Toán học - Lịch sử hình học: Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

175
lượt xem 58
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nối phần 1, phần 2 Tài liệu gồm nội dung chương 6 trở đi. Nội dung phần này trình bày lịch sử hình học từ thế kỷ XVII đến những năm đầu thế kỷ XX. Tham khảo nội dung Tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học - Lịch sử hình học: Phần 2

Chương VI HÌNH HỌC Ở T H Ế KỶ XVII ì. Thề kỷ X V I I với sự thẳng lợi cùa cuộc cách mạng tư sản Anh là thời kỳ mỏ- đầu cho sự ra đời và phát triền mạnh mẽ của một hình thái xã hội mỹi tiến bộ hơn : xã hội tư bản chù nghĩa. Đồng thời với d ộ c cách mạng về chế độ xã hội', trong khoa học, kỹ thuật cũng đã nẩy sinh ra những cuộc cách mạng lớn lao. M ộ t loạt các phát minh qtían trọng đã làm (fthay đồi hẳn bộ mặt khoa học kỹ thuật cùa thè giới. Do việc sỹ dụng máy móc (nhất là máy hơi nước) một cách rộng rãi trong sản xuất và trong đờLsổng, cơ học lý thuyết ngày càng được chú trọng nghiên cứu. Cũng vì lý do đó, trong toán học người ta bắt đầu chú ý đến chuyển động và các đại lượng biến thiên. Việc nghiên cứu các đ ạ i lượng biến thiên là một nét đặc trưng cơ bàn của toán học t ừ thế kỷ X V I I trớ đi. Trước đó, toán học có thể xem là hợp thành cùa các môn số học, đại sổ, hình học, lưọng giác và chủ yếu là ị nghiên cứu các đại lượng không đồi (mặc dầu trong đại í số đã xuất hiện các tham số). Khái niệm thô sơ về hàm ; liên tục de thè kỳ ưườc và việc chuyền qua giới hạn (bằng ỉ phương pháp (dấy hết')) ỏ- thời cố không được áp đụng và không phát triền. 82
Ờ thế kỷ X V I I , toán học bắt đ ấ u nghiên cứu các đ ạ i l ư ợ n g b i ề n t h i ê n và t h u đ ư ợ c n h ữ n g t h à n h t ự u quan t r ọ n g , đ i ể u đ ố đ ã t h ú c đ ẩ y t o á n học p h á t t r i ể n m ộ t cách nhanh ị c h ó n g và m ạ n h mẽ hơn. TO í ((Đại l ư ơ n g biến thiên cùa Đècac là một cuộc cách Ị mạng trong toán học. N h ờ n ó s ự vận đ ộ n g và đ o đ ó phép Ị biản chứng đã được đ ư a vào toán học, và cũng n h ờ nó ! mà p h é p tính vi phân, tích phân đã thưc sự trò thành Ị không thề thiếu được)). (F. Ănghen. Biản chứng pháp Ị cùa t ự nhiên). ị _ J Ị Toán h ọ c đ ã v ư ợ t qua m ộ t t h ờ i k ỳ , t h ư ờ n g g ọ i là t h ờ i Ị kỳ toán họe s ơ cấp đề b ư ớ c vào t h ờ i kỳ m ớ i : toán học Ị cao c ấ p , h i ê n đ a i . N ố i d u n g cùa t o á n hoe đươc mò" r ộ n g [ r i . , Tất n h i ê u , v à xuât h i ả n m ộ t so n g à n h học m ớ i hình học ị giải tích, hình học x ạ ảnh, xác xuất, phép tính các đ ạ i ị l ư ợ n g vô cùng b é , p h é p t í n h t í c h p h â n , v i p h â n và những Ị ứng đụng v à o h ì n h học v i p h â n . Chỉ t r o n g t h ế kỷ XVII/ \ khối lượng các khái n i ả m m ớ i và p h ư ơ n g pháp* m ớ i trong Ịtoán học đ ã v ư ợ t qua cả n h ữ n g k i ế n t h ứ c của 15 t h ế k ỷ • trước đó. ị 2 . C ó t h ề n ó i v i ả c p h á t m i n h ra h ì n h h ọ c g i ả i t í c h là m ộ t Ị khâu quan trọng trong viảc chuyền đối tượng toán học •từ đại lượng không đ ổ i sang đại tượng biến thiên. Hai ' n h à t o á n học l ớ n n g ư ờ i P h á p là R ơ n ê Đ ê c a c và P í e Phecma 1 ỉ đồng thời cùng nêu ra những cơ sỏ cho môn học này. Rơnê Đêcac (1596 — 1 6 5 0 Ì s i n h ra t r o n g m ộ t gia đình í q u ý t ộ c t ạ i t h à n h p h ố L a E , v à đ ư ợ c g i á o đ ụ c t ố t ồ- t r ư ờ n g ; trung học nhà chung t ạ i thành phố La P h ơ l e s ơ . N ă m 1613 Sông đ è n Pari v à ỏ" đ ó ô n g đ i sâu vào toán học và triết học. Năm 1617 do áp lực của gia đ ì n h , Đêcac phục vụ Ị t r o n g q u â n đ ộ i của t ư ớ n g M ô r i x O r a n x k i v à d o đ ó c ó đ i ể u ĩ 8 3 Ị ị
1 kiện đi cua Đức, Hung, Tiệp> Ỷ. Năm 1628 ông trò về Pháp và tham gia vào đội quân hoàng gia vây hãm pháo đài La Rôsơli. Sau đó, cuộc sồng của Rơné Đêcac có chuyền biên. Ông rút về ồ/ ân, tìm một sự cô độc và yên tĩnh đề có thể hoàn thành một kè hoạch làm việc mà ông đã đặt ra cho mình. Phương châm cùa ông là : Ở ẩn tốt, thì làm việc tốt vi thế ông hạn chề gắt gao sự giao thiệp với các nhà toán học, kề cả bạn thân. Ông chì giầ vầng liên lạc với họ bằng thư từ với nội dung thuần túy khoa học. Mặc dầu vậy do nhầng quan điểm của ông đã gây nền nhầng quan hệ căng thẳng v ớ i nhà thờ, nên ông buộc phải chuyển sang Hà lan năm 1629, và sông ờ đó một mình trong vòng 20 năm. Ở đây ông đã cho in các công trình chù yêu cùa mình. Tại Hà lan, các quan điểm cùa ông lại làm cho giáo hội nổi giận, và để c & ẩn tốt» ông l ạ i chuyền sang Stôckhôm (Thụy Điển) năm 1649. K h í hậu & đây không thích hợp vói ông nên năm 1650 ông qua đ ờ i vì bị cảm lạnh. Cũng như nhiều nhà t ư tướng lớn của thè kỳ X V I I ' Rơnê Đêcac muốn tìm một p h ư ơ n g pháp chung của sự suy nghĩ đè có thề chứng tỏ một cách nhanh chổng các chân lý trong khoa học. Bầy giờ vì CO" học, là khoa học duy nhất về tự nhiên, đã được xây dựng một cách có hệ thống, và vì toán học cho ta một chìa khóa để hiểu biết cơ học, nên toán học đã trờ nên một phương tiện quan trọng để nắm được vũ trụ. Bới vậy, mục đích của Đêcac là tìm một phương pháp suy diễn toán học tổng quát cho việc nghiên cứu mọi vần đề cùa khoa học tự nhiên. Ông đã viết tác phẩm K L u ậ n về p h ư ơ n g pháp » để trình bày quan điểm của mình và sau đó cho công bố tác phẩn: 34
« Hình học •> vói tính chất là sự ứng dụng phương pháp của mình. Chính t ừ tác phẩm này, môn hình học giải tích sự kết họp giữa h ì n h học và đại số — đã ra đ ờ i , đánh dấu một bước ngoặt quan trọng trong sự phát triền của hình học và toán học. 3. Ta hãy điểm qua nội duns; cơ bản cùa tác phẩm «Hình học». Đecac khẳng đợnh rằng « M ọ i điềm cùa một đường cong đã cho đểu nằm trong một quan hệ. nào đó v ớ i tất cả các điếm của một đường thẳng, quan hệ này được biểu thợ bằng một p h ư ơ n g trình nào đó, giống nhau đối với tất cả các điềm cùa đường cong đã chon. Để minh họa cho quan điểm này, Đecac đã đưa ra phươọg pháp tọa độ vuông góc, và kèm theo đó là khái niệm về hàm số xem như là một biêu thức giải tích giữa các đoạn thẳng (' không xác đ ị n h » X và y (tức là tọa độ của một điềm). Ta nhớ rằng Apôlôni cũng đã dùng tọa độ. Nhưng hệ trục tọa độ cùa ông luôn luôn gắn chặt v ớ i đường cong. Chẳng hạn, đ ố i v ớ i một điềm của parabôl thì tung độ là khoảng cách t ừ điểm đó đến trục parabôl. Đecac lần đầu tiên đã đưa ra hệ trục tọa độ độc lập đ ố i vói đường cong. K h i đó ta đưọx một phương pháp tổng quát đề biểu thợ các điều kiện cùa một đường cong (tức là điều kiện đề cho một điểm thuộc đường cong) bằng p h ư ơ n g trình liên hệ giữa hai tọa độ của một diêm. Ta hãy xét thí dụ t h ứ nhát sau đây của Đecac. M ộ t tam giác vuông K L N kích thước không đ ồ i , có cạnh góc vuông K L chuyển động dọc theo đường thẳng AB. G là một điềm cố đợnh không nằm trên AB. Tìm quỹ 85
tích giao điề m cùa đường thẳng GL và cạnh huyề n N K kéo dài. Giả sử GA Ì A B và GA = a, K L = b, N L = c. Đecac đã chọn AB là trục X gốc ớ A (hình lo), và ký hiệu các đoạn chưa biết CB =y, BA = X. K h i đó từ hai tam giác đồng dạng CBK và N L K và hai tam giác đồng dạng CBL và GAL ông suy ra : _ c yy = cy xy + ày — ác b Đecac nói rằng đó là đường hypecbôl, nhưng ông không chứng minh. Ấ s~. ; , I , J 6 A Hình lo Trong thí du này, Đêcac đã dùng mót hệ trúc tọa độ vuông góc. Nói chung, ông thường chi ra một trục với điềm gốc, còn trục kia thì ch hướng (thường là không vuông góc với trục thứ nhất). Các tọa độ âm không xét đến (mãi đèn thè kỳ X V I I I người ta mới sử dụng tọa độ âm). 86
Đề chứng tồ thêm sức mạnh cùa phương pháp mới đo mình nêu ra, Đecac đã xét đến một bài toán khó là bài toán :
Trong tác phàm « Hình học » Đêcac còn nêu lên những định lý về cách dựng ph^p tuyến và tiếp tuyến của các đường cong đại sổ và áp dụng cho lác đường cônic. Ngoài ra ông còn mớ rộng phương pháp của mình cho trường hợp đường cong trong không gian 3 chiều, bằng cách xét hình chiếu cùa nó trê n hai mặt phảng vuông góc với nhau. Ờ đây ta gặp một trong các minh đề sai cùa Đêcac (sầ này không nhiều): qua phép chiếu như vậy pháp tuyền lại biến thành pháp tuyền. 4. Như đã nói, ngoài Rơnê Đêcac, Pie phecma cũng được xem như người sáng lập ra môn hình học giải tích. Là một người ờ miền nam nước Pháp, phecma (1601 —. 1665) sầng chủ yếu ỏ thành phầ Tultiđơ, làm cầ vần 1 luật pháp tho chính quyền địa phương. Õng biết rất nhiều ngôn ngữ cổ và hiện đ ạ i : tiếng latinh, tiếng Hy Lạp cổ, tiếng Tây Ban Nha, tiếng Ý... Ông nghiên cứu các tác phẩm nguyên vărt của ơclit, Acsimet, Apôlôni, Pap, Điôphăng,... vào những thời gian rỗi. Tuy vậy, tài năng toán học của Phecma phát triền rất rực r ỡ . Ông đã có nhiều phát minh quan trọng về lý thuyết sổ, hình học, về phép tính các đ ạ i lượng vô cùng bé, vv... Phecma viết ít và viết rất ngắn gọn. Hơn thế, ông l ạ i thường không công bầ các phát minh cùa mình. Ông chỉ thông báo v ớ i bạn bè bằng thự từ hoặc thông qua các cuộc tiếp xúc, luận đàm. Các công trình xuất sắc cùa ông chi được công bầ vào năm 1679 sau *• khi ông mất. Các quan điểm cùa Phecma về hình học giải tíỹh được trình bày trong tác phẩm không lớn (Ị Mỏ- đầu và nghiên cứu các quỹ tích phảng và không gian» viềt năm 1636 (theo danh từ cồ Hy Lạp, quỹ tích phảng là đường thẳng, 88
đường tròn, quỹ tích không gian là các đường cônic :•). Năm 1679, tác phẩm này mới đ ư ợ c i n . Phecma phát biểu nguyên tắc của hình học giải tích như sau : «Mỗi lần khi trong phương trình cuối cùng ta có hai đại lượng chưa biết, thì sẽ có quỹ tích, và điềm cuối cùng của một trong chúng vạch ra một đường thẳng hoỞc đường cong. Đ ể thiết lập phương trình ta thường xét hai đại lượng chưa biết tạo v ớ i nhau một góc đã cho (thường; là góc vuông) và xét vị trí điềm cuối cùa một trong hai đại lượng chưa biết đó». Ở* đây đ ạ i lượng chưa biết được hiểu là các đoạn thẳng, đoạn t h ứ nhất thường ký hiệu NZ hoỞc A, đoạn thứ hai ký hiệu Z I hoỞc B (hình l i ) . N A ỉ Hình li Phương trinh đường thẳng N I đi qua gốc tọa độ N được Phecma viết dưới dạng : « D trên A bằng B trên E » tức là dx = by. Sau đó ông đã nêu ra p h ư ơ n g trình đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, phương trình cùa hypecbôl có tiệm cận là các trục tọa độ, cùa elip mà hai đường kính liên hiệp là các trục tọa độ... Phccma cũng đã nghiên cứu "dạng tồng quát của phương trình bậc nhất và bậc hai băng cách biến đ ổ i 89
tọa đ ộ đề đ ư a c h ú n g về dạng c h í n h tắc đ ã xét ồ- t r ê n . Phccma đ ã xét t r ư ờ n g hợp n à y bằng m ộ t t h í d ụ sau : z 2 2 b — 2 X = 2xy -Ị- >> , là m ộ t t r ư ờ n g h ợ p k h ó vì ờ đây chứa số hạng t í c h x y . Ồng đã đ ù n g p h é p b i ế n đ ổ i tọa độ X = Vzx, Y = X -ị- y đề đ ư a về p h ư ơ n g t r ì n h 2 2 ( 2 Ố — X ) = 2Y-, và đ ó là p h ư ơ n g t r ì n h của e l i p . Đ ề kết l u ữ n , Phectna v i ế t « N h ư vữy là c h ú n g t ô i đã t r ì n h bày m ộ t cách ngắn gọn và rõ r à n g t ấ t cả n h ữ n g đ i ể u về q u ỹ t í c h p h à n g và k h ô n g gian mà t h ờ i cổ còn c h ư a biết r õ » . 5. Sau Đêcac và Phecma, p h ư ơ n g p h á p của h ì n h học g i ả i t í c h đ ư ợ c n h i ề u nhà t o á n học n g h i ê n c ứ u và p h á t t r i ề n , làm cho nó dần dần t r ớ t h à n h m ộ t n g à n h của toán học. N h à toán học cùng t h ờ i v ớ i Đecac là Ph. Đêbôn ( ì 6 0 1 — 1652) đã h o à n t h i ệ n m ộ t số kết quả của Đ ê c a c . Ô n g đã chứng m i n h rằng m o i p h ư ơ n g t r ì n h bữc nhất đ ề u b i ể u t h ị cho đ ư ờ n g thẳng và đã p h â n tích m ộ t cách chi t i ế t p h ư ơ n g t r ì n h của h y p e c b ô l : xy + bx + cy — ả — o. Ô n g đã p h â n b i ệ t 17 dạng của p h ư ơ n g t r ì n h nói t r ê n . Ph. Van Sôten (16.15 — 1660) đã ứ n g dụng m ộ t p h é p t i n h t i ế n và m ộ t p h é p quay đ ố i v ớ i c ô n g t h ứ c b i ề n đ ồ i các hệ t r ụ c tọa đ ộ . H ọ c t r ò của ồng là Gian Đ ê - V i t (^625 — 1672) đã n g h i ê n c ứ u các giao t u y ế n cônic mà k h ô n g n h ờ đ ế n p h ư ơ n g t i ệ n cùa k h ô n g gian. G i ô n Valis (1616 — 1703) cũng đ ị n h nghĩa c ô n i c m ộ t cách t r ự c t i ế p chứ k h ô n g bằng giao t u y ế n cùa m ộ t mặt n ó n và mặt phang. \ V à o nữa sau cùa t h ế kỷ X V I I còn xuất h i ệ n m ộ t số tác phẩm về giao t u y ế n c ô n i c , trong đ ó đáng c h ú ý là 90 \
cuốn «Những điều mới về giao tuyến cônic» cùa Phi Lip Dơ La Hia (1640- 1718). Trong tác phẩm đó lần đầu tiên La Hia đã đưa ra tọa độ của một điểm trong không gian gốm ba đại lượng X., y, z, và nói chung một p h ư ơ n g trình của ba biên số đó sẽ biểu thị cho một mặt trong không gian. Năm 1700, A.Paren (1666 —1716) viết được phương trinh của mặt cầu và tiếp điện của nó. Sau này phương pháp tọa độ phát triển mạnh mẽ nhờ công trình cùa A. c . Klêrô (1713—1765). Mặc dầu có những thành tim kể trên, các. kết quả thu được bỷng cách áp dụng phương pháp hình học giải tích nhìn chung còn ít ỏi và tản mạh. Phương pháp tọa độ và phương trình đóng vai trò quan trọng trong phép tính các vô cùng bé hơn là trong hình học. Mãi đến đầu thề kỷ X V I I I năm 1704 nhà vật lý và toán học Vĩ đ ạ i Niutơn (1643—1727) trong tác phẩm ((Liệt kê các đường cong bậc ba.) mới phát y i ề n sử dụng phương pháp hình học giải tích một cách có hệ thống. T ừ đó hình học giải tích trờ thành một phương pháp thuận l ợ i đề nghiên cứu hình học. Nhờ phương pháp này, mọi bài toán hỉnh học đểu có thề chuyển thành một bài toán của đại số và việc giải bài toán đại số này thường dễ thực hiện hơn là giải trực tiếp bỷng phương pháp- hình học. 6. Chúng ta đã biết rỷng ngay t ừ thời cổ các nhà toán học đã nghiên cứu phép chiếu xuyên tâm, và đổ là cơ sò" của môn hình học xạ ảnh. Ớ thè kỷ X V I I phương pháp xạ ảnh đạt được một số thành tựu quan trọng, đặc biệt là việc G i . Kcple (1571-1630) lần đầu tiên đưa ra khái niệm điểm vô tận. 91
Kêple là một nhà thiên văn vĩ đ ạ i , đã phát minh ra những quy luật chuyển động của các hành tinh, sau này gọi là quy luật Kêple. Đó là : ì . Các hành tinh chuyển động theo đưừng elip, mà mặt t r ờ i là một tiêu điềm. 2. T ỉ số giữa thời gian mà hành tinh chuyền động theo một cung elip và t h ờ i gian chuyển động theo toàn bộ elip bằng t i số giữa diện tích vạch b ớ i bán kính vectơ vẽ t ừ tiêu điểm của cung đó và diện tích toàn bỹ^ip. 3. Bình p h ư ơ n g các chu kử quay của các hành tinh t i l ệ v ớ i tam thừa của các khoảng cách ìrung bình t ừ chúng t ớ i mặt t r ờ i . ' Đ ố i v ớ i lịch sử hình học, cuốn «íPhần quang học 1 cùa thiên văn ) cùa Kêple (xuất bản năm 1604) đóng vai, trò quan trọng. Ổng đã chi ra rằng giao tuyến cùa mặt nón v ớ i mặt phẳng có thề là đường thẳng, đường tròn, parabôl, hypecbôl, elip. "Ông nói răng ((đường thẳng biền thành đường parabôỊ khi chityển qua đường hypecbôl, và biên thành đường tròn khi chuyền qua • elip », rằng ((trong hypecbôl thì đ ư ờ n g tù nhất là đường thẳng và đường nhọn nhất là parabôl, còn trong các elip thì đường nhọn nhất là parabôl và tù nhất là đ ư ờ n g tròn». Kêple đã chi rõ rằng nói chung các giao tuyến cônic đều có hai tiêu điềm n h ư là elig. Đ ố i vói đ ư ờ n g tròn, hai tiêu điềm đó trùng nhau t ạ i tâm. Đ ố i v ớ i parabôl thì một tiêu điểm đi xa ra vô tận trên trục, còn đ ố i v ớ i hypecbôl thì tiêu điềm xa vô tận đó l ạ i trỏ" về gần theo «phía bên kia». 92
Khái niệm về điểm vô tận đo Kèple nêu ra đã đưọ-c sử dụng một cách thắng l ợ i trong p h ư ơ n g pháp xạ ảnh. K h i dùng một phép chiếu xuyên tâm t ừ một mặt phảng này sang mặt phàng khác., hai đường thẳng song song có thề biến thành hai đường thẳng cắt nhau (chẳng hạn trên một bức họa.'hai đường rằy tàu hỏa phải đ ư ợ c vẽ thành hai đườug thẳng cắt nhau ờ đường chân t r ờ i ) . Khi đó ta có thế xem giao điềm đó chính là hình chiếu cùa điềm vô tận trên hai đường thẳng song song. Cố nhiên, ta phải xem.trên một đường thằng đi về hai phía đều chí có một điềm vô tận, các đường thẳng song song với nhau đểu có chung một điểm vô tận, và các điềm vỏ tận của một mặt phang phải nằm trên một đường thẳng gọi là đường thẳng vô tận (nó ứng v ớ i đường châu trời đã nói ờ t r ê n ) . 7. Trong khoáng đằu cùa thế kỷ X V I I có nhiều công trình về hình học xạ ảnh, đó là những cuốn sách của Ghiđubanđô Đen Môngtê (1545— 1607), Ximông Xtêvin (1548—1620), Phrăngxoa Đêghiông (1566—1617). N h ư n g tất cà các tác giả đó đều bị nhà toán học Pháp Đêdac (ì 591 — 1661) v ư ợ t xa. Đédac là n g ư ờ i sáng lập ra môn hình học xạ ánh xem như là một khoa học độc lập. Mục đích cùa ông là tìm một sự mỡ rộng sâu sắc về mặt lý thuyết của các phương pháp đồ hình vẫn ứng dụng trong kiến trúc, hội họa ... đề cùng v ớ i lý thuyết về phép chiếu nâng lèn thành một khoa học thực sự của hình học. K h i giải quyết vấn đề đó, Đedac đã tìm ra đ ư ợ c phép biến đ ổ i xạ ánh tổng quát, một p h ư ơ n g pháp đặc biệt để nghiên cứu các tính chất cùa h ì n h . Công trìph cơ bản của ông gồm ba m ư ơ i trang »Phác thảo về những điểu xảy ra khi cắt hình nón 93
b&i một mặt phang», xuất bản năm 1639. Ở đây ta thấy Đêdac đã sử dụng rộng rãi cạc khái n i ệ m ; phép biến đ ổ i xạ ảnh, điềm vô tận, đường thẳng vô tận, tỉ số kép của bốn điềm thẳng hàng. Thêm vào mặt phang các điợm vô tận, ông đã xem parabôl và hypecbôl đợu là những đường kín, cắt đường thẳng vô tận tại một điềm (kép) hoặc hai điợm phân biệt. Ông đã xét các phép biến đ ổ i trên đường thẳng, gíư nguyên t i số kép, và đặc biệt xét cả các phép đối hợp trên đường thẳng. Hai định lý sau đây bây giờ mạng tên là định lý Đêdac ì và 2 : Định lý Đêđaci: Nếu hai tam giác ABC và A ' B ' C ' có các đường thằng nối các đinh tương ứng đồng quy, thì giao điợm các cạnh t ư ơ n g ứng thẳng hàng. Định lý Đèđac 2: Các đường bậc hai đi qua bốn điợm chcNtrước và các cặp đường thẳng có thề vẽ qua bốn điếm đó chắn ra trên một đường thẳng bất kỳ các cặp điợm tạo thành một liên hệ đ ố i hợp. Đêdac cũng đã chứng minh một loạt các định lý về điềm cực cùa một đương thẳng và đường cực của một diêm đ ố i vời một cônic. và ứng dụng các định lý đó đề giải một loạt các bài toán dựng hình. Các nhà toán học đương thời đã cỏ những thái độ khác nhau đ ố i với hình học xạ ảnh cùa Đêdac. Đêđac thi hầu như không quan tâm đến, điều đó không có gì lạ vì ông đang «ìớ ấn». Phecma đánh giá cao nhưng không nghiên cứu. M ộ t số khác thì kinh sợ vì muốn đọc tác phẩm cùa Đêdac cần phải nắm vững ngôn ngữ toán học mới cùa ông (Đêdac thường tạo ra nhiều t ừ . 94
mới lấy trong t h ự c vật h ọ c ) . N ó i c h u n g , n h ữ n g t ư t ư ớ n g mới cùa Đêdac chỉ đưọx một số ít các nhà toán học hoan nghênh, trong số đó có Paxcan (1623 — 1662) lúc bấy g i ờ tuy mới 17 tuổi n h ư n g đã cống hiền cho hình học xạ ảnh một định lý mà Đêdac gọi là fđịnh lý vĩ đại». 8. Paxcan tà một nhà toán h ọ c và vật lý t o à n d i ệ n (về vật l ý ống đã p h á t m i n h ra đ ị n h lu.ĩt Paxcan trong thủy lực học). Về toán học ngoài hình học, ông còn nhiều công trình xuất sểc trong l ĩ n h vực số học và xác xuất «Định lý vĩ đại» của Paxcan dược i n ra khoảng n ă m chục bản đ ể g ử i đi cho các nhà toán học. Đ ị n h lý đỏ nói rằng « G i a o điềm các cạnh đòi diện của một hình lục giác nội t i ế p trong giao t u y ê n c ô n i c n ằ m t r ê n m ộ t đường thẳng »• M ộ t trường hợp riêng của đ ị n h l ý này là đ ị n h l ý P á p khi đ ư ờ n g c ô n i c suy biế n t h à n h hai đ ư ờ n g thẳng. Paxcan khẳng đ ị n h rằng nhờ định lý đ ó và hai định lý cùa ô n g có l i ê n quan, ô n g có thề xây đựng một lý t h u y ế t đầy đ ủ v ề giao t u y ế n c ô n i c , bao g ồ m các {inh chất ^ về đường k í n h v à tiế p t u y ế n , đ ự n g giao t u y ế n theo một sổ đ i ề m t c ủ a chúng, w ... Người ta biế t rằng sau khi Paxcan chế t, vẫn còn lại một bản thảo về l ý thuyế t x ạ á n h của các đ ư ờ n g cônic. Năm 1676 Lêpnitx đã n h ì n thấy bản thảo đ ó -và trong í g ộ t b ứ c t h ư , ô n g đã t r ì n h bày ngển gọn n ộ i đ u n g phong p h ú cùa n ó . L ê p n i t x c ò n n ó i rằng bản thảo đã h o à n t h à n h và c ó thể đem in. Tuy nhiên, công trình đó của Paxcan không được in ra v à cho đế n b â y giờ mọi cố gểng tìm kếi m đều không có két quả. 95
Trong lúc các nhà toán học đang íập trung chăm chú vào toán học giải tích và ứng đụng của nó là hịiih học giải tíciì, phương pháp hình học xạ ảnh cùa Đedac và Paxcan hầu như không được tiếp tục phát triển. Tác phẩm của Đêdac hoàn toàn bị biến mất và chỉ l ớ i năm 1845 M . Salơ mới tìm thấy lại một bản chép tay do Dơ La Hia sao lại năm 1679. Còn bản in cùa tác phàm đó thì IOO năm sau nữa mới tìm thấy. Trong một thựi gian khá dài, hình học xạ ảnh không tiến bộ được gì thèm. Phải chự đến đầu thè kỷ t h ứ XIX, sau khi đã có những thành công trong lĩnh vực hình học hòa hình, thì hình học xạ ảnh mới thực sự bước vào thựi kỳ phát triền rực rỡ. 9. Cùng với hình học giải tích, sự xuất hiện các phép tính tiên phân và v i phân đã làm cho bộ mặt toán học của thế kỷ X V I I hoàn toàn thay đ ổ i . Toán học t ừ việc nghiên cứu các đại lượng rựi rạc đã trớ thành toán học cùa các đại lượng biền thiên. Ở đây ta sẽ chi trình bày các phương pháp tích phân và v i phân trong phạm v i hình học. Đầu tiên phép tính tích phân thực chát là các bài toán về việc tính độ dài, diện tích, thề tích, tìm trọng tâm. Như chúng ta đã biết, ngay t ừ thựi cổ, (Tđôcx đã giải quyết một số bài toán bằng phương pháp (day hết'-- Acsimet đã áp dụng một cách tài tình phương pháp đó, và đi đèn khái niệm «tổng trên •-' và «tống dưới». Các nhà toán học ớ thế kỳ X V I I đã quay lrò l ạ i , tìm về Acsimet và họ phải bắt đầu t ừ cho mà Acsimet đã dừng l ạ i . 96
K ê p l e là n h à b á c học đầu tiên đ ã t h ự c hiện các p h ư ơ n g p h á p tính t o á n t r ự c t i ế p v ớ i các đ ạ i l ư ợ n g vô cùng b é . C ă n cứ vào p h ư ơ n g p h á p của Acsimet, Kêple cho rằng m ộ t h ì n h t h ứ c b ấ t kỳ đ ư ợ c b i ể u đ i ề n d ư ớ i dạng tồng của m ộ t số v ô h ạ n các phần v ô cùng n h ổ (chằng hạn h ì n h tròn g ồ m m ộ t số vô hạn các q u ạ t tròn rất hẹp mà c h ú n g có t h ể x e m n h ư là n h ữ n g tam giác cân có chiều cao bằng b á n k í n h h ì n h t r ò n , c ò n đáy là n h ữ n g đ o ạ n v ô c ù n g bé n h ư n g có tổng bằng đ ộ d à i đ ư ờ n g t r ò n ) . N h ư ta đ ã t h ấ y , K ê p l e đ ã p h á t m i n h ra ba quy l u ậ t chuyển động của các h à n h t i n h , trong đ ó quy l u ậ t t h ứ hai đ ư ợ c p h á t b i ể u theo n g ô n n g ữ của K ê p l e l à . t i so t h ờ i gian mà h à n h t i n h chuyển động theo một cung trên quy đ ạ o và t h ờ i gian đ ể chuyển động theo cả quy đạo b ằ n g t i số g i ữ a ((tồng bán kính v e c t ơ » v ẽ t ừ một tiêu đ i ể m t ớ i các đ i ề m của cung đó và «tống bán k í n h v e c t ơ » v ạ c h ra toàn b ộ elip quy đ ạ o . T ổ n g ((bán k í n h v e c t ơ » ớ đ â y chính là d i ệ n tích h ì n h q u ạ t . T h ự c t ề , ông đ ã t í n h d i ệ n tích h ì n h q u ạ t bằng cách lấy t ổ n g c á c tam g i á c b é đ ế n m ứ c có t h ể xem n h ư là m ộ t b á n k í n h v e c t ơ . T r o n g tác p h ẩ m « T h i ê n văn m ự i » (xuất bản n ă m 1609), k h i so s á n h tổng sin cùa các góc lấy cách nhau 1° t ừ o cho đ ế n (Ị, ông đ ã tìm thấy công t h ử c , mà v i ế t theo ký hiệu bấy g i ờ 'à f . ..... Ị sinxdx = 1 — cos X 0 Sau n à y , c h í n h ô n g đ ã c h ứ n g m i n h đ ư ợ c kết quả đó b ằ n g p h ư ơ n g p h á p c h í n h xác của Acsimẹịt. Vào vụ nho n ă m 1612, Kêple đ ã chú ý đ ế n n h ữ n g quy tắc mà n ô n g d â n t h ư ờ n g d ù n g đ ề tính toán l ư ợ n g 7 LSHH 97 V
í t r ợ u nho đ ự n g trong n h ữ n g t h ù n g v ớ i h ì n h dạng k h á c nhau, ông đ ã đ ể t â m n g h i ê n c ứ u vấn đ ể đ ó và đ ã t ì m ra n h ữ n g p h ư ơ n g pháp đ ể t í n h t h ể t í c h cùa các v ậ t t r ò n xoay. N ă m 1615 ông đ ã cho xuất bản cuốn « đ o t h ể tích các t h ù n g r ư ợ u nho theo cách m ớ i )>. K ê p l e đ ã t i ế n m ộ t b ư ớ c khá xa so v ớ i n h ữ n g hiểu b i ế t cùa t h ờ i cổ ô n g đ ã t í n h đ ư ợ c t h ể tích cửa 87 h ì n h m ớ i . Sau các công t r ì n h của K ê p l e , n h i ề u nhà t o á n hằc đ ã chú ý nghiên c ứ u việc hoàn t h i ệ n một p h ư ơ n g p h á p t í n h t o á n chinh quy trên c á c đ ạ i l ư ợ n g v ô c ù n g b é , trong số đ ó đ á n g kề nhất là Kavalêri (1598 — 1 6 4 7 ) . Quan đ i ể m cùa Kavalêri đ ư ợ c trình bày một cách có hệ thống trong tác p h ầ m « H ì n h hằc trình bày bằng những p h ư ơ n g p h á p m ớ i n h ờ các đ ạ i l ư ợ n g không p h â n chia đ ư ợ c ) ; công bố ííăm 1635. Nếu ta x é t một hình phang nào đó, thì m ỗ i đ ư ờ n g thẳng chuyển động song song v ó i một đường thằng cho t r ư ớ c (gằi là chuẩn) sẽ cắt h ì n h đó theo m ộ t đoạn thẳng. N h ư vậy hình phăng đã cho xem n h ư tạo t h à n h bẻfi vô số đoạn thẳng n h ư vậy. Các đoạn thẳng này gằi là phẩn không chia được cùa h ì n h p h ă n g . Tương tự, một k h ố i trong không gian có t h ề xem n h ư sinh bồ-i tập hợp vô số các hình phăng nằm trên những mặt phằng song song, các hình phang này cũng gằi là phần không chia đ ư ợ c của khối đẫ cho. Kavalêri tìm thầy kết quả sau đ â y : riếu hai hình phang được sắp xếp sao cho khi ta cắt c h ú n g bằng một đ ư ờ n g thẳng song song v ớ i đ ư ờ n g chuẩn thì ta đ ư ợ c hai p h â n - t ừ k h ô n g chia đ ư ợ c có tý l ệ là m ộ t hằng số k thì diện tích hai h ì n h đó tỷ l ệ v ớ i k. Đ ố i v ớ i thể tích các khối cũng có kết quả tương tự. 98
Ngoài ra Kavalêri còn xét cả tống l ũ y thừa của các phần t ử k h ô n g chia đ ư ợ c . C h ằ n g . h ạ n , ông đã chứng m i n h rằng, tổng bình p h ư ơ n g các đ o ạ n thẳng không chia đ ư ợ c của h ì n h bình hành bằng ba lần tồng bình p h ư ơ n g các đ o ạ n t h ả n g không chia đ ư ợ c của hai tam giác tạo nên b ờ i việc chia h ì n h bình h à n h bằng m ộ t đ ư ờ n g chéo. K ế t quả này t ư ơ n g đ ư ơ n g v ấ i công thức a a Ì 3 2 f X 2 dx = — J a dx = — o 3 o 3 Định lý đó còn đ ư ợ c mỏ' rộng cho l ũ y thừa bất kỳ, tức a n là t ư ơ n g đ ư ơ n g v ấ i việc t í n h tích f phân x đx. 0 M ặ c dầu p h ư ơ n g p h á p cùa Kavalêri còn m ộ t số thiếu sót ( n h ư khái niệm X không chia đ ư ợ c >! k h ô n g đ ư ợ c đ ị n h nghĩa m ộ t cách rộ ràng, thiếu những ký hiệu đ ạ i so, và nó k h ô n g áp d ụ n g đ ư ợ c cho việc đo độ dài các đ ư ờ n g cong, vì trong t r ư ờ n g hợp này cái « k h ô n g chia đ ư ợ c " là điểm), nhiều n h à t o á n học đã n h i ệ t tình ủng h ộ Kavalêri và p h á t t r i ể n p h ư ơ n g p h á p của ông. Tôrixenli (1608-1647) đã tính thề tích cùa một hình tạo b ó i một hypecbôl quay chung quanh một t i ệ m cận. Ở đây ông đ ã chọn cái « k h ô n g chia đ ư ợ c » là n h ữ n g mặt cong (chứ không phải là hình phằng n h ư Kavalêri). Ngoài ra ông còn t í n h diện tích g i ấ i hạn b ờ i các đ ư ờ n g parabôl và hypecbôl v ấ i bậc tùy ý, tức là n h ữ n g đ ư ờ n g cong có . -f. n m phưong trình y = kx ~ và đã tìm ra điều kiện tồn ro t ạ i giá trị của tích phân định hạn f ydx trong trường lí hợp của đ ư ờ n g hypecbôl. lo. Bây g i ờ ta xét đ ế n p h ư ơ n g p h á p v i p h â n có liên quan t ấ i bài toán tìm t i ế p tuyến của một đ ư ờ n g cong và xác định cực trị cùa hàm số. 99
T r o n g phạm v i này các nhà toán học t h ờ i cồ đ ã làm đ ư ợ c rát ít so v ớ i p h é p tính tích p h â n . Đêcac trong tác phẩm ((Hình học» đã n ê u lên p h ư ơ n g p h á p tìm p h á p tuyến của đ ư ờ n g cong t ạ i một điềm (và do đó tìm đ ư ợ c tiếp tuyến). N h ư n g p h ư ơ n g p h á p cùa ông là p h ư ơ n g pháp đ ạ i số c h ứ không phải là p h ư ơ n g pháp vi phân. Vào khoảng n ă m 1620, trong khi Đêcac t ì m ra p h ư ơ n g p h á p đ ạ i số đ ó , Phecma đã sáng tạo một p h ư ơ n g p h á p khác, có thề áp dụng đề tìm cực trị của m ộ t h à m và p h á p t u y ế n cùa đ ư ờ n g cong. P h ư ơ n g p h á p n à y đ ư ợ c t r ì n h bày trong tác p h ẩ m không l ớ n ( ( P h ư ơ n g p h á p tìm cực đ ạ i và cực t i ể u » và đ ã t r ố nên m ộ t bộ phện quan trọng của giải tích các đ ạ i l ư ợ n g vô c ù n g b é . L ệ p luện của Phecma n h ư sau : G i ả sử hàm số / (x) đạt được cực đại tại X = a, tức là / (a ± h) < / (a). K h i đó / (a + h) — ỉ (a) do đó : < o u (a) li + h (a) h* + /3 (aj h ...s < o và _ h (a) h + h (a)h*- /3 (a) h? + ... < 0 K h i h đ ủ n h ò và /1 (a) ^ o dấu của các vế b ê n trái t r ù n g v ớ i dấu cùa số hạng t h ứ nhất b ồ i vệy m u ố n có cả hai bất đăng thức trên ta phải có /1 (a) = o, và /3 (a) < o. Cũng lệp luện t ư ơ n g t ự , nêu /1 (à) = o và ịz (a) > o, ta có cực t i ể u t ạ i X = a. N h ư vệy, điểu kiện có cực trị /2 (ũ) = o t r ù n g v ớ i điều kiện mà ta viết d ư ớ i dạng n h ư hiện nay : lim ;— r / (a) = o h -» o 1Q.0
về việc tìm tiếp tuyến, Phecma đã viết : «Việc xác định tiếp tuyến t ạ i một đ i ể m cùa một đ ư ờ n g cong nào đó sẽ dẫn đ ế n p h ư ơ n g pháp đã trình bày t r ê n I). Ông không nêu ra m ộ t quy tắc chung, mà chi đ ư a ra t h í d ụ về t ì m tiếp X t u y ế n T M t ạ i điềm M của parabôl —j- = c bằng cách tìm đoạn Tx (hình 12). Hình 12 Do hai tam giác T X M và T X ' M ' đồng dạng và bất đẳng t h ứ c X ' M ' < X ' N , ta có : 0 X X M 3 M T X 2 . _ > _X .- _ " OX' ~ X'M'2 ~X'NĨ ~ ~~ TX' - J Ký hiệu OX = X , O X ' = X — h, T X = t, T X ' = í — h, ta sẽ được: 2 X t > - " - - • • hay t-h - - xh- > 2 txh. X — h ạ — h)- K h i h khá n h ỏ , bất đẳng t h ứ c trỏ' t h à n h đẳng t h ứ c và ta có t = 2X lọi