Phương pháp dùng bất đẳng thức để giải Toán cực trị

Chia sẻ: Paradise8 Paradise8 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

1.298
lượt xem 794
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu "Phương pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị" dùng giải Toán đại số giúp học sinh có thêm phương pháp giải Toán nhanh và hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp dùng bất đẳng thức để giải Toán cực trị

PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ VD1: Tìm GTNN của A = 1  4 x  4 x 2 + 4 x 2  12 x  9 Giải: A = (1  2 x)2 + (2 x  3)2 = 1  2x + 2x  3  1  2x  2x  3 = 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 – 2x)(2x – 3)  0 Lập bảng xét dấu: x 1 3 2 2 1 – 2x + 0 - - 2x - 3 - - 0 + (1 – 2x)(2x – 3) - 0 + 0 - 1 3 Từ đó ta có (1 – 2x)(2x – 3)  0  x  2 2 1 3 Vậy GTNN của A bằng 2 với x  2 2 VD2: Tìm GTNN của hàm số f(x) = x  1 + 2 x  4 + 3 x  9 + 4 x  16 + 5 x  25 Giải: Ta có: f(x) = ( x  1 + 2 x  4 + 3 x  9 + 4  x + 25  5 x ) + 3 x  4  ( x  1)  (2 x  4)  (3x  9)  (4  x)  (25  5 x) + 3 x  4 = 15 + 3 x  4  15 Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15 VD3: Tìm GTNN của S = x2 + y2 + z2 với P = ax + by + cz không đổi (với a2 + b2 + c2  0).Giá trị đó đạt được khi nào? Giải: Theo bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski ta có: ( x2 + y2 + z2) ( a2 + b2 + c2)  (ax + by + cz)2. Do đó
P S = x2 + y2 + z2  . a  b2  c2 2 xyz S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu “ = ” tức là khi   , hay nói cách abc P khác Smin = . a  b2  c2 2 aP bP cP Khi x= 2 2 2 ; y = 2 2 2 ; z = 2 2 2 . a b c a b c a b c VD4: Tìm GTLN của: a) A = x  1 + y  2 biết x + y = 4 y2 x 1 b) B= + x x Giải: Điều kiện x  1, y  2 Ta có x  1 = 1.( x  1) 1.( x  1) 1  x  1 1 2.( y  2) x 1 y2 =    x x 2x 2 2 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 1.( x  1) 1  x  1 1 x 1    x x 2x 2 y2 2.( y  2) 2  y  2 1 2     y 4 y2 2y 2 22 x 1  1 x  2 1 2 2 2 Max B =     24 4 y  2  2 y  4 VD5: Tìm GTLN, GTNN của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2  5 Giải: Ta xét biểu thức A2 = (2x + 3y)2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: 2 2 1   2    3    x 2    y 3   2 2 A2 =  2  2. 2 x  3. 3 y  2   2  3 x    = (2 + 3) (2x2 + 3y2)  5.5 = 25
x  y x2 y3 A2 = 25   x y   x  y 1  2 x  3 y  5 2 3 Do A2  25 nên -5  A  5 x  y MinA = -5    x  y  1 2 x  3 y  5 x  y MaxA = 5    x  y 1 2 x  3 y  5 VD6: Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (a  x)(b  x) . x Khi nào đạt giá trị đó? Giải: Biểu thức có dạng: ( a  x )(b  x ) ab(a  b) x  x 2 ab ab x   x x x ab Đối với hai số dương và x, ta có bất đẳng thức Cô-si: x ab ab x2 x  2 ab x x ( a  x )(b  x )  a  b  2 ab  ( a  b ) 2 Khi đó: x Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là ( a  b ) 2 đạt được khi x  ab VD7: Tìm giá trị lớn nhất của: a) f ( x)  (2 x  1)(3  5 x) ; b) f ( x)  (1  x ) 3 (1  x ) ; x c) f ( x )  ;2 x 2 x2 d) f ( x)  2 . ( x  3) 3 Giải: 1 a) Do ab  (a  b) 2 , nên ta có: 4
2 2 5 2 1  5  211 1 f ( x )  (2 x  1)(3  5 x )  (5 x  )(3  5 x )  .  5 x    (3  5 x )  . .  5 2 5 4  2 5 4 4 40  1 1 Vậy f(x) lớn nhất là khi x  . 40 20 3 b) f ( x )  (1  x ) (1  x ) *) Nêú x < -1 hoặc x > 1 thì f(x)  0 *) Nếu -1 < x < 1 thì 4 4 1  3  3x  1  x  1  x  1  x  1  3 1 f ( x)  (3  3 x )(1  x )(1  x )(1  x )      . 3 3 4  2 3  27 1 Vậy f(x) lớn nhất là khi x  16 2 x 1 x Ta có: 2  x 2  2 2 x 2  2 2 x suy ra 2 c) f ( x )  2  x 2 2 2 x 2 1 Vậy f(x) lớn nhất là khi x  2 22 x2 1 . Ta có: x 2  1  1  33 x 2  ( x 2  2) 3  27 x 2  f ( x )  . d) f(x) = 2 3 27 ( x  2) 1 Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là , khi x  1 . 27 VD8: Tìm giá trị dương nhỏ nhất của 2x 2  3 . f ( x)  x Giải: 3 3 Do f(x) > 0 nên x > 0. ta có: f ( x )  2 x   2 2 x.  2 6 x x 6 Vậy f(x) dương bé nhất là 2 6 khi x  2 VD9: Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f ( x, y , z )  x 4  y 4  z 4 . Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có:
(12  12  12 )( x 4  y 4  z 4 )  x 2  y 2  z 2  2 x  y 2  z 2 y 2  z 2  x 2   ( xy 2  yz 2  zx 2 ) 2 2 Từ đó suy ra 3x 4  y 4  z 4   xy  yz  zx  2 16 Suy ra 3 f  x, y , z   16  f x , y , z   3 2 16 Vậy f x , y, z  bé nhất bằng , khi x  y  z  3 3 Bài tập đề nghị: Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của: A  x  2  y  1 trong đó x  y  5 Bài 2. Tìm GTNN của: A  x2  1  x2  2 x  5 Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của: A  2x  5  x2 Bài 4. Tìm GTNN của: ab A = x + y biết x , y là các số dương thoả mãn   1 (a và b là hằng số xy dương) Bài 5. Tìm GTLN của: A  x  y biết rằng x 2  4 y 2  1