Tham khảo tài liệu 'ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
- ỨNG DỤNG TÍ CH P H ÂN TÍ NH TH Ể TÍ CH VẬT TH Ể TRÒN XOAY
1) DẠNG 1:
ì y = f ( x
)
ï
Hình phẳng S : í x = a quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích :
ï x = b a p b
( )
î
b
2
V = p ò f ( x ) dx
a
Ví d ụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau : y = x ln x, y = 0, x = 1; x = e
Giả i : Ta có thê tích vật thể là :
e e
2 2
V = p ò ( x ln x) dx = p ò x2 ( ln x) dx
1 1
Ta tính tích phân trên bằng PP từng phần
dx
ì
ìu = ( ln x 2 ïdu = 2 ( ln x x )
) Þï
ï
Đặt í í 3
ïdv = x dx ïv = x
2
î
ï 3
î
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có :
e
ù p e 2p e 2
é x3 3
2
2 e
V = p ê ( ln x ) 1 - ò x2 ln xdxú =
3 ò
- x ln xdx
ë3 31 3
û 1
Tiếp tục PP từng phân ta có :
dx
ì
ïdu1 = x
ìu1 = ln x ï
Đặt : í Þí
2 3
îdv1 = x dx ïv = x
ï 1 3
î
e
p e 2p é x3 ln x e 1 2 ù
3
Vậy : V =
3 ò
- 1 - x dxú
ê
3 3ë 3 û
1
p e3 2p é x3 ln x e x3 e ù p
ê 3 1 - 9 1 ú = 27 ( 5e - 3 )
3
=V = -
3 3ë û
ì y = x2 - 3 x + 2
Ví dụ 2: S : í quay quanh trục Ox
y = 0
î
( Dạng 1 , nhưng khuyết x = a và x = b )
é x = 1
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành : x2 - 3x + 2 = 0 Û ê
ë x = 2
2 2
2
Vậy : V = p ò ( x2 - 3 x + 1) dx = p ò ( x4 + 9 x2 + 1 - 6 x3 + 2 x2 - 6 x) dx
1 1
2
æ x5 3 ö 2
11
= p ò x4 - 6 x3 + 11x2 - 6 x + 1) dx = p ç - x4 + x3 - 3 x2 + 1 1 =
( ÷
è5 2 3 ø
1
Bà i tâ p : Tính V của vật thể tạo thành khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh Ox
p
a) y = xe x , y = 0, x = 1; x = 2 b) y = tan x; y = 0; x = o; x =
3
p
c) y = 1 + sin 4 x + cos 4 x , y = 0; x = d) y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1
, x = p
2
h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 1
- 2) DẠNG 2:
ì y = f ( x )
ï
ï y = g ( x )
( trong đó đó đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) n ằ m về cù n g một ph ía đối
Hình phẳng S : í
x = a
ï
ï x = b ( a p b )
î
với trục quay ox ) quay quanh trục Ox, tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích :
b
2 2
V = p ò f ( x ) - g ( x ) dx
a
Nếu trên khoảng (a ; b) hai đồ thị không cắt nhau, và y = f ( x ) n ằ m n goà i y = g ( x ) so với trục quay Ox,
b
2 2
thì công thức trên trở thành : V = p ò é f ( x ) - g ( x ) ù dx
ë û
a
2
ì y = x - 4 x + 6
ï
( ox )
Ví dụ 1: S í 2
ï y = - x - 2 x + 6
î
( Dạng 2 , khuyết a, b )
é x = 0
Giả i : Hoành độ giao điểm của hai đồ thị x2 - 4 x + 6 = - x2 - 2 x + 6 Û ê
ë x = 1
Trên đoạn [0;1], ta thấy f ( x ) = - x2 - 2 x + 6 f g ( x ) = x2 - 4 x + 6 f 0,
Do đó hai đồ thị đều nằm trên trục hoành, và y = f ( x ) nằm ngoài y = g ( x) so với trục ox.
1
2 2
Vậy ta có : V = p ò é( - x2 - 2 x + 6 ) - ( x2 - 4 x + 6 ) ù dx
ê ú
ë û
0
Dễ dàng tính được : V = 3p
1
ì
ï y = x + 1
2
ï
( ox )
Ví dụ 2: S í 2
ï y = x
ï
î 2
2
é x = -1
1 x
Û x4 + x - 2 = 0 Û ê
2
Giả i : Hoành độ giao điểm của hai đồ thị : =
2
ë x = 1
x + 1 2
x
2
1
f 0
Trên đoạn [ -1;1] : f ( x ) = ³ g ( x =
)
x2 + 1 2
( mu ốn biết h à m số n à o lớn h ơn ta th ử 1 giá tr ị bấ t kì củ a x tr on g kh oả n g (1; 1) , ở đâ y ta th ử x = 0 th ì
f ( 0 ) = 1 f g ( 0 ) = 0 )
æ æ 1 ö2 æ x2 ö 2 ö
1 1 1 4
dx x
Vậy ta có : V = p ò ç ç 2 ÷ - ç ÷ ÷ dx = p ò - p ò dx
2
ç è2ø ÷ -1 ( x + 1)
-1 è è x + 1 ø -1 4
2
ø
1 4 5
x 1
x 1
* Tính : A = ò dx = =
20 -1 10
-1 4
1
dx
* Tính : B = ò x 2
( + 1)
2
-1
æ p pö 1
Đặt x = tan t với t Î ç - ; ÷ suy ra : dx = 2 dx
è 2 2 ø cos x
p p
x = -1 Þ t = - , x = 1 Þ x =
4 4
h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 2
- p p p
4 4
1 4
dt 2
= ò cos tdt = ò (1 + cos 2 ) dt
Vậy B = t
ò 2
(1 + tan 2 t ) cos 2 t - p 2 p
p
- -
4 4 4
p
æp 1ö p æ p 4 ö
p 1
1 æ sin 2t ö 4
Vậy V = p ç + ÷ - = p ç + ÷
= çt + ÷ p= +
2è 2ø 4 2 è 4 2 ø 10 è 4 5 ø
-
4
Bà i tậ p : Tính V khi quay hình sau quanh Ox
1) y = 4 - x2 , y = x2 + 2
2) y = x2 , y = x
ì y = f ( x )
ï
ï y = - f ( x
) quay quanh trục Ox.
3) DẠNG 3: HÌnh phẳng S í
ï x = a
ïx = b
î
b
2
Khi đó công thức thể tích là : V = p ò f ( x) dx
a
Nh ậ n xét : Một số đư ờn g con g ( đư ờn g tr òn , elip , h ypebol , pa r a bol …) có th ể coi n h ư là h ợp củ a h a i đồ
th ị h à m số
é y = b + R2 - ( x - a ) 2
* Đường tròn : ( x - a ) + ( y - b ) = R2 Û ê
2 2
ê 2
2
ê y = b - R - ( x - a )
ë
Trong đó nửa trên đường cong là đồ thị của hàm số (1)
Nửa dưới là đồ thị của hàm số (2)
b 2
é 2
ê y = a a - x
2 2
x y
* Elip : 2 + 2 = 1 Û ê
ê y = - b a 2 - x
a b 2
ê a
ë
2
Ví dụ 1: TÍnh thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x2 + ( y - 1) = 1 quay
quanh trục Ox
Giải : Ta có đường tròn trên là hợp của hai đồ thị hàm số
y = 1 - 1 - x2 , y = 1 + 1 - x2
ì y = 1 - 1 - x
2
ï
Vậy đường tròn là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên S : í
ï y = 1 + 1 - x2
î
Hai đồ thị này nằm về một phía đối với trục Ox ( vẽ hình )
( dạng 2 , khuyết x = a , x = b )
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là : 1 - 1 - x2 = 1 + 1 - x2 Û x = ±1
1 2 2
é ù
( ) - (1 - )
Vậy thể tích là : V = p ò ê 1 + 1 - x2 1 - x2 ú dx
-1 ë û
1
é p pù
= 4p ò 1 - x2 dx , ta tính t ích phân này bằng pp đổi biến x = sin t , t Î ê - ; ú
ë 2 2 û
-1
4) DẠNG 4: H ìn h ph ẳ n g giới h ạ n bởi n h iều đồ th ị h à m số. Ta ph â n ch ia h ìn h ph ẳ n g đố th à n h cá c h ìn h
th a n g con g, ta m giá c con g ( th eo cá c đư ờn g đi qu a gia o điểm , vu ôn g góc với tr ụ c qu a y ) , và tìn h th ể tích
củ a từ n g h ìn h th a n g con g , ta m giá c con g đó qu a y qu a n h tr ụ c
h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 3
- ì y = x
ï
Ví dụ 1: S : í 2 . Tính t hể t ích vật t hể t rò n xo ay k hi qu ay hình p hẳng t rên
ï y = ( x - 2 )
î
a) Quanh trục Ox
b) Quanh trục Oy
Giải :
a) Quanh trục Ox:
2
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị (2) và (3) là : x = ( x - 2 ) Û x2 - 5 x + 4 = 0 Û x = 1, x = 4
2
Trên đoạn [1; 4 , hai đồ thị này nằm trên trục hoành. ( vì x ³ ( x - 2 ) ³ 0 , nên vẽ ra sẽ thấy )( Thuộc dạng 2 )
]
4 4
4
2
Vậy : V = p ò é x2 - ( x - 2 ) ù dx = p ò 4 x - 4] dx = p ( 2 x2 - 4 x) = 18
[ p
ë û 1
1 1
b) Quay quanh trục Oy: ( Viết các hàm số dạng x = f ( y )
ì x = y
ï
Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ( theo trục Oy ): í x = 2 - y
ï
î x = 2 + y
Tung độ giao điểm của các đường trên là:
ì x = y ì x = y
ï ï
Þ y = 2 - y Û y = 1 , í Þ y = 2 + y Û y = 4
í
ï x = 2 - y ï x = 2 + y
î î
ì x = 2 - y
ï
Þ 2 - y = 2 + y Û y = 0
í
ï x = 2 + y
î
ì x = 2 + y ì y = 2 + y
ï ï
Phân chia hình phẳng thành 2 hình ( xem hình vẽ ) : S1 : í , S : í
2
ï x = y
ï x = 2 - y î
î
1 4
2 2 2
Vậy : V = V + V2 = p ò é 2 + y - 2 - y ù dy + p ò é 2 + y ) - y ù dy
( )( ) ( 2
ê ú ê ú
1
ë û ë û
0 1
ì y = x2 - 3 x + 2
ï
Ví dụ 2: Tính thể tích khi quay hinh sau quanh trục Oy: S : í y = 0
ï x = 0
î
Ta chuyển sang hàm số dạng x = f ( y)
y = x2 - 3x + 2 Û x2 - 3 x + 2 - y = 0 ( coi đây là pT bậc hai ẩn x, y là tham số ) ta có :
D = 9 - 4 ( 2 - y ) = 1 + 4 y
3 - 1+ 4 y 3 + 1 + 4 y
x= , x =
2 2
Dựa vào hình vẽ ta có :
2 2 2
0é
æ 3 + 1+ 4y ö æ 3 - 1+ 4y ö ù 2
æ 3 - 1 + 4 y ö
V = V + V2 = p ò êç ÷ údy + p ò
÷ -ç ÷ dy
ç
êç ÷ç ÷ú ç ÷
1
2 2 2
1 è øè øû 0 è ø
-ë
4
x - 1
Ví dụ 3; Tính V khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = và hai trục tọa độ quanh trục Oy
x + 1
2
0
æ 1 + y ö
x -1 1 + y
, V = p ò ç
y= Û yx + y = x - 1 Û x = ÷ dy
x +1 1 - y è 1 - y ø
-1
h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 4
- BÀI TẬP LUYỆ N TẬP
1) y = ln x, y = 0, x = 1, x = 2 ( Ox )
2) y2 = 8 x, x = 2 ( Ox, Oy )
2
3) x2 + ( y - b ) = a 2 ( 0 p a £ b ) ( Ox)
4) y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1
p
5) y = sin 6 x + cos 6 x , y = 0, x = 0, x = ( Ox)
2
6) y2 = 4 x, oy, y = 2 ( Ox, Oy )
7) y = - x2 - 3x - 2, Ox, Oy [Ox, Oy]
ln x
, ox, x = e [Ox
]
8) y =
x
x2 - 3x + 2
, ox, oy [Oy
]
9) y =
x - 3
10) y = x + 2 , ox, oy [ Oy]
h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 5
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
