Xác định vận tốc lún của đáy cọc đóng trong nền đồng nhất

X¸c ®Þnh vËn tèc lón cña ®¸y cäc ®ãng trong nÒn ®ång nhÊt<br /> pgS.TS NguyÔn ®¨ng té; KS. Vò L©m §«ng; sv. Hå Sü S¬n.<br /> Bé m«n c¬ häc lý thuyÕt tr­êng §htl.<br /> <br /> <br /> <br /> 1. §Æt vÊn ®Ò.<br /> Nghiªn cøu tr¹ng th¸i øng suÊt cña cäc ®ãng trong nÒn ®ång nhÊt hay kh«ng ®ång nhÊt,<br /> ®¸y cäc gÆp løc chèng kh«ng ®æi theo ph­¬ng ph¸p lan truyÒn sãng nghiÖm §a-L¨m-Be ta cÇn<br /> ph¶i biÕt vËn tèc lón ®¸y cäc. Néi dung bµi b¸o nµy c¸c t¸c gi¶ sÏ x¸c ®Þnh vËn tèc lón cña ®¸y<br /> cäc ®ãng trong nÒn ®ång nhÊt, ®¸y cäc gÆp lùc c¶n kh«ng ®æi.<br /> 2. Bµi to¸n va ch¹m däc cña bóa vµo cäc trong nÒn ®ång nhÊt ®¸y cäc gÆp lùc c¶n<br /> kh«ng ®æi.<br /> 2.1. ThiÕt lËp bµi to¸n.<br /> a. S¬ ®å bµi to¸n.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> H×nh 1 – S¬ ®å bµi to¸n.<br /> <br /> b. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña cäc.<br /> 2U  2U <br /> (1)<br />  a 2  2  K<br /> t 2  t <br /> Trong ®ã: U lµ dÞch chuyÓn cña cäc.<br /> rq ; K  0 khi (at – x) > 0<br /> K<br /> EF<br /> q: lµ lùc ma s¸t cña ®Êt trªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch mÆt bªn.<br /> r: lµ chu vi diÖn tÝch ngang.<br /> E,F: lµ m« duyn ®µn håi vµ diÖn tÝch tiÕt diÖn ngang cña cäc.<br /> E : lµ vËn tèc truyÒn sãng trong cäc. : lµ khèi l­îng riªng cña cäc.<br /> a<br /> <br /> c. NghiÖm tæng qu¸t.<br /> NghiÖm tæng qu¸t cña (1) ë miÒn 1 cã d¹ng :<br /> 1<br /> U(x, t )  at  x   Kx 2  Katx (2a)<br /> 2<br /> NghiÖm tæng qu¸t cña (1) ë miÒn 2 cã d¹ng :<br /> <br /> <br /> 1<br />  1 2<br /> U (x, t )  at  x   KL  x  (2b)<br /> 2<br /> NghiÖm tæng qu¸t cña (1) ë c¸c miÒn kh¸c cã d¹ng :<br /> 1 2<br /> U (x, t )  at  x   (at  x)  KL  x  (2c)<br /> 2<br /> d. C¸c ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n.<br /> U<br />  §iÒu kiÖn ®Çu: Víi t = 0 th× U = 0; 0 (3)<br /> t<br />  §iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n:<br /> U P( t )<br /> T¹i ®Çu cäc x = 0 ta cã:  (4)<br /> x EF<br /> T¹i ®¸y cäc x = L ta cã:<br /> U U<br /> + Cäc ch­a lón: EF   R vµ 0 (5a)<br /> x t<br /> U U<br /> + Khi cäc lón th×: EF   R vµ 0 (5b)<br /> x t<br /> U U<br /> + Cäc dõng lón: EF   R vµ 0 (5c)<br /> x t<br /> ë ®©y coi lùc c¶n R lµ h»ng sè.<br /> 2.2. X¸c ®Þnh lùc nÐn P(t) cña ®Öm lªn ®Çu cäc vµ c¸c hµm sãng trong cäc.<br /> Trong qu¸ tr×nh x¸c ®Þnh lùc nÐn cña ®Öm ®µn håi P(t) lªn ®Çu cäc ta chØ xÐt tr­êng hîp 2<br /> > 0, cßn tr­êng hîp 2 < 0 ta còng lý luËn t­¬ng tù.<br /> a. X¸c ®Þnh lùc nÐn P(t) cña ®Öm lªn ®Çu cäc vµ c¸c hµm sãng trong cäc trong kho¶ng<br /> thêi gian: 0  t  L/a.<br /> Theo [3] ph­¬ng tr×nh vi ph©n x¸c ®Þnh lùc nÐn P(t) cã d¹ng:<br />  <br /> P 0 (t )  2 n P0 (t )  (2  n 2 )P0 (t )  KCa 2 (6)<br /> Gäi P0(t) lµ lùc nÐn cña ®Öm ®µn håi lªn ®Çu cäc trong kho¶ng thêi gian<br /> 0 < t < L/a khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña (6) cã d¹ng:<br /> KCa 2<br /> P0 (t) = e nt C 1 cos t  C 2 sin t   (7)<br /> 2  n 2<br /> <br /> C¸c h»ng sè C1, C2 ®­îc x¸c ®Þnh dùa vµo ®iÒu kiÖn ®Çu cña lùc P(t) vµ P (t), t = 0 th×: P(0)<br /> <br /> = 0; P(t )  CV<br /> ë ®©y V lµ vËn tèc r¬i cña bóa ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: V  2gh<br /> Theo (2a) vµ (4)ta cã sãng thuËn ë miÒn 1 cã d¹ng:<br /> 1  x<br /> ' (at  x)  K(at  x)  P0  t   (8)<br /> EF  a <br /> Ta gi¶ thiÕt t¹i ®­êng biªn t = L/a gi÷a miÒn 1 vµ miÒn 2 th× dÞch chuyÓn t¹i ®©y lµ liªn tôc.<br /> U(L/a-0, x) = U(L/a+0, x)  '1 (at  x)  ' 2 (at  x)<br /> VËy sãng thuËn ë miÒn 1, 2, 4a, 4 cã d¹ng:<br /> <br /> <br /> 2<br />  1  x (9)<br /> ' (at  x)  K(at  x)  P0  t  <br /> EF  a<br /> XÐt tr­êng hîp cäc ch­a lón, gäi tL lµ thêi ®iÓm cäc b¾t ®Çu lón tL ®­îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu<br /> kiÖn lón, t¹i ®¸y cäc lóc ®ã sãng '(at-x) ch­a truyÒn tíi ®¸y cäc th× øng suÊt t¹i ®¸y cäc b»ng<br /> kh«ng.<br /> U<br /> Khi t > L/a th× øng suÊt t¹i ®¸y cäc t¨ng dÇn nh­ng EF  R nªn ®¸y cäc vÉn ch­a<br /> x<br /> lón.<br /> U<br /> T¹i thêi ®iÓm t = tL th× EF  R vµ ®¸y cäc b¾t ®Çu lón.<br /> x<br /> Khi L/a < t < tL th× cäc ch­a lón do ®ã sãng ph¶n  '(at+x) ë miÒn 4a, 5a, 6a ®­îc x¸c ®Þnh<br /> theo ®iÒu kiÖn biªn (5a).<br /> Ta cã sãng ph¶n cña cäc ë miÒn 4a, 5a, 6a cã d¹ng :<br /> 1   x  2L  <br /> ' (at  x)   P0  t    Kat  x  2L  (10)<br /> EF   a <br /> Trong kho¶ng thêi gian tL < t  2L/a cäc lón<br /> Tõ (2-5b) ta cã sãng ph¶n  '(at+x) ë c¸c miÒn 4,5,6b,6 cã d¹ng :<br /> 1   x  2L  <br /> ' (at  x)    P0  t    R   K at  x  2L  (11)<br /> EF   a  <br /> b. X¸c ®Þnh lùc nÐn P(t) cña ®Öm lªn ®Çu cäc vµ c¸c hµm sãng trong cäc trong kho¶ng<br /> thêi gian: L/a  t  2L/a<br /> Ph­¬ng tr×nh vi ph©n x¸c ®Þnh lùc nÐn P(t) cña ®Öm lªn ®Çu cäc :<br />  <br /> P1 (t )  2 n P1 (t )  (2  n 2 )P1 (t )  0 (12)<br /> NghiÖm tæng qu¸t cña (12) cã d¹ng:<br /> P1 ( t )  e  nt (C 3 cos t  C 4 sin t ) (13)<br /> Dùa vµo tÝnh liªn tôc cña P(t) t¹i t = L/a ta x¸c ®Þnh ®­îc C3, C4.<br /> Tõ (4) ta cã sãng thuËn ë c¸c miÒn 3, 5, 5a, 7 cã d¹ng:<br /> 1 x<br /> ' (at  x)  P1 (t  )  KL (14)<br /> EF a<br /> Tõ (2 - 5b) ta cã sãng ph¶n ë c¸c miÒn7, 8a, 8, 9 cã d¹ng:<br /> 1   x  2L  <br />  ' (at  x)   P1  t    R   KL (15)<br /> EF   a  <br /> .................................................................................................................................<br /> c. X¸c ®Þnh lùc nÐn P(t) cña ®Öm lªn ®Çu cäc vµ c¸c hµm sãng trong cäc trong kho¶ng<br /> thêi gian: 5L/a  t  6L/a.<br /> Ph­¬ng tr×nh vi ph©n x¸c ®Þnh P(t)cña ®Öm ®µn håi vµo ®Çu cäc.<br />  4L <br />    n t  <br /> a  4L<br />  2 2<br /> <br /> P 7 (t )  2 n P 7 (t )    n P7 (t )  e <br /> A 7 cos ( t <br /> a<br /> )<br />  (16)<br /> 4L  4L  4L 4L  <br />  B 7 sin (t  )  t   A 8 cos (t  )  B 8 sin (t  ) <br /> a  a  a a  <br /> NghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh (16) cã d¹ng:<br /> 3<br />   4L <br /> n t   <br />  a  t   4L   4L <br /> P7 (t)  e C 15 cos t  C16 sin t  A 7 sin t    B 7 cos t  <br />  2   a   a <br /> <br />  A  4L  B  4L <br /> 2<br /> 4L (17)<br />  82  t    8  t    cos (t  )<br />  4  a  4  a   a<br /> 2<br />  B  4L  A  4L   4L  2KCa2<br />  82  t    8  t   sin (t  )  2<br />  4  a  4  a   a    n2<br /> <br /> C¸c h»ng sè C5, C6 ®­îc x¸c ®Þnh dùa vµo tÝnh liªn tôc cña hµm P(t) t¹i t = 5L/a.<br /> Tõ (4)sãng thuËn ë c¸c miÒn 15, 17, 17a, 18 cã d¹ng:<br /> 1   x  x  2L   x  4L  <br /> , (at  x)   P7  t    P4  t    P1  t    2R   3KL (18)<br /> EF   a   a   a  <br /> Tõ (5b) ta cã sãng ph¶n ë c¸c miÒn 18, 20, 20a, 21 cã d¹ng:<br /> 1   x  2L   x  4L   x  2L  <br /> , (at  x)   P7  t    P1  t    P4  t    3R  K(2x  L) (19)<br /> EF   a   a   a  <br /> Lý luËn t­¬ng tù nh­ trªn ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®­îc lùc nÐn P(t) cña ®Öm vµo ®Çu cäc trong<br /> c¸c kho¶ng thêi gian tiÕp theo cho ®Õn khi va ch¹m kÕt thóc ®ång thêi x¸c ®Þnh c¸c sãng thuËn<br /> vµ sãng ph¶n truyÒn trong cäc.<br /> 2.3. X¸c ®Þnh tr¹ng th¸i øng suÊt trong cäc.<br /> U<br /> øng suÊt trong cäc ®­îc x¸c ®Þnh theo ®Þnh luËt Hooke:   E (20)<br /> x<br /> Tõ (20) vµ (8) ta cã øng suÊt cña cäc t¹i miÒn 1 lµ:<br /> u 1 x<br /> E  E '1 (at  x)  K(at  x)   P0 (t  )<br /> x F a<br /> Tõ (20) vµ (9) øng suÊt cña cäc t¹i miÒn 2 lµ:<br /> u 1 x<br /> E  E '1 (at  x)  K(L  x)   P0 (t  )  EK(at  L )<br /> x F a<br /> Tõ (20), (9) vµ (10) ta cã øng suÊt cña cäc t¹i miÒn 4a lµ:<br /> u<br /> E  E '1 (at  x)  ' (at  x)  K(L  x)<br /> x<br /> 1 x x  2L <br />   P0 (t  )  P0 ( t  )  EK(2at  x  3L )<br /> F a a <br /> ...................................................................................................................................<br /> T­¬ng tù ta cã øng suÊt cña cäc t¹i miÒn 17 lµ:<br /> u 1 x x  4L<br /> E  E ' 1 (at  x )  ' (at  x)  K( L  x)   P7 (t  )  P1 ( t  )<br /> x F a a<br /> x  2L x  4L x  2L x  6L <br /> P4 ( t  )  P3 ( t  )  P6 (t  )  P0 ( t  )  R   EK(at  6 L )<br /> a a a a <br /> 2.4. X¸c ®Þnh vËn tèc lón t¹i ®¸y cäc trong mét nh¸t bóa.<br /> U<br /> VËn tèc lón t¹i ®¸y cäc ®­îc x¸c ®Þnh theo hÖ thøc: V(t )  (21)<br /> t xL<br /> <br /> Tõ (21), (9) vµ (11) ta cã vËn tèc t¹i miÒn 4:<br /> <br /> <br /> 4<br />   2  L R <br /> V4 (t )  a  P0  t     2 K(at  L )<br />  EF  a  EF <br /> Tõ (2 -21), (2 - 9) vµ (2 - 11) ta cã vËn tèc t¹i miÒn 7:<br />  2  L R <br /> V7 (t )  a  P1  t     2 KL <br />  EF  a  EF <br /> T­¬ng tù ta cã vËn tèc t¹i c¸c miÒn kh¸c:<br />  1   3L   L  <br /> MiÒn 10a: V10 a (t )  a   2 P0  t    2 P2  t    2K(at  4 L )<br />  EF   a   a  <br />  1   3L   L  <br /> MiÒn 10: V10 (t )  a  2 P0  t    2 P3  t    3R   2 K(at  2 L )<br />  EF   a   a  <br />  1   3L   L  <br /> MiÒn 12: V12 (t )  a  2 P1  t    2 P4  t    3R   4 KL <br />  EF   a   a  <br /> 1   5L   3L   L  <br /> MiÒn 16a: V16a (t)  a  2P0  t    2P2  t    2P3  t    3R  2K(at  7L)<br /> EF   a   a  a  <br />  1   5L   3L   L  <br /> MiÒn 16 : V16 (t)  a 2P0  t    2P3  t    2P6  t    5R  2K(at  3L)<br />  EF   a   a   a  <br /> 1   5L   3L   L  <br /> MiÒn 18 : V16a (t)  a 2P1  t K    2P4  t K    2P7  t K    5R  6KL<br />  EF   a   a   a  <br /> T­¬ng tù ta cã thÓ tÝnh vËn tèc ®¸y cäc t¹i c¸c miÒn cßn l¹i cho ®Õn khi kÕt thóc lón.<br /> 2.5. TÝnh thêi gian lón cña cäc trong mét lÇn va ch¹m.<br /> a. X¸c ®Þnh thêi ®iÓm ®¸y cäc b¾t ®Çu lón.<br /> Gi¶ sö cäc b¾t ®Çu lón trong kho¶ng (L/a, 2L/a).<br /> U 4a R 2  L R<br /> T¹i: t = tL th×:   2 K(at L  L )  P0  t L    <br /> t xL EF EF  a EF<br /> Tõ hÖ thøc nµy ta x¸c ®Þnh d­îc tL<br /> b. X¸c ®Þnh thêi ®iÓm ®¸y cäc kÕt thóc lón.<br /> Gi¶ sö cäc kÕt thóc lón trong kho¶ng (6L/a, 7L/a).<br /> T¹i : t = tkL th×:<br /> 1   5L   3L   L  <br /> V18 (t)  0  a  2P1  t KL    2P4  t KL    2P7  t KL    5R  6KL  0<br />  EF   a   a   a  <br /> Tõ hÖ thøc nµy ta x¸c ®Þnh ®­îc tkL<br /> c. TÝnh to¸n víi sè liÖu cô thÓ.<br /> §Öm ®Çu cäc: C = 571462,5 N/cm<br /> Bóa: Khèi l­îng ®Çu bóa: M = 1800 Kg; ChiÒu cao r¬i cña bóa : H = 200 cm<br /> Cäc: M« ®un ®µn håi cña cäc: E = 3,11.106N/cm2.<br /> KÝch th­íc cña cäc: 35x35x1200cm.<br /> Khèi l­îng riªng cña cäc:  = 0.0024 N/cm3.<br /> §Êt nÒn: Lùc c¶n mÆt bªn: q = 0,25 N/cm2;<br /> Lùc chèng t¹i ®¸y cäc: R = 40000 N.<br /> 5<br />  KÕt qu¶ tÝnh to¸n:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> H×nh 1- §å thÞ øng suÊt t¹i ®Çu cäc H×nh 2- §å thÞ vËn tèc t¹i ®¸y cäc<br /> <br /> <br /> øng suÊt t¹i ®Çu cäc ®­îc biÓu thÞ ë H×nh 1 víi:<br /> Thêi gian kÕt thóc va ch¹m: tvc = 0,01667 s<br /> max = 1399 N/cm2 t¹i t = 0,00831 s<br /> VËn tèc lón t¹i ®¸y cäc ®­îc biÓu thÞ ë H×nh 2 víi:<br /> Thêi gian b¾t ®Çu lón: tL = 0,004249 s<br /> Thêi gian kÕt thóc lón: tKL = 0,02426867 s<br /> Vmax = 253,4268 cm/s t¹i t = 0,0147 s<br /> <br /> 3. KÕt luËn.<br /> Trªn c¬ së lý thuyÕt sãng mét chiÒu nghiÖm §alambe c¸c t¸c gi¶ xÐt bµi to¸n va ch¹m cña<br /> bóa vµo cäc qua ®Öm gi¶m chÊn tuyÕn tÝnh. Cäc ®ãng trong nÒn ®ång nhÊt ®¸y cäc gÆp lùc c¶n<br /> kh«ng ®æi. C¸c t¸c gi¶ ®· tÝnh ®­îc vËn tèc lón t¹i ®¸y cäc d­íi d¹ng biÓu thøc gi¶i tÝch.Tõ ®ã<br /> t¸c gi¶ sö dông m¸y tÝnh víi ng«n ng÷ Pascal ®· tÝnh ®­îc thêi ®iÓm b¾t ®Çu lón, vËn tèc lón t¹i<br /> ®¸y cäc vµ thêi ®iÓm kÕt thóc lón.<br /> (C«ng tr×nh nµy ®­îc sù tµi trî cña Trung t©m KHTNQG vµ Bé KHCN)<br /> <br /> <br /> TµI LIÖU THAM KH¶O<br /> <br /> <br /> [1]. NguyÔn Thóc An n¨m 1975. Lý thuyÕt va ch¹m däc cña thanh vµ øng dông vµo thi c«ng<br /> mãng cäc. Tr­êng §HTL.<br /> [2]. NguyÔn Thóc An n¨m 1999. ¸p dông lý thuyÕt sãng vµo bµi to¸n cäc. Tr­êng §HTL.<br /> [3]. NguyÔn §¨ng C­êng n¨m 2000. Nghiªn cøu tr¹ng th¸i øng suÊt cña cäc vµ chän ®Çu bóa<br /> theo lý thuyÕt va ch¹m. LuËn ¸n TSKT, Hµ Néi.<br /> <br /> Summary<br /> To difine sinking-speed of the bottom of the pile which was driven into identical<br /> foundation.<br /> Based the one-way wave theory and Dalambe’s solution, authors studied shock between a<br /> hammer and the pile with linear damper-mattress, the pile was driven into identical foundation<br /> and the bottom of the pile met constant prop-force. Author calculated sinking-speed expression<br /> of the bottom of the pile in one shock and combined a Pascal computer programme to draw a<br /> graph’s sinking speed and ontime begin, finish sinking of the bottom of the pile.<br /> <br /> 6<br />