intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

NGUYÊN HÀM

Chia sẻ: Kid Bi | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:27

2.073
lượt xem
521
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

bài tập ôn tích phân toán nguyên hàm phương pháp biến số

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: NGUYÊN HÀM

  1. TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất định : ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C x n +1 1 ∫ x dx = n n +1 +C n ≠ −1 ∫ x dx = ln x + C ax ∫ e dx = e + C ∫ a dx = x x x C ln a ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C 1 1 ∫ cos x dx = tan x + C 2 ∫ sin 2 x dx = − cot x + C u′( x) 1 1 x−a ∫ u( x) dx = ln u ( x) + C ∫x 2 −a 2 dx = ln 2a x + a +C x 2 a ∫ x 2 + a dx = 2 x + a + ln x + x 2 + a + C 2 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b] có nguyên hàm là F (x) . Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α , β ] và có miền giá trị là [ a; b] thì ta có : ∫ f [ u( x)].u ' ( x)dx = F ( x)[ u( x)] + C BÀI TẬP Tính các tích phân sau : 1 1 e xdx e x dx 1 + ln x dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ 0 x2 + 1 0 ex − 1 1 x Bài làm : dt a) Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx = 2 Trung tâm văn hóa onthi.com
  2. x = 0 → t = 1 Đổi cận :  x = 1 → t = 2 2 2 xdx 1 2 dt 1 1 Vậy : I1 = ∫ 2 = ∫ = ln t = ln 2 1 x +1 21 t 2 1 2 b) Đặt t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx x = 1 → t = e − 1 Đổi cận :  x = 2 → t = e − 1 2 e2 −1 1 x e2 −1 Vậy : I 2 = ∫ ex dx = ∫ dt = ln t = ln(e + 1) 0 e −1 e−1 t e−1 1 c) Đặt t = 1 + ln x ⇒ tdt = dx x x = 1 → t = 1 Đổi cận :  x = e → t = 2 e 2 2 1 + ln x dx 2 3 2 I3 = ∫ = ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1) 1 x 1 3 1 3 Tích phân lượng giác : β Dạng 1 : I = ∫ sin mx. cos nxdx α Cách làm: biến đổi tích sang tổng . β Dạng 2 : I = ∫ sin x. cos x.dx m n α Cách làm : Nếu m, n chẵn . Đặt t = tan x Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t = sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại) β dx Dạng 3 : I = ∫ α a. sin x + b. cos x + c Cách làm :  2t x sin x = 1 + t 2  Đặt : t = tan ⇒  cos x = 1 − t 2 2   1+ t2 β a. sin x + b. cos x Dạng 4 : I =∫ .dx α c. sin x + d . cos x Cách làm : a. sin x + b. cos x B (c. cos x − d . sin x) Đặt : = A+ c. sin x + d . cos x c. sin x + d . cos x Trung tâm văn hóa onthi.com
  3. Sau đó dùng đồng nhất thức . β a. sin x + b. cos x + m Dạng 5: I = ∫ .dx α c. sin x + d . cos x + n Cách làm : a. sin x + b. cos x + m B (c. cos x − d . sin x) C Đặt : = A+ + c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n Sau đó dùng đồng nhất thức. BÀI TẬP Tính tích phân : π π π 2 2 4 a) I1 = ∫ cos xdx 4 b) I 2 = ∫ cos 5 xdx c) I 3 = ∫ tan 6 xdx 0 (sin x + 1) 0 0 Bài làm : a) Đặt : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 1  Đổi cận :  π x = 2 → t = 2  π 2 2 2 Vậy : I 1 = ∫ cos xdx 4 = ∫ dt = − 13 = 7 (sin x + 1) 0 4 1 t 3t 1 24 b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0  Đổi cận :  π x = 2 → t = 1  π 1 1 ( ) ( ) 2 2 I 2 = ∫ cos 5 xdx = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt Vậy : 0 0 1 0 1  t5 2 3  8 = ∫ − t + t = 5 3  0  0 15 c) Đặt : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1)dx x = 0 → t = 0  Đổi cận :  π x = 4 → t = 1  Trung tâm văn hóa onthi.com
  4. π 1 1 4 t 6 dt  1  I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2 6 = ∫ t 4 − t 2 + 1 − 2 dt 0 0 t +1 0 t + 1 Vậy : π 1  t5 t3  4 13 π  − + t  − ∫ du = − =  5 3 0 0 15 4 Tính các tích phân sau : π π 2 3 a) I1 = ∫ sin x. cos x b) I 2 = ∫ cos x dx dx 0 a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 2 + cos 2 x Bài làm : a) Đặt : t = a 2 .sin 2 x + b 2 .cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x. cos xdx x = 0 → t = a 2  Đổi cận :  π x = → t = b 2  2 Nếu a ≠ b π 2 b2 sin x. cos x 1 dt I1 = ∫ Vậy : 0 a 2 . sin x + b 2 . cos x dx = 2 b − a2 2 ( )∫ a2 t 2 1 b a−b 1 = t = = b − a2 2 a2 b −a 2 2 a+b Nếu a = b π π 2 2 sin x. cos x sin x. cos xdx I1 = ∫ dx = ∫ 0 a 2 . sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 a Vậy : π π 2 2 1 1 1 = ∫ sin 2 xdx = − 4 a cos 2 x = 2 a 2a 0 0 b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0  Đổi cận :  π 3 x = → t =  3 2 π 3 3 3 2 2 cos x dt 1 dt Vậy : I 2 = ∫ 2 + cos 2 x dx = ∫ = 2 ∫ 3 2 3 − 2t 2 0 0 0 −t 2 Trung tâm văn hóa onthi.com
  5. 3 3 Đặt : t = cos u ⇒ dt = − sin udu 2 2  π t = 0 → u = 2  Đổi cận :  t = 3 → u = π   2 4 3 π 3 2 2 sin udu 1 dt 1 2 I2 = ∫ = ∫ 2 0 3 2 2 −t 2π 3 4 2 1 − cos 2 u ( ) Vậy : π π 2 1 4 1 π = ∫ du = 2π 2 u = 4 2 π 4 4 Tính các tích phân sau : π π b) I 2 = ∫ sin x + 7 cos x + 6 dx 2 2 a) I 1 = ∫ 1 dx 0 4 sin x + 3 cos x + 5 0 4 sin x + 3 cos x + 5 Bài làm : x  x  2dt a) Đặt : t = tan ⇒ dt =  tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2 2  2  t +1 x = 0 → t = 0  Đổi cận :  π x = 2 → t = 1  2 1 1 1+ t2 dt I1 = ∫ dt = ∫ 1− t 0 ( t + 1) 2 2 2t Vậy : 0 4 +3 +5 1+ t2 1+ t2 1 1 1 =− = t+2 0 6 sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x C b)Đặt : = A+ B + 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 Dùng đồng nhất thức ta được: A = 1 , B = 1 , C = 1 π π 2 sin x + 7 cos x + 6 2 4 cos x − 3 sin x 1  I2 = ∫ dx = ∫ 1 + + dx Vậy : 0 4 sin x + 3 cos x + 5 0 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5  π π = ( x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 = 9 1 + ln + 2 8 6 Trung tâm văn hóa onthi.com
  6. Bạn đọc tự làm : π π π cos3 x 2 2 2 dx a) I1 = ∫ 2 dx b) I 2 = ∫ cos3 x. sin xdx c) I 3 = ∫ π sin x 0 0 sin x + 2 6 π π π 2 3 c) I 3 = ∫ 4 sin x dx d) I 5 = ∫ 2 1 2 sin x − cos x + 1 dx d) I 6 = ∫ dx 0 cos x + 1 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin x + 2 cos x + 3 Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ dx 1 1 Dạng 1 : I = ∫ ( =− . + C với ( a, n ) ∈ C × ( N − { 0,1} ) ta có : x − a) n − 1 ( x − a ) n−1 n dx Nếu n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫ = ln x + C x−a α , β , a, b, c ∈ R αx + β Dạng 2 : I = ∫ dx trong đó :  ( ax 2 + bx + c ) ∆ = b − 4ac < 0 2 n * Giai đoạn 1 : α ≠ 0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax 2 + bx + c , sai khác một số : 2aβ 2ax + b + −b α α α 2ax + b α  2aβ  dx 2a ∫ ∫ ax 2 + bx + c n dx + 2a  α − b ∫ ax 2 + bx + c I= dx = ( ax + bx + c 2 n 2a ) (  ) ( ) n * Giai đoạn 2 : n dx  4a  − ∆ dt Tính I = ∫ ( ax + bx + c 2 n dx =  . ) ∫ +b 1 + t 2  − ∆  2a 2 ax ( ) n t= −∆ * Giai đoạn 3 : 1 Tính I = ∫ dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt (t 2 +1 ) n t = tan φ P ( x) Dạng 3 : I = ∫ Q ( x ) dx m n Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0 Ta có : = Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0 P ( x) R ( x) Nếu : deg( P ) ≥ deg( Q ) thì ta thực hiện phép chia Q ( x ) = A( m − n ) ( x ) + Q ( x ) trong đó m r n n Rr ( x ) phân số Q ( x ) có deg( R ) < deg( Q ) n Nếu : deg( P ) < deg( Q ) ta có các qui tắc sau : Trung tâm văn hóa onthi.com
  7. Pm ( x ) A1 An −1 An *Qt 1: = + ...... + + ( x − a) ( x − a) n ( x − a) n −1 ( x − a) n Pm ( x ) n Ai =∑ Vdụ 1a : n ( )i ∏ ( x − ai ) i=1 x − ai i i =1 P ( x) A B C D Vdụ 1b : ( x − a)( x − b)( x − c)2 = x − a + x − b + x − c + ( x − c ) 2 m Pm ( x ) A1 x + B1 An−1 x + Bn−1 An x + Bn = + ...... + + *Qt 2': ( ax + bx + c 2 ax + bx + c 2 ) n ( ax + bx + c 2 n −1 ) ax 2 + bx + c ( ) ( ) n với ∆ < 0 Pt ( x ) m Ai n A x + B1 *Qt 3: =∑ +∑ 2i ( ( x − α ) ax + bx + c i =1 ( x − α ) k =1 ax + bx + c i m 2 n i ) ( ) Pt ( x ) A Bx + C Vdụ 1 : ( x − α ) ax 2 + bx + c = x − α + ax 2 + bx + c ( ) ( ) Pt ( x ) A B1 x + C1 B2 x + C 2 = + + Vdụ 2 : ( ) ( x − α ) ax 2 + bx + c ( x − α ) ax + bx + c ax 2 + bx + c 2 2 2 ( ) ( ) BÀI TẬP Tính các tích phân sau : 1 1 dx dx a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫ 0 x + 3x + 2 2 0 (x 2 + 3x + 2 ) 2 Bài làm : 1 1 1 dx dx  1 1  a) I 1 = ∫ 2 =∫ = ∫ − dx 0 x + 3x + 2 0 ( x + 1)( x + 2) 0  x + 1 x + 2  = [ ln x + 1 − ln x + 2 ] 0 = ln 4 1 3 1 dx 1  1 1 2  b) I 2 = ∫ 2 dx = ∫  + − dx 0 ( x + 3x + 2) 2 0  ( x + 1) 2 ( x + 2) ( x + 1)( x + 2)  2  1  1  − 2( ln x + 1 − ln x + 2 )  = OK 1 = − −  x +1 x + 2 0 Tính các tích phân sau : 1 1 dx 4x − 2 a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ dx 0 x + 3x 2 + 3 4 0 ( 2 ) x + 1 ( x + 2) Bài làm : Trung tâm văn hóa onthi.com
  8. dx 1 x a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I 0 = ∫ = arctan + C với a > 0 x +a22 a a 1 1 1 dx dx 1  1 1  I1 = ∫ =∫ 2 = ∫ 2 − 2 dx 0 4 2 2 ( )( x + 3x + 3 0 x + 1 x + 3 2 0  x + 1 x + 3  ) 1 1 =  arctan x − 2 1 3 arctan x  π  = 9−2 3 30 2 ( ) 4x − 2 A Bx + C x 2 ( A + B ) + x( 2 B + C ) + 2C + A b) Đặt : = + = ( ) ( x + 2) x 2 + 1 x + 2 x 2 + 1 ( x + 2) x 2 + 1 ( ) A + B = 0  A = −2   Do đó ta có hệ : 2 B + C = 4 ⇔ B = 2 2C + A = 0 C = 0   1 1 4x − 2  2 2x  Vậy : I 2 = ∫ dx = ∫  − + 2 dx 0 ( 2 ) x + 1 ( x + 2) 0 x + 2 x +1 [ ] 1 = − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = −2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln 0 4 9 Bạn đọc tự làm : 3 5 x +1 dx a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ 2 x ( x − 1) 2 2 x + 2x − 3 2 2 2 x −1 3 x c) I 3 = ∫ dx d) I 3 = ∫ x 4 − 3x 2 + 2 dx 1 4x3 − x 3 HD: x +1 A B C 1 A B a) x 2 ( x − 1) = x + x 2 + x − 1 = + b) x + 2x − 3 x − 1 x + 3 2 x −1 1  3 x−4  x A B C D c) 3  x( 2 x + 1)( 2 x − 1)  d) x 4 − 3 x 2 + 2 = x − 1 + x + 1 + x + 2 + x − 2 = 1 + 4x − x 4    Đẳng thức tích phân : Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …. Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng. BÀI TẬP Trung tâm văn hóa onthi.com
  9. 1 1 Chứng minh rằng : ∫ x (1 − x ) dx = ∫ x (1 − x ) dx m n n m 0 0 Bài làm : 1 Xét I = ∫ x (1 − x ) dx m n 0 Đặt : t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt x = 0 → t = 1 Đổi cận :  x = 1 → t = 0 1 0 1 Vậy : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t ) t dt (đpcm) n m m n m n 0 1 0 Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ − a, a ] thì : a I= ∫ f ( x ) dx = 0 −a Bài làm : a 0 a I= ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx (1) −a −a 0 0 Xét −a ∫ f ( x ) dx . Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt  x = −a → t = a Đổi cận :  x = 0 → t = 0 0 a a V ậy : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( − t ) dt = −∫ f ( t ) dt −a 0 0 Thế vào (1) ta được : I = 0 (đpcm) • Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên a a đoạn [ − a, a ] thì I = ∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x )dx −a 0 Cho a > 0 và f ( x ) là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R . f ( x) α α Chứng minh rằng : ∫ x dx = ∫ f ( x )dx −α a +1 0 Bài làm : f ( x) f ( x) f ( x) α 0 α ∫α a dx = ∫ x dx + ∫ x dx (1) − x +1 −α a +1 0 a +1 Trung tâm văn hóa onthi.com
  10. f ( x) 0 Xét ∫α a − x +1 dx . Đặt t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt  x = −α → t = α Đổi cận :  x = 0 → t = 0 f ( x) f (− t) at f ( t ) 0 α α Vậy : ∫ x dx = ∫ − t dt = ∫ t −α a +1 0 a +1 0 a +1 f ( x) a x f ( x) f ( x) α 0 α α Thế vào (1) ta được : ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = ∫ f ( x ) dx (đpcm) −α a +1 −α a +1 0 a +1 0 Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0,1] . Chứng minh rằng : π ππ ∫ x. f ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x ) dx 0 0 Bài làm : π Xét ∫ x. f ( sin x ) dx . Đặt t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt 0 x = 0 → t = π Đổi cận :  x = π → t = 0 π π π Vậy : ∫ x. f ( sin x ) dx = ∫ ( π − t ). f [ sin ( π − t ) ] dt = ∫ ( π − t ). f ( sin t ) dt 0 0 0 π π = π ∫ f ( sin t ) dt − ∫ t. f ( sin t ) dt 0 0 π π ⇒ 2∫ x. f ( sin x ) dx = π ∫ f ( sin x )dx 0 0 π π π ⇒ ∫ x. f ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x )dx 0 0 • Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau . Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a, b] và f ( a + b − x ) = f ( x ) . Thì ta luôn có : b π a +b ∫ x. f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx a 0 Cho hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T . a +T T Chứng minh rằng : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx a 0 Bài làm : Trung tâm văn hóa onthi.com
  11. a +T T a +T 0 T a +T ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx a a T a 0 T a a +T Vậy ta cần chứng minh ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx 0 T a Xét ∫ f ( x ) dx 0 . Đặt t = x + T ⇒ dt = dx x = 0 → t = T Đổi cận :  x = a → t = a + T a +T a +T Vậy : T ∫ f ( t − T ) dt = ∫ f ( t )dt T a +T T Hay : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx a 0 (đpcm) • Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau : Nếu hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn T T 2 có : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx 0 T − 2 Bạn đọc tự làm : ( ) 1 1 a) I1 = ∫ x(1 − x ) dx b) I 2 = ∫ sin 2 x. cos x ln x + x 2 + 1 dx 6 0 −1 π π x. sin x x.sin x c) I 3 = ∫ dx d) I 4 = ∫ dx 0 9 + 4 cos 2 x 0 1 + cos 2 x π 2 x 2 sin x 1 x 2 + sin x e) I 5 = ∫π 1+ 2x dx f) I 6 = ∫ 1+ x2 dx − −1 2 ( ) 2π 2009π g) I 7 = ∫ ln sin x + 1 + sin x dx ∫ ∗ ∗ h) I 8 = 1 − cos 2 x dx 2 0 0 Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a, b] , thì ta có : b b ∫ udv = [ uv] a − ∫ vdu b a a Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln x hay u = log a x . *ưu tiên 2 : Đặt u = ?? mà có thể hạ bậc. Trung tâm văn hóa onthi.com
  12. BÀI TẬP Tính các tích phân sau : π 1 e 2 a) I1 = ∫ x.e dx c) I 3 = ∫ ln xdx x b) I 2 = ∫ x . cos xdx 2 0 1 0 Bài làm : u = x ⇒ du = dx a) Đặt :  dv = e dx ⇒ v = e x x 1 1 x 1 − ∫ e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 1 1 Vậy : I1 = ∫ x.e dx = x.e x 0 0 0 0 u = x 2 ⇒ du = 2 xdx b) Đặt :  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π Vậy : I1 = ∫ x.e x dx = − x. cos x − 2 ∫ x. sin xdx = π −2 ∫ x. sin xdx (1) 1 π 2 2 2 2 0 0 0 4 0 π 2 Ta đi tính tích phân ∫ x. sin xdx 0 u = x ⇒ du = dx Đặt :  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π 2 π 2 π π Vậy : ∫ x. sin xdx = − x. cos x + ∫ cos xdx = − x. cos x 02 + sin 02 = 1 2 0 0 0 1 π 2 −8 Thế vào (1) ta được : I1 = ∫ x.e dx = x 0 4  1 u = ln x ⇒ du = dx c) Đặt :  x dv = dx ⇒ v = x  e e Vậy : I 3 = ∫ ln xdx = x. ln x 1 − ∫ dx = x. ln x 1 − x 0 = 1 e e e 1 1 Tính các tích phân sau : π π eπ c) I 3 = ∫ cos( ln x ) dx 4 a) I1 = ∫ e . sin xdx x b) I 2 = ∫ x dx 0 0 cos 2 x 1 Bài làm : Trung tâm văn hóa onthi.com
  13. u = e x ⇒ du = e x dx a) Đặt :  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π Vậy : I1 = ∫ e . sin xdx = − e . cos x 0 + ∫ e . cos xdx = e + 1 + J (1) x xx π π 0 0 u = e ⇒ du = e dx x x Đặt :  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π π Vậy : J = ∫ e . cos xdx = e . sin x 0 − ∫ e . sin xdx = − I x x x 0 0 eπ + 1 Thế vào (1) ta được : 2 I1 = eπ + 1 ⇒ I1 = 2 u = x ⇒ du = dx  b) Đặt :  1 dv = cos 2 x dx ⇒ v = tan x  π π 4 x π 4 π π π 2 Vậy : I 2 = ∫ 2 dx = x. tan x − ∫ tan xdx = + ln ( cos x ) 04 = + ln 4 0 0 cos x 0 4 4 2  1 u = cos( ln x ) ⇒ du = − sin ( ln x ) dx c) Đặt :  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ Vậy : I 3 = ∫ cos( ln x ) dx = x. cos( ln x ) 1 + ∫ sin ( ln x ) dx = −( eπ + 1) + J eπ 1 1  1 u = sin ( ln x ) ⇒ du = cos( ln x ) dx Đặt :  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ Vậy : I 3 = ∫ sin ( ln x ) dx = x. sin ( ln x ) 1 − ∫ cos( ln x ) dx = 0 − I 3 eπ 1 1 eπ + 1 Thế vào (1) ta được : 2 I 3 = −( eπ + 1) ⇒ I 3 = − 2 Bạn đọc tự làm : ln 2 e a) I1 = ∫ x.e dx b) I 2 = ∫ (1 − ln x ) dx −x 2 0 1 ( ) 2 1  1 1  c) I 3 = ∫  2 − d) I 4 = ∫ ln x + 1 + x dx 2 dx e  ln x ln x  0 π 3 e e) I 5 = ∫ sin x. ln( tan x ) dx f) I 6 = ∫ cos 2 ( ln x ) dx π 1 4 Trung tâm văn hóa onthi.com
  14. π π h) I ∗7 = ∫ 1 + sin x e x dx 4 2 g) I ∗7 = ∫ x 2 cos 2 x 0 0 1 + cos x Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max : b Muốn tính I = ∫ f ( x ) dx ta đi xét dấu f ( x ) trên đoạn [ a, b] , khử trị tuyệt đối a b Muốn tính I = ∫ max[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ a, b] a b Muốn tính I = ∫ min[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ a, b] a Tính các tích phân sau : 4 2 a) I1 = ∫ x − 2 dx b) I1 = ∫ x + 2 x − 3 dx 2 1 0 Bài làm : x 1 2 4 a) x-2 - 0 + 2 4 4 2 4  x2   x2  Vậy : I1 = ∫ x − 2 dx = ∫ ( 2 − x )dx + ∫ ( x + 2)dx = 2 x −  +  − 2 x  1 1 2  2 1  2 2   1  5 = ( 4 − 2 ) −  2 −   + [ ( 8 − 8) − ( 2 − 4 ) ] =   2  2 b) Lập bảng xét dấu x 2 + 2 x − 3 , x ∈ [ 0,2] tương tự ta được 2 1 2 ( ) I1 = ∫ x + 2 x − 3 dx = − ∫ x + 2 x − 3 dx + ∫ x 2 + 2 x − 3 dx 2 2 ( ) 0 0 1 . 1 2  x3   x3  I1 = 3 x − x 2 −  + − 3 x + x 2 +  = 4  3 0  3 1 1 Tính I a = ∫ x x − a dx với a là tham số : 0 Bài làm : x −∞ a +∞ Trung tâm văn hóa onthi.com
  15. x-a - 0 + (Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ). Nếu a ≤ 0 . 1 1 1  x 3 ax 2  I a = ∫ x x − a dx = ∫ ( x − ax dx =  − 2 ) 1 a  =3−2 0 0 3 2 0 Nếu 0 < a < 1 . 1 a 1 I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx + ∫ x 2 − ax dx ( 2 ) ( ) 0 0 a a 1  ax 2 x 3   ax 2 x 3  1 a2 a3 = −  + − +  = − +  2 3 0  2 3 a 3 2 2 Nếu a ≥ 1 . 1 1  x 3 ax 2  1 I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = −  − ( 1 a  =−3+ 2 2 ) 0 0 3 2 0 2 3 Tính : a) I1 = ∫ min(1, x ) dx ( ) I 2 = ∫ max x 2 , x dx 2 0 0 Bài làm : a) Xét hiệu số : (1 − x 2 ) ∀x ∈ [ 0,2] 2 1 2 2 ( Vậy : I1 = ∫ min 1, x dx = ∫ x dx + ∫ dx = x3 2 3 0 ) 2 + x1 = 4 3 2 0 0 1 b) Xét hiệu số : x( x − 1) ∀x ∈ [ 0,3] tương tự như trên ta có . 3 1 3 1 3 ( ) I 2 = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx = 2 x2 + x3 = 2 0 3 1 6 55 2 0 0 1 Bạn đọc tự làm : π 3π 3 a) I1 = ∫ min ( x, x − 3) dx b) I 2 = ∫ max( sin x, cos x ) dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx 2 4 2 −2 0 0 3 5 d) I 4 = ∫ max( x 2 ,4 x − 3) dx d) I ∗ 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx     −2 1 Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel ( Dạng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ. ) Trung tâm văn hóa onthi.com
  16. − ∆   2ax + b   2 a > 0  → ax + bx + c = 2 1 +    ∆ < 0 4a   − ∆     ∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t , 2 ax +b 1 + t 2 dt ) Tới đây , đặt t = tan u . t= −∆ − ∆   2ax + b   2 a < 0 Dạng 2:  → ax + bx + c = 2 1 −    ∆ < 0 4a   − ∆     ∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t , 2 ax + b ) 1 − t 2 dt Tới đây , đặt t = sin u . t= −∆ ∆  2ax + b   2 a > 0 Dạng 3:  → ax + bx + c = 2   − 1 ∆ > 0 4a  − ∆     ∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t , 2 ax + b t 2 − 1 dt) Tới đây, đặt t = 1 . t= ∆ sin u dx dt Dạng 4 (dạng đặc biệt) : ∫ ( αx + β ) ax + bx + c 2 = ∫1 αt + µt + ζ 2 t= αx + β Một số cách đặt thường gặp : ( ∫ S x, a − x dx 2 2 ) đặt x = a. cos t 0≤t ≤π ∫ S ( x, + x )dx π π a2 2 đặt x = a. tan t − 0  ∫ S ( x, ax 2 + bx + c dx ) đặt  ax + bx + c = t ( x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0  2  ax 2 + bx + c = ± a .x ± t ; a>0   ax + b  ax + b ∫ S  x,   m  cx + d   đặt t = m cx + d ; ad − cb ≠ 0 dx Tính : I = ∫ (x 2 + 4x + 7 ) 3 Bài làm : dx dt ∫ = ∫ (x 2 + 4x + 7 ) 3 t = x+2 (t 2 +3 ) 3 Đặt : t = 3 tan u ⇒ dt = 3 ( tan 2 u + 1) du Trung tâm văn hóa onthi.com
  17. ( 3 tan 2 u + 1 du ) 1 Ta có I = ∫ = ∫ cos udu 3 3. tan u + 1 3 tan u ( 2 3 tan u ) 3 3 1 1 t 1 x+2 = sin u + C = +C = +C 3 3 t2 +1 3 x2 + 4x + 7 xdx dx Tính : a) I = ∫ b) I = ∫ x2 + x + 1 x x2 − 2x − 1 Bài làm : xdx xdx 1 3t − 1 a) ∫ x2 + x + 1 =∫ 2 = 2 ∫ t2 +1 dt  1 3 2 x +1 x +  + t= 3  2 4 I= 1 2 ∫ 2 x +1 3t − 1 t +1 2 dt = 2 3 2 1 t + 1 − ln t + t 2 + 1 + C 2 ( ) t= 3 1  1  = x2 + x + 1 − + ln x + + x 2 + x + 1  + C 2  2  1 dt b)Đặt : x = ⇒ dx = − 2 t t dx dt t +1 I =∫ =− ∫ = − arcsin +C x x2 − 2x −1 2 − ( t + 1) 2 2 1 x= t 1 +1 x x +1 = − arcsin + C = − arcsin +C 2 2 Tìm các nguyên hàm sau dx dx a) I = ∫ b) I = ∫ 1+ x + 3 1+ x x +1+ x +1 Bài làm : a)Đặt : t = 6 1 + x ⇒ t 6 = 1 + x ⇒ 6t 5 dt = dx dx t 5 dt  1  Vậy : I = ∫ = 6 ∫ 3 2 = 6 ∫ t 2 − t +1− t +t dt  t +1  1+ x + 1+ x 3 t = 6 1+ x t = 6 1+ x  = 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 ln t + 1 + C = 2 1 + x − 33 1 + x + 66 1 + x − 6 ln 6 1 + x + 1 + C 1  −2  1 dx 1+ x − x +1 1 x +1 b) I = ∫ =∫ dx = ∫  x + 1dx − ∫   dx x +1+ x +1 2 x 2   2 x Trung tâm văn hóa onthi.com
  18. 1 1 x +1 = x+ x − ∫ dx (1) 2 2 x x +1 x +1 1 2t Xét ∫ dx Đặt : t = ⇒ x= ⇒ dx = − dt x x t −1 2 t 2 −1 2 ( ) x +1 t 2 dt Vậy : ∫ x dx = −2 ∫ ( t − 1) 2 = OK x +1 t= x Tìm các nguyên hàm sau : a) I = ∫ x . x + 9dx b) I = 16∫ x . x + 4dx 2 2 2 2 Bài làm : t2 − 9 t2 + 9 a)Đặt : x2 + 9 = x − t ⇒ x= ⇒ dx = dt 2t 2t 2  t2 + 9   − t2 − 9  I1 = ∫  ( t2 − 9 2 ) 1 t 4 − 81 dt = − ∫ 2 ( )  2t 2 . 2t  .  4t 2 16 t5 dt    1  3 162 6561  1  t4 6561  = − ∫ t − + 5 dt = −  − 162 ln t − 4  + C Vậy : 16  t t  16  4  4t  =− 1  x − x2 + 9  (4 − 162 ln x − x + 9 − 2 ) 6561  +C 16   4 4  4 x − x2 + 9  ( ) t2 − 4 t2 + 4 b)Đặt : x +4 = x−t 2 ⇒ x= ⇒ dx = dt 2t 2t 2 t2 + 4 − t2 − 4 t2 − 4 I = 16 ∫  ( ) 2 dt = − ∫ (t 4 ) − 16 2  2t 2 . 2t  .  4t 2 t5 dt     3 36 256  t4 64  = −∫  t − + 5 dt = −  − 36 ln t − 4  + C 4  t t   t  = − (  x − x2 + 4 ) 4 + 36 ln x − x + 4 − 2  +C 64   4 4  x − x2 + 4  ( ) Tính các tích phân sau : 1 −8 I1 = ∫ x − x 2 dx dx a) 1 b) I 2 = ∫x −3 1− x dx 2 Trung tâm văn hóa onthi.com
  19. Bài làm : 1 1 1 I1 = ∫ x − x 2 dx = ∫ 1 − ( 2 x − 1) dx 2 1 21 2 2 1 Đặt : 2 x − 1 = sin t ⇒ dx = cos tdt 2  1 x = 2 → t = 0  Đổi cận :  x = 1 → t = π   2 π π π 2 2 Vậy : I1 = 1 ∫ cos 2 tdt = 1 ∫ (1 + cos 2t ) dt = 1 1 + 1 sin 2t  2   40 80 8 2 0 1  π   π =  − 0  − ( 0 + 0)  = 8  2   16 b) Đặt : t = 1 − x ⇒ − 2tdt = dx  x = −3 → t = 2 Đổi cận :   x = −8 → t = 3 −8 3 3 dx tdt dt Vậy : I 2 = ∫3 x 1 − x dx = 2∫ 1 − t 2 t = 2∫ 1 − t 2 − 2 ( 2 ) 3 t −1  1  = − ln = − ln − ln 1 = ln 2 t +1 2  2  Bạn đọc tự làm : dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ 4 x − x 2 dx c) I 3 = ∫ x x2 + 1 (x 2 +4 ) 3 1 + x2 − 1 ∗ 1 d) I 4 = ∫ 1 + x 2 dx d) I ∗5 = ∫ dx d) I 6 = dx 1 − x2 − 1 1 + x2 + 1 Bất đẳng thức tích phân : b Nếu f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈[ a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ 0 a b b Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈[ a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx a a Trung tâm văn hóa onthi.com
  20. b Nếu m ≤ f ( x ) ≤ ∀x ∈[ a, b] ⇒ m( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ( b − a ) a Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và các bước chặn sinx,cosx BÀI TẬP Chứng minh các bất đẳng thức sau : c) ∫ ( 1 + x + 1 − x )dx ≤ 2 1 2 1 1 2 x 1 a) ∫ x(1 − x ) dx ≤ b) ≤ ∫ 2 dx ≤ 0 4 5 1 x +1 2 0 Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có :  x + (1 − x )  2 1 x (1 − x ) ≤   2  = 4 ∀x ∈ [ 0,1]  1 1 1 1 Vậy : ∫ x(1 − x ) dx ≤ ∫ dx = (đpcm) 0 40 4 x b) Xét hàm số : f ( x ) = ∀x ∈ [1,2] x +1 2 Đạo hàm : 1 − x2 f ′( x ) = (x 2 +1 ) 2 x = 1 f ′( x ) = 0 ⇔   x = −1  1  f (1) = 2  Ta có :   f ( 2) = 2   5 2 x 1 ≤ 2 ≤ ∀x ∈ [1,2] 5 x +1 2 2 2 2 2 x 1 Vậy : ⇒ 5 ∫ dx ≤ ∫ x 2 + 1 dx ≤ 2 ∫ dx 1 1 1 2 2 x 1 ⇒ ≤∫ 2 dx ≤ 5 1 x +1 2 Áp dụng Bunhicopxki ta có : 1 + x + 1 − x ≤ 12 + 12 1 + x + 1 − x = 2 ∀x ∈ [ 0,1] ∫( ) 1 Vậy : 1 + x + 1 − x dx ≤ 2(1 − 0 ) 0 Trung tâm văn hóa onthi.com
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2