Phương trình vô tỉ ôn thi Đại học năm 2014

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:147

Thêm vào BST

Báo xấu

203
lượt xem 71
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm đánh giá lại thực lực học tập của các em học sinh trước khi tham dự các kỳ thi. Mời các em và giáo viên tham khảo tài liệu về phương trình vô tỉ ôn thi Đại học năm 2014 sẽ giúp bạn định hướng kiến thức ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải các bài tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình vô tỉ ôn thi Đại học năm 2014

DI N ĐÀN TOÁN THPT k2pi PHƯƠNG TRÌNH VÔ T ÔN THI Đ I H C 2014 Hà N i, tháng 1 năm 2014
M cl c L i nói đ u 3 1 Tuy n t p các bài toán 4 1.1 T câu 1 đ n câu 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 T câu 21 đ n câu 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 T câu 41 đ n câu 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 T câu 61 đ n câu 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5 T câu 81 đ n câu 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.6 T câu 101 đ n câu 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.7 T câu 121 đ n câu 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.8 T câu 141 đ n câu 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.9 T câu 161 đ n câu 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.10 T câu 181 đ n câu 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.11 T câu 201 đ n câu 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1.12 T câu 221 đ n câu 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 1.13 T câu 241 đ n câu 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 1.14 T câu 261 đ n câu 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2 Bài t p t luy n 144 Trang 2
L i nói đ u Phương trình vô t là d ng toán thư ng xu t hi n trong đ thi tuy n sinh Đ i h c Cao đ ng. Dù nhi u khi nó không tr c ti p xu t hi n mà n đ ng sau nh ng h phương trình, b t phương trình. Đây là câu phân lo i h c sinh r t t t. Ta cũng bi t r ng v i s sáng t o không ng ng c a nh ng ngư i h c toán. Phương trình vô t xu t hi n r t nhi u trên các di n đàn, trên Google v i nh ng hình th c, ý tư ng m i m và đ c s c Topic Phương trình vô t ôn thi Đ i h c 2014 do anh Ph m Kim Chung l p ra nh m là nơi trao đ i, th o lu n các bài toán phương trình vô t ph c v cho vi c ôn thi Đ i h c. Nó đã r t thành công khi r t nhi u bài toán đ c s c đư c đưa ra th o lu n. Xin c m ơn các thành viên đã tham gia th o lu n, đã đưa ra nh ng bài toán đ c s c cùng nh ng l i gi i n tư ng B n t ng h p chia làm 2 ph n chính, ph n 1 là tuy n t p các bài toán cùng nh ng l i gi i, ph n 2 là nh ng bài t p rèn luy n cho b n đ c. B c c c a b n tuy n t p đư c trình bày r t công phu và khi n chúng ta c m tư ng như đ c m t cu n sách v y. B n đ c hoàn toàn có th kích vào đư ng d n trong M c l c đ nh y đ n nơi c n xem. Quá thu n l i ph i không ? Tuy n t p đư c hoàn thành và ra m t vào nh ng này cu i tháng 1 năm 2014, t c là nh ng ngày cu i c a năm Quý T . Năm m i, năm Giáp Ng đang đ n r t g n. Xin m n phép thay m t BQT di n đàn k2pi, chúc anh ch em trên di n đàn cùng b n đ c m t năm m i an khang th nh vư ng, v n s như ý, cùng đón m t cái T t th t m áp bên gia đình. Ngư i t ng h p Nguy n Minh Tu n (Popeye) Sinh viên K62CLC Khoa Toán Tin - Đ i H c Sư Ph m Hà N i Trang 3
Chương 1 Tuy n t p các bài toán 1.1 T câu 1 đ n câu 20 ♥ Bài 1 ♥ Gi i phương trình sau : 3x − 1 2x − 3 + √ =0 3 − 2x2 + 2 − x L i gi i 3 3 Đi u ki n − ≤x≤ . 2 2 Có d ng phân th c th nghĩ đ n nhân liên h p xem sao? Phương trình đư c vi t l i dư i d ng √ √ (3x − 1) 3 − 2x2 − 2 + x 3 − 2x2 + x − 2 2x − 3 + = 0 ⇔ 2x − 3 + =0 −3x2 + 4x − 1 1−x ⇔ 3 − 2x2 − 2x2 + 6x − 5 = 0 ⇔ 3 − 2x2 = 2x2 − 6x + 5 Nh m đư c nghi m x0 = 1 nên ta c bình phương phương trình m t cách bình thư ng    2x2 − 6x + 5 ≥ 0  2x2 − 6x + 5 ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔x=1  4x4 − 24x3 + 58x2 − 60x + 22 = 0  (x − 1)2 4x2 − 16x + 22 = 0 Đ i chi u th y nghi m th a mãn. V y phương trình có nghi m duy nh t x = 1. L i i gi  3 − 2x2 ≥ 0 3 3 Đk: ⇔− ≤x≤  3 − 2x2 = 2 − x 2 2 Nh n th y + N u bi n đ i tương đương ( quy đ ng m u r i bình phương ta s thu đư c phương trình b c cao, và khá dài. Trang 4
1.1 T câu 1 đ n câu 20 5 V y ta hãy nghĩ đ n cách khác) + N u đ t n ph , trong phương trình không có các nhóm s h ng gi ng ho c bi u di n qua nhau d dàng v y phương án này cũng không đ t nhi u hy v ng. + Do ch a m u có căn và nhìn khá ph c t p, ta th nghĩ đ n vi c nhân liên h p đ làm đơn gi n cái m u, c th như sau (và th y m i chuy n dư ng như d th ) 3 3 Do 3 − 2x2 > x − 2 v i m i x ∈ − ; nên ta có: 2 2 √ (3x − 1) 3 − 2x2 − 2 + x pt ⇔ 3 − 2x = 3 − √ 2 − x2 + 4x − 4 2x (3x − 1) 3 − 2x2 − 2 + x ⇔ 3 − 2x = (3x − 1) (1 − x) 2 ⇔ 2x − 6x + 5 = 3 − 2x2 Đ n đây hơi bí, đ u tiên ta th bình phương xem sao. ( N u không đư c có th nghĩ đ n vi c đ t n ph đưa v h đ i x ng lo i II, phân tích các v thành m t bình phương....) Bình phương ta đư c:    2x2 − 6x + 5 ≥ 0  2x2 − 6x + 5 ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔x=1  4x4 − 24x3 + 58x2 − 60x + 22 = 0  (x − 1)2 4x2 − 16x + 22x = 0 K t h p đi u ki n bài toán ta có x = 1 là nghi m c a phương trình. ♥ Bài 2 ♥ Gi i phương trình sau : √ 2 2 (2x − 5) 2x + 3 = x+1 x−1 3 3 L i gi i 5 Đk căn có nghĩa và 2 v cùng d u là x ≥ . 2 1 2 1 Khi đó : P t ⇔ 2x − 5 = (2x + 3) x−1 ⇔ (2x − 5)2 = 4x2 − 9 3 3 27 57 ⇔ 104x2 − 540x + 684 = 0 ⇔ x = 3(n)V x = (l). 26 V y Pt có 1 nghi m x = 3. ♥ Bài 3 ♥ Gi i phương trình sau : 17x + 1 √ = 2x − 3 3 − 2x2 + 2 − x L i gi i Trang 5
6 Chương 1. Tuy n t p các bài toán Hình th c gi ng bài 1 nhưng ta l i không nhân liên h p đư c nên c quy đ ng xem sao? Vi t l i phương trình dư i d ng 2x2 + 10x + 7 = (2x − 3) 3 − 2x2 Đ tu= 3 − 2x2 ⇒ 2x2 = 3 − u2 và phương trình tr thành 3 − u2 + 10x + 7 = (2x − 3) u ⇔ u2 + (2x − 3) u − 10x − 10 = 0 Coi đây là phương trình b c hai v i n là u và tham s là x ta đư c ∆u = (2x − 3)2 + 4 (10x + 10) = 4x2 − 28x + 49 = (2x − 7)2 3 − 2x + 2x − 7   u= = −2 Suy ra  2 . Do u ≥ 0 nên ch nh n nghi m 3 − 2x − 2x + 7 u= = 5 − 2x 2  x≤ 5  u = 5 − 2x ⇔ 3 − 2x 2 = 5 − 2x ⇔ 2  3 − 2x2 = 4x2 − 20x + 25 (vô nghi m). V y phương trình đã cho vô nghi m. ♥ Bài 4 ♥ Gi i phương trình sau : √ 8x2 + 3x + 4x2 + x − 2 x+4=4 L i gi i √ 2 √ Pt ⇔ x+4 + 4x2 + x − 2 x + 4 + 8x2 + 2x − 8 = 0,(1) 2 ∆√x+4 = 4x2 + x − 6  √ x+4+2=0 (V N )  (1) ⇔  √ x + 4 + 4x2 + x − 4 = 0 √ 2 √ ⇔ x + 4 − x + 4 − 4x2 − 2x = 0, (2) ∆√x+4 = (4x + 1)2  √  √ 1− 65 x + 4 = −2x x=   8 (2) ⇔  ⇔ ... ⇔ √ √ −3 + 57  x + 4 = 2x + 1 x= 8 L i gi i ĐK: x ≥ −4 √ √ Phương trình vi t thành: 2(4x2 + x − 2) + x + (4x2 + x − 2) x + 4 = 0 ⇔ (4x2 + x − 2)(2 + x + 4) + x = 0 (1) N u x = 0 ta th y không th a mãn pt=> x = 0 không là nghi m Trang 6
1.1 T câu 1 đ n câu 20 7 x(4x2 + x − 2) √ Xét x = 0 phương trình (1) tương đương v i: − √ + x = 0 ⇔ (4x2 + x − 2) = 2 − 4 + x ⇔ √ √ 2− x+4 ( x + 4)2 − x + 4 − 4x2 − 2x = 0(2) √ Đ t t = x + 4 ≥ 0 thì (2) thành: t2 − t − 4x2 − 2x = 0 ⇔ (t + 2x)(t + 2x − 1) = 0  2x ≥ 0 √ √  1 + 65 V i t = 2x ⇒ x + 4 = 2x ⇔ ⇔x=  2 4x − x − 4 = 0 8  1 − 2x ≥ 0 √ √  5 − 73 V i t = 1 − 2x ⇒ x + 4 = 1 − 2x ⇔ ⇒x= (TMĐK)  2 4x − 5x − 3 = 0 8 ♥ Bài 5 ♥ Gi i phương trình sau : √ x−3 1 √ =√ √ 2x − 1 − 1 x+3− x−3 L i gi i ĐK: x ≥ 3 √ √ Phương trình đã cho tương đương v i: x2 − 9 − (x − 3) = 2x − 1 − 1 ⇔ x2 − 9 − 2x − 1 − (x − 4) = 0 (1) Nh n xét: Nh n th y pt có nghi m là x = 5 và x = 4 ta nghĩ đ n cách t o ra nhân t chung là (x − 4)(x − 5) tuy nhiên mu n t o ra nhân t này thì thêm b t nó r t l . Do v y ta làm như sau: x2 − 2x − 8 x+2 (1) ⇔ √ √ − (x − 4) = 0 ⇔ (x − 4)( √ √ − 1) = 0 x2 − 9 + 2x − 1 x2 − 9 + 2x − 1 TH1: x = 4 th a mãn đk bài toán=>x = 4 là m t nghi m c a pt √ TH2: Quy đ ng ta đư c: x2 − 9 + 2x − 1 = x + 2(2) Đêm (1) c ng (2) ta đư c: x2 − 9 = x − 1 ⇔ x2 − 9 = x2 − 2x − 1 ⇔ x = 5 (TMĐK) V y pt có 2 nghi m là x = 4; x = 5 ♥ Bài 6 ♥ Gi i phương trình sau : 6x3 + 15x2 + x + 1 = 3x2 + 9x + 1 x2 − x + 1 L i gi i Đ tu= x2 − x + 1 khi đó phương trình tr thành u2 − 3x2 + 9x + 1 u + 6x3 + 14x2 + 2x = 0 Coi đây là phương trình b c hai v i n là u và tham s là x ta đư c 2 2 ∆u = 3x2 + 9x + 1 − 4 6x3 + 14x2 + 2x = 3x2 + 5x + 1 3x2 + 9x + 1 + 3x2 + 5x + 1  u= = 3x2 + 7x + 1 Suy ra   2 2 . 3x2 + 9x + 1 − 3x − 5x − 1 u= = 2x 2 Trang 7
8 Chương 1. Tuy n t p các bài toán √   x≥0 −1 + 13 V i u = 2x ⇔ x 2 − x + 1 = 2x ⇔ ⇔x= .  x2 − x + 1 = 4x2 6   3x2 + 7x + 1 ≥ 0 V i u = 3x2 + 7x + 1 ⇔ x2 − x + 1 = 3x2 + 7x + 1 ⇔ .  3x 3x3 + 14x2 + 18x + 5 = 0    3x2 + 7x + 1 ≥ 0 x=0 √  ⇔ 5 2 ⇔ 3+ 5 .  3x x + 3x + 9x + 3 = 0 x=− 3  √ 2 √ 1 + 13 3+ 5 V y phương trình có ba nghi m là x ∈ − ; 0; − . 6 2 ♥ Bài 7 ♥ Gi i phương trình sau : √ √ (x − 3) 1 + x + x 4 − x = 2x − 3 L i gi i ĐK: −1 ≤ x ≤ 4 PT đã cho tương đương v i: √ √ (x − 3)( 1 + x − 1) + x( 4 − x − 1) = 0 (x − 3)x x(x − 3) ⇔√ −√ =0 1+x+1 4−x+1 x(x − 3) = 0(1) ⇔√ √ 1 + x + 1 = 4 − x + 1(2) T (1) ta có x = 0 ho c x = 3 3 T (2) ta có x = 2 L i gi i Đk −1 ≤ x ≤ 4 √ Đ t u = x + 1 ⇒ u2 = 1 + x √ v = − x ⇒ v 2 = 4 − x 4  u2 + v 2 = 5 (1) có h 3 3 2 u − v − 4u + 4v = 2u − 5 (2) t (2) (u − v) u2 + uv + v 2 − 4 (u − v) = (u − v) (u + v) ⇐⇒ u = v ∨ u2 + uv + v 2 − 4 − u − v = 0(∗) l i có (u + v)2 = 5 + 2uv phương trình (*) thành (u + v)2 − 2 (u + v) − 3 = 0 ⇐⇒ u + v = 3 3 khi u=v ⇐⇒ x = nh n 2 khi u = 3 − v th (1) ta có v = 1 ∨ v = 2 ⇐⇒ x = 3 ∨ x = 0 3 v y có 3 nghi m x = 0, x = 3, x = 2 Trang 8
1.1 T câu 1 đ n câu 20 9 ♥ Bài 8 ♥ Gi i phương trình sau : (x + 2) x2 − 2x + 4 = (x − 1) x2 + 4x + 7 L i gi i Phương trình đã cho tương đương v i    (x + 2) (x − 1) ≥ 0  (x + 2) (x − 1) ≥ 0 ⇔ ⇔  (x + 2)2 x2 − 2x + 4 = (x − 1)2 x2 + 4x + 7  3(x + 2)2 = 3(x − 1)2 H phương trình cu i vô nghi m. V y phương trình vô nghi m. L i gi i Th y căn th đ t xem sao, không ng nó ngon th t th y ơi Đ t x2 − 2x + 4 = a; x2 + 4x + 7 = b (a; b > 0) Ta có: b2 − a2 + 9 •x + 2 = 6 b2 − a2 − 9 •x − 1 = 6 Khi đó phương trình đã cho tr thành: b2 − a2 + 9 b2 − a2 − 9 a= b 6 6 ⇔ b2 − a2 + 9 a = b2 − a2 − 9 b ⇔ (a + b) (a − 3 − b) (a + 3 − b) = 0 •a − 3 = b ⇔ x2 − 2x + 4 = x2 + 4x + 7 + 3 ⇒ x2 + 4x + 7 = −x − 2    x≤2  x≤2 ⇒ ⇔  x2 + 4x + 7 = x2 − 4x + 4  7 = 4(V L) •a + 3 = b ⇔ x2 − 2x + 4 + 3 = x2 + 4x + 7   x≥1 ⇒ x2 − 2x + 4 = x − 1 ⇒  4 = 1(V L) V y phương trình đã cho vô nghi m ♥ Bài 9 ♥ Gi i phương trình sau : √ (2 2x − 1 + x + 1)2 − 9x2 + 15 = 22x Trang 9
10 Chương 1. Tuy n t p các bài toán L i gi i 1 Đi u ki n x ≥ . 2 C rút g n phương trình xem ta đư c gì? √ 2x2 + 3x − 3 = (x + 1) 2x − 1 Nh m đư c nghi m x = 1 nên bình phương v ta đư c  hai  2x2 + 3x − 3 ≥ 0  2x2 + 3x − 3 ≥ 0 ⇔ ⇔x=1  2x2 + 3x − 3 2 = (x + 1)2 (2x − 1)  (x − 1) 2x3 + 7x2 + 4x − 5 = 0 V y phương trình có nghi m duy nh t x = 1. P/s: Phương trình b c ba ch ng minh vô nghi m trong đi u ki n đó, hơi t t chút các b n hoàn thi n giúp mình L i gi i Đi u ki n: 1 x≥ 2 Phương trình đã cho tương đương: √ 2 2 2x − 1 + x + 1 = (x + 3) (9x − 5) Đ t căn ti p nào! Đ t √ 2x − 1 = a (a ≥ 0) Ta có: a2 + 3 •x + 1 = 2 a2 + 7 •x + 3 = 2 9a2 − 1 •9x − 5 = 2 Khi đó phương trình đã cho tr thành: 2 a2 + 3 a2 + 7 9a2 − 1 2a + = 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ a + 4a + 3 = a + 7 9a − 1  a=1 ⇔ −8 (a − 1) a3 + 5a + 2 = 0 ⇔  a3 + 5a + 2 = 0 √ •a = 1 ⇔ 2x − 1 = 1 ⇒ 2x − 1 = 1 ⇒ x = 1 •a3 + 5a + 2 = 0 D th y a > 0 nên a3 + 5a + 2 > 0 V y phương trình đã cho có 1 nghi m duy nh t x = 1 Trang 10
1.1 T câu 1 đ n câu 20 11 ♥ Bài 10 ♥ Gi i phương trình sau : √ x3 + 22x2 − 11x − (6x2 + 12x − 6) 2x − 1 = 0 L i gi i Đi u ki n: 1 x≥ 2 Phương trình đã cho đư c vi t l i thành: √ x3 + 22x2 − 11x = (6x2 + 12x − 6) 2x − 1 Bình phương 2 v lên xem sao Khi đó, ta đư c: (x − 1)2 x2 − 18x + 9 x2 − 8x + 4 = 0   x=1 x=1   √ ⇔  x2 − 18x + 9 = 0 ⇔  x = 9 ± 6 2 √ x2 − 8x + 4 = 0 x=4±2 3 Đ i chi u v i đi u ki n V y phương trình đã cho có nghi m:  x=1  √  x = 9 ± 6√2 x=4±2 3 L i gi i 1 Đi u ki n x ≥ . 2 Nh n th y x0 = 1 là nghi m c a phương trình nên th c hi n nhân liên h p ta đư c √ x3 + 16x2 − 23x + 6 − 6 x2 + 2x − 1 2x − 1 − 1 = 0. x−1 ⇔ (x − 1) x2 + 17x − 6 − 6 x2 + 2x − 1 . √ = 0.  2x − 1 + 1 x=1 ⇔ 6 x2 + 2x − 1 .  x2 + 17 − 6 − √ = 0(1) 2x − 1 + 1 Ta gi i phương trình (1). Quy đ ng ta đư c √ x2 + 17x − 6 2x − 1 = 11x2 + 7x − 6. Ti p t c nhân liên h p ta đư c √ x2 + 17x − 6 2x − 1 − 1 = 10x2 − 10x.  2 (x − 1) x2 + 17x − 6 x=1 ⇔ √ = 10x (x − 1) ⇔  √ . 2x − 1 + 1 10x 2x − 1 + 1 = 2 x2 + 17x − 6 (2) Phương trình (2) tương đương v i √ √ √ 2 5x 2x − 1 = x2 + 12x − 6 ⇔ x2 − 5x. 2x − 1 + 6 2x − 1 = 0. Trang 11
12 Chương 1. Tuy n t p các bài toán √ √  √ √ x = 2 2x − 1 x=4±2 3 ⇔ x − 2 2x − 1 x − 3 2x − 1 = 0 ⇔  √ ⇔ √ . x = 3 2x − 1 x=9±6 2 Đ i chi u th y t t c các nghi m đ u th a mãn. √ √ V y phương trình có 5 nghi m x ∈ 1; 4 ± 2 3; 9 ± 6 2 . ♥ Bài 11 ♥ Gi i phương trình sau : √ √ 4 √ x+1+ x−1= x−1+ x2 − 2x + 3 L i gi i Đk: x ≥ 1 (*) √ (x − 1) + 2 = (x − 1)2 + (x − 1)2 + 2 (**) 4 pt ⇔ 4 x − 1 + √ 4 √ Xét hàm s : f (t) = t + t + 2 ( t ≥ 0 ) 1 1 f = √ + √ 4 3 >0v im it>0 4 t 2 t+2 V y hàm f liên t c và đơn đi u tăng trên t p s th c t > 0 Ta có (**) ⇔ f (x − 1) = f (x − 1)2 ⇔ x − 1 = (x − 1)2 ⇔ x = 1; x = 2 K t h p đi u ki n (*) ta có x = 1 và x = 2 là nghi m c a phương trình. ♥ Bài 12 ♥ Gi i phương trình sau : √ 3x2 + 33 + 3 x = 2x + 7 L i gi i √ Đ t t = x, t ≥ 0 Ta có P t : 3t4 + 33 = 2t2 − 3t + 7 2 ⇔ 3t4 + 33 = 2t2 − 3t + 7 ⇔ t4 − 12t3 + 37t2 − 42t + 16 = 0 ⇔ (t − 1)2 (t − 2) (t − 8) = 0 V y Pt có 3 nghi m : x = 1; x = 4; x = 64. ♥ Bài 13 ♥ Gi i phương trình sau : √ √ 2 (5x − 3) x + 1 + 5 (x + 1) 3 − x = 3 (5x + 1) Trang 12
1.1 T câu 1 đ n câu 20 13 L i gi i Đi u ki n −1 ≤ x ≤ 3. Th y s xu t hi n c a hai căn th c nên ta đ t n ph d ng hai n xem sao?  u = √x + 1  Đ t √ , (0 ≤ u, v ≤ 2) thì ta có u2 + v 2 = 4.  v = 3−x  2 2  5x − 3 = 3u − 2v  Đ ng nh t h s ta phân tích đư c x + 1 = u2 . 5x + 1 = 4u2 − v 2   Khi đó phương trình đã cho tr thành 2 3u2 − 2v 2 + 5uv 2 = 3 4u2 − v 2 ⇔ 6u2 (2 − u) = v 2 (u + 3) V y ta có h phương trình    6u2 (2 − u) = v 2 (u + 3)  (2 − u)2 (2 + u)2 = v 4 ⇔  u2 + v 2 = 4  36u4 (2 − u)2 = v 4 (u + 3)2    u2 + v 2 = 4   u2 + v 2 = 4 u=2 √   ⇔ ⇔ v=0 ⇔ 5 + 145  36u4 v 4 = v 4 (u + 3)2 (2 + u)2   u=  6u2 = (u + 2) (u + 3) 10 √ V i u = 2 ⇔ √ x + 1 = 2 ⇔ x = 3. √ √ 5 + 145 √ 5 + 145 7 + 145 V iu= ⇔ x+1= ⇔x= . 10 10 √ 10 7 + 145 V y phương trình có hai nghi m là x ∈ 3; . 10 ♥ Bài 14 ♥ Gi i phương trình sau : √ √ 4x2 + (2x − 5) 4x + 2 + 17 = 4x + (2x + 3) 6 − 4x L i gi i √ √ 4x2 + (2x − 5) 4x + 2 + 17 = 4x + (2x + 3) 6 − 4x(1) −1 3 ĐK : ≤x≤ . 2 √2 √ (1) ⇔ (2x + 3) 6 − 4x − (2x − 5) 4x + 2 = (2x − 1)2 + 16 √ √ ⇔ (2x + 3) 6 − 4x + (5 − 2x) 4x + 2 = (2x − 1)2 + 16 V T ≥ 16(∗) √ √ 2 V P 2 = (2x + 3) 6 − 4x + (5 − 2x) 4x + 2 √ 2 √ 2 V P 2 ≤ 2. (2x + 3) 6 − 4x + (5 − 2x) 4x + 2 ⇔ V P 2 ≤ 2 −96x2 + 96x + 104 = 2 −24(2x − 1)2 + 128 ≤ 2.128 = 256. ⇒ V P ≤ 16(∗∗) Trang 13
14 Chương 1. Tuy n t p các bài toán 1 T (*) và (**) ⇒ x = 2 L i gi i 1 3 Đi u ki n : − ≤ x ≤ 2 2 Phương trình đã cho tương đương v i phương trình : √ √ 16x2 − 16x + 68 = 4 (4x + 2) 6 − 4x + 4 (5 − 2x) 4x + 2 √ √ 3 ⇔ 16x2 − 16x + 68 = 6 − 4x + 4x + 2 (1) 2 √ √ t2 − 8 Đ t t = 6 − 4x + 4x + 2, t ≥ 0 ⇒ 16x2 − 16x = 12 − . Lúc đó phương trình (1) tr thành : 4 2 t2 − 8 12 − + 68 = t3 ⇔ t4 + 4t3 − 16t2 − 256 = 0 4 √ √ √ √ ⇔ t = 4 ⇔ 6 − 4x + 4x + 2 = 4 ⇔ 6 − 4x − 2 + 4x + 2 − 2 = 0 2 (1 − 2x) 2 (2x − 1) ⇔√ +√ =0 6 − 4x + 2 4x + 2 + 2  2x − 1 = 0 ⇔ √ √ 6 − 4x = 4x + 2 1 ⇔x= 2 ♥ Bài 15 ♥ Gi i phương trình sau : √ √ (7 − 6x) 4 + 3x + (13 + 6x) 1 − 3x = 5 −9x2 − 24x − 11 L i gi i √ √ Đ u tiên đ t: u = 4 + 3x; v = 1 − 3x thì: 2 2 u + v = 5. P T ⇐⇒ (5 + 2v 2 )u + (5 + 2u2 )v = u2 v 2 − 4u2 + v 2 ⇐⇒ (u + v)3 = 5 − u4 ⇐⇒ (5 + 2uv)3 + u4 = 5. Đi u này vô lí. V y PT đã cho vô nghi m ♥ Bài 16 ♥ Gi i phương trình sau : √ √ 3x − 7 + (4x − 7) 7 − x = 32 Trang 14
1.1 T câu 1 đ n câu 20 15 L i gi i 7 Đi u ki n :≤x≤7 3 √ 14 Đ t : a= 7−x 0≤a≤ 3 Phương trình đã cho tr thành : 14 − 3a2 − 4a3 + 21a − 32 = 0 Mà : √ • 0 ≤ f (a) = 14 − 3a2 ≤ 14 14 • g (a) = −4a3 + 21a − 32, 0 ≤ a ≤ ; 3 g (a) = −12a2 + 21 √ 7 √ ⇒ −32 = g (0) ≤ g (a) ≤ g = −32 + 7 7 2 √ √ Nên : f (a) + g (a) ≤ −32 + 7 7 + 14 < 0 Hay phương trình đã cho VN. ♥ Bài 17 ♥ Gi i phương trình sau : 4x − 1 11 − 2x 15 √ + √ = 4x − 3 5−x 2 L i gi i 4x − 1 11 − 2x 15 √ + √ = 4x − 3 5−x 2 √ 2 √ 1 15 ⇔ 4x − 3 + √ +2 5−x+ √ = 4x − 3 5−x 2 √ √ 2 1 15 ⇔ 4x − 3 + 2 5 − x + √ +√ = √ −3 4x √− x 5 2 √ √ 4x − 3 + 2 5 − x 15 ⇔ 4x − 3 + 2 5 − x + = .(1)  √ (4x − 3)(5 − x) 2  4x − 3 + 2√5 − x = a ≥ 0  (4x − 3)(5 − x) = b ≥ 0 a2 − 17 ⇒ a2 − 4b = 17. ⇒ b = . 4 4a 15 (1) → a + = . −17 + a2 2 3 2 ⇔ 2a − 15a − 26a + 255 = 0 ⇔ (a − 5)(2a2 − 5a + 51) = 0 ⇔ a = 5.  √  4x − 3 + 2√5 − x = 5 19  x= ⇒ ⇔  4  (4x − 3)(5 − x) = 2 x=1 Trang 15
16 Chương 1. Tuy n t p các bài toán ♥ Bài 18 ♥ Gi i phương trình sau : x+ x2 − 3x + 9 = x2 + 2x + 10 + 1 L i gi i Nh n th y x = 1 không là nghi m c a phương trình nên đưa v h   x2 + 2x + 10 − x2 − 3x + 9 = x − 1 .  x2 + 2x + 10 + x2 − 3x + 9 = 5x + 1 x−1 5x + 1 −x2 + 7x Suy ra 2 x2 − 3x + 9 = − (x − 1) = . x−1  x−1  (x − 1) −x2 + 7x ≥ 0 ⇔ 2 (x − 1) x2 − 3x + 9 = −x2 + 7x ⇔ .  4(x − 1)2 x2 − 3x + 9 = x2 (7 − x)2   (x − 1) −x2 + 7x ≥ 0 ⇔ ⇔ x = 3.  (x − 3) x3 + x2 + 8x − 4 ♥ Bài 19 ♥ Gi i phương trình sau : 1 23 1 √ + x= √ + 3x2 + 11 x−1 2 2x − 3 L i gi i 3 Đi u ki n x > . 2 Nh m đư c nghi m x0 = 2 nên th nhân liên h p xem sao? Vi t l i phương trình dư i d ng 1 1 23 √ −√ = 3x2 − x + 11 x−1 2x − 3 2 x−2 11 ⇔√ √ √ √ = (x − 2) 3x − x − 1. 2x − 3 x − 1 + 2x − 3 2  x=2 ⇔ 1 11  √ √ √ √ = 3x − (1) x − 1. 2x − 3 x − 1 + 2x − 3 2 Phương trình (1) d th y chuy n v ta đư c m t hàm đơn đi u v y cái ta c n là tìm đư c m t nghi m n a c a phương trình và đó chính là x = 2. V y phương trình có nghi m duy nh t x = 2. Trang 16
1.2 T câu 21 đ n câu 40 17 ♥ Bài 20 ♥ Gi i phương trình sau : 2−x √ √ = 2x − 3 − 3 x − 1 4 L i gi i 2−x √ √ = 2x − 3 − 3 x − 1 4 3 ŒK : x ≥ . √ 2 x √ x−2 ⇔ 2x − 3 − 1 + − 3 x − 1 + =0 2 4 2 + 2x − 4) 2x − 4 (x − 2)(x x−2 ⇔√ + + =0 2x − 3 + 1 8A 4 ⇔x=2 1 x2 + 2x − 4 1 3 do : √ + + > 0; ∀x ≥ 2x − 3 + 1 8A 4 2 1.2 T câu 21 đ n câu 40 ♥ Bài 21 ♥ Gi i phương trình sau : √ 4x2 + 3(x2 − x) x + 1 = 2(x3 + 1) L i gi i √ 4x2 + 3(x2 − x) x + 1 = 2(x3 + 1) ĐK : x ≥ −1. √ ⇔ 4x2 − 2x3 − 2 + 3(x2 − x) x + 1 = 0 √ ⇔ (x − 1) 3x x + 1 − 2x2 + 2x + 2 = 0  x=1 ⇔ √ 3x x + 1 = 2x2 − 2x − 2  x=1 ⇔ 4x4 − 17x3 − 13x2 + 8x + 4 = 0  x=1 ⇔ (x2 − 4x − 4)(4x2 − x − 1) = 0 Trang 17
18 Chương 1. Tuy n t p các bài toán ♥ Bài 22 ♥ Gi i phương trình sau : x2 + 4x + 3 + x2 + x = 3x2 + 4x + 1 L i gi i đk x ≤ −3 ∨ x ≥ 0,x = −1 Phương trình thành (x + 1) (x + 3) + x (x + 1) = (x + 1) (3x + 1) xét x = −1 tho mãn x ≥ 0, phương trình thành √ √ √ x + 3 + x = 3x + 1 √ 2 −8 + 76 ⇐⇒ 3x + 16x − 4 = 0, x ≥ 2 ⇐⇒ x = lo i 3 TH: x ≤ −3 phương trình thành √ √ √ −x − 3 + −x = −3x − 1 ⇐⇒ 3x2 + 16x − 4 = 0 √ −8 − 76 ⇐⇒ x = 3 L i gi i   x2 + 4x + 3 ≥ 0  Đi u ki n : x2 + x ≥ 0  3x2 + 4x + 1 ≥ 0  Phương trình đã cho tương đương v i : 2 (x2 + x) (x2 + 4x + 3) = x2 − x − 2 ⇔ 2 (x + 1)2 (x2 + 3x) = (x + 1) (x − 2)    x2 − x − 2 ≥ 0 x = −1 ⇔ ⇔ √  (x + 1)2 3x2 + 16x − 4 = 0 −8 − 76 x= 3 ♥ Bài 23 ♥ Gi i phương trình sau : x−2 x+2 + √ √ 2 =1 x−1 x+2+ x−2 L i gi i Nhân liên h p cái m u đưa v √ √ √ √ √ 16 x − 2 + (x + 2)( x + 2 − x − 2)2 x − 1 = 16 x − 1 Phá tung tóe ra đư c √ √ √ √ √ √ √ x. x − 2 x − 1. x + 2 = x − 1(x2 + 2x − 8) + x − 2(8 − 2 x − 1 x + 2) Trang 18
1.2 T câu 21 đ n câu 40 19 Trong đó x2 + 2x − 8 = (x − 2)(x + 4) nên th y ngay x = 2 là nghi m, cái còn l i là √ √ √ √ √ √ x. x − 1. x + 2 = x − 1. x − 2.(x + 4) + 8 − 2 x − 1 x + 2 Cáo l i do nhìn nh m nên đo n cu i nãy mình làm sai,nhưng cái phương trình trên v n vô nghi m, có th làm t m th i như sau √ √ √ √ (x + 2) x − 1 x + 2 = 8 + (x + 4) x − 1 x − 2 bình phương 2 v thu g n đư c √ √ (x − 2)(3x + 13) = 4(x + 4) x − 1 x − 2, l i có nghi m x = 2 √ √ cái còn l i x − 2(3x + 13) = 4(x + 4) x − 1 vô nghi m do đk x ≥ 2 L i gi i ĐK x ≥ 2 4 x−2 x+2 1 PT ⇔ + =1 3 x−2 +1 x−2 2 x+2 1+ x+2 x−2 Đ tt= , (t ≥ 0) x+2 PT tr thành 2t 1 √ + =1 3t 2+1 (1 + t)2 2t t2 + 2t ⇔√ = 3t2 + 1 (t + 1)2 2 4t2 t2 + 2t ⇔ 2 = 3t + 1 (t + 1)4 ⇔ t3 t3 + 4t2 + 11t + 12 = 0 ⇔t=0 V y PT có nghi m duy nh t x = 2 L i gi i T m th i chưa nghĩ ra cách khác đành dùng cách trâu bò nh t Đi u ki n x ≥ 2. Vi t l i phương trình dư i d ng x−2 1 + 2 =1 x−1 x−2 x+2 +1   x−2  u= Đ t x − 1 , (0 ≤ u, v < 1) khi đó phương trình tr thành  x−2  v= x+2 1 u+ =1 (v + 1)2 2 − u2 2 1 + v2 M t khác x = = . Vì v y ta có h phương trình 1 − u2 1 − v2 Trang 19
20 Chương 1. Tuy n t p các bài toán 1   u=1− 1   1  u+ =1 (v + 1)2  u=1−  (v + 1)2  1 2  (v + 1)2 2 ⇔ 2 − 1 − (v+1)2 2 1 + v2 ⇔ 4 2 2 2  2(v + 1) − v + 2v = 2 1 + v 2  2−u = 2 1+v = 2 1 − v2 (v + 1)4 − (v 2 + 2v)2 1 − v2    1 − u2 1 − v2  1− 1− 1 2  (v+1)  u=1− 1  1  u=1− (v + 1)2   ⇔ ⇔ (v + 1)2 ⇔u=v=0⇔x=2  v 4 + 4v 3 + 8v 2 + 8v + 2 2 1 + v2  6  v + 5v 5 + 11v 4 + 12v 3 = 0  = 2v 2 + 4v + 1 1 − v2 ♥ Bài 24 ♥ Gi i phương trình sau : 5x2 x2 + x + 2 x2 + x + 3 √ + √ 2 + √ 2 =2 x+1 x2 + x + 2 x2 + x + 3 L i gi i  x2 + √x + 2  2 ≤ x2 + 1 x2 + x + 2 Theo BCS ta có: √ 2  x2 + x + 3 ≤ x2 + 1 x2 + x + 3 5x2 2 5x2 2x2 Suy ra v trái Pt : V T ≥ √ + 2 ≥√ − 2 +2 x+1 x +1 x+1 x +1 √ √ 2 x2 5x2 + 5 − 2 x + 1 x2 5x2 − x + 3 + 1 − x + 1 ⇒VT ≥ √ +2≥ √ +2 (x2 + 1) x + 1 (x2 + 1) x + 1 ⇒ V T ≥ 2 = V P. Và : V T = V P = 2 ⇔ x = 0. V y Pt có nghi m duy nh t : x = 0. ♥ Bài 25 ♥ Gi i phương trình sau : √ √ (2x − 9) x + 7 + 3x − 2 + 2x + 9 = 0 L i gi i 2 Đi u ki nx ≥ . 3 Nh m đư c nghi m x0 = 2 nên th liên h p xem sao? Phương trình đư c vi t l i dư i d ng √ √ (2x − 9) x+7−3 + 3x − 2 − 2 + 8 (x − 2) = 0 2x − 9 3 ⇔ (x − 2) √ +√ +8 =0 x+7+3 3x − 2 + 2 2x − 9 3 2 M t khác √ +√ + 8 > 0, ∀x ≥ nên phương trình tương đương v i x = 2. x+7+3 3x − 2 + 2 3 V y phương trình có nghi m duy nh t x = 2. Trang 20