SKKN: Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình <br /> Chinh <br /> <br /> <br /> PHẦN I. MỞ ĐẦU<br /> I. Đặt vấn đề<br /> 1. Lí do lí luận<br /> Albert Einstein đã nói: “Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca  <br /> của tư duy logic”. Do vậy, có rất nhiều những thắc mắc xoay quanh việc học nhiều  <br /> toán liệu có phi thực tế trong khi đời sống không cần suy nghĩ quá nhiều đến những  <br /> con số? Tuy nhiên, thực tế chứng minh rằng, mọi kiến thức liên quan đến toán học, <br /> đều có tác dụng chung là làm cho bộ não của con người tư duy logic hơn, khoa học  <br /> hơn và sáng tạo hơn, nó giúp cho người học có khả  năng suy nghĩ trừu tượng và  <br /> trong một chừng mực nhất định nào đó nó làm cho chúng ta mạnh mẽ hơn trong mọi  <br /> quyết định. <br /> Chính vì điều này, bản thân tôi là một giáo viên vốn luôn tâm đắc trong việc  <br /> định hướng các em học tốt môn Toán, luôn tìm tòi đổi mới để  giúp các em ngày  <br /> càng hoàn thiện hơn các kiến thức toán học. Mặc dù chương trình sách giáo khoa <br /> hiện hành đã được chọn lọc những kiến thức rất cơ  bản, phù hợp cho mọi đối  <br /> tượng. Tuy nhiên, không phải bất cứ  dạng toán nào các em cũng có thể  nắm bắt  <br /> được, trong số  đó có dạng toán phương trình vô tỉ, một dạng toán phổ  biến trong  <br /> các đề thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, đề thi vào lớp 10 và thi giải toán trên máy <br /> tính cầm tay Casio. <br /> 2. Lí do thực tiễn<br /> Để làm tốt việc bồi dưỡng học sinh học Toán, tôi nhận thấy chỉ cung cấp cho <br /> các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập <br /> khó mà giáo viên phân loại cấp độ từ dễ đến khó là chưa đủ, mà chúng ta phải biết <br /> phân chia theo từng kiểu loại bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng <br /> dạng, đồng thời rèn luyện cho học sinh có thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của  <br /> một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học. <br /> Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 9, tôi nhận <br /> thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp  dạng phương trình vô tỉ và thường có <br /> những sai sót khi giải dạng bài tập này, học sinh còn vướng mắc về  phương pháp <br /> giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ, chưa đủ  điều kiện, chưa xét hết <br /> các trường hợp xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững các kiến thức về phương  <br /> trình có chứa biến dưới dấu căn hay gọi là phương trình vô tỉ. Nên khi gặp bài toán <br /> giải phương trình vô tỉ,  đa  số  học sinh chưa  phân biệt và chưa  nắm  được các <br /> phương pháp giải đối với từng dạng bài tập, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải  <br /> biết  vận  dụng  kết hợp nhiều  kiến  thức   và   kĩ năng  phân  tích  biến  đổi để   đưa  <br /> phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản. <br /> Do đó người giáo viên cần phải biết sắp xếp các dạng toán từ  dễ  đến khó,  <br /> phân loại được các dạng bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để <br /> các em có thể vận dụng linh hoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu  <br /> sâu sắc bản chất của từng dạng toán và giải được các dạng bài toán một cách thành <br /> thạo. Từ đó rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo.<br /> <br /> <br /> <br /> Trang  1<br /> Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình <br /> Chinh <br /> <br /> Với những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp về giải phương trình  <br /> vô tỉ  dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh”  với mong muốn <br /> được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công tác giảng dạy cũng như  bồi <br /> dưỡng học sinh giỏi để  các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự  góp ý  <br /> chân thành của các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả, hoàn thiện hơn.<br /> II. Mục đích nghiên cứu <br /> Đề  tài: “Một số  giải pháp về  giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi  <br /> lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của <br /> từng dạng bài toán  và nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học <br /> sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu  <br /> quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong <br /> học tập, phát triển năng lực tư  duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy  <br /> giúp các em học sinh có được sự  tự  tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng <br /> tạo khi giải toán và niềm đam mê, yêu thích bộ  môn. Thông qua đề  tài này nhằm <br /> cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải toán, những kinh nghiệm  <br /> cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô­<br /> gic, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải <br /> được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính  <br /> sư  phạm. Học sinh tự  đọc có thể  giải được nhiều dạng Toán, giúp học sinh có <br /> những kiến thức toán học phong phú để học tốt môn Toán và qua đó h ỗ trợ học sinh <br /> học tốt các môn học khác.<br /> PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ<br /> I. Cơ sở lí luận của vấn đề<br />  Dạng toán phương trình vô tỉ là dạng toán rất quan trọng trong chương đại <br /> số 9, đây là những bài toán khó, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, thi  <br /> vào lớp 10... Các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học <br /> sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập  <br /> luận và phát huy tối đa khả  năng phán đoán. Với mục đích nhằm nâng cao chất <br /> lượng dạy và học Toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh phương pháp  <br /> giải cho từng kiểu loại bài tập. Để  thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần  <br /> xây dựng cho học sinh những kĩ năng như  quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán, <br /> lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực,  <br /> độc lập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời  <br /> khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn. <br /> II. Thực trạng vấn đề: <br /> Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia giảng dạy c ũng như  bồi <br /> dưỡng   đội   tuyển   học   sinh   giỏi   9   của   trường   THCS   Lê   Đình   Chinh   và   đã   trải  <br /> nghiệm rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề  “Một  <br /> số giải pháp giải phương trình vô tỉ” và tôi cũng đạt được các thành tích trong công <br /> tác giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi. <br /> Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các  <br /> bài toán, chưa phát huy được hiệu quả  học tập và kết quả  được thống kê lại như <br /> sau:<br /> <br /> Trang  2<br /> Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình <br /> Chinh <br /> <br /> <br /> Năm  Lớp Tổng  Số lượng học  Số lượng học sinh  Số lượng học <br /> học số sinh làm được làm chưa chặt chẽ sinh không làm <br /> được<br /> <br /> SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ<br /> <br /> 2015  9A1 30 5 16% 11 37% 14 47%<br /> ­ 2016 9A2 31 4 12% 13 42% 15 46%<br /> <br /> Qua bảng thống kê trên tôi suy nghĩ tìm cách để  học sinh nắm vững và giải <br /> thành thạo các bài toán về phương trình vô tỉ thì giáo viên nên phân loại theo dạng <br /> bài tập  từ  dễ  đến khó, mỗi loại bài tập phân theo từng dạng khác nhau, qua mỗi  <br /> dạng cần có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng dạng. <br /> Với những ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu “Một số giải pháp về  <br /> giải phương trình vô tỉ giành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” . <br /> Sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận <br /> thấy học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập và khi gặp dạng toán phương  <br /> trình vô tỉ  thì học sinh không chán nản mà  đam mê  phân tích nhận dạng tìm  cách <br /> giải bài toán, từ đó ngày càng rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa  <br /> học, lập luận logic và chặt chẽ. <br /> III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề<br /> Giải pháp 1: Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ  bản cần nắm  <br /> vững.<br /> Giải pháp 2: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập sử  dụng cách <br /> giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa<br /> Giải pháp 3: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập giải phương <br /> trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ<br /> Vận dụng các giải pháp trên, tôi tiến hành cụ thể các bước như sau:<br /> 1. Giải pháp 1. Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần <br /> nắm vững.<br /> Các kiến thức cơ  bản tổng hợp thành bảng sau, yêu cầu học sinh cần nắm <br /> vững, cụ thể:<br /> <br /> A (A 0) A A B<br /> = (B > 0)  <br /> B B<br /> A2 = A<br /> <br /> AB = A B(A 0; B 0)     C<br /> =<br /> C A mB<br /> (A<br /> ( ) 0; A B2 )<br /> A B A − B2<br /> A A<br /> B<br /> =<br /> B<br /> (A ; B > 0)<br /> C<br /> =<br /> C ( Am B ) (A 0;B 0;A B)<br /> A B A−B<br /> A 2 B = A B = (B 0)<br /> <br /> <br /> <br /> Trang  3<br /> Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình <br /> Chinh <br /> <br /> <br /> A B = A 2 B(A 0; B 0)<br /> 3<br /> A (∀A R)<br /> <br /> ( A)<br /> 3<br /> A B = − A 2 B(A < 0; B 0) 3<br /> =A<br /> <br /> A AB 3<br /> AB = 3 A. 3 B<br /> = (AB 0; B 0)<br /> B B<br /> A 3A<br /> 3 = (B 0)<br /> B 3B<br /> <br /> Các kiến thức về  giá trị  tuyệt đối, hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành <br /> nhân tử, chia đa thức cho đa thức, giải phương trình, bất trương bậc nhất một  ẩn,  <br /> bất đẳng thức Cauchy...<br /> ̣<br /> Bên canh nh ưng yêu câu trên, hoc sinh c<br /> ̃ ̀ ̣ ần nhân biêt đ<br /> ̣ ́ ược những dang c<br /> ̣ ơ ban<br /> ̉  <br /> ̉<br /> cua ph ương trinh vô t<br /> ̀ ỉ, đông th<br /> ̀ ơi n<br /> ̀ ắm vững phương phap giai cu thê cho t<br /> ́ ̉ ̣ ̉ ưng dang<br /> ̀ ̣  <br /> ̀ ập, cụ thể như sau:<br /> bai t<br /> 2. Giải pháp 2. Giải phương trình vô tỉ  bằng phương pháp nâng lên lũy <br /> thừa<br /> 2.1. Dạng 1: Phương trình vô tỉ có dạng:  f (x) = m  (1)<br /> Trong đó f(x) là biểu thức chứa x và m R .<br /> a) Phân tích:  Ở  dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế  trái là một biểu  <br /> thức không âm. Nếu m  0 <br /> 1 1<br /> (3) 3 x+ =2 x+ − 7  (*)<br /> 2 x 4x<br /> <br /> 1 Cauchy<br /> 1<br /> Đặt  t = x + 2 x = 2<br /> 2 x 2 x<br /> 1 1<br /> t2 = x +  + 1 t 2 −1 = x +<br /> 4x 4x<br /> (*) 3t = 2(t2 ­ 1) ­ 7<br /> 2t 2 − 3t − 9 = 0<br /> ( t − 3) ( 2t + 3) = 0<br /> t = 3(nhận)<br /> −3 (loại)<br /> t=<br /> 2<br /> 1 8 3 7<br /> Với t = 3, suy ra:  x + =3 2x − 6 x + 1 = 0 x=<br /> 2 x 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Trang  16<br /> Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình <br /> Chinh <br /> <br /> 8 3 7<br /> Kết luận: So sánh với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là:  x =<br /> 2<br /> Ví dụ 3. Giải phương trình sau:  x + 1 + x 2 − 4x + 1 = 3 x (4)<br /> Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức ngoài căn là x + 1, biểu thức trong căn <br /> thức có chứa x2 + 1 ta thấy hai biểu thức này không liên hệ  với nhau. Nhưng nếu  <br /> 1 1<br /> chia cả hai vế cho  x > 0  được  x + , x + − 4  từ đây ta thấy hai biểu thức có <br /> x x<br /> 1<br /> liên hệ với nhau. Đặt  t = x +   t 2 thì phương trình sẽ biểu diễn hết theo biến <br /> x<br /> mới t và cách giải như sau:<br /> Giải <br /> Điều kiện: x   0 <br /> Trường hợp 1. Với x = 0 ta thấy không là nghiệm (vì thay vào phương trình 4 không  <br /> thỏa mãn)<br /> Trường hợp 2. Nếu x > 0, chia cả hai vế cho  x > 0<br /> 1 1<br /> (4)  x+ + x + − 4 = 3 (5)<br /> x x<br /> <br /> 1 Cauchy<br /> 1<br /> Đặt:  t = x + 2 x =2<br /> x x<br /> 1<br /> t2 = x + +2<br />