiệm của phương trình Schrodinger -χ1 2 h2 d (- χ) – —— ——— + Ep(x) (- χ) = E (- χ) 2m dx2 2 h2 d χ Æ – —— —— + Ep(x) χ = E χ 2m dx2 -χ2 ( - χ1 ) và χ1 Æ cùng E1, và có (- χ1 )2 = χ21 (thể hiện cùng hàm sóng/trạng thái lượng tử) ( - χ2 ) và χ2 Æ cùng E2, và có (- χ2 )2 = χ22 (thể hiện cùng hàm sóng/trạng thái lượng tử)
• giếng thế 1 chiều vuông góc sâu hữu hạn -χ1 -χ2 • 2 giếng thế hữu hạn 1 chiều -χB -χC
2 kiểu kết hợp các hàm sóng (trạng thái): (1) χS = a (χB + χC ) (đối xứng) ( a: hệ số chuẩn hóa được đưa vào) ÅÆ tương tự (2) χA = a ( χB - χC ) (phản xứng) ÅÆ tương tự đối với 2 giếng thế đủ xa nhau Æ χS và χA slà các trạng thái suy biến với cùng mật độ xác suất χ2 và năng lượng
• khi hai giếng thế đủ gần nhau: Æ χS xử sự như trạng thái cơ bản của giếng thế có bề rộng gấp đôi: 2a Æ χA xử sự như trạng thái kích thích thứ nhất của giếng thế có bề rộng 2a • như vậy, khi hai giếng thế đủ gần nhau Æ các trạng thái suy biến bị tách thành các trạng thái không suy biến độ suy biến của χS và χA biến mất à E của χS < E của χA , nhưng giải thích thế nào về mặt vật lý?
• xét trạng thái kích thích 1 hai nguyên tử H: 2 kiểu kết hợp hàm sóng: ( 1 ) χS = a(χB + χC ) ( 2 ) χA = a(χB – χC ) • e- trong trạng thái χS tốn nhiểu thời gian hơn để liên kết 2 proton Æ năng lượng liên kết âm mạnh hơn Æ e- trong trạng thái χS có năng lượng thấp hơn so với trạng thái với χA
• xét 6 ngtử H ở trthái kích thích 1 Khi 2 nguyên tử được cùng xét, hai mức năng lượng riêng rẽ được tạo thành từ mỗi mức năng lượng của từng nguyên tử. Vậy khi lấy đồng thời 6 nguyên tử cùng nhau thì sao? Hãy bắt đầu từ 6 trạng thái kích thích 1 riêng rẽ …… χsecond level = (χ1+χ2+χ3) - (χ4+χ5+χ6) χfirst level = χ1+χ2+χ3+χ4+χ5+χ6 Î
cùng hàm sóng Å
• lấy N nguyên tử cùng nhau ⇒ mỗi mức Æ N mức riêng rẽ, nằm sát nhau ⇒tạo thành một vùng gần liên tục các mức năng lượng  chiều rộng vùng năng lượng cỡ eV nếu số nguyên tử N = 1023 Æ mức năng lượng cách nhau chỉ với giá trị cực nhỏ ~ 10-23 eV  Ví dụ Na : 1s2 2s2 2p6 3s1
• chiều rộng vùng năng lượng không phụ thuộc vào số rất lớn N ng tử • chiều rộng vùng năng lượng chủ yếu phụ thuộc vào khoảng cách giữa các nguyên tử lân cận ⇒ các nguyên tử càng gần nhau Æ chiều rộng càng lớn • chiều rộng các vùng mức thấp < chiều rộng vùng năng lượng của các mức nằm cao hơn