Sáng kiến kinh nghiệm: Cách giải và xây dựng các bài toán dãy số từ hệ thức bất biến đối với chỉ số

SKKN NGƯỜI VIẾT: TRẦN VĂN TRUNG GV TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – PHAN RANG THÁP CHÀM, NINH THUẬN TÊN ĐỀ TÀI: CÁCH GIẢI VÀ XÂY DỰNG CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ TỪ HỆ THỨC BAÁT BIẾN ĐỐI VỚI CHỈ SỐ  A. Đặt vấn đề Trong nhiều năm làm công tác giảng dạy và bồi dưỡng các lớp chuyên toán bản thân tôi cảm thấy nếu một người thầy trực tiếp dạy các lớp này cần một nhiệm vụ và khả năng không thể thiếu được đó là năng lực sáng tạo các bài toán mới và tìm mối quan hệ, sắp xếp cách dạy toán theo một lớp chung cùng xuất xứ từ một vấn đề. Để chia sẻ công việc này tôi giới thiệu các đồng nghiệp một vấn đề “Cách giải và xây dựng các bài toán dãy số từ hệ thức bất biến đối với chỉ số”. Người thầy có khả năng tự giúp mình chủ động trong cách soạn giáo án lên lớp, sáng tác các đề thi mới để kiểm tra chính xác năng lực của học sinh, bởi vì lặp lại các bài toán đã có học sinh có khả năng đã giải trước vì hiện nay thông tin đến với các em rất là phong phú. Hơn nữa các đề thi học sinh giỏi hầu hết được sáng tác mới. Công việc này phần nào giúp học sinh hiểu được tư tưởng của người làm đề qua đó các em phân tích nhận định tìm tòi lời giải. B. Quá trình thực hiện Để học sinh hiểu được một cách sâu sắc và có cơ sở khoa học thì trước hết phải trang bị cho các em hiểu được hệ thức bất biến đối với chỉ số là gì ? Đó là hệ thức : f ( xi , x j , xk )  f ( xi 1 , x j 1 , xk 1 )  i, j, k  N i, j k thường là các số tự nhiên liên tiếp. VD: xn  xn  2 xn 1  xn 1  , n  N  xn 1 xn Giá trị bất biến này bằng bao nhiêu là tùy thuộc vào giá trị ban đầu. Biểu thức bất biến này được dấu trong một biểu thức phức tạp bởi người xây dựng bài toán mà người giải toán phải xác định được nó. I. Bước chuẩn bị 1/ Sưu tầm một số hệ thức bất biến với chỉ số và một số bài tập, hay một số đề thi mà có sử dụng bất biến đối với chỉ số. 2/ Chọn bài toán mẫu tiêu biểu từ dễ đến phức tạp và đặc biệt từ mỗi bài toán phải thay đổi nhiều cách phát hiện khác nhau. 3/ Phân bố thời gian Cần tập trung nhiều ở phần mở rộng và xây dựng các bài toán từ 1 hệ thức bất biến. 1 4/ Bước chuẩn bị của thầy và trò 4.1- Chuẩn bị của trò : . Nắm vững kiến thức cơ bản của dãy số . Một số dạng toán cơ bản của dãy. 4.2- Chuẩn bị của thầy : . Giáo án và một số dụng cụ dạy học liên quan. . Chuẩn bị bài tập mẫu chu đáo. . Giới thiêu một số thủ thuật mở rộng và xây dựng bài toán mới. (1) Bài tập : * Bài tập mẫu dạy tại lớp    a1 1  + Bài toán 1: Cho dãy số (an ) xác định bởi : a2  1  2 an  an 1  2 (n  3)  an  2  Chứng minh an nguyên với mọi n.  Dụng ý : . Cung cấp học sinh lời giải bài toán. . Kĩ thuật sử dụng bất biến. . Cung cấp các cách xây dựng bài toán từ đó giúp các em nhìn được vấn đề đơn giản trong sự phức tạp. a1  2 a  500  2  + Bài toán 2 : Cho dãy số (an ) xác định bởi : a3  2000 a  a  n  2 n 1  an 1 (n  2)  an 1  an 1 an 1  Chứng minh mọi số hạng của dãy số là số nguyên dương và a2000 chia hết cho 22000 .  Dụng ý : . Tiếp tục rèn học sinh phát hiện sự bất biến. . Cung cấp cho học sinh thấy thêm kiểu dấu hệ thức bất biến khác. u1  2  + Bài toán 3 : Cho dãy số (un ) xác định bởi : u2  8 u  4u  u  0; n  3 n 1 n 2  n n và S n   arc cot(ui2 ) c 1 Tìm lim Su n   Dụng ý : . Kĩ thuật sử dụng bất biến ở mức độ cao. . Tập học sinh thay đổi đề bài dựa vào bài toán 1. 2 + Bài toán 4 : (Kì thi HSG QG: 96-97 bảng A) Có bao nhiêu hàm số f : N   N  thỏa đồng thời các điều kiện : 1/ f(1) = 1 2/ f (n) f (n  2)  f 2 (n  1)  1997 n  N   Dụng ý : . Tiếp tục rèn luyện. . Gây sự hứng thú khi sử dụng hệ thức bất biến. *. Bài tập tự rèn luyện u0  0   Bài 1: Cho dãy số (un ) xác định bởi : u1  1 u  1999u  u n 1 n  n 2 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố.  Bài toán 2: Cho dãy số nguyên an  thoả an  2  an 1  2(an1  an ) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho M + 4an 1.an là số chính phương với mọi n  0.  a  1  a  1 2  1   Bài toán 3: Cho dãy số : a3  2  a .a  5 an 1  n 1 n  2 an   Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số nguyên. (2) Đồ dùng dạy học * Đồ dùng dạy học 1 :   a1  1   Bài toán 1: Cho dãy số (un ) xác định bởi : a2  1  2 an  an 1  2 (n  3)  an  2  Chứng minh an nguyên với mọi n. * Đồ dùng dạy học 2 : Mở rộng và xây dựng bài toán . Nguồn gốc bắt đầu từ hệ thức bất biến đối với chỉ số an 1  an 1 an  an 2  an an 1 . Cho bất biến này nhận giá trị 4 tại an  an  2 4 an 1 3  an  an 2  4an1 . 2 Cho an .an  2  a n1  C (1) (2) Nếu cho a1  a2  1 thì từ (1)  a3  3 Từ (2) ta có : C = 2 2 Vậy an .an  2  an 1  2 Do đó an , an  2 là nghiệm của phương trình 2 x 2  4an 1 x  an 1  2  0 2 . Ta có an .an 2  an 1  2 2 an1  2  an  an  2 Ta có bài toán 1 và bài toán này cũng được xây dựng như sau : . Từ hệ thức an  4an 1  an  2 và dựa vào phương trình Pell : x 2  Dy 2  K . Ta xây dựng được vô số các bài toán dãy số có cùng lời giải với bài toán 1. . ( x0 , y0 ) là nghiệm không tầm thường của phương trình x 2  Dy 2  K và ( ,  ) là nghiệm cơ sở của phương trình x 2  Dy 2  1 . Khi đó nếu xét 2 dãy số  xn  ,  yn  xác định bởi :  xn 1   xn   D. yn   yn1   xn   yn thì xn , yn là nghiệm của x 2  Dy 2  K . Từ hệ phương trình trên ta có thể tìm được 2 xn 1   xn   . D  xn  K  2 yn 1   yn   . K  Dyn Như vậy đã xuất hiện được hai dãy số nguyên cho bởi công thức không nguyên.  Áp dụng : 2 2 .. Phương trình Pell : x  3 y  1 có nghiệm cơ sở (2;1) do đó ta có nghiệm :  x0  1, x1  2; xn  2  4 xn 1  xn .    y0  0, y1  1; yn  2  4 yn 1  yn .  . Ta có dãy số kiểu khác của bài toán 1 nhưng bản chất cùng một bất biến an  2  an  4an 1 Do đó : a0  2   2 an 1  2an  3an  3  Như vậy hai công thức : 4 2 an 1  2 . an  an  2 . 2 an 1  2an  3an  3 an  an  2 4 đều cùng một bất biến : an 1  Như vậy thay đổi bất biến khác ta có một loạt dãy số khác.  Ta cũng có thể dẫn bất biến này một hình thức khác tùy bạn sẽ có dãy mới . * Đồ dùng dạy học 3 :  Bài toán 2 : Cho dãy số (an ) được định nghĩa bởi a  an1 an1  a1  2, a2  500, a3  2000 và n 2 với n  2 . an1  an1 an1 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số là số nguyên dương và a2000 chia hết cho 22000 . * Đồ dùng dạy học 4 : u1  2   Bài toán 3 : Cho dãy số un  : u2  8  un  4un 1  un  2  0, n  3 n Và S n   arc cot(ui2 ) i 1 Tìm lim Sn n * Đồ dùng dạy học 5 :  Bài toán 4 : (Kì thi HSG QG: 96-97 bảng A) Có bao nhiêu hàm số f : N   N  thỏa đồng thời các điều kiện ; 1/ f(1) = 1 2/ f (n) f (n  2)  f 2 (n  1)  1997 n  N  * Đồ dùng dạy học 6 : Trình chiếu bài tập tự rèn luyện. u0  0   Bài 1 : Cho dãy số (un ) xác định bởi : u1  1  un  2  1999un 1  un Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố. Bài 2 : Cho dãy số nguyên an n 0 thoả an  2  an 1  2(an1  an ) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho M + 4an 1.an là số chính phương với mọi n  0. 5