Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần hình thành và phát triển một số năng lực Toán học thông qua dạy học chủ đề Đại số tổ hợp

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài là đề xuất một số biện pháp dạy học kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán trong chủ đề Đại số tổ hợp cho học sinh theo định hướng hình thành và phát triển một số năng lực Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần hình thành và phát triển một số năng lực Toán học thông qua dạy học chủ đề Đại số tổ hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC Tên đề tài: GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐỒ ĐẠI SỐ TỔ HỢP Năm học 2020- 2021 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 3 SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC Tên đề tài: GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐỒ ĐẠI SỐ TỔ HỢP Giáo viên: Đào Thị Hồng Thủy Môn: Toán Lĩnh vực: Toán Điện thoại: 0915218239 Năm học 2020- 2021 2
MỤC LỤC PHẦN I - MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu ..........................................................................................1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .........................................................................................2 4. Giả thuyết khoa học ..........................................................................................2 5. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu ......................................................2 6. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................2 7. Đóng góp của đề tài ............................................................................................2 PHẦN II. NỘI DUNG .................................................................................................. 3 A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC ............................. 3 I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN THPT .......................................3 II. YÊU CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC ...........................................................3 1. Năng lực tư duy và lập luận toán học ........................................................................ 4 2. Năng lực mô hình hoá toán học .................................................................................. 4 3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học .......................................................................... 4 4. Năng lực giao tiếp toán học ......................................................................................... 4 5. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán ..................................................... 5 III. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY VÀ HỌC ĐẠI SỐ TỔ HỢP Ở TRƯỜNG THPT ........................................................5 B. MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP ............................................................................................................................... 6 I. THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ (THGVĐ) .....................6 1. Mục đích của biện pháp .............................................................................................. 6 2. Cách thức thực hiện biện pháp................................................................................... 6 3. Ví dụ minh họa ............................................................................................................. 8 II. TĂNG CƯỜNG HUY ĐỘNG CÁC KIẾN THỨC KHÁC NHAU CHO HS ĐỂ HS BIẾT GIẢI BÀI TẬP TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU ... 23 1. Cơ sở xây dựng biện pháp ............................................................................... 23 2. Nội dung và thực hiện biện pháp.............................................................................. 23 3
3. Ví dụ minh họa ........................................................................................................... 24 III. GIÚP CHO HS THẤY ĐƯỢC ỨNG DỤNG THỰC TIỄN CỦA ĐẠI SỐ TỔ HỢP XÁC SUẤT TỪ ĐÓ TẠO HỨNG THÚ CHO HS TRONG QUÁ TRÌNH HỌC TẬP ............................................................................................... 35 1. Cơ sở xây dựng biện pháp......................................................................................... 35 2. Nội dung và thực hiện biện pháp.............................................................................. 36 3. Một số ví dụ ................................................................................................................ 36 3.1 Xây dựng bài toán có tính thực tiễn từ bài toán đã có ......................................... 36 3.2 Xây dựng bài toán có tính thực tiễn từ bài toán thực tiễn đã có ......................... 37 3.3 Xây dựng các bài toán có nội dung thực tiễn xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn của môn học khác ........................................................................... 37 3.4 Xây dựng các bài toán có nội dung thực tiễn có tính giáo dục cao nhằm giải thích các vấn đề thực tiễn bằng cơ sở khoa học .......................................................... 38 IV. KHẮC PHỤC SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP ............ 43 1. Học sinh mắc sai lầm do không nắm vững khái niệm ............................................ 43 2. Học sinh mắc sai lầm do không nắm vững “thứ tự ưu tiên” trong khi giải toán tổ hợp, chưa biết cách phân chia các trường hợp hoặc có phân chia trường hợp nhưng các trường hợp lại có phần tử chung ............................................................... 45 3. Học sinh chưa nắm vững mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ Đại số tổ hợp ................................................................................................................... 46 4. Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các trường hợp riêng 47 C. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI ........ 48 1. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm..................................................... 48 2. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................................... 49 PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................... 50 1. Kết luận trong quá trình nghiên cứu, triển khai SKKN ............................... 50 2. Kiến nghị và đề xuất........................................................................................ 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 52 4
PHẦN I - MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển phẩm chất, nhân cách học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn; tạo dựng sự kết nối giữa các tư tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học khác. Nội dung môn Toán thường mang tính trừu tượng, khái quát. Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “áp dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể. Ở cấp THPT môn Toán giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng quát về Toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của Toán học trong đời sống thực tế, những ngành nghề có liên quan đến toán học để học sinh có cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề có liên quan đến toán học trong cuộc đời. Chủ đề Đại số tổ hợp là mảng kiến thức quan trọng trong môn Toán, có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác cũng như trong thực tiễn cuộc sống. Do đó, cần trang bị cho người học hệ thống kiến thức vững chắc và các năng lực tương ứng để có thể vận dụng các kiến thức giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn. Mặc dù các kiến thức cơ bản của chủ đề Đại số tổ hợp tương đối ít so với các chủ đề khác, nhưng khó và có ứng dụng đa dạng trong thưc tiễn. Chúng tôi nhận thấy HS gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán có tính thực tiễn. Để tất cả các em học sinh có thể học tốt chủ đề Đại số tổ hợp, làm chủ được kiến thức, kĩ năng, phát triển năng lực thì các em cần được rèn luyện các kỹ năng giải toán Đại số tổ hợp theo định hướng phát triển năng lực, góp phần hình thành và phát triển một số năng lực Toán học cũng như các năng lực chung cốt lõi. Đó chính là lý do mà chúng tôi chọn viết đề tài: “ Góp phần hình thành và phát triển một số năng lực Toán học thông qua dạy học chủ đề Đại số tổ hợp”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài là đề xuất một số biện pháp dạy học kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán trong chủ đề Đại số tổ hợp cho học sinh theo định hướng hình thành và phát triển một số năng lực Toán học. Cụ thể: 1
- Thiết kế một số tình huống gợi vấn đề để tạo cơ hội cho học sinh hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực sáng tạo, năng lực mô hình hóa Toán học, năng lực giao tiếp và năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học. - Tăng cường huy động cho học sinh các kiến thức khác nhau để giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau. - Giúp học sinh thấy được ứng dụng thực tiễn của Đại số tổ hợp từ đó tạo hứng thú cho học sinh trong học tập chủ đề. - Khắc phục một số sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán Đại số tổ hợp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, năng lực toán học. Kĩ năng thiết kế các hoạt động học tập theo định hướng phát triển năng lực. - Nghiên cứu các kỹ năng, năng lực chủ yếu khi giải toán về Đại số tổ hợp. - Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài. 4. Giả thuyết khoa học Với cơ sở lý luận trên, nếu thiết kế được các hoạt động học tập phù hợp, hệ thống được các kỹ năng giải toán Đại số tổ hợp, lựa chọn được các ví dụ, phân tích, tìm ra phương pháp giải và xây dựng được hệ thống câu hỏi bài tập theo hướng phát triển năng lực thì sẽ giúp học sinh học tốt chủ đề Đại số tổ hợp, góp phần phát triển năng lực cho học sinh, nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông. 5. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu - Dạy học theo định hướng phát triển năng lực. - Học sinh lớp 11 và giáo viên giảng dạy toán THPT. 6. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng bao gồm: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát và thực nghiệm sư phạm tại các trường THPT Nghi Lộc 3, trường THPT Cửa Lò 2, trường THPT Hà Huy Tập, trường THPT Huỳnh Thúc Kháng, trường THPT Phạm Hồng Thái. 7. Đóng góp của đề tài - Về mặt lý luận: Đưa ra được các căn cứ và một số kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh trong giải toán Đại số tổ hợp. - Về mặt thực tiễn: Sử dụng sáng kiến để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh khi dạy học chủ đề Đại số tổ hợp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT. 2
PHẦN II. NỘI DUNG A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN THPT Chương trình môn Toán giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau: – Hình thành và phát triển năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán, góp phần hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi. – Có những kiến thức, kĩ năng toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Địa lí, Tin học, Công nghệ,...; tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tế. – Hình thành và phát triển các đức tính kỷ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt, độc lập, sáng tạo, hợp tác, thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học Toán. – Có hiểu biết tương đối tổng quát về những ngành nghề liên quan đến toán học làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời. Môn Toán cấp trung học phổ thông nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau: a) Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau nhằm giải quyết vấn đề; sử dụng được các mô hình toán học để mô tả các tình huống, từ đó đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá cho vấn đề tương tự; sử dụng thành thạo công cụ, phương tiện học toán, biết đề xuất ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện, học liệu mới phục vụ việc tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học. b) Hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chung và những phẩm chất đặc thù mà giáo dục toán học đem lại: tính kỉ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt; độc lập, hợp tác; thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học toán. c) Góp phần giúp học sinh có những hiểu biết làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp sau Trung học phổ thông. II. YÊU CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển các đức tính kiên trì, kỉ luật, trung thực, hứng thú và niềm tin trong học Toán; đồng thời hình thành và phát triển được các năng lực tự chủ và tự học, giao tiếp và hợp tác, giải quyết vấn đề và sáng tạo. Đặc biệt, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. 3
Biểu hiện cụ thể của các thành tố cốt lõi của năng lực toán học và yêu cầu cần đạt về năng lực toán học cho cấp THPT được thể hiện dưới đây. 1. Năng lực tư duy và lập luận toán học Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: – So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hoá, khái quát hoá; tương tự; quy nạp... – Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận. – Thực hiện thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, tìm kiếm sự tương đồng và khác biệt trong nhiều tình huống và biết khẳng định kết quả của việc quan sát. – Biết lập luận hợp lí khi giải quyết vấn đề. Biết rút ra kết luận từ giả thiết đã cho. – Chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp. – Biết sử dụng các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau để giải quyết vấn đề. – Biết giải thích, chứng minh hoặc điều chỉnh giải pháp về phương diện toán. 2. Năng lực mô hình hoá toán học Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: – Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,...) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế. – Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập. – Biết đánh giá các kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tế hay không. Đặc biệt, biết cách đơn giản hoá những yêu cầu thực tế (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá,...) để thiết lập những bài toán giải được, và hiểu rằng cần phải điều chỉnh để phù hợp với thực tế hơn. 3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: – Nhận biết được tình huống có vấn đề; xác định, thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá độ tin cậy của thông tin; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác. – Đề xuất, lựa chọn được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề. – Thực hiện và trình bày giải pháp cho vấn đề. – Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra. – Đánh giá giải pháp đã thực hiện; phản ánh giá trị của giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. 4. Năng lực giao tiếp toán học Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: – Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép thành thạo, tóm tắt các thông tin cơ bản, trọng tâm trong nội dung, yêu cầu toán học được nói và viết ra. 4
– Biết làm việc thành thạo với văn bản toán học (phân tích, lựa chọn, trích xuất các thông tin cần thiết). – Thể hiện một cách chính xác và hiệu quả suy nghĩ, lập luận, chứng minh, các khẳng định toán học bằng ngôn ngữ thông thường hoặc ngôn ngữ toán học. – Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác). 5. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: – Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường (bảng tổng kết về các dạng hàm số, mô hình góc và cung lượng giác, mô hình các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay,...) và phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho việc học Toán. – Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ, phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi). – Sử dụng được máy tính cầm tay, phần mềm, phương tiện công nghệ, nguồn tài nguyên trên mạng Internet để giải quyết vấn đề toán học. – Biết đánh giá cách thức sử dụng các công cụ, phương tiện học toán trong tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học. – Biết đề xuất ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện học liệu mới phục vụ việc tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học. III. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY VÀ HỌC ĐẠI SỐ TỔ HỢP Ở TRƯỜNG THPT Để có tìm hiểu vần đề này, chúng tôi đã tiến hành khảo sát tìm hiểu về phía học sinh. Chúng tôi đã phát phiếu khảo sát cho 400 học sinh 11 của nhiều trường THPT trên địa bàn để các em phát biểu những ý kiến của bản thân sau khi các em đã học xong chương 2, Đại số tổ hợp xác suất, Toán 11. Nội dung khảo sát như sau: Phiếu khảo sát Họ và tên học sinh............................................................................................ Lớp.................................................................................................................. Hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống trong bảng có câu trả lời phù hợp với em Không/ Nội dung Có chưa (1) Em có yêu thích học môn Toán không? 5
(2) Khi giải toán Đại số Tổ hợp, em có thường xuyên bị hiểu nhầm bài, giải sai bài không ? (3) Em có gặp khó khăn khi học chủ đề Đại số tổ hợp không? (4) Em có biết học Đại số tổ hợp xác suất để làm gì không? (5) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Đại số tổ hợp vào trong cuộc sống chưa? (6) Em có thể dùng kiến thức đại số tổ hợp để giải quyết một số vấn đề trong thực tiễn chưa ? Qua thăm dò ý kiến HS, GV ở một số trường THPT trên địa bàn, chúng tôi thu được một số kết quả chung như sau: - 80,3% HS được hỏi gặp khó khăn khi học chủ đề Đại số tổ hợp, nhiều HS thường hiểu nhầm đề bài, giải sai bài toán Đại số tổ hợp. - 73% HS được hỏi chưa biết học Đại số tổ hợp để làm gì, chưa biết được ý nghĩa của Đại số tổ hợp. - Nhiều GV đã chuyển dần từ việc dạy học truyền thống sang dạy học hình thành và phát triển năng lực, nhưng có đến 52% GV gặp khó khăn vì thiếu tài liệu, chưa biết cách thiết kế bài giảng để dạy học theo định hướng phát triển năng lực. Một số GV chậm thay đổi, đang dạy học theo phương pháp cũ. B. MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I. THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ (THGVĐ) 1. Mục đích của biện pháp Dạy học PH&GQVĐ đặt HS vào những tình huống gợi vấn đề, đòi hỏi HS phải phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để GQVĐ và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác. Sử dụng các THGVĐ tạo cơ hội cho HS phát triển khả năng phát hiện vấn đề; khả năng tìm tòi, xem xét vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau để đề xuất được các giải pháp mới cũng như thực hiện, đánh giá và nghiên cứu sâu giải pháp; khả năng đánh giá kết quả học tập của bản thân và người khác, qua đó hình thành và phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh. 2. Cách thức thực hiện biện pháp Tổ chức dạy học dựa theo quy trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thể hiện trong một hoặc một vài bước có định hướng hình thành và phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh: Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề 6
- Phát hiện vấn đề từ một THGVĐ: GV đưa ra THGVĐ, yêu cầu HS thực hiện các hoạt động cần thiết để phát hiện vấn đề có trong tình huống bằng những đề xuất câu hỏi/vấn đề cần giải quyết. - Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để xác định và hiểu đúng câu hỏi/vấn đề đã đề xuất. - Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó. Bước 2: Tìm giải pháp Tìm cách GQVĐ theo sơ đồ bên: Khi dạy học các THGVĐ đã thiết Bắt đầu kế theo hướng hình thành và phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh cần chú Phân tích vấn đề ý tới những chủ định trong thiết kế để tạo điều kiện cho HS thể hiện những biểu hiện của năng lực GQVĐ. Cụ thể: Hình thành giải pháp - Phân tích vấn đề: làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm (dựa vào những tri thức đã học, liên tưởng tới kiến thức thích hợp). Giải pháp GV cần chú ý cho HS phát biểu cái đúng đã biết và cái cần tìm theo những cách khác nhau đề làm tiền đề cho những ý tưởng về giải pháp Kết thúc GQVĐ. - Tổ chức cho HS tìm chiến lược GQVĐ thông qua việc HS tự đề xuất các phương hướng giải quyết và thực hiện các hướng GQVĐ đã đề xuất trên cơ sở thu thập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức; sử dụng những PP, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán suy luận như hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hóa, khái quát hóa, xem xét những mối liên hệ phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi,... Phương hướng đề xuất có thể được điều chỉnh khi cần thiết. Kết quả của việc đề xuất và thực hiện các hướng GQVĐ là hình thành được một hoặc một vài giải pháp. - Kiểm tra tính đúng đắn của các giải pháp đã đề xuất. Sau khi đã xác định được một giải pháp đúng, cần khuyến khích HS tiếp tục xác định tính đúng đắn của những giải pháp khác đã đề xuất, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất. Bước 3. Trình bày giải pháp. Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp. - Tìm hiểu những khả năng ứng dụng sáng tạo kết quả. 7
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề, ... và giải quyết nếu có thể (để tạo ra vấn đề mới). 3. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho đa giác có 16 đỉnh. Có bao nhiêu cách chọn 3 đỉnh của đa giác đó để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho. - Tri giác vấn đề: Bài toán yêu cầu tính số cách chọn 3 trong 16 đỉnh của đa giác tạo thành 1 tam giác không có cạnh chung với đa giác. Để tính số cách chọn trong bài toán này chúng ta cần hiểu rõ bản chất bài toán này dùng khái niệm nào của đại số tổ hợp: Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp ? Việc chọn 3 trong 16 đỉnh của đa giác là bài toán tổ hợp. Vấn đề là tính số phần tử của tam giác tạo thành không có cạnh nào chung với đa giác. - Tìm giải pháp: GV yêu cầu học sinh hoạt động theo nhóm để tìm ra giải pháp. Khi cần thiết có thể hỗ trợ cho HS tự đưa ra các câu hỏi kiểu như sau: Có những cách nào để tính được số trường hợp tam giác tạo thành không có cạnh chung với đa giác ? Với mỗi tam giác tạo thành có bao nhiêu trường hợp xảy ra liên quan đến cạnh chung với đa giác ? Với câu hỏi này HS sẽ trả lời được ngay có 3 trường hợp xảy ra đó là có 2 cạnh chung, có 1 cạnh chung và không có cạnh chung với đa giác. Đến đây bằng HĐ nhóm học sinh sẽ thảo luận, trao đổi và nghĩ tới phương pháp loại trừ để tính số phần tử của biến cố “tam giác tạo thành không có cạnh nào chung với đa giác”. Có bao nhiêu tam giác tạo thành có 2 cạnh chung với đa giác? Điều kiện nào để một tam giác tạo thành có 2 cạnh chung với đa giác? Có bao nhiêu tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh chung với đa giác? Điều kiện nào để một tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh chung với đa giác? - Trình bày giải pháp: GV yêu cầu đại diện của 1 nhóm lên trình bày lời giải và cho các nhóm HS khác nhận xét về lời giải của nhóm bạn. Lời giải Số cách lấy 3 đỉnh trong 16 đỉnh của đa giác là n (  ) = C163 . +) Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác là 16 tam giác. +) Số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là 16.12 = 192 tam giác. +) Suy ra số tam giác có đỉnh là đỉnh đa giác, nhưng không có cạnh nào chung là C163 − (16 + 192 ) = 352 . - Nghiên cứu sâu giải pháp: Với hướng giải như trên GV yêu cầu HS tự xây dựng một bài toán tương tự, học sinh có thể thay đa giác 16 đỉnh bằng 1 đa giác có số đỉnh khác. 8
GV đặt vấn đề nếu thay việc chọn 3 đỉnh thành việc chọn 4 đỉnh và yêu cầu tính số tứ giác tạo thành không có cạnh nào chung với đa giác ? Có thể tổng quát hóa bài toán: “Cho đa giác n đỉnh ( n  k  3, n, k  ) . Tính số cách chọn k đỉnh được chọn tạo thành k − giác không có cạnh nào chung với n − giác ban đầu ?” Với cách giải như trên thì trường hợp k = 4 cũng đã rất khó khăn để giải. Để tính số phần tử của biến cố 4 đỉnh được chọn tạo thành 1 tứ giác không có cạnh nào chung với đa giác cần loại trừ các trường hợp: 3 cạnh chung, có 2 cạnh chung liên tiếp, 2 cạnh chung không liên tiếp và 1 cạnh chung. Do đó cần tìm một cách giải khác có thể giải quyết được trường hợp tổng quát. Nhận xét. Với cách làm như trên, rõ ràng người GV vừa thiết kế được 1 tình huống có vấn để cho HS và với các HĐ để GQVĐ đã giúp người học hình thành và phát triển một số năng lực Toán học như: năng lực GQVĐ, năng lực tư duy và lập luận, năng lực giao tiếp, hợp tác (thể hiện qua hoạt động nhóm, hoạt động trình bày lời giải, hoạt động nhận xét, đánh giá, thảo luận). Đối với HS có năng lực yếu hoặc trung bình, GV yêu cầu giải bài toán tương tự trên nhằm củng cố cho HS về kiến thức cũng như rèn luyện kĩ năng giải toán Đại số tổ hợp. Thông qua đó giúp HS yếu và trung bình thêm tự tin vào bản thân trong việc giải toán Đại số tổ hợp nói riêng cũng như thêm tự tin khi học môn toán nói chung. Đối với HS có năng lực khá thì GV yêu cầu giải bài toán cho trường hợp thay việc chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bởi 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác không có cạnh nào chung với đa giác. Đối với HS giỏi thì GV yêu cầu HS tìm tòi lời giải cho bài toán tổng quát nói trên. Như vậy, sau khi giải xong ví dụ 1, bằng các con đường tương tự hóa, tổng quát hóa đã giúp HS tạo ra được nhiều bài toán mới, mỗi bài toán mới đó lại là vấn đề mới nảy sinh, lại là một THCVĐ cho mỗi đối tượng HS khác nhau mà các em có nhu cầu nhận thức để giải quyết. Bài toán tương tự hóa: Cho đa giác có 100 đỉnh, có bao nhiêu cách chọn 3 đỉnh của đa giác để tam giác tạo thành từ 3 đỉnh đó không có cạnh nào chung với đa giác ? Bài toán tổng quát hóa: Cho đa giác có n đỉnh, có bao nhiêu cách chọn k đỉnh của đa giác để k_giác tạo thành từ k đỉnh được chọn không có cạnh nào chung với n_giác ban đầu ? Bài toán lật ngược vấn đề: Cho đa giác có n đỉnh n  6 , biết rằng có 352 cách chọn 3 đỉnh của đa giác để tam giác tạo thành từ 3 đỉnh đó không có cạnh nào chung với n_giác bạn đầu. Hỏi giá trị của n là bao nhiêu ? 9
Nhờ HĐ ngôn ngữ ta có thể phát biểu bài toán ở các dạng khác nhau, chẳng hạn: Có 20 HS đứng thành 1 vòng tròn tổ chức 1 trò chơi. Người ta chọn ra 3 HS từ vòng tròn đó để lập 1 đội chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 HS mà không có bất kì 2 HS nào đứng cạnh nhau ? Với HĐ ngôn ngữ Toán học, GV nên khuyến khích HS mạnh dạn phát biểu các bài toán có nội dung thực tiễn có hình thức khác nhau, nhưng vẫn giữ nguyên bản chất của Toán học, các nội dung thực tiễn đó nhiều khi đem lại sự kích thích và hứng thú cho người học, mang lại cho người học mong muốn giải quyết nó. Chẳng hạn bài toán sau: Đội cận vệ tổng thống Mỹ có 20 xe bọc thép luôn chạy theo đội hình thành 1 hàng dài, đội trưởng đội cận vệ cần chọn ra 3 xe để chở tổng thống và các thành viên gia đình tổng thống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn xe để không có bất kì 2 xe được chọn nào chạy liên tiếp nhau ? Để dẫn dắt HS giải quyết bài toán tổng quát, GV không vội vàng đưa ra lời giải, mà nên khéo léo đưa ra các bài toán khác, gần tương tự với ví dụ 1 trên, nhưng có thể giải quyết được bằng nhiều cách giải khác nhau. Chẳng hạn GV đưa ra ví dụ sau: Ví dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2015 – 2016) Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên đôi một khác nhau từ tập hợp A = 1;2;3;...;20. Tính xác suất để trong ba số được chọn không có hai số tự nhiên nào liên tiếp. - Tri giác vấn đề: Ở ví dụ 2 này, đặt cho HS 1 THCVĐ đó là tìm số cách chọn 3 trong 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 sao cho không có 2 số tự nhiên nào liên tiếp. Nó cũng gần tương tự như ví dụ 1, thật vậy nếu chúng ta giả sử A1 , A2 ,..., A16 là các đỉnh của đa giác thì mỗi cạnh của đa giác có thể được hiểu là “tạo” ra từ hai đỉnh liên tiếp hay là 2 số tự nhiên liên tiếp. Như vậy, Ví dụ 2 là một THCVĐ đối với HS. Để giải quyết Ví dụ 2, HS có cơ hội tự đặt ra các câu hỏi cần tìm hiểu, chẳng hạn: Làm thế nào để tính được số cách chọn 3 trong 20 số tự nhiên nói trên sao cho không có bất kì 2 số tự nhiên nào liên tiếp? Có thể sử dụng phương pháp loại trừ như trong ví dụ 1 để giải quyết không? Nếu giải được bài toán ở ví dụ 2 thì có thể giải được bài toán tổng quát của nó không? Có phương pháp chung để giải cả bài toán tổng quát ví dụ 2 và ví dụ 1 không?... - Tìm giải pháp: GV yêu cầu HS làm việc theo nhóm để tìm lời giải cho ví dụ 2. Khi cần thiết có thể gợi ý cho HS tự đưa ra được các câu hỏi kiểu như: Nếu áp dụng phương pháp loại trừ như ví dụ 1 thì có thể giải được ví dụ 2 không? Nếu áp dụng phương pháp loại trừ thì ta thấy: Trường hợp 3 số tự nhiên liên tiếp có 18 trường hợp. Trường hợp có đúng 2 số tự nhiên liên tiếp, chẳng hạn 1; 2 thì số tự nhiên thứ 3 có 17 cách chọn. Tương tự cho trường hợp bộ hai số19, 20. 10
Tuy nhiên, nếu 2 số tự nhiên liên tiếp khác, chẳng hạn 9; 10 thì số tự nhiên thứ 3 không thể là 8; 11 nên nó có 16 cách chọn. Từ đây HS có thể đưa ra giải pháp cho ví dụ 2. - Trình bày giải pháp: GV cho đại diện HS lên trình bày lời giải. Lời giải Số phần tử của không gian mẫu là: n (  ) = C20 3 = 1140 . Gọi A là biến cố 3 số được chọn không có 2 số tự nhiên nào liên tiếp. Số cách chọn 3 số tự nhiên liên tiếp là 18. Số cách chọn 3 số tự nhiên trong đó có đúng 2 số tự nhiên liên tiếp là 2.17 + 17.16 = 306 . Do đó số phần tử của biến cố A là n ( A) = n (  ) − 306 = 816 . Vậy xác suất để 3 số được chọn không có 2 số tự nhiên liên tiếp là n ( A) 816 68 P ( A) = = = . n (  ) 1140 95 - Nghiên cứu sâu giải pháp: Từ phương pháp giải ở 2 ví dụ trên GV gợi ý để HS đề xuất các bài toán khác, phát biểu ở một dạng khác nhưng cùng phương pháp giải tương tự, chẳng hạn: Bài toán 1. Có 17 HS nam và 3 HS nữ được sắp xếp thành 1 hàng dọc. Tính cách sắp xếp để không có bất kì 2 HS nữ nào đứng cạnh nhau. Rõ ràng bài toán 1 được phát biểu ở 1 dạng khác, nhưng vẫn có thể giải bằng cách phân chia trường hợp và loại trừ như ở 2 ví dụ trên. Chú ý rằng ở bài toán 1 có kể thứ tự sắp xếp. - Để giúp HS tìm được cách giải mới cho các ví dụ nêu trên, GV có thể đặt vấn đề tìm lời giải khác ở bài toán 1. Liệu bài toán 1 có thể giải bằng cách khác hay không? Nếu 17 HS nam đã đứng thành 1 hàng dọc rồi thì việc sắp xếp 3 HS nữ để không có bất kì hai HS nữ nào đứng cạnh nhau thì các HS nữ này phải được sắp xếp như thế nào? Với câu hỏi này, gợi cho HS xếp 3 HS nữ vào các vị trí xen giữa 17 HS nam hoặc 2 vị trí ở hai đầu mút. Từ đó HS sẽ tìm được lời giải khác cho bài toán 1. Với cách đặt vấn đề như trên chính là đang bồi dưỡng cho HS tư duy lật ngược vấn đề để tìm ra giải pháp. Lời giải 2 cho bài toán 1 Số cách sắp xếp 17 HS nam thành 1 hàng dọc là 17! . Để trong 3 HS nữ được sắp xếp không có bất kì 2 HS nữ nào đứng cạnh nhau thì chúng ta chỉ việc sắp xếp 3 HS nữ đó vào các vị trí xen giữa 17 HS nam và 2 vị trí ở 2 đầu. Có tất cả 18 vị trí. 11
Vậy có A183 cách sắp xếp 3 HS nữ vào hàng đã sắp xếp 17 HS nam để không có 2 HS nữ đứng cạnh nhau. Số phần tử của biến cố A là n ( A) = 17!. A183 . Từ đây GV đặt vấn đề cho HS liệu có thể áp dụng phương pháp của lời giải 2 của Bài toán 1 cho các ví dụ 1, ví dụ 2 nói trên không? - GV nên cho HS làm việc theo nhóm để tìm hiểu kĩ lời giải 2 cho bài toán 1 và áp dụng giải 2 ví dụ trên. Lời giải 2 cho ví dụ 2 Số phần tử của không gian mẫu là: n (  ) = C20 3 = 1140 . Gọi A là biến cố 3 số được chọn không có 2 số tự nhiên nào liên tiếp. Số cách lấy ra 3 số tự nhiên sao cho không có 2 số tự nhiên nào liên tiếp tương ứng với số cách chèn 3 số tự nhiên vào các vị trí xen giữa 17 số tự nhiên và 2 vị trí ở hai đầu. Do đó số phần tử của biến cố A là n ( A) = C183 = 816 . Vậy xác suất để 3 số được chọn không có 2 số tự nhiên liên tiếp là n ( A) 816 68 P ( A) = = = . n (  ) 1140 95 Lời giải 2 cho ví dụ 1 Trước hết ta kí hiệu đa giác đó là A1 A2 A3 ... A16 . Trước hết ta tính số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác, trong đó có chứa đỉnh A1 . Lúc đó 2 đỉnh còn lại sẽ được chọn trong các đỉnh A3 , A4 ,..., A15 (loại trừ 2 đỉnh A2 , A16 liền kề với A1 ) sao cho đỉnh được chọn đó không đứng cạnh nhau. Số cách chọn này đúng bằng số cách chèn 2 đỉnh mới xen kẽ giữa 11 đỉnh hoặc 2 vị trí đầu mút. Có tất cả 12 vị trí do đó có C122 = 66 cách chọn. Tương tự cho việc thay đỉnh A1 bằng các đỉnh khác còn lại. Tuy nhiên mỗi tam giác tạo thành có 3 lần lặp lại. Do đó số cách chọn 3 đỉnh của đa giác mà không có bất kì 2 đỉnh nào liên tiếp là 66.16 = 352 . 3 GV tiếp tục gợi ý dẫn dắt để HS tìm ra lời giải khác cho ví dụ 1 bằng cách nghiên cứu sâu lời giải 2 nói trên. Lời giải 3 cho ví dụ 1 12
Xét đa giác A1 A2 A3 ... A16 . Việc chọn ra 3 đỉnh trong 16 đỉnh sao cho không có 2 đỉnh nào liên tiếp cũng tương tự như việc chọn ra 3 số trong 16 số trong đó không có 2 số tự nhiên nào liên tiếp, ở đây chúng ta để ý 2 số là 1 và 16 không cùng được chọn. Giả sử 3 số được chọn là a, b, c, (1  a  b  c  16 ) . Vì chúng là 3 số tự nhiên không liên tiếp nên ta có 1  a  b ' = b − 1  c ' = c − 2  14 . Bài toán trở thành chọn ra 3 số tự nhiên phân biệt từ 1 đến 14, nên có C143 cách chọn. Tuy nhiên, chúng ta cần loại trừ trường hợp a = 1, c = 16 . Với a = 1, c = 16 thì c ' = 14 , do đó b ' được chọn 1 trong 12 số còn lại, nên có C12 1 cách chọn. Vậy số cách chọn 3 trong 16 đỉnh của đa giác để không có 2 đỉnh nào liên tiếp là C143 − C12 1 = 352 . Ví dụ 3. Trong công viên có 1 hàng cây gồm 20 cây xanh, người ta muốn di dời bớt đi 4 cây xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn cây cần di dời sao cho không có bất kì 2 cây di dời nào đứng cạnh nhau. - Tri giác vấn đề: Ở ví dụ 3 này, đặt cho HS 1 THCVĐ đó là tìm số cách chọn 4 trong 20 cây sao cho không có 2 cây nào được chọn đứng liên tiếp. Nó cũng gần tương tự như ví dụ 1, ví dụ 2. Để giải quyết bài toán thì trước hết học sinh cần có năng lực mô hình hóa toán học, tức là biết chuyển bài toán thực tế nói trên sang 1 bài toán toán học quen thuộc hơn. HS cần tự đặt ra các câu hỏi, chẳng hạn như có thể liệt kê được không? Rõ ràng rất khó khăn để liệt kê. Nếu không liệt kê được thì sử dụng phương pháp loại trừ được không? Ta có thể loại trừ với trường hợp chỉ di dời 2 cây hoặc 3 cây. Trường hợp di dời 4 cây như yêu cầu bài toán thì rất khó khăn để dùng phương án loại trừ. Như vậy, không thể sử dụng được cách giải như ví dụ 1. - Tìm giải pháp: GV yêu cầu HS làm việc theo nhóm để tìm lời giải cho ví dụ 3. Khi cần thiết có thể gợi ý cho HS tự đưa ra được các câu hỏi kiểu như: Nếu áp dụng phương pháp loại trừ như ví dụ 1 thì có thể giải được không ? Có thể áp dụng phương pháp làm như trong lời giải 2 của ví dụ 2 nói trên không ? Số cách di dời 4 cây xanh trong 20 cây sao cho không có bất kì 2 cây xanh nào đứng cạnh nhau liệu có bằng hay không số cách trồng mới 4 cây xanh xen vào hàng cây gồm 16 cây xanh sao cho không có bất kì 2 cây mới trồng nào đứng cạnh nhau ? Rõ ràng với cách đặt câu hỏi dưới dạng tư duy thuận nghịch như vậy giúp ích rất tốt trong việc bồi dưỡng tư duy và lập luận cho HS. Nếu có 1 hàng gồm 16 cây và chúng ta trồng thêm 4 cây thêm vào hàng đó sao cho không có bất kì 2 cây mới trồng nào 13
đứng cạnh nhau thì chúng ta chỉ việc trồng 4 cây mới vào các vị trí xen giữa 16 cây và 2 vị trí 2 đầu mút, có tất cả 17 vị trí. - Trình bày giải pháp: GV cho đại diện HS lên trình bày lời giải. Lời giải ví dụ 3 Số cách chọn 4 trong 20 cây để di dời sao cho không có 2 cây nào đứng liên tiếp nhau đúng bằng số cách trồng mới 4 cây thêm vào hàng gồm 16 cây sao cho không có 2 cây mới trồng nào đứng cạnh nhau. Để trồng 4 cây xen vào hàng gồm 16 cây sao cho không có bất kì 2 cây nào mới trồng đứng cạnh nhau chúng ta chỉ việc trồng 4 cây mới vào 4 trong 17 vị trí gồm 2 vị trí hai đầu mút và 15 vị trí xen giữa 16 cây đó. Vậy có A164 = 43680 cách di dời cây. Với phương pháp giải trên GV yêu cầu HS phát biểu bài toán tương tự cho trường hợp chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh, không cần trình bày lời giải hãy đưa ra kết quả ? Bài toán 2. Cho đa giác có 16 đỉnh. Tính số tứ giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đó sao cho tứ giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho. Kết quả: C134 − C112 . Bằng cách lật ngược vấn đề chúng ta có 1 số bài toán sau: Bài toán lật ngược vấn đề: Biết rằng số tứ giác tạo thành từ 4 đỉnh của 1 đa giác có n đỉnh sao cho tứ giác đó không có cạnh nào chung với n_giác ban đầu là C13 4 − C112 . Hãy tìm n ? Việc giải quyết các bài toán lật ngược vấn đề như trên cũng tạo ra 1 tình huống có vấn đề cho HS, bởi việc giải 1 phương trình tổ hợp cũng không hề đơn giản, nhưng nó kích thích sự tò mò, mong muốn khám phá của người học. Từ đây, GV đặt vấn đề để HS đưa ra bài toán tổng quát và kết quả của bài toán. Bài toán 3. Cho đa giác n đỉnh ( n  k  3, n, k  ) . Tính số cách chọn k đỉnh của đa giác sao cho chúng tạo thành k − giác không có cạnh nào chung với n − giác ban đầu. Kết quả: Cnk+1−k − Cnk−−12−k . GV cũng có thể yêu cầu học sinh xây dựng bài toán tương tự ví dụ 2 nhưng mở rộng cho việc lựa chọn nhiều số tự nhiên hơn, chẳng hạn: Bài toán 4. Chọn ngẫu nhiên 10 số tự nhiên đôi một khác nhau từ tập hợp A = 1;2;3;...;2020. Tính xác suất để trong 10 số được chọn không có hai số tự nhiên nào liên tiếp. Rõ ràng với bài toán 4 nói trên thì phương pháp loại trừ rất khó để thực hiện như trong lời giải 1 của ví dụ 2. 14
Tuy nhiên, với phương pháp như trong lời giải 3 Ví dụ 1 thì bài toán 4 quá đơn C10 − C 8 giản và HS có thể đưa ra ngay kết quả là 2011 10 2009 . C2020 Quay trở lại với ví dụ 1, GV khéo léo gợi ý bằng cách thêm giả thiết đa giác đã cho là đa giác đều có 16 cạnh. Khi đó chúng ta có thể tạo ra 1 THCVĐ mới cho HS. Ví dụ 4. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Tính số cách chọn 4 đỉnh đa giác để 4 đỉnh được chọn tạo thành 1 hình chữ nhật. - Tri giác vấn đề: HS thấy ngay ở ví dụ 3 này nảy sinh 1 vấn đề mới có liên quan đến các hình đặc biệt là đa giác đều và hình chữ nhật. HS sẽ tự đặt ra hệ thống các câu hỏi nhằm tìm hiểu vấn đề cũng như tìm phương án giải quyết vấn đề đó. Chẳng hạn, đa giác đều có những tính chất đặc biệt nào? Với điều kiện nào thì 4 đỉnh của đa giác đều tạo thành 1 hình chữ nhật? Hãy thử vẽ hình minh họa,… - Tìm giải pháp: GV cho HS hoạt động theo nhóm để cùng nhau tìm ra lời giải cho ví dụ 4, các nhóm HS thảo luận và đưa ra một số câu hỏi có liên quan đến các tính chất về đa giác đều, về hình chữ nhật. HS sẽ để ý ngay tới tính đối xứng của hai hình đó. Tức là nếu 4 đỉnh của đa giác đều tạo thành 1 hình chữ nhật thì hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật đối xứng nhau qua tâm của đa giác đều đó. Nói cách khác, mỗi đường chéo của hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác chính là một đường chéo đi qua tâm của đa giác. Vì đa giác đều có 16 đỉnh nên nó có 8 đường chéo đi qua tâm. Một hình chữ nhật được tạo thành từ 2 đường chéo đi qua tâm, do đó số hình chữ nhật tạo thành đúng bằng số cách chọn 2 trong số 8 đường chéo. Từ đây HS có thể trình bày lời giải. - Trình bày giải pháp: Lời giải Mỗi hình chữ nhật tạo thành được xác định bởi hai đường chéo đi qua tâm. Có 8 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 16 đỉnh. Do đó có C82 hình chữ nhật có đỉnh chung với đa giác. - Nghiên cứu sâu giải pháp: Bằng cách đặc biệt hóa ví dụ 4, thay hình chữ nhật bởi hình vuông cho ta bài toán sau: Bài toán 5. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Tính số cách chọn 4 đỉnh của đa giác đó để 4 đỉnh được chọn tạo thành 1 hình vuông. Hiển nhiên đây cũng là một THCVĐ sau khi HS đã được tìm hiểu và giải quyết ví dụ 3. Việc giải quyết bài toán 5 cũng không quá khó khăn đối với HS, mỗi hình vuông tạo thành từ 4 đỉnh của đa giác đều 16 cạnh nói trên có 1 tính chất đặc biệt là hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau. Nói cách khác, 4 đỉnh của hình vuông cách 15
16 đều nhau. Đa giác đều có 16 đỉnh nên có thể tạo được = 4 hình vuông có chung 4 đỉnh với đa giác đều đó. Từ bài toán 5, GV có thể gợi ý để học sinh có thể tự đưa ra các câu hỏi: nếu thay số 16 trong bài toán 5 bởi số tự nhiên n  4 thì với điều kiện nào của n để bài toán có kết quả khác 0? Hiển nhiên HS sẽ tự trả lời ngay được rằng điều kiện là n  4 và n 4 . Từ đó GV có thể yêu cầu HS đưa ra các bài toán tương tự bài toán 5. Hoạt động này góp phần bồi dưỡng cho HS năng lực tư duy tương tự hóa, đặc biết hóa. Tiếp tục quay trở lại ví dụ 1, nếu chúng ta thêm vào giả thiết điều kiện đa giác đều và thay đổi yêu cầu bài toán bởi 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác vuông, tam giác nhọn hay tam giác tù thì lời giải sẽ như thế nào? Hãy phát biểu bài toán và tìm cách giải. Ví dụ 5. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Tính số cách chọn 3 đỉnh của đa giác để 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác vuông. Sau khi HS đã giải quyết các ví dụ 1, 2, 3, 4 nói trên thì hiển nhiên ví dụ 5 này không quá khó đối với HS khi nhận ra rằng nếu 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác vuông thì cạnh huyền của tam giác vuông đó chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, nó là 1 trong 8 đường chéo đi qua tâm của đa giác. Với mỗi cách chọn 1 đường chéo, có 14 cách chọn đỉnh thứ 3 để 3 đỉnh tạo thành 1 tam giác vuông. Do đó số tam giác vuông tạo thành là 14.8 = 112 . Ví dụ 6. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số cách chọn 3 đỉnh của đa giác sao cho 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác tù. - Tri giác vấn đề: Bài toán quy về việc số tam giác tù tạo thành từ 3 trong 16 đỉnh của đa giác đều 16 cạnh. HS cần huy động các kiến thức liên quan đến tam giác tù, cần tự đặt ra các câu hỏi có liên quan, chẳng hạn: Nếu 3 đỉnh của được chọn của đa giác tạo thành 1 tam giác tù thì tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác luôn nằm ngoài tam giác, làm thế nào để tính số tam giác tù có chung đỉnh với đa giác? Thử vẽ hình để quan sát? Giả sử ABC là tam giác tù tại đỉnh B , nếu cố định đỉnh A , làm thế nào để tính số cách chọn 2 đỉnh B, C ?... - Tìm giải pháp: GV cho HS làm việc theo nhóm cùng nhau thảo luận để tìm giải pháp giải quyết ví dụ 6. Nếu cần GV có thể gợi ý bằng các câu hỏi định hướng hoặc dẫn dắt để HS tự đưa ra các câu hỏi mang tính định hướng và cùng nhau giải quyết các câu hỏi đó, để từ đó xây dựng giải pháp, chẳng hạn: Giả sử 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác ABC là tam giác tù ở đỉnh B và khi vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác thì thứ tự đi từ A qua B rồi đến C cùng chiều kim đồng hồ, việc làm này nhằm tránh tính toán nhầm một tam giác tù nhiều lần. Với mỗi cách chọn điểm A có bao nhiêu cách chọn B, C ? Nếu vẽ đường kính AA ' với A ' cũng là một đỉnh của đa giác đều đó thì tam giác ABC nằm hẳn về một nửa đường tròn đường kính AA ' . 16