Bài giảng Cơ lượng tử

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Các vector riêng, biến đổi tuyến tính, không gian hàm số, hàm cơ sở lượng giác, toán tử Hermitian,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ lượng tử

Hint Sử dụng phương trình 1.32 ta tìm các trị riêng (2 ) 0 2 2i (i ) 2i 0 (1.33) 1 0 ( 1 ) 3 2 (1 i) i 0 1 0 i PhD. D.H.Đẩu 1
Các vector riêng Sử dụng các trị riêng phương trình 2.20 ta tìm các vector riêng 2 0 2 a1 a1 a1 1 2i i 2i . a 2 1. a 2 a2 1 0 1 a3 a3 a3 2a 1 2a 3 a1 a3 a1 / 2 if a1 2 2ia 1 ia 2 2ia 3 a2 a2 (1 i)a 1 / 2 (1 i) a1 a 3 a 3 1 PhD. D.H.Đẩu 2
Các vector riêng Sử dụng các trị riêng phương trình 2.20 ta tìm các vector riêng với trị riêng bằng i (còn lại tự giải) 2 0 2 a1 a1 ia 1 i 2i i 2i . a 2 i. a 2 ia 2 1 0 1 a3 a3 ia 3 2a1 2a 3 ia 1 if a2 1 2ia 1 ia 2 2ia 3 ia 2 a3 0 a 1 a 3 ia 3 a1 0 PhD. D.H.Đẩu 3
BÀI TẬP 19 phép quay Xét matrix 2x2x biểu diễn phép quay của mp oxy (quay quanh oz) có dạng: cos sin sin cos Chứng tỏ rằng matrix này có trị riêng là ảo trừ một số góc đặc biệt. Tìm các góc này? Xây dựng matrix phép quay trong không gian 3 chiều PhD. D.H.Đẩu 4
Bài tập 20 • Tìm trị riêng và vector riêng của matrix biểu diễn phép biến đổi: 1 1 MXT 0 1 Matrix này có thể chuẩn hóa đơn vị theo đường chéo không? PhD. D.H.Đẩu 5
Phép biến đổi Hermitian T Biến đổi tuyến tính Phép biến đổi này tác động lên phần tử đầu của một tích trong thì nó bằng với khi tác dụng nó lên phần tử sau của tích trong ~ * MXT (MXT) T T (1.35) Lưu ý: trong cách xác định này ta có tích trong của 2 vector Vế trái 1.35 là tích trong của vector tạo bởi MXT nhân vector anpha tích trong với vector beta Vế phải 1.35 là tích trong c ủa vector tạo bởi anpha 6 PhD. D.H.Đẩu nhân với MXT và vector anpha
Các tính chất trị riêng hàm riêng của T Trị riêng là thực (Chứng minh) giả sử Khi đó ta có: Tˆ and 0 Tˆ Nhưng vì T là Hermitian nên: Tˆ Tˆ * (1.36) Vì vector anpha khác không: từ 2 pT trên cho ta: * : real PhD. D.H.Đẩu 7
Các vector riêng của biến đổi Hermitian ứng trị riêng khác nhau là trực giao • Chứng minh: Giả sử Tˆ and Tˆ b b • Khi đó ta có: Tˆ b b • Vì T là Hermitian: Tˆ Tˆ * • Theo tính chất trị riêng * and b • (tích trong 2 vector =0) 0 PhD. D.H.Đẩu 8
Các vector riêng của biến đổi Hermitian tạo ra không gian vector cơ sở • Nếu biến đổi Hermitian có n vector riêng ứng với n các trị riêng khác nhau, theo hệ thức 2: các vector riêng đó là trực giao nhau vì thế • Chúng tạo thành hệ vector cơ sở Giả sử có suy biến: tức là một trị riêng , có nhiều (m) vector riêng khác nhau: khi đó bất kỳ một tổ hợp tuyến tính của m vector riêng nói trên đều là các vector riêng với cùng trị riêng là Kết luận: PhD. D.H.Đẩu 9
Bài tập 21 W • Cho biến đổi T 11 i 1 i 0 1- Chứng minh rằng T là hermitian • 2- Tìm các trị riêng thực của T • 3- Tìm các vector riêng và chứng minh các vector riêng ứng với các trị riêng trên là trực giao • Kiểm tra định thức của T và của tr(T) là như nhau. PhD. D.H.Đẩu 10
Không gian Hàm số Là không gian vector trong đó vector được xem là hàm phức theo biến (thông thường) là x Tích trong của 2 vector là tích chập (tích phân vô cùng của 2 hàm) Đạo hàm của vector là phép biến đổi tuyến tính 1. Hàm số tương tự vector vì : A-Tổng của 2 hàm số là một hàm B- Các hàm cũng thỏa các tính chất giao hoán và kết hợp. Tồn tại một hàm bằng không “null” để hàm đó trừ hàm ngược của nó bằng PhD. hàm D.H.Đẩu null 11
Các hàm có tính chất như vector Nhân hàm với số phức ta được hàm phức Tổ hợp tuyến tính của các hàm là một hàm (như tổ hợp tuyến tính của các vector là vector) Tích trong của hai hàm là tích phân của tích hai hàm theo CT: * f ( x ) g( x ) f ( x ) g ( x ).dx (1.37) Cận của tích phân có thể thu hẹp lại tùy vào điều kiện xác định của các hàm để cho tích trong là xác định. •Để tích trong là xác định: 2 f ( x ) dx PhD. D.H.Đẩu (1.38) 12
23- Bài tập – W Tìm các hàm cơ sở của một đa thức bậc n
Bài tập 24 : hàm cơ sở lượng giác • Cho biết hàm f(x) được khai triển ở dạng: N f (x) {a i sin( n x ) b i cos(n x )} i 0 here : 1 x 1 Chứng tỏ rằng các hàm cơ bản: exp(in x ) en Là trực chuẩn 2 Tìm số chiều của không gian này? PhD. D.H.Đẩu 14
Toán tử xem như một biến đổi tuyến tính 1. Toán tử thực hiện phép biến đổi lên các hàm cho ra các hàm mới nên giống như một phép biến đổi tác dụng lên vector cho ra vector mới nhưng phải thỏa là phép biến đổi tuyến tính (không gian của vector sau thỏa ĐK tuyến tính). Thí dụ : Biến đổi theo cách đạo hàm theo x là toán tử tuyến tính trong không gian các hàm cơ sở của đa thức x bậc N. Biến đổi bằng phép nhân cho x thì không phải là toán tử tuyến tính trong không gian các hàm cơ sở của đa thức x bậc N vì nó chuy PhD. D.H.Đẩu ển thành đa thức bậ 15 c N+1.
Bài tập 25-w • Chứng minh là hàm exp(-x2/2 ) là hàm riêng của toán tử: ˆ 2 d 2 T x dx 2 • Tìm trị riêng tương ứng? PhD. D.H.Đẩu 16
Hint PhD. D.H.Đẩu 17
Toán tử Hermitian • Định nghĩa: Toán tử tuân theo hệ thức: f ( x ) Tˆg ( x ) Tˆf ( x ) g ( x ) * f ( x ).Tˆg ( x ).dx * Tˆ (f ( x )) .g ( x ).dx (1.39) PhD. D.H.Đẩu 18
3. Các lý giải về thống kê Vi hạt là tương đương với sóng, biểu diễn bằng hàm sóng (r,t) mà bình phương là mật độ xác suất  Nên phải có sự chuẩn hóa hàm sóng (để xs=1) Cơ cổ điển biểu diễn các đại lượng đặc trưng của hạt là các vector (tọa độ, vận tốc, xung lượng, lực… ) được xem là các hàm của tọa độ x và xung lượng p (p=mvx=m(dx/dt)), Cơ Lượng tử: Mỗi quan sát (đo đạc) đại lượng vật lý a được biểu diễn qua tác dụng của toán tử tương ứng A lên PhD. hàmD.H.Đẩu (r,t) 19
3. Các lý giải về thống kê Công thức trị trung bình  Tính qua tích trong của hàm trạng thái ˆ A ˆ (r, t ) (r, t ) A * ˆ (r, t )dr (1.40) (r, t )A Đây là giá trị kỳ vọng và khi đo đại lượng vật lý A Nó phải có trị thực (nghĩa là A là toán tử Hermitian) ˆ (r, t ) (r, t ) A ˆ (r, t ) A (r, t ) (1.42) PhD. D.H.Đẩu 20