intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu Phương trình lượng giác

Chia sẻ: Bùi Thành Hưng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST
Báo xấu
84
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình lượng giác gồm các bài tập về phương trình lượng giác cùng hướng dẫn giải giải bài tập. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu Phương trình lượng giác

  1. Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 142 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  2. Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác 143 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Phương trình lượng giác cơ bản: cos x  cos  x    2k  sin x  sin    x    2k   x      2 k , k     tan x  tan   x    k  cot x  cot   x    k Bài 1. Giải phương trình   2cos 2  cos2 x   1  cos   sin 2 x  2  Lời giải: Phương trình tương đương với   2cos 2  cos2 x   1  cos  sin 2 x   1  cos  cos 2 x   1  cos   sin 2 x  2   cos   cos 2 x   cos   sin 2 x    cos 2 x   sin 2 x  k 2  cos2 x   sin 2 x  2k  cos2 x  2sin 2 x  4k  1 (*) 2 1 5 1 5 Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi  4k  1  12  22  k  k  0 . 4 4 Khi đó phương trình (*) trở thành cos2 x  2 sin 2 x  1  2 cos 2 x  4sin x cos x  0  cos x  cos x  2sin x   0 . 144 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  cos x  0     x   k 1  1  2 , k  , tan   .  tan x    2  2  x    k   1 Vậy phương trình có nghiệm là  x   k ,   k , k  , tan    .  2 2 Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình    cos  3x  9 x 2  160 x  800   1 8   Lời giải: Phương trình tương đương với  8   3 x  9 x 2  160 x  800  k 2 , k    9 x 2  160 x  800  3x  16k 3x  16k  0 3x  16k  0   2 2   25 9 x  160 x  800   3 x  2k  9 x  24k  40  3k  5  k  2 k  10 Vậy với x, k    25 3k  5     x  7  x  31 Vậy có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là  x  7, x  31 . Bài 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình   1  cos    x 2  2 x     sin  x 2    2  Lời giải: Phương trình tương đương với 145 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   1    cos    x 2  2 x     sin  x 2   cos     x 2  2 x    sin  x 2    2  2    x 2  2 x    x 2  k 2  2   sin   x  2 x   sin  x    2   x 2  2 x      x 2  k 2 , k   x  k k  0 3 1   1  4 k  3  x 0  k  0  xmin  0 x  k   2  2 3 1 Vậy nghiệm của phương trình là x  . 2 Bài 4. Tìm nghiệm x thuộc đoạn  0;14 thỏa mãn phương trình cos3 x  4cos 2 x  3cos x  4  0 Lời giải: Phương trình tương đương với 4cos3 x  3cos x  4  cos2 x  1  3cos x  0   4cos3 x  8cos2 x  0  cos x  0  x   k , k   2  0  x  14  0   k  14  k  0,1, 2,3 2   3 5 7  Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là x   ; ; ;  2 2 2 2  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn  1,10 của phương trình   3 sin xcos  cos x sin  5 5 2 Bài 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 146 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  6. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  cos  x 2   cos   x  1 2  Bài 3. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình   cos   10  3x  9 x 2  80 x  40   1   Bài 4. Giải phương trình   x8  3x 4  2 sin  16 x 2  2 x   0  Bài 5. Tìm các nghiệm thuộc đoạn  0; 2  của phương trình  cos3x +sin3x  5  sin x    cos2 x  3  1  2sin 2 x    Bài 6. Tìm nghiệm x   ;   thỏa mãn phương trình 2  2sin 2 x  3cos 2 x  2  3sin x  cos x   7 ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX Cần nhớ đến các biến đổi sau, khi xuất hiện các biểu thức này khi giải toán sẽ áp dụng cách biến đổi tương tự.  1 1      sin x  cos x  2  sin x  cosx   2 sin  x  4   2cos  x  4   2 2     1 3      sin x  3 cos x  2  sin x  cos x   2sin  x    2cos  x   2 2   3  6  3 1      3 sin x  cos x  2  sin x  cos x   2sin  x    2cos  x    2 2   6  3 BÀI TẬP MẪU 147 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  7. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1. Giải phương trình: sin 3x  3 cos 3 x  2sin 2 x Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với 1 3  sin 3x  3 cos 3 x  2sin 2 x  2  sin 3x  cos3x   2sin 2 x 2 2       3x   2 x  k 2  x   k 2   3 3  2 sin  3 x    2 sin 2 x    , k   3 3x      2 x  k 2  x  4  k 2  3  15 5 Bài 2. Giải phương trình sin x  cos x sin 2 x  3cos3 x  2  cos4 x  sin 3 x  Lời giải: Phương trình tương đương với 1 1 3 1 sin x  sin 3x  sin x  3cos3x  2cos4 x  sin x  sin 3 x 2 2 2 2    sin 3x  3cos3 x  2cos4 x  cos  3 x    cos4 x  6     3 x  6  4 x  k 2  x   6  k 2   3 x    4 x  k 2  x    k 2  6  42 7 Bài 3. Giải phương trình 3  sin 2 x  sin x   cos2 x  cos x  2 148 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  8. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải: Phương trình tương đương với 3  sin 2 x  sin x   cos2 x  cos x  2  3 1   3 1    sin 2 x  cos2 x    sin x  cos x   1  2 2   2 2           cos  2 x    sin  x    1  2sin 2  x    sin  x    0  3  6  6  6       x   k sin   x   0 6  6       x    k 2 , k      1  sin  x       6 2  x   k 2  3 Bài 4. Giải phương trình       3sin  x    4sin  x    5sin  5 x    0.  3  6  6 Lời giải: Phương trình tương đương với         3sin  x    4 cos    x     5sin  5 x    3 2  6   6      7   3sin  x    4 cos   x   5sin  5 x   3 3   6  4 3 Đặt sin   ; cos  , khi đó phương trình tương đương với 5 5     7  9  k   k 5sin  x      5sin  5 x   x   x    3   6  24 4 2 36 6 3 149 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  9. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 5. Giải phương trình: 1  2 sin x  cos x  3 1  2sin x 1  sin x  Lời giải: sin x  1  Điều kiện:  1 (*) sin x   2 Khi đó phương trình tương đương với: cos x  sin 2 x  3 1  2 sin x  sin x  2 sin 2 x   cos x  sin 2 x  3  cos2 x  sin x 1 3 3 1  cos x  3 sin x  3cos2 x  sin 2 x  cos x  sin x  cos2 x  sin 2 x 2 2 2 2       2 x   x   2 k  x   2 k       6 3 2  cos  x    cos s  2 x      , k   3  6  2 x     x    2 k  x     2k  6 3  18 3  2k So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: x    , k  . 18 3 Bài 6. Giải phương trình: cos2 x  3 sin 2 x  3 sin x  cos x  4  0 . Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với: 1 3  1 3   cos2 x  sin 2 x    cos x  sin x   2  0 2 2  2 2             cos  2 x    cos  x    2  0  cos  2  x       cos  x    2  0  3  3   3   3         cos2  x    cos  x    2  0  2 cos2  x    1  cos  x    2  0  3  3  3  3             cos  x    1 2cos  x    3   0  cos  x    1  0   3    3   3    x  k 2  x   k 2 , k  . 3 3 150 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  10. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC    Vậy phương trình có nghiệm là:  x   k 2 , k    .  3    Bài 7. Giải phương trình: sin x  3 cos x sin 3 x  2 Lời giải: Phương trình tương đương với: 1 3     sin x  cos x  sin 3 x  1  sin  x   sin 3 x  1 2 2   3    1  sin  x    1 Do   3 nên phương trình tương đương với 1  sin 3x  1      sin  x    1   3   sin 3x  1    x   k    6   sin  x     1 3   sin 3x  1 Bài 8. Giải phương trình: 4  sin 4 x  cos 4 x   3 sin 4 x  3  1  tan 2 x tan x  sin 4 x Lời giải: Điều kiện: cos x cos 2 x  0 (*). Phương trình đã cho tương đương với:  1   sin x sin 2 x  cos x cos 2 x  4  1  sin 2 2 x   3 sin 4 x  3    sin 4 x  2   cos x cos 2 x  151 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  11. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 3    cos4 x  3 sin 4 x  2sin 2 x  cos4 x  sin 4 x  sin 2 x  sin  4 x    sin 2 x 2 2  6     4x  6  2 x  k 2  x   12  k   , k   thỏa mãn (*). 4x    5     2 x  k 2 x k  6  36 3 Bài 9. Giải phương trình 3  sin 2 x  cos x   sin x  cos 2 x  2 Lời giải: Phương trình tương đương với 3 1 1 3 3 sin 2 x  cos 2 x  sin x  3 cos x  2  sin 2 x  cos 2 x  sin x  cos x  1 2 2 2 2           cos  2 x    cos  x    1  2cos2  x    cos  x    0  3  6  6  6       x  3  k  cos  x  6   0         x   k 2 , k      1  2  cos  x        6 2  x   5  k 2  6   5  Vậy phương trình có nghiệm là x    k ;  k 2 ;   k 2 , k    3 2 6  sin x sin 2 x  2 sin x cos2 x  sin x  cos x Bài 10. Giải phương trình  6cos2 x   cos  x    4 Lời giải: 152 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  12. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   Điều kiện: cos  x    0  4 Khi đó phương trình tương đương với 2sin 2 x cos x  2 cos2 x sin x  sin x  cos x  6cos2 x 1  sin x  cos x  2 3 1 1  1  2sin x cos x  3cos2 x  cos2 x  sin 2 x  2 2 2       2 x    k 2  x   k    6 3 12  cos  2 x    cos     6 3  2 x       k 2  x     k  6 3  4  Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm x   k thỏa mãn 12   Vậy phương trình có nghiệm x    k , k    12  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình cos2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x. Bài 2. Giải phương trình 4  sin 4 x  cos 4 x   3 sin 4 x  2. Bài 3. Giải phương trình 2 2  sin x  cos x  cos x  3  cos2 x. Bài 4. Giải phương trình x   x    x 2   3x   2 sin     6cos     2sin     2sin    .  5 12   5 12  5 3   5 6 Bài 5. Giải phương trình 153 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  13. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC     cos x  sin  2 x    sin  2 x    1  3 1  2cos x  .  6  6   Bài 6. Giải phương trình: 16 cos4  x    4 3 cos 2 x  5  0 .  4 Bài 7. Giải phương trình: 3 cos x tan 2 x  sin x  4 tan x  sin x tan 2 x  3 cos x . x   2  3  cos x  2sin 2     2 4   1. Bài 8. Giải phương trình: 2cos x  1  3sin x  1  2 3 cos x  1  1. Bài 9. Giải phương trình:  sin x 2 3 cos x  1  2 1  cos x  1 Bài 10. Giải phương trình:  2  cos x   sin x  2 Bài 11. Giải phương trình: 3  sin 2 x  cos x   sin x  cos 2 x  2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX Phương trình có dạng a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0    t2 1 t  sin x  cos x    2; 2   sin x cos x  . 2 Đặt   1 t2 t  sin x  cos x    2; 2   sin x cos x  .    2 Đưa về giải phương trình với ẩn là t. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Giải phương trình 154 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  14. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 1  sin 3 x  cos3 x  sin 2 x. 2 Lời giải: Phương trình tương đương với 3 1   sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x   3sin x cos x. t2 1 Đặt t  sin x  cos x    2; 2   sin x cos x  . 2 Khi đó phương trình trở thành  t 2 1   t 2 1  1  t 3  3   t  3t  3t  5  0   t  1  t  2t  5  0 3 2 2  t  3  2   2  k  t  1    2; 2   sin x cos x  0  sin 2 x  0  x  , k  .   2    Vậy phương trình có nghiệm là:  x  k , k    .  2  Bài 2. Giải phương trình: 2 2  sin x  cos x   sin 2 x  1 . Lời giải:   đặt t  sin x  cos x  2 cos  x      2, 2   sin 2 x  t 2  1.  4 Khi đó phương trình trở thành:     2 2t   t 2  1  1  t 2  2 2t  0  t t  2 2  0  t  0  cos  x    0  4   3  x   k  x   k , k  . 4 2 4 Bài 3. Giải phương trình:  sin x  cos x  1 1    2 sin x cos x  1  2   2 0. sin x  cos x  2 Lời giải: 155 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  15. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Điều kiện: sin x  cos x  2  0 (*).   t 2 1 Đặt t  sin x  cos x  2cos  x      2, 2   sin x cos x  .  4 2 Khi đó phương trình trở thành:  2 2  t  1  1  2   t  1   1     2  2  2t 2  2  t  2   2  2     2t 3  2 2t 2  2  2 t  2  2 2  0       t  2  2t 2  2 2  2 t  2  2  0  t  2  t  1     2t  2  2  0     2cos  x    2 t  2  4   t  1     2cos  x    1   4      x   k 2  x  4  k 2  4    x  k 2 , k   ( thỏa mãn (*) ).  x      k 2    4 4  x   k 2  2     Vậy phương trình có nghiệm là:  x   k 2 , k 2 ,  k 2 , k    .  4 2  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình sin x  cos x  7 sin 2 x  1. Bài 2. Giải phương trình 1  2   sin x  cos x   2 sin x cos x  1  2. Bài 3. Giải phương trình 156 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  16. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   sin 2 x  2 sin  x    1.  4 Bài 4. Giải phương trình sin 3x  cos3x  2  sin x  cos x   1. Bài 5. Giải phương trình  1 1  2   2  sin 2 x     tan x  cot x   0.  sin x cos x  Bài 6. Giải phương trình: 2 sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x   2. 2 Bài 7. Giải phương trình: 3 1  sin 3 x  cos3 x  sin 2 x . 2 Bài 8. Giải phương trình: sin xcos2 x  cos x sin 2 x  2  sin x  cos x  sin 2 x   2  0. sin x  cos x  sin x cos x Bài 9. Giải phương trình: 1  2   sin x  cos x   2 sin x cos x  1  2. Bài 10.Giải phương trình:   sin 2 x  2 sin x  x    1 .  4 Bài 11.Giải phương trình: sin x  cos x  4 sin 2 x  1 . Bài 12. Giải phương trình: 5 1  sin 2 x   16  sin x  cos x   3  0 . Bài 13.   Giải phương trình:  sin x  cos x  1 2  sin 3 x  cos3 x   1  2 sin 2 x . Bài 14. Giải phương trình: 2  sin 3 x  cos 3 x    sin x  cos x   sin 2 x  0 . 157 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  17. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 15. Giải phương trình: 2  sin 3 x  cos 3 x   sin 2 x  sin x  cos x   2 2 . Bài 16. Giải phương trình:  sin x  cos x  1 2 sin 2 x  1   sin x  cos x  2sin 2 x  1 . PHƯƠNG TRÌNH KẾT HỢP TANX, COTX, SINX, COSX Bài 1. Giải phương trình: 2  tan x  sin x   3  cot x  cos x   5  0 . Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với  sin x   cos x  2  1  sin x   3   1  cos x   0  cos x   sin x   2 3    sin x  cos x  sin x cos x    0  cos x sin x   3  tan x    2  sin x  cos x  sin x cos x  0 Bài 2. Giải phương trình: 3  cot x  cos x   5  tan x  sin x   2 . Lời giải: Phương trình tương đương với:  cos x   sin x  3  1  cos x   5   1  sin x   0  sin x   cos x  3  cos x  sin x  sin x cos x  5  cos x  sin x  sin x cos x    0 sin x cosx  3 5      cos x  sin x  sin x cos x   0 .  sin x cosx  Bài 3. Giải phương trình: 2  sin x  cos x   tan x  cot x . 158 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  18. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải: Điều kiện: sin x cos x  0 (*). Khi đó phương trình tương đương với: sin x cos x 2  sin x  cos x     2 sin x cos x  sin x  cos x   sin2 x  cos2 x  1 cos x sin x     t 2 1 Đặt t  sin x  cos x  2cos  x     2, 2  sin x cos x  .  4   2 Khi đó phương trình trở thành: 2 2 2  t  1 t  1  2t 3  2t  2  0  t  2    2t 2  2t  2  0  t  2     2cos  x    2  x   k 2 , k   . thỏa mãn điều kiện (*).  4 4    Vậy phương trình có nghiệm là:  x   k 2 , k    .  4  Bài 4. Giải phương trình: cot x  tan x  sin x  cos x Lời giải: Điều kiện: sin x cos x  0 Khi đó phương trình tương đương với: cos x sin x   sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  cos x  sin x cos x   0 sin x cos x   Xét sin x  cos x  0  tan x  1  x    k . 4  Xét sin x  cos x  sin x cos x  0 (*), đặt 2   1 t t  sin x  cos x   2 cos x  x      2, 2   sin x cos x  .  4 2 Khi đó phương trình (*) trở thành: 1 t2   t  0  t  1  2  t  1  2   2cos  x    1  2 2  4   2 1   cos  x     cos  x      k 2 .  4 2 4 159 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  19. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Vậy phương trình có nghiệm là:    2  1   x    k ,     k 2 , k  , cos  .  4 4 2  Bài 5. Giải phương trình: 3  tan x  cot x   2  2  sin 2 x  . Lời giải: Điều kiện: sin x cos x  0 . Khi đó phương trình tương đương với:  sin x cos x  3  sin 2 x  cos 2 x  3    2  2  sin 2 x    2  2  sin 2 x   cos x sin x  sin x cos x 6   2  2  sin 2 x   sin 2 2 x  2sin 2 x  3  0   sin 2 x  1 sin 2 x  3  0 sin 2 x . thỏa mãn điều kiện. 2 Bài 6. Giải phương trình: 2 tan x  cot x  3  . sin 2 x Lời giải: Điều kiện: sin 2 x  0 . Khi đó phương trình tương đương với: 2  sin x cos x  2  tan x  cot x   tan x  3     tan x  3  sin 2 x  cos x sin x  sin 2 x sin 2 x  cos2 x 2    tan x  3   tan x  3  x   k , k  . sin x cos x sin 2 x 3 Bài 7. Giải phương trình:  1 1  3 2  2   12  2 3  tan x  cot x  .  sin x cos x  Lời giải: Điều kiện: sin x cos x  0 . 160 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
  20. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Khi đó phương trình tương đương với: 3 1  tan 2 x  1  cot 2 x   12  2 3  tan x  cot x   3  tan 2 x  cot 2 x  2   2 3  tan x  cot x   0 2    3  tan x  cot x   2 3  tan x  cot x   0   tan x  cot x  3 tan x  cot x   2 3  0    Xét tan x  cot x  0  x  k . 4 2 2 3 2 3  Xét tan x  cot x   tan 2 x  tan x  1  0 3 3  tan x  3    x   k 3   1   tan x    x     k 3  6 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình: 4sin 2 x  3 tan 2 x  1 . Bài 2. Giải phương trình: 1  tan x  2 2 sin x . Bài 3. Giải phương trình: 1  3sin 2 x  2 tan x . Bài 4. Giải phương trình: tan 2 x 1  sin 3 x   cos 3 x  1  0 . Bài 5. Giải phương trình: 2sin x  cot x  2sin 2 x  1 . Bài 6. Giải phương trình: sin 2 x  2 cos 2 x  4  sin x  cos x  tan x  1  0 . Bài 7. Giải phương trình: cot 4 x  cos3 2 x  1 . Bài 8. Giải phương trình: sin 2 x tan x  cos2 x cot x  sin 2 x  1  cot x  tan x . 1  tan x Bài 9. Giải phương trình:  1  sin 2 x . 1  tan x 161 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1111 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2