Quy tắc L’Hôpital đơn điệu và một số ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này tác giả không viết về quy tắc L’Hôpital mà ta đã học trong phần giải tích đề áp dụng để tính giới hạn của hàm số vô định. Vấn đề tác giả đề cập ở đây liên quan đến tính đơn điệu của tỷ lệ hình thức dựa trên tính đơn điệu của tỷ lệ được nêu trong L’Hôpital Định lý đơn điệu. Sau đó, tác giả đưa ra một số ví dụ minh họa cho việc áp dụng quy tắc này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Quy tắc L’Hôpital đơn điệu và một số ứng dụng

Đ IH C K ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN QUY T C L’HÔPITAL ĐƠN ĐIỆU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TẮC ĐI U M TS NG D NG L’HÔPITAL RULE AND SOME APPLICATIONS Ngày nh n bài Ngày nhận bài : 25.1.2022 25.1.2022 ThS. Nguy n T n Bình Nguyễn Tấn Ngày nh n k t qu ph n bi n : 04.4.2022 Ngày nhận kết quả phản biện 04.4.2022 Trư ng Đ i h c Tài chính - K toán Trường Đại học Kế Ngày duyệt đăng Ngày duy t đăng : 28.4.2022 TẮT TÓM T T Trong bài vi t này, tác gi không vi t v quy t c L’Hôpital mà chúng ta đã đư c h c trong b môn 0 ∞ gi i tích nh m ng d ng đ tính gi i h n c a hàm s có d ng vô đ nh ; . V n đ tác gi đ c p f ( x) 0 ∞ f ' ( x) đây liên quan đ n tính xét đơn đi u c a t s d ng d a vào tính đơn đi u c a t s đư c g ( x) g ' ( x) phát bi u đ nh lý L’Hôpital đơn đi u . Sau đó, tác gi đưa ra m t s ví d minh h a cho vi c áp d ng quy t c này. T khóa: Tính đơn đi u, đ nh lý Lagrange, quy t c L’Hôpital đơn đi u ABSTRACT In this article, the author does not write about the L’Hôpital rule that we have learned in the analysis subject to apply to calculate the limit of a function of indeterminate form. The problem the author mentioned here related to the monotony of the form ratio is based on the monotony of the ratio stated in the L’Hôpital Monotone theorem. Then, the author gives some examples to illustrate the application of this rule Key words: Monotonicity, Lagrange theorem, L’Hôpital rule 1. Đ t v n đ Trong chương trình ph thông, chúng ta đã bi t r ng n u hàm s y = f ( x) liên t c và f '( x) > 0, ∀x ∈ (a, b) thì hàm s đ ng bi n trên (a,b). xm −1 V i hàm s f ( x) = n , (m > n > 0 ; x > 1) (*) x −1 suy ra f '( x) = ( m − n ) x m+ n−1 − mx m−1 + nx n−1 . Vi c xét d u t s c a bi u th c này không h đơn gi n. ( x n − 1) 2 Do đó, ta c n s d ng đ nh lý có tên là L’Hôpital đơn đi u. 2. Đ nh lý (quy t c L’Hôpital đơn đi u [3]): Cho f , g : [ a, b ] → » là các hàm s liên t c và có đ o hàm trên kho ng (a, b) v i g ' ≠ 0 ∀x ∈ (a, b) . f' f ( x) − f (b) f ( x) − f (a ) Khi đó, n u đ ng bi n (ho c ngh ch bi n) trên kho ng (a, b) thì vaø g' g ( x) − g (b) g ( x) − g (a ) cũng đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên kho ng (a, b) . Ch ng minh. Trư c khi ch ng minh đ nh lý này, ta nh c l i đ nh lý Lagrange. Đ nh lý. N u hàm s f(x) liên t c trên [a,b] và kh vi trên (a, b) thì t n t i 1 đi m c ∈ (a, b) sao 105
T P TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN H C K f (a ) − f (b) cho f '(c) = . a−b Ch ng minh. Xem [4] f '( x) Gi s , g '( x) > 0 và đ ng bi n trên kho ng (a, b) . Khi đó, theo đ nh lý Lagrange, ∀x ∈ (a, b) g '( x) s t n t i ∀c ∈ (a, x) sao cho f ( x) − f (a ) f '(c) f '( x) = ≤ g ( x) − g (a ) g '(c) g '( x) f '( x) f ( x) − f (a) ⇔ − ≥0 g '( x) g ( x) − g (a) f '( x) ( g ( x) − g (a )) − g '( x) ( f ( x) − f (a )) ⇔ ≥0 g '( x) ( g ( x) − g (a )) Vì g '( x) > 0, ∀ x ∈ (a, b) nên g ( x) − g (a) > 0 . Suy ra, f '( x) ( g ( x) − g (a )) − g '( x) ( f ( x) − f (a )) ≥ 0 f '( x) ( g ( x) − g (a )) − g '( x) ( f ( x) − f (a )) ⇒ ≥0 ( g ( x ) − g ( a )) 2 f '( x) ( g ( x) − g (a )) − g '( x) ( f ( x) − f (a )) '  f ( x) − f (a )  Hay  g ( x) − g (a )  =  ≥0  ( g ( x ) − g ( a ))2 f ( x) − f (a) V y ta đã ch ng minh đư c đ ng bi n trên kho ng (a, b) . g ( x) − g (a) f ( x) − f (b) Tương t , ta cũng ch ng minh đư c đ ng bi n trên kho ng (a, b) . g ( x) − g (b) 3. Áp d ng c a quy t c L’Hôpital 3.1. Áp d ng c a quy t c L’Hôpital trong kh o sát hàm s xm −1 Ví d 1. Xét tính đơn đi u c a hàm s f ( x) = n , (m > n > 0 ; x > 1) x −1 Gi i. Đ t f ( x) = x m − 1 và g ( x) = x n − 1 .  f ( x)  g ( x) , x ≠ 1  Xét hàm s H ( x) =  m , x =1 n  ' ' f ( x) m m − n  f ' ( x)  m Ta có ' = x đ ng bi n trên (1; +∞ ) khi m > n > 0 (vì  '  = ( m − n) x m − n −1 > 0 ). g ( x) n  g ( x)  n f ( x) − f (1) f ( x) Theo đ nh lý L’hôpital đơn đi u, thì đ ng bi n trên (1; +∞ ) . Hay H ( x) = đ ng bi n. g ( x) − g (1) g ( x) ax − bx Ví d 2. V i a > b ≥ c > d > 0 . Ch ng minh: f ( x) = x là hàm đ ng bi n v i m i x. c −dx Ch ng minh. Chia t và m u c a f ( x) cho d x , do đó không m t tính t ng quát, ta có th gi s d =1, 106
Đ IH C K ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN ax − bx khi đó f ( x) = . Đ t y = cx , cx −1 ln a ln b x. x.  ln b ln a  Ta có a x = c x.logc a = c ln c = y β ; b x = c x.logc b = c ln c = yα ;  α = ;β=   ln c ln c  y β − yα Suy ra, T ( y ) = ; y ∈ (0;1) ∪ (1; +∞) y −1 f ' ( y) Đ t f ( y ) = y β − yα ; g ( y ) = y − 1 ⇒ p ( y ) = ' = β y β −1 − α yα −1 g ( y) Ta có lim T ( y ) = β − α , không m t tính t ng quát, gi s β > α y →1 p ( y ) = β ( β − 1) y β − 2 − α (α − 1) yα − 2 ' 1  α (α − 1)  β −α p' ( y) = 0 ⇔ y∗ =   v i đi u ki n β ( β − 1)α (α − 1) > 0  β ( β − 1)  Trư ng h p 1: α < β ≤ 0 ' ∗ Vì α (α − 1) > 0; β ( β − 1) > 0 nên v i y > 0 , p ( y ) < 0 , y < y . Do đó, p ( y ) gi m tăng trên mi n (0; +∞) ( ch ng h n, p ( y ) gi m trên (0; +∞) khi β = 0 ). Vì v y, T ( y ) gi m trên (0; +∞) . Trư ng h p 2: α ≤ 0 < β ≤ 1 và (α ; β ) ≠ (0;1) Khi đó, p ' ( y ) < 0 và p ( y ) gi m trên mi n (0; +∞) . Theo đ nh lý L’Hôpital đơn đi u thì T ( y ) gi m trên (0; +∞) . Trư ng h p 3: α > 0; β < 1 V i m i y dương, p ' ( y ) < 0 , y < y ∗ do đó, p ( y ) gi m tăng trên mi n (0; +∞) . Vì v y, T ( y ) cũng gi m tăng trên (0; +∞) . Trư ng h p 4: α < 0; β > 1 V i m i y dương, thì p ' ( y ) > 0 , y < y ∗ do đó, p ( y ) tăng gi m trên mi n (0; +∞) . Vì v y, T ( y ) cũng tăng gi m trên (0; +∞) . Trư ng h p 5: 0 ≤ α < 0 < 1 ≤ β và (α ; β ) ≠ (0;1) Khi đó, p ' ( y ) > 0 và p ( y ) tăng trên (0; +∞) . Theo đ nh lý L’Hôpital đơn đi u thì T ( y ) tăng trên (0; +∞) . Trư ng h p 6: β > α ≥ 1 V i m i y dương, thì p ' ( y ) < 0 , y < y ∗ do đó, p ( y ) gi m tăng trên (0; +∞) ( ch ng h n, α = 1 thì p ( y ) tăng trên mi n (0; +∞) ) Theo đ nh lý L’Hôpital đơn đi u thì T ( y ) tăng trên (0; +∞) . 3.2. Áp d ng c a quy t c L’Hôpital trong ch ng minh b t đ ng th c Ví d 3. Ch ng minh r ng 2  sin x  tan x  π   + >2, 0 < x <   x  x  2 107
T P TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN H C K Ch ng minh.  sin x 2 tan x  + , x≠0 Xét hàm s H ( x) =  x    x  2 , x=0  Đ t f ( x) = sin x + x tan x và g ( x) = x 2 . Khi đó, 2 f ' ( x) = 2sin xcosx + tan x + x(1 + tan 2 x) ; g ' ( x) = 2 x Suy ra, f ' (0) = f (0) = 0 ; g ' (0) = g (0) = 0 f '' ( x) Ta có = cos 2 x + (1 + tan 2 x) (1 + x tan x ) g '' ( x) '  f '' ( x)   1  Suy ra,  ''  = (1 + tan 2 x )( 2 x tan 2 x + 3 tan x(1 − cos 4 x) ) +  x (1 + tan 2 x ) − sin 2 x  2  g ( x)   2  1 ( ) Vì, h( x) = x (1 + tan x ) − sin 2 x có h ( x) = 1 + tan x ( 4 x tan x + 1) − cos 2 x > 0 2 2 ' 2 2 2  π nên h(x) đ ng bi n trên  0;  suy ra h( x) > h(0) = 0  2 '  f '' ( x)  f '' ( x)  π Do đó,  ''  > 0 ⇒ '' đ ng bi n trên  0;  .  g ( x)  g ( x)  2 f ( x) − f (0) f ' ( x) ' '  π Theo đ nh lý L’Hôpital đơn đi u thì ' = ' đ ng bi n trên  0;  . ' g ( x) − g (0) g ( x)  2 f ( x) − f (0) f ( x)  π Theo đ nh lý L’Hôpital đơn đi u thì H ( x) = = đ ng bi n trên  0;  . g ( x) − g (0) g ( x)  2   sin x  tan x  2 Suy ra, H ( x) > H (0) = lim    + =2 x →0  x   x   Ví d 4. Ch ng minh r ng v i m i s th c t, ta có eα t + e −α t − 2 ≤ ( et + e − t − ) − 2α ; ∀α ≥ 2 (*) α Ch ng minh. V i t = 0 , (*) luôn đúng Xét trư ng h p t > 0 (x + 1) − x 2α − 1 2 α t Đ t x = e ; x > 1 . B t đ ng th c tr thành ≥ 2α − 2 xα Đ t f ( x) = ( x 2 + 1) − x 2α − 1 ; g ( x) = xα , α Ta có f ' ( x) = 2α x ( x 2 + 1) α −1 − 2α x 2α −1 ; g ' ( x) = α xα −1 f ' ( x) 2 x ( x + 1) − 2 x 2 α −1 2α −1 α −1  1 Đ t ' = = 2 x  x +  − 2 xα g ( x) xα −1  x ' α −1  f ' ( x)   1  2α − 2  α − x 2 + 1  − 2α x α −1 suy ra,  '  = 2 x +   g ( x)   x   áp d ng b t đ ng th c Bernoulli (1 + a ) β ≥ 1 + β a ; ∀a ≥ 0 , β ≥ 1 , 108
Đ IH C K ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN α −1 α −1  1  1  Ta có  x +  = xα −1 1 + 2  ≥ xα −1 (1 + (α − 1) x −2 ) = xα −1 + (α − 1) xα −3  x  x  Như v y, khi x > 1 , α ≥ 2 '  f ' ( x)  α −3  2α − 2   ≥ 2 x + 2(α − 1) x  α − 2  − 2α x α −1 α −1  '  g ( x)   x +1  2(α − 1) ≥ 2 x +1 (α xα −1 + 2 xα −3 − α xα −3 − xα −1 ) ≥ 2(α + 1 (α xα −1 + 2 xα −3 − α xα −3 − 2 xα −1 ) x 2 − 1) f ' ( x) 2(α − 1) Suy ra, ' đ ng bi n trên (1; +∞ ) . ≥ 2 (α − 2 ) xα −3 ( x 2 − 1) ≥ 0 g ( x) x +1 f ( x) − f (1) ( x + 1) − x − 2 + 1 2 α 2α α Theo quy t c L’Hôpital đơn đi u thì T ( x) = = đ ng bi n trên g ( x) − g (1) xα − 1 f ( x) − f (1) (1; +∞ ) . Suy ra, T ( x) = > T (1) g ( x) − g (1) ( x 2 + 1) − x 2α − 2α + 1 = lim 2 xα ( x 2 + 1) − 2α x 2α −1 = 2α − 2 α α −1 f ( x) − f (1) T (1) = lim = lim x →1 g ( x ) − g (1) x →1 xα − 1 x →1 α xα −1 1 f ( x) − f (1) 2α − 2 f (1) f ( x) f (1) Do đó, ≥ = ⇒ > = 2α − 2 . V y b t đ ng th c đư c ch ng minh g ( x) − g (1) 1 g (1) g ( x) g (1) Trong trư ng h p t < 0 . Ta thay t = −t thì b t đ ng th c không đ i. Nh n xét: Chi u ngư c l i c a đ nh lý không đúng, ch ng h n x  1 f ' ( x) f ( x) f ( x) = x ∫ 1 + cos   dt ; g ( x) = x , m c dù ' không đơn đi u nhưng v n đơn đi u 0  t  g ( x) g ( x) TÀI LI U THAM KH O 1. I.Pinelis, On L’Hospital-type rules for monotonicity, J. Inequal. Pure Appl. Math. Volume 7, Issue 2, Article 40, 2006. Available at http://jipam.vu.edu.au 2. I.Pinelis, On L’Hospital-type rules for oscillation, with applications, J. Inequal. Pure Appl. Math. Volume 3, 2006. 3. https://lovetoan.wordpress.com 4. Nguy n Đình Trí - T Văn Dĩnh - Nguy n H Quỳnh, Toán h c cao c p t p 2, Nhà xu t b n Giáo d c (2006) 109
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN THỂ LỆ VIẾT BÀI, GỬI BÀI ĐĂNG TRÊN TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 1. Bài nhận đăng là các công trình mới có ý nghĩa khoa học và thực tiễn trong các lĩnh vực khoa học cơ bản, khoa học xã hội - nhân văn, kỹ thuật, kinh tế, tài chính, kế toán, v.v..., chưa công bố ở bất kỳ tạp chí nào. Tác giả tự chịu trách nhiệm về nội dung, tính minh bạch, tính khoa học độc lập của bài viết. Nếu muốn ngừng đăng hoặc chuyển sang tạp chí khác, tác giả phải thông báo ngay cho Ban Biên tập. 2. Bài báo khoa học phải bao gồm các phần: 2.1. Tựa bài: Phản ảnh nội dung chính của bài viết. 2.2. Tóm tắt: Bằng tiếng Việt và tiếng Anh (in nghiêng), nêu ý tưởng và nội dung chính bài viết, không quá 200 từ. 2.3. Phần nội dung bài viết: Nêu lên được kết quả nghiên cứu của tác giả, với các phần: Đặt vấn đề, giải quyết vấn đề, kết luận. 2.4. Phần tài liệu tham khảo: Tài liệu tham khảo ghi theo trình tự: Tên tác giả, năm xuất bản, tên sách (hoặc tạp chí), nhà xuất bản, nơi xuất bản (tập, số, năm xuất bản đối với tạp chí). Tất cả đều viết bằng tiếng của nước đã xuất bản ấn phẩm, không phiên âm, chuyển ngữ hoặc dịch. 3. Bài gửi đăng được soạn thảo theo font chữ Times New Roman, bảng mã Unicode, cỡ chữ 12, định dạng lề trên 2.5 cm, lề dưới 2 cm, lề trái 3 cm, lề phải 2 cm, khoảng cách dòng: single, khoảng cách đoạn: 3pt. Công thức toán học dùng MS Equation hoặc phần mềm gõ công thức toán học (Mathtypes). Bài viết dài tối đa không quá 6 trang A4, kể cả tài liệu tham khảo. 4. Cuối bài viết, tác giả ghi rõ họ tên, học hàm, học vị, tên cơ quan và địa chỉ, điện thoại và email để tiện liên lạc. 5. Hình thức gửi bài: Bài gửi về Ban Biên tập bằng cả 2 hình thức: Bản in trên giấy A4 và file dữ liệu. 6. Thời gian gửi bài: Ban Biên tập thường xuyên nhận bài gửi đăng từ các tác giả trong và ngoài trường, tổ chức thẩm định và xét duyệt theo quy định của Tạp chí. Các bài gửi đăng đạt yêu cầu sẽ được đăng trên số Tạp chí định kỳ phát hành gần nhất. Bài không đăng sẽ được thông báo cho tác giả, tòa soạn không trả lại bản thảo. 7. Địa chỉ gửi bài: Tạp chí Khoa học Tài chính Kế toán, Trường Đại học Tài chính - Kế toán; Thị trấn La Hà, Huyện Tư Nghĩa, Tỉnh Quảng Ngãi; điện thoại: (0255) 3912482; email: tapchidhtckt@tckt.edu.vn In 200 bản, khổ 19 x 27cm tại Trung tâm xuất bản Giao thông vận tải miền Trung - 132 Nguyễn Thị Minh Khai TP. Đà Nẵng. Xong và nộp lưu chiểu 5. 2022 110