
Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 17 - PGS TS Vinh Quang
lượt xem 347
download

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 17 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 17 - PGS TS Vinh Quang
- Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 17. Gi i bài t p v ánh x tuy n tính PGS TS M Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1. a. Cho ánh x f : Rn → R, ch ng minh r ng f là ánh x tuy n tính khi và ch khi t n t i các s a1 , a2 , . . . , an ∈ R đ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn b. Cho ánh x f : Rn → Rm . Ch ng minh r ng f là ánh x tuy n tính khi và ch khi t n t i các s aij ∈ R đ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ) (∗) Gi i. Ta ch gi i câu b., câu a. là trư ng h p đ c bi t c a câu b. khi m = 1. Ki m tra tr c ti p, ta th y ngay r ng n u f có d ng như (∗) thì f là ánh x tuy n tính. Ngư c l i, n u f là ánh x tuy n tính, ta đ t: f (ei ) = (a1i , a2i , . . . , ami ) v i i = 1, 2, . . . , n, trong đó ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). Khi đó ta có f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en ) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + . . . + xn f (en ) = f (a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ) 2. Tìm công th c c a ánh x tuy n tính f : R3 → R3 bi t a. f (1, 1, 2) = (1, 0, 0), f (2, 1, 1) = (0, 1, 1), f (2, 2, 3) = (0, −1, 0). b. f (1, 2, 3) = (−1, 0, 1), f (−1, 1, 1) = (0, 1, 0), f (1, 3, 4) = (1, 0, 2). Gi i. a. Gi s (x1 , x2 , x3 ) = a1 (1, 1, 2) + a2 (2, 1, 1) + a3 (2, 2, 3) (1) Khi đó f (x1 , x2 , x3 ) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 1) + a3 (0, −1, 0) = (a1 , a2 − a3 , a2 ) (2) Do đó, đ tính f (x1 , x2 , x3 ), ta c n tính a1 , a2 , a3 qua x1 , x2 , x3 . Do công th c (1), a1 , a2 , a3 là nghi m c a h : 1 2 2 x1 1 2 2 x1 1 1 2 x2 −→ 0 −1 0 −x1 + x2 2 1 3 x3 0 −3 −1 −2x1 + x3 1 2 2 x1 −→ 0 −1 0 −x1 + x2 0 0 −1 x1 − 3x2 + x3 1
- V y: a3 = −x1 + 3x2 − x3 a2 = x 1 − x 2 a1 = x1 − 2a2 − 2a3 = x1 − 2(x1 − x2 ) − 2(−x1 + 3x2 − x3 ) = x1 − 4x2 + 2x3 Thay vào (2), công th c c a ánh x f là: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 4x2 + 2x3 , 2x1 − 4x2 + x3 , x1 − x2 ) b. Gi i tương t câu a., chi ti t xin dành cho b n đ c. 3. Trong R3 cho 2 cơ s : u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1) (u) v1 = (1, −1, 0), v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 0, 1) (v) và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 , f (ui ) = vi . a. Tìm công th c c a f . b. Tìm các ma tr n Af /(u) , Af /(u),(v) , Af /(v) , Af /(v),(u) , Af /(ε3 ) Gi i. a. Gi s (x1 , x2 , x3 ) = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 (1) Khi đó f (x1 , x2 , x3 ) = f (a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 ) = a1 f (u1 ) + a2 f (u2 ) + a3 f (u3 ) = a1 (1, −1, 0) + a2 (0, 1, −1) + a3 (1, 0, 1) = (a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ) V y f (x1 , x2 , x3 ) = (a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ) (2) Ta c n tính a1 , a2 , a3 theo x1 , x2 , x3 , do (1), a1 , a2 , a3 là nghi m c a h 1 0 1 x1 1 0 1 x1 0 1 0 x2 −→ 0 1 0 x2 0 1 1 x3 0 0 1 −x2 + x3 do đó: a3 = −x2 + x3 , a2 = x2 , a1 = x1 − a3 = x1 + x2 − x3 . Thay vào (2) công th c c a f là: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , −x1 + x3 , −2x2 + x3 ) b. • Ma tr n Af /(u) Ta có: f (u1 ) = v1 = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 (1) f (u2 ) = v2 = b1 u1 + b2 u2 + b3 u3 (2) f (u3 ) = v3 = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 (3) Khi đó a1 b 1 c 1 Af /(u) = a2 b 2 c 2 a3 b 3 c 3 2
- các ai , bi , ci l n lư t là nghi m c a các phương trình véctơ (1), (2), (3). M i phương trình (1), (2), (3) tương đương v i m t h phương trình tuy n tính có cùng ma tr n các h s (ch khác nhau c t t do), do đó, ta có th gi i cùng lúc 3 h đó như sau: 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 −1 1 0 −→ 0 1 0 −1 1 0 0 1 1 0 −1 1 0 0 1 1 −2 1 – H 1: a3 = 1, a2 = −1, a1 = 1 − a3 = 0 – H 2: b3 = −2, b2 = 1, b1 = −b3 = 2 – H 3: c3 = 1, c2 = 0, c1 = 1 − c3 = 0 V y ma tr n 0 2 0 Af /(u) = −1 1 0 1 −2 1 • Ma tr n Af /(u),(v) Ta có f (u1 ) = v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3 f (u2 ) = v2 = 0v1 + 1v2 + 0v3 f (u3 ) = v3 = 0v1 + 0v2 + 1v3 V y ma tr n 1 0 0 Af /(u),(v) = 0 1 0 0 0 1 • Ma tr n Af /(v) Áp d ng câu a., ta s tính đư c f (v1 ), f (v2 ), f (v3 ), sau đó làm như các ph n trư c. C th : f (v1 ) = (1, −1, 2) = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 f (v2 ) = (0, −1, −3) = b1 v1 + b2 v2 + b3 v3 f (v3 ) = (1, 0, 1) = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 ai , bi , ci là nghi m c a 3 h sau: 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 −1 1 0 −1 −1 0 −→ 0 1 1 0 −1 1 0 −1 1 2 −3 1 0 −1 1 2 −3 1 1 0 1 1 0 1 −→ 0 1 1 0 −1 1 0 0 2 2 −4 2 – H 1: a3 = 1, a2 = −a3 = −1, a1 = 1 − a3 = 0 – H 2: b3 = −2, b2 = −1 − b3 = 1, b1 = −b3 = 2 – H 3: c3 = 1, c2 = 1 − c3 = 0, c1 = 1 − c3 = 0 Vy 0 2 0 Af /(v) = −1 1 0 1 −2 1 3
- • Ma tr n Af /(v),(u) làm tương t . • Ma tr n Af /(ε3 ) theo câu a., công th c c a f là f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , −x1 + x3 , −2x2 + x3 ) do đó ta có ngay: 1 0 0 Af /(ε3 ) = −1 0 1 0 −2 1 4. Cho ánh x tuy n tính θ : Rn [x] −→ Rn [x] p(x) −→ p (x) Tìm ma tr n c a θ trong cơ s : a. uo = 1, u1 = x, u2 = x2 , . . . , un = xn (x−a)2 (x−a)n b. vo = 1, v1 = x − a, v2 = 2! ,..., vn = n! Gi i. a. Ta có θ(uo ) = 0 = 0uo + 0u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un θ(u1 ) = 1 = 1uo + 0u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un θ(u2 ) = 2x = 0uo + 2u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un ................................................ θ(uk ) = kxk−1 = 0uo + 0u1 + . . . + kuk−1 + . . . + 0un ................................................ θ(un ) = nxn−1 = 0uo + 0u1 + . . . . . . . . . + nun−1 + 0un Vy 0 1 0 ... 0 ... 0 0 0 2 ... 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ... 0 . . . . . . . . . . . . . . . Af /(u) = . . . . . . . . . . . k . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... 0 ... n 0 0 0 ... 0 ... 0 b. L i gi i tương t câu a., chi ti t xin dành cho b n đ c. 5. Cho ánh x tuy n tính f : R4 → R3 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 + x3 , 2x1 + x4 , 2x2 − x3 + x4 ) Tìm cơ s , s chi u c a Ker f, Im f 4
- Gi i. • (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Ker f ⇔ f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 0, ⇔ (x1 , x2 , x3 , x4 ) là nghi m c a h x1 − x2 + x3 = 0 2x1 + x4 = 0 (1) 2x2 + x3 + x4 = 0 Do đó, Ker f chính là không gian con các nghi m c a h (1) và h nghi m cơ b n c a h (1) chính là m t cơ s c a Ker f . Đ gi i h (1), ta bi n đ i ma tr n h s m r ng: 1 −1 1 0 0 1 −1 1 0 0 2 0 0 1 0 −→ 0 2 −2 1 0 0 2 1 1 0 0 2 1 1 0 1 −1 1 0 0 −→ 0 2 −2 1 0 0 0 3 0 0 H có vô s nghi m ph thu c 1 tham s là x4 . Ta có x3 = 0 x2 = 1 (2x3 − x4 ) = − 1 x4 2 2 x1 = x2 − x3 = x2 = − 1 x4 2 V y nghi m t ng quát c a h là: x1 = −a x2 = −a x3 =0 x4 = 2a h nghi m cơ b n α1 = (−1, −1, 0, 2), do đó, dim Ker f = 1, cơ s c a Ker f là α1 = (−1, −1, 0, 2). • Đ tìm cơ s c a Im f , ta tìm nh c a cơ s chính t c c a R4 . Ta có: f (e1 ) = (1, 2, 0), f (e2 ) = (−1, 0, 2), f (e3 ) = (1, 0, −1), f (e4 ) = (0, 1, 1) Im f = f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 ) H con ĐLTT t i đ i c a f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 ) là m t cơ s c a Im f . Ta có 1 2 0 1 1 2 0 1 −1 0 2 2 0 2 2 2 −→ 1 0 −1 3 0 −2 −1 3 0 1 1 4 0 1 1 4 1 2 0 1 0 1 1 2 −→ 0 −2 −1 3 0 2 2 4 1 2 0 1 0 1 1 2 −→ 0 0 1 3 0 0 0 4 V y cơ s c a Im f là f (e1 ), f (e4 ), f (e3 ) và dim f = 3. 5
- 6. Tìm vectơ riêng, giá tr riêng, chéo hóa các ma tr n sau: 1 0 1 (a) 0 0 0 1 0 1 5 −1 1 (b) −1 2 −2 1 −2 2 1 2 1 (c) 2 4 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 (d) 0 0 0 0 1 0 0 1 1 3 1 2 0 −1 1 3 (e) 0 0 2 5 0 0 0 −2 Gi i. b) Tìm đa th c đ c trưng: 5 − λ −1 1 PA (λ) = −1 2 − λ −2 1 −2 2 − λ = (5 − λ)(2 − λ)2 + 2 + 2 − (2 − λ) − 4(5 − λ) − (2 − λ) = −λ3 + 9λ2 − 18λ PA (λ) = 0 ⇔ λ = 0, λ = 3, λ = 6. V y A có 3 giá tr riêng là λ = 0, λ = 3, λ = 6. • Vectơ riêng ng v i tr riêng λ = 0 là giá các vectơ nghi m khác không a h : c 5 −1 1 0 −1 2 −2 0 −1 2 −2 0 −1 2 −2 0 −→ 5 −1 1 0 −→ 0 −11 11 0 1 −2 2 0 1 −2 2 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . Ta có: x3 = a, x2 = a, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (0, a, a), a ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 0 là các vectơ có d ng (0, a, a), a = 0, dim V0 = 1. Cơ s c a V0 là α1 = (0, 1, 1). • Vectơ riêng ng v i tr riêng giá λ = 3 là các vectơ nghi m khác không c a h : 2 −1 01 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0 −1 −1 −2 0 −→ −1 −1 −2 0 −→ 0 −3 −3 0 1 −2 −1 0 2 −1 1 0 0 3 3 0 1 −2 −1 0 −→ 0 −3 −3 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . 6
- Ta có: x3 = b, x2 = −b, x1 = 2x2 + x3 = −b. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (−b, −b, b), b ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 3 là các vectơ có d ng (−b, −b, b), b = 0, dim V3 = 1. Cơ s c a V3 là α2 = (−1, −1, 1). • Vectơ riêng ng v i tr riêng giá λ = 6 là các vectơ nghi m khác không c a h : −1 −1 1 0 −1 −1 1 0 −1 −1 1 0 −1 −4 −2 0 −→ 0 −3 −3 0 −→ 0 −3 −3 0 1 −2 −4 0 0 −3 −3 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . Ta có: x3 = c, x2 = −c, x1 = −x2 + x3 = 2c. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (2c, −c, c), c ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 6 là các vectơ có d ng (2c, −c, c), c = 0, dim V6 = 1. Cơ s c a V0 là α3 = (2, −1, 1). Chéo hóa. T ng h p 3 trư ng h p trên ta th y ma tr n A có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính. Do đó A chéo hóa đư c. Ma tr n T c n tìm là: 0 −1 2 T = 1 −1 −1 1 1 1 và 0 0 0 T −1 AT = 0 3 0 0 0 6 là ma tr n chéo. d) Tìm đa th c đ c trưng 1−λ 0 0 0 0 −λ 0 0 PA (λ) = = λ2 (1 − λ)2 0 0 −λ 0 1 0 0 1−λ PA (λ) = 0 ⇔ λ = 0, λ = 1. V y ma tr n A có 2 giá tr riêng là λ = 0, λ = 1. • Vectơ riêng ng vi giá riêng λ tr = 0 là vectơ nghi m khác không c a h : các 1 0 0 0 0 1∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −→ 0 0 0 1∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c hai tham s là x2 , x3 . Ta có: x2 = a, x3 = b, x4 = 0, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (0, a, b, 0), a, b ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 0 là các vectơ có d ng (0, a, b, 0), a2 + b2 = 0, dim V0 = 2. Cơ s c a V0 là α1 = (0, 1, 0, 0), α2 = (0, 0, 1, 0). 7
- • Vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 1 là các vectơ nghi m khác không c a h : 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 −→ 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c tham s là x4 . Ta có: x4 = c, x3 = 0, x2 = 0, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (0, 0, 0, c), c ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 1 là các vectơ có d ng (0, 0, 0, c), c = 0, dim V1 = 1. Cơ s c a V1 là α3 = (0, 0, 0, 1). Chéo hóa. T ng h p 3 trư ng h p trên ta th y ma tr n A ch có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính trong khi A là ma tr n c p 4 nên A không chéo hóa đư c. 7. Trong R3 cho cơ s : u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2) và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 xác đ nh b i: f (u1 ) = (0, 5, 3) f (u2 ) = (2, 4, 3) f (u3 ) = (0, 3, 2) Tìm m t cơ s đ ma tr n c a f trong cơ s đó là ma tr n chéo. Gi i. Đ u tiên ta tìm ma tr n c a f trong cơ s nào đó c a R3 . Vì è đã cho f (u1 ), f (u2 ), f (u3 ) nên d nh t là tìm ma tr n c a f trong cơ s (u). B n đ c có th d dàng tìm đư c: 0 1 1 Af /(u) = 1 0 1 1 1 0 Bư c ti p theo, ta tìm giá tr riêng và vectơ riêng c a ma tr n A = Af /(u) . T đó s tìm đư c giá tr riêng và vectơ riêng c a f . 0 1 1 Các giá tr riêng, vectơ riêng c a ma tr n A = 1 0 1 , ta đã tìm trong ph n lý thuy t. 1 1 0 K t qu tóm t t như sau: • A có hai giá tr riêng là λ = −1 và λ = 2. • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = −1 là các vectơ (−a − b, a, b), a2 + b2 = 0. Trư ng h p này A có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1). • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 2 là các vectơ (c, c, 0), c = 0. Trư ng h p này A có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α3 = (1, 1, 1). T đó suy ra: • f có hai giá tr riêng là λ = −1 và λ = 2. • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = −1 là các vectơ d ng (−a − b)u1 + au2 + bu3 = (−2a, a + 2b, b), a2 + b2 = 0. Trư ng h p này f có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β1 = −1.u1 + 1.u2 + 0.u3 = (−2, 1, 0) β2 = −1.u1 + 0.u2 + 1.u3 = (0, 2, 1) 8
- • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 2 là các vectơ d ng c.u1 + c.u2 + c.u3 = (c, 6c, 4c), c = 0. Trư ng h p này f có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β3 = 1.u1 + 1.1.u2 + 1.u3 = (1, 6, 4) K t lu n. Vì f là phép bi n đ i tuy n tính c a R3 (dim R3 = 3) và f có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính là β1 , β2 , β3 nên β1 , β2 , β3 (β) chính là cơ s c a R3 c n tìm và ta có: −1 0 0 Af /(β) = 0 −1 0 0 0 2 8. Cho phép bi n đ i tuy n tính ϕ : V → V th a mãn ϕ2 = ϕ. Ch ng minh: (a) Im ϕ + Ker ϕ = V (b) Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0} Gi i. a) T t nhiên Im ϕ + Ker ϕ ⊂ V , ta c n ch ng minh: V ⊂ Im ϕ + Ker ϕ. V i m i α ∈ V , ta có: α = ϕ(α) + (α − ϕ(α)) T t nhiên ϕ(α) ∈ Im ϕ, và ϕ(α − ϕ(α)) = ϕ(α) − ϕ2 (α) = ϕ(α) − ϕ(α) = 0. Do đó, α − ϕ(α) ∈ Ker ϕ ⇒ α ∈ Im ϕ + Ker ϕ, và Im ϕ + Ker ϕ = V . b) Gi s β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ. Khi đó t n t i α ∈ V đ ϕ(α) = β. Theo gi thi t ϕ2 = ϕ nên ta có: β = ϕ(α) = ϕ2 (α) = ϕ(ϕ(α)) = ϕ(β) = 0 (vì β ∈ Ker ϕ). V y β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ thì β = 0. Do đó, Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0}. 9. Cho f : V → V là ánh x tuy n tính, L là không gian vectơ con c a V . Ch ng minh: (a) dim L − dim Ker f ≤ dim f (L) ≤ dim L. (b) dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f . Gi i. Đ gi i bài t p 9 và bài t p 10, ta c n nh k t qu sau (đã ch ng minh trong ph n lý thuy t): N u ϕ : V → U là ánh x tuy n tính thì ta có: dim Im ϕ + dim Ker ϕ = dim V ¯ ¯ ¯ a) Xét ánh x f : L → V , f = f |L , t c là f (α) = f (α) v i m i α ∈ L. ¯ = f (L) = f (L), Ker f = L ∩ Ker f . Ta có Im f ¯ ¯ ¯ Áp d ng k t qu trên v i ϕ = f , ta có: ¯ ¯ dim Im f + dim Ker f = dim L ¯ Do đó, dim f (L) = dim Im f ≤ dim L ¯ và dim f (L) = dim L − dim Ker f ≥ dim L − dim Ker f b) Đ t L = f −1 (L). Khi đó f (L ) = L. Áp d ng a) v i không gian vectơ con L , ta có: dim L − dim Ker f ≤ dim f (L ) ≤ dim L t c là dim f −1 (L) − dim Ker f ≤ dim L ≤ dim f −1 (L) 9
- Do đó: dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f 10. Cho ϕ : V → W , ψ : W → U là ánh x tuy n tính. Ch ng minh: (a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ} (b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) (c) rank(ψϕ) ≥ rank kϕ + rank − dim W Gi i. a) Áp d ng câu a) bài 9 cho ánh x tuy n tính ψ : W → U v i L = Im ϕ = ϕ(V ) ⊂ W , ta có: dim ϕ(V ) ≥ dim ψ(ϕ(V )) = dim(ψϕ)(V ) = dim Im(ψϕ) V y ta có: rank(ψϕ) ≤ rank ϕ (1) M t khác, ta có: ϕ(V ) ⊂ W nên ψ(ϕ(V )) ⊂ ψ(W ), do đó dim ψϕ(V ) ≤ dim ψ(W ), t c là: rank ψϕ ≤ rank ψ (2). T (1) và (2) ta có đi u c n ch ng minh. ¯ ¯ ¯ b) Xét ánh x ψ : Im ϕ → U , ψ = ψ|Im ϕ , t c là ψ(α) = ψ(α) v i m i α ∈ Im ϕ. ¯ ¯ ¯ Khi đó, Ker ψ = Ker ψ ∩ Im ϕ và Im ψ = ψ(Im ϕ) = ψ(Im ϕ) = (ψϕ)(V ) = Im ψϕ, t c là: dim Im(ψϕ) + dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) = dim Im ϕ. Do v y, rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ). c) Ta có: dim Ker ψ + dim Im ψ = dim W nên dim Ker ψ = dim W − rank ψ. B i v y, theo câu b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) ≥ rank ϕ − dim Ker ψ = rank ϕ − (dim W − rank ψ) = rank ϕ + rank ψ − dim W. 1 1 Đánh máy: LÂM H U PHƯ C, TR N Đ C THU N Ngày: 09/03/2006 10

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ - đề 3
8 p |
1053 |
406
-
TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ
6 p |
773 |
320
-
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Môn: Giải tích cơ bản
9 p |
316 |
295
-
Tổng hợp đề thi cao học
14 p |
615 |
258
-
Tài liệu ôn thi cao học 2005 - Môn: Giải tích cơ bản
15 p |
355 |
180
-
TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ đề 4
7 p |
488 |
167
-
Đề cương môn thi cơ sở Tuyển sinh Sau đại học năm 2014 môn Toán cao cấp 1 - ĐH Bách Khoa
3 p |
789 |
98
-
Đề thi cao học Huế 2009 giải tích
6 p |
294 |
92
-
Đề thi cao học Vinh
15 p |
417 |
86
-
Độ đo-ôn thi cao học
6 p |
167 |
63
-
Đáp án đề thi tuyển sinh cao học năm 2013 môn thi: Toán kinh tế - Đại học Kinh tế Hồ Chí Minh (Mã đề 118)
9 p |
839 |
54
-
Tài liệu hóa học đại cương
9 p |
381 |
39
-
Đề thi cao học môn Toán kinh tế qua các năm của trường ĐH Ngoại Thương và ĐH Kinh tế Quốc dân
10 p |
263 |
33
-
Ngành giáo dục tiểu học - Ôn thi tốt nghiệp Đại học phần toán cao cấp: Phần 2
103 p |
277 |
32
-
Đề cương thi đầu vào cao học môn: Khoa học môi trường - Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên
13 p |
188 |
17
-
Đê cương chi tiết môn thi cơ sở môn Kỹ thuật môi trường đại cương (Dùng cho tuyển sinh trình độ Thạc sỹ) - ĐH Quốc gia TP Hồ Chí Minh
4 p |
224 |
13
-
Chuyên đề ôn thi Cao học 2012 Hàm số và cực trị - TS. Nguyễn Hữu Thọ
8 p |
115 |
7
-
Đề cương ôn tập tuyển sinh sau đại học môn Sinh thái học
5 p |
50 |
4


Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn
