Về chuyển động của chất điểm dưới tác động của hàm điều khiển đa thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Về chuyển động của chất điểm dưới tác động của hàm điều khiển đa thức tiến hành xem xét chuyển động của một chất điểm trong mặt phẳng với phương trình chuyển động được mô tả bởi hệ dừng động học tuyến tính (hệ điều khiển được) dạng x’(t)=Bx(t)+Du(t).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về chuyển động của chất điểm dưới tác động của hàm điều khiển đa thức

124 Lê Hải Trung VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA HÀM ĐIỀU KHIỂN ĐA THỨC ABOUT THE MOTION OF OBJECT UNDER THE INFLUENCE OF POLYNOMIAL CONTROLLIBILITY FUNCTION Lê Hải Trung Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng; trungybvnvr@yahoo.com Tóm tắt - Vấn đề xây dựng hàm trạng thái và hàm điều khiển dưới Abstract - The problem of constructing state function and dạng đa thức của bài toán điều khiển trong những năm gần đây đã controllibility function in the type of polynomials of the control nhận được nhiều sự quan tâm của các tác giả như: Ailon A, problem in recent years has received much attention from authors Зубова С.П, Раецкая Е. В… Ý nghĩa cơ bản của bài báo là đem such as Ailon A, Зубова С.П, Раецкая Е. В ... The basic meaning lại sự thuận tiện cho việc khảo sát và đánh giá quỹ đạo chuyển is to facilitate the survey and evaluation of the trajectory of motion. động. Nội dung bài báo tiến hành xem xét chuyển động của một The aim of this article is to consider the motion of object in plane chất điểm trong mặt phẳng { ,} với phương trình chuyển động { ,} with the equation of motion described by the linear dynamic được mô tả bởi hệ dừng động học tuyến tính (hệ điều khiển được) system x '(t) = Bx (t) + Du(t). With the assumption that the dạng x’(t)=Bx(t)+Du(t). Với giả thiết là hàm điều khiển u(t) có thể controllibility function u(t) can be found in polynomial when we give tìm được dưới dạng đa thức khi ta đưa vào điều kiện đầu, tác giả input condition, the author has devised a method to prove that the đã xây dựng phương pháp để chứng minh được bậc của hàm điều degree of controllability function is  5. By adding conditions (19), khiển là không quá 5. Khi bổ sung thêm các điều kiện (19) thì ta có we can prove that u(t) is polynomial of degrees  2n  5. thể chứng minh u(t) là đa thức với bậc không vượt quá 2n+5. Từ khóa - hàm trạng thái; hàm điều khiển; tiêu chuẩn Kalman; đa Key words - state function; controllibility function; Kalman’s thức; hệ động lực học. criterion ; polynomial; dynamic system. 1. Đặt vấn đề lại nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu và khảo sát các Đối với tính điều khiển được của hệ động lực học tính chất của u(t ) , x(t ) trong thực hành. x(t )  Bx(t )  Du(t ), (1) A. Ailon (xem [5]) đối với hệ (1) với điều kiện (2) đã chứng minh rằng, tồn tại hàm u(t ) dưới dạng đa thức với ở đây x(t )  R n , u (t )  R m ; B, D là các ma trận với kích bậc nhỏ hơn 2 n . Còn trong [4] chứng minh được rằng thước n  n và n  m tương ứng, t [0, T ], đã được R.E “hàm điều khiển có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức Kalman1 khẳng định qua định lý sau đây. bậc M  2r 1, ở đây r  n  rankD ”. Định lý 1 (Tiêu chuẩn Kalman, xem [1]). Hệ (1) là điều khiển được khi và chỉ khi: Bài báo đặt vấn đề xây dựng đa thức điều khiển u(t ) của chất điểm trong mặt phẳng { ,} có phương trình rank( D | BD | ... | Bn1D)  n. (2) chuyển động được mô tả dưới dạng (1). Tính điều khiển Trong (2) thì ma trận ( D | BD | ... | Bn1D) được gọi là được của hệ được kiểm chứng bằng tiêu chẩn Kalman, sau ma trận điều khiển, được ghép lại từ các thành phần là ma đó chứng tỏ rằng các hàm trạng thái và điều khiển trận D, sau đó đến ma trận BD... và thành phần cuối cùng x(t ), u(t ) là tìm được dưới dạng đa thức. là ma trận Bn1D. Khi hệ (1) được bổ sung điều kiện: x(0)  x0 , x(T )  xT , (3) thì hàm u(t ) xây dựng được dưới dạng (xem [1]): T u (t )  D*etB (  e sB DD*e sB ds)1 (eTB xT  x 0 ), * * 0 trong đó B , D là các ma trận liên hợp tương ứng với B, D. * * Trong các công trình của mình Зубова С.П, Раецкая Е. В cũng đã xây dựng được hàm u(t ) dưới dạng tích của một Hình 1. Chuyển động của chất điểm m trong mặt phẳng { ,}. hàm mũ và một hàm đa thức (xem [4, 6]), con đường xây dựng nhìn chung còn gian nan và phải thực hiện nhiều phép Xét chuyển động của chất điểm (Hình 1, xem [1]) với toán rất phức tạp. Sự xuất hiện ma trận mũ trong u(t ) đem khối lượng m trong mặt phẳng { ,} bởi các đường cong 11 Tiêu chuẩn về tính điều khiển được của hệ x(t )  Bx(t )  Du(t ) được R. E. Kalman công bố trong các công trình của ông vào năm 1961 và được xem xét đầy đủ trong [1].
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển 1 125 theo tham số    ( ),    ( ), ở đây  - là tọa độ cong  x1  x2  của chất điểm với giá trị tuyệt đối bằng độ dài cung Om.   cos 8 Giả sử ban đầu chất điểm chuyển động theo đường cong  x2   gx1  m x2  m u (t ), chỉ dưới sự tác động của trọng lực mg và lực điều khiển u , hay dưới dạng ma trận: hợp với tiếp tuyến một góc  . Câu hỏi đặt ra là động năng  0 1   0  của chất điểm phải có tính chất thế nào để phương trình  x1     x1         cos  u (t ). 9 chuyển động của chất điểm là tuyến tính theo  ? Để trả  x2    g    x2     m  m  lời câu hỏi trên, ta tiến hành xây dựng phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng phương trình Lagrange (xem 2. Kết quả nghiên cứu và khảo sát [10, tr.331): Trước tiên ta thấy rằng hệ (9) là điều khiển được. Thật d  T  T  vậy, theo tiêu chuẩn Kalman ta có được:     Q(t , u (t )), (4) dt       cos   0   m  ở đây T ( ) và ( ) lần lượt là động năng và thế năng của D   cos  , BD   ;      cos  chất điểm m, Q  lực tổng quát, được sinh ra bởi hàm điều  m     m2  khiển u(t ). Lực trên được tính qua công thức tính công của  cos  chính nó bằng:  A  Q  u cos  , do đó Q  u cos .  0 m  rank( D | BD)  rank    2. Đặt các biểu thức T  1 m 2 ,   mg vào (4) ta được:  cos  cos  2     m m2  d m 2  mg  u (t )cos . (5) Không giảm tổng quát ta lựa chọn trong (8) để cho d  cos Để (5) là tuyến tính theo  thì d   , bởi thế ta giả sử: g     1, m m d khi đó (8) được viết thành: 1    2 ,   const. (6)  x1 (t )  x2 (t ) 2  10  Ta đi xác định hàm    ( ). Hiển nhiên hàm này xác  x2 (t )   x1 (t )  x2 (t )  u (t ), định được từ điều kiện: và bổ sung thêm các điều kiện sau:  x1 (0)  x1,0 0 , x1 (T )  x1,TT , x2 (0)  x2,0 0 , x2 (T )  x2,T T , (11)    (d )2  (d ) 2 d , 0 u (0)  u 0 , u (T )  uT . (12) đạo hàm hai vế của phương trình trên theo  ta được: Định lý 2. Tồn tại hàm điều khiển u(t ) của bài toán 2 2 (10)-(11)-(12) dưới dạng đa thức với bậc không lớn hơn 5.  d   d     1   , Chứng minh. Đặt:  d    d  hay x1 (t )  a0  a1t  a2t 2  a3t 3  a4t 4  a5t 5 ,  1 x2 (t )  b0  b1t  b2t 2  b3t 3  b4t 4  b5t 5 ,    1   2 2 d  ( 1   2 2  arcsin  ). (7) 0 2 ta cần chúng tỏ sự tồn tại duy nhất của các hệ số a0 , a1 ,..., b5 . Như thế phương trình biểu diễn đường cong cần xác Hiển nhiên ta có ngay a0  x1 (0) và b0  x2 (0). định viết được dưới dạng tham số (6) và (7). Do đó, phương trình chuyển động của chất điểm m theo đường cong (3) Phương trình thứ hai của hệ (10) ta viết được dưới dạng: và (4) có dạng: x2 (t )  x1 (t )  x2 (t )  u (t ). (13) m  mg  u (t )cos. Ta có x2 (0)  b1. Theo (13) suy ra b1  u (0)  x1 (0)  x2 (0). Nếu ta giả thiết thêm trong quá trình chuyển động của Lại từ phương trình thứ nhất của hệ (10) ta có được: chất điểm còn xuất hiện thêm lực ma sát với hướng ngược 1 1 lại với hướng của vận tốc thì ta nhận được phương trình: a1  b0  x2 (0), a2  b1  (u (0)  x1 (0)  x2 (0)), 2 2 m  mg    u (t )cos. 3a3  b2 , 4a4  b3 , 5a5  b4 , b5  0. (14) Đổi biến   x1 ,   x2 ta chuyển phương trình cuối về Sử dụng x1 (T )  x1,TT , ta có được: hệ chính tắc dạng: a3T 3  a4T 4  a5T 5  x1,TT  a0  a1T  a2T 2 : 1. (15) Sử dụng x2 (T )  x2,T T , ta có được:
126 Lê Hải Trung b2T  b3T  b4T  x 2 3 4 T  b0  b1T : 2 . (16) Từ x2( n ) (0)  x20n  bn  1 0 2,T x2 n . Sử dụng tiếp (20) ta Lại sử dụng (13), ta có được: n! suy ra sự tồn tại của an 1  1 1 x2 (T )  u (t )  x1 (T )  x2 (T ), bn  x20n . n 1 (n  1)! hay: Từ phương trình thứ hai của hệ (10) ta suy ra: 2b2T  3b3T 2  4b4T 3  u (T )  x1 (T )  x2 (T )  b1 :  3 . (17) x2( n 1) (0)   x1( n ) (0)  x2( n ) (0)  u ( n ) (0), Thay (14) vào (15), ta thu được: điều này chứng tỏ: 1 1 1 b2T 3  b3T 4  b4T 5  x1,TT  a0  a1T  a2T 2 : 1. (18) 1 3 4 5 bn 1  x2( n 1) (0). Kết hợp (16)-(17)-(18) ta nhận được hệ phương trình: (n  1)! 1 1 1 Lại sử dụng (20) ta suy ra sự tồn tại của:  3 b2T  4 b3T  5 b4T  1 3 4 5 1 1  an  2  bn 1  x2( n 1) (0).  b2T  b3T  b4T   2 n2 (n  2)! 2 3 4  2b T  3b T 2  4b T 3   .  2 3 4 3 Đến đây trong biểu thức của x1 (t ) đã xác định được  n  3 hệ số. Các hệ số còn lại cần xác định lần lượt là Hiển nhiên hệ trên có nghiệm duy nhất b2 , b3 , b4 . Từ an 3 , an  4 ,..., a3n 5 . đây ta suy ra các giá trị a3 , a4 , a5 . Suy ra sự tồn tại của Do phương trình thứ hai của hệ (10) cùng với các điều hàm điều khiển x1 (t ), x2 (t ) dưới dạng đa thức bậc năm. Từ kiện trong (19) ta nhận được một điều kiện: phương trình hai của (10) suy ra bậc u(t ) là một đa thức x2( n 1) (0)   x1( n ) (0)  x2( n ) (0)  u (u ) (0), (22) bậc không quá 5. Định lý được chứng minh! Tiếp theo ta sẽ bổ sung cho bài toán (10) - (11) - (12) và điều kiện sau đây: x2( n 1) (T )   x1( n ) (T )  x2( n ) (T )  u (u ) (T ). (23) u (0)  u , u (T )  u , ( j) 0 ( j) T  ( j ) j j Lại từ phương trình thứ nhất của (10) và kết hợp với  x1 (0)  x1 j , x1 (T )  x1 j , (22) và (23) ta nhận được: 0 ( j) T (19)  ( j)  x2 (0)  x2 j , x2 (T )  x2 j , j  0,1,..., n. 0 ( j) T x1( n  2) (0)  x2( n 1) (0), x1( n  2) (T )  x2( n 1) (T ) :  n  2 . (22) Ta có định lý sau: Sử dụng các điều kiện đã cho và điều kiện mới xây dựng được của x1( j ) (T ), j  0,1,..., n  2 với chú ý n  3 hệ số Định lý 3. Tồn tại hàm điều khiển u(t ) của bài toán (10)-(11)-(19) dưới dạng đa thức bậc không quá 2n  5. đầu tiên trong x1 (t ) đã được xác định, ta có được: 2 n 5 n2 2 n 5 Chứng minh. Đặt: 2 n 5 2 n 5 x1 (T )   a T  a T   a T i 0 i i i 0 i i n 3 i i x1 (t )   a t ; x (t )   b t . i 0 i i 2 i 0 i i hay: 2 n 5 n2 Hiển nhiên ta cũng có ngay a0  x1 (0), b0  x2 (0), và  aT n 3 i i  x1 (T )   aiT i : 1. i 0 từ phương trình thứ nhất của (10), ta có được: 2 n 5 n2 2 n 5 1 1 a1  b0  x2 (0), a2  b1  (u(0)  x1 (0)  x2 (0)), x1 '(T )   ia T i 1 i i 1   iaiT i 1   aiT i 1 , i 1 n 3 2 2 1 2 n 5 n 2 ai  bi 1 , i  3, 4,..., 2n  5, b2 n5  0. i (20) suy ra:  ia T n 3 i i 1  x1 '(T )   iaiT i 1 : 2 . i 1 Từ điều kiện: x1( j ) (0)  x10j Ta viết các phương trình nhận được dưới dạng hệ sau: 1 0 an 3T n 3  an  4T n  4  ...  a2 n 5T 2 n 5  1 , suy ra: aj  x1 j , j  0,1,..., n,  j! n2 n 3 (n  3)an 3T  (n  4)an  4T  ....  (2n  5)a2 n 5T 2n4  2 ,  Như thế trong biểu thức của x1 (t ) ta đã xác định được .... (n  3)(n  2)...2a T  (n  4)(n  3)...3a T 2  ... n  1 hệ số. Sử dụng x1 (T )  x1T ta có được:  n 3 n4     4)a2 n 5T n 3   n 3 . 3n 5 3n 5 n  (2 n 5)....( n x1 (T )  x1T   aT i 0 i i   aT i  n 1 i i  x1T   aiT i . (21) j 0 Đặt yl  T l  2 , cl  al  2 , l  1, 2,..., n  3, khi đó ta viết lại hệ nhận được dưới dạng:
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển 1 127  y1c1  y2 c2  ...  yn 3cn 3  1 , với bậc không quá 2n  5. Trong việc chứng minh các định  lý ta sử dụng tiêu chẩn Kalman để kiểm tra tính điều khiển  y1 ' c1  y2 ' c2  ...  yn 3 ' cn 3  1 ,  (24) được của hệ. Hàm trạng thái x(t ) cũng tìm được dưới dạng .... đa thức.  y ( n  2) c  y ( n  2) c  ...  y ( n  2) c   .  1 1 2 2 n 3 n 3 n 3 Định thức của hệ cuối (24) chính là định thức Wronxki TÀI LIỆU THAM KHẢO cấp (n+3): [1] Красовский Н. Н, Теория управления движением, Издательство «Наука», Москва 1968, 475 с. y1 y2 ... yn  3 [2] Уонэм М, Линейные многомерные системы управлегия, y' y2 ' ... yn  3 ' Издательство «Наука», Москва 1980, 375 с. Wn 3  1  0, [3] Раецкая Е. В, Критерий полной условной управляемости ... сингулярно возмущенной системы, Оценки функции состояния ( n  2) и управлющей функции, Кибернетика и технологии XXI века: y1 y2( n  2) ... yn( n32) Воронеж, 2004, с 28 – 34. do đó hệ trên có nghiệm duy nhất: [4] Раецкая Е. В, Условная управляемость и наблюдаемость линейных систем, Дисс...канд, физ. – мат, наук, Воронеж, 2004.  [5] Ailon A., Langholz G, More on the cintrollability of linear time- cl  l , l  1, 2,..., n  3, invariant systems, Int. J. Contr, 1986, 44. № 4, P. 1161 – 1176. Wn 3 [6] Зубова С. П, Ле Хай Чунг, Об полиномиальных управлениях trong đó mỗi một l , l  1, 2,..., n  3 nhận được trực tiếp từ линейной стационарной системы с контрольной точкой, Современные проблеммы механики и прикладной математики, Wn3 bằng cách thay cột thứ l bằng vế phải của (24). Từ Сборник трудов международной школы – семинара, Воронеж sự duy nhất của cl , l  1, 2,..., n  3 suy ra sự tồn tại duy nhất 2007, с. 133-136. [7] Каган В. Ф, Теория определителей, Одесса, Гос, Из – во của an 3 , an  4 ,..., a3n 5 . Украины, 1922, 521 с. [8] S. P. Zubova, Le Hai Trung, Construction of polynomial controls for Định lý được chứng minh! linear stationary system with control points and additional constrains, Automation and Remote Control, No: Volume 71, 3. Kết luận Number 5, 2010, Pages: 971-975. Bài báo chứng minh được hàm điều khiển u(t ) của chất [9] Lê Hải Trung, “Về hàm trạng thái đa thức cho hệ dừng động học tuyến tính”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, Số: điểm trong mặt phẳng { ,} có phương trình chuyển động 11(60), 2012, Trang: 53 - 57. được mô tả bởi hệ (10) có thể tìm được dưới dạng đa thức [10] Суслов Г. К, Теорическая механика, Гостехиздат, 1946. (BBT nhận bài: 11/05/2017, hoàn tất thủ tục phản biện: 26/05/2017)