Bài giảng Cơ lượng tử - Chương 2: Nhiễu loạn

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

150
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Nhiễu loạn, nhiễu loạn dừng có suy biến, nhiễu loạn dừng không suy biến, nhiễu loạn suy biến bậc cao,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ lượng tử - Chương 2: Nhiễu loạn

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO Chương hai: NHIỄU LOẠN PhD. D.H.Đẩu 1
Chương hai: NHIỄU LOẠN 1. NHIỄU LOẠN DỪNG KHÔNG SUY BiẾN 2. NHIỄU LOẠN DỪNG CÓ SUY BiẾN 3.NHIỄU LOẠN SUY BiẾN BẬC CAO 4.ỨNG DỤNG CẤU TRÚC TINH TẾ QUANG PHỔ PhD. D.H.Đẩu 2
Địa chỉ gửi bài tập nhóm Không có nhóm bài tập giống hệt nhau Lecturer: Dr: Dương Hiếu Đẩu Head of Physics Dept duongdau@gmail.com Tel: 84.71. 832061 01277 270 899 EP PhD. D.H.Đẩu 3
1. Nhiễu loạn không suy biến Nhiễu loạn: Phương pháp làm đơn giản để giải gần đúng phương trình schrodinger khi toán tử Hamilton có dạng phức tạp hay bài toán hàm sóng nhiều chiều PhD. D.H.Đẩu 4
PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER • Là phương trình xác định hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng: 2  ˆ ) ( x , y, z , t ) ( V E. ( x , y, z, t ) 2m Nghiệm chính xác của phương trình chỉ tìm ra khi toán tử thế năng có dạng đơn giản. Với bài toán thực tế, thế năng có dạng phức tạp, ta dùng phương pháp gần đúng: tính nghiệm bằng giải tích số (việc tính toán nhanh nhờ máy tính hỗ trợ) PhD. D.H.Đẩu 5
PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN Thực tế: phương pháp nhiễu loạn là cách làm đơn giản toán tử thế năng (gọi là toán tử nhiễu loạn) để giải gần đúng PT Schrodinger tìm mức năng lượng và hàm sóng. Xem toán tử thế năng là một gia số nhỏ của toán tử năng lượng: Chân dung ˆ ˆ ˆ ' (2.1) Schrodinger 0 H H H • Toán tử nhiễu loạn H’ xem là một biến thiên nhỏ của toán tử năng lượng không nhiễu loạn H0 6 PhD. D.H.Đẩu
1.1- Phương pháp nhiễu loạn không suy biến Điều kiện áp dụng: nghiệm của phương trình Schrodinger không nhiễu loạn đã được xác định:   Hˆ 0 (0) n (0) ( r , t) E n (0) n ( r , t ) ( 2. 2) (0) (0) here : n m nm (2.3) (0) 0 (0) 0 Denote : n n ; E n E n Ký hiệu (0) không phải là lũy thừa, nhưng có một số sách vẫn ghi giống lũy thừa 0. Đây là chỉ bậc nhiễu PhD. D.H.Đẩu 7 loạn, khi bậc bằng không tức là không có nhiễu loạn
1.1- Phương pháp nhiễu loạn không suy biến En0 là các trị riêng ứng với các hàm riêng của toán tử Hamilton không nhiễu loạn, không suy biến vấn đề là tìm nghiệm (2.1)  Các trạng thái và mức năng lượng gần đúng cho: Hˆ ( x , y, z , t ) E . ( x , y, z , t ) n n n (Hˆ ˆ ' ) ( x , y, z, t ) E . ( x , y, z, t ) (2.4) H 0 n n n Phương trình 2.4 là tính năng lượng và hàm sóng trong trường hợp chính xác có xét đến nhiễu loạn PhD. D.H.Đẩu 8
Nhiễu loạn dừng STOP Dừng: là không phụ thuộc thời gian  tức là trạng thái có xác suất ổn định Năng lượng là không đổi,  toán tử thế là không phụ thuộc thời gian PhD. D.H.Đẩu 9
Nhiễu loạn dừng và không suy biến Khi nói các trị riêng của toán tử H là không suy biến tức là một mức năng lượng ứng với 1 trạng thái. Bắt đầu, ta xem toán tử Hamilton gần đúng gồm 2 thành phần: ˆ H ˆ H0 ˆ ' (2.5) H Ở đây, chọn có giá trị nhỏ sau đó ta sẽ tăng dần giá trị của nó đến 1,0 Khi đó toán tử Hamilton sẽ đạt giá trị chính xác (2.4). Khai triển các hàm sóng n và năng lượng En thành dạng các chuỗi lũy thừa PhD. D.H.Đẩu của ta có: 10
Khai triển lũy thừa (0) (1) 2 ( 2) n (n) n n n n ... n (2.6) (0) (1) 2 ( 2) n (n ) En E n E n E n ... E n (2.7) Khi đó En(1) được gọi là số hiệu chỉnh bậc nhất đối với trị riêng năng lượng thứ n n được gọi là hàm hiệu chỉnh bậc nhất đối với (1) hàm sóng riêng thứ n Tương tự En(2) được và n(2) được gọi là số hiệu chỉnh bậc hai cho năng lượng và hàm sóng… Đưa 2.7,2.6, 2.5 vào 2.4, ta có 2.8: PhD. D.H.Đẩu 11
Bậc của nhiễu loạn ˆ (H 0 ˆ ') H (0) (1) 2 ( 2) ... n (n) n n n n (E 0n E (n1) 2 E (n2 ) ... n E (nn ) ) x (0) (1) 2 ( 2) n (n) n n n ... n (32.8) Nhân ra và gom nhóm theo lũy thừa của ta có: Hˆ 0 0 n ( Hˆ 0 1 n Hˆ ' (0) n ) 2 Hˆ 0 ( 2) n Hˆ ' (1) n ... 0 E0 n ( En0 1 n En1 (0) n ) 2 ( En( 0 ) ( 2) n En(1) (1) n En( 2 ) (0) n ) ... (2.9) Trường hợp nhiễu loạn bậc không (không nhiễu loạn) Trong 2.9 cho thành phần 0 =1 ta quay lại PT: ˆ H 0 (0) En (0) PhD. D.H.Đẩu (0) (2.2) 12 n n
Xét nhiễu loạn bậc nhất và bậc 2 • Từ phương trình 2.9 cho thành phần 1 • Ta có phương trình nhiễu loạn bậc nhất: ˆ (H 0 (1) ˆ' H (0) ) (E (0) (1) E (1) (0) ) (2.10) n n n n n n • Từ phương trình 2.9 cho thành phần 2 • Ta có phương trình nhiễu loạn bậc hai: ˆ0 H ( 2) ˆ' H (1) (E (n0 ) ( 2) E (n1) (1) E (n2 ) (0) ) (2.11) n n n n n Và tương tự cho thành phần PhD. D.H.Đẩu ta có nhiễu loạn bậc K13 K
Bài tập 1 w • Xét nhiễu loạn bậc nhất (PT 2.10) • Tìm giá trị hiệu chỉnh năng lượng bậc nhất En(1) PhD. D.H.Đẩu 14
Hướng dẫn (thay ký hiệu giống lũy thừa) Lấy tích trong n0 với PT 2.10 (thực ra là nhân ( n0)* sau đó lấy tích phân) ta có: 0 n Hˆ 0 1 n 0 n Hˆ ' 0 n 0 n En0 1 n 0 n En1 0 n right : En0 0 n 1 n En1 0 n 0 n (2.12) Bên vế trái của 2.12 ta sử dụng Ho là Hermitian 0 n Hˆ 0 1 n 0 n Hˆ ' 0 n Hˆ 0 0 n 1 n 0 n Hˆ ' 0 n En0 0 n 1 n 0 n Hˆ ' 0 n (2.13) So sánh 2.12 và 2.13 ta có: E 1 n PhD. D.H.Đẩu 0 n Hˆ ' 0 n (2.14 15 )
Kết luận về nhiễu loạn bậc nhất • Số hiệu chỉnh về năng lượng mức n trong nhiễu loạn bậc nhất (1) chính là giá trị trung bình của toán tử nhiễu loạn ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng không bị nhiễu loạn thứ n (số phía trên là chỉ bậc của nhiễu loạn) E (1) 0 ˆ' H 0 (2.14) n n n 0 (1) En E n E n (2.15) PhD. D.H.Đẩu 16
Bài tập 2w • Bài toán hạt tự do trong hố thế vuông có cạnh là a ( 0 x a) với nghiệm là: Xét trường hợp có nhiễu (0) 2 n x loạn là một thế V (có giá n (x) sin( ) a a trị bé) như hình n 2 2 2 here : E (n0) 2ma 2 Tính số hiệu chỉnh năng lượng Bậc nhất và cho biết các giá trị năng V lượng có nhiễu loạn bậc nhất ở các mức 1,2,3. Chứng minh năng lượng chỉ a/2 a dời lên một giá trị như nhau PhD. D.H.Đẩu 17
Hướng dẫn Sử dụng công thức 2.14 để xác định En1: a/2 1 0 ˆ' 0 2 n x 2 n x E n n H n sin( )(V ) sin( )dx 0 a a a a a/2 2 2n x 2 1a V V sin ( )dx V a 0 a a 22 2 0 1 12 2  2 V Mức năng lượng chính xác E1 E 1 E 1 thứ 1 (nhiễu loạn bậc nhất): 2ma 2 4 Mức năng lượng chính xác E 0 22 2 2 V 2 E 2 E 12 . thứ 2: 2ma 2 4 Mức năng lượng chính xác 32 2  2 V 0 1 thứ 3: E PhD. D.H.Đẩu 3 E 3 E 3 . 18 2ma 2 4
Hàm sóng nhiễu loạn bậc nhất Xét PT nhiễu loạn bậc 1- 2.10 và chuyển vế các hàm: (H ˆ 0 1 ˆ' H 0 ) (E 0 1 E 1 0 ) (2.10) n n n n n n Hˆ 0 1 E 0 1 ˆ' H 0 E 1 0 n n n n n n ˆ 0 0 (H E n ) 1 ˆ 1 (H' E n ) 0 (2.16) n n Khai triển hàm n1 ở vế trái thành tổ hợp tuyến tính các hàm ở trạng thái không nhiễu loạn: (1) chỉ bậc nhất 1 (1) 0 Không cần chọn n c mn m (2.17) m=n, Cho biết lý do PhD. D.H.Đẩu 19 m n
Bài tập 3w - Giải tìm hàm riêng của nhiễu loạn bậc nhất Hãy đưa PT 2.17 vào 2.16  lấy tích trong k 0 Từ đó tính hàm riêng: ( Hˆ 0 En0 ) n1 ( Hˆ ' En1 ) n0 (2.16) Left : ( Hˆ 0 En0 ) (1) cmn 0 m m n (E 0 0 E )c (1) 0 ˆ 1 ( H ' En ) 0 (2.18) m n mn m n m n Lấy tích trong 2.18 với k 0 với c(1) là hệ số KT bậc 1 ( Em0 En0 )cmn (1) 0 0 m chạy đến k thì dừng lại K m m n 0 K ( Hˆ ' En1 ) 0 n PhD. K Hˆ ' 0 D.H.Đẩu 0 n En1 0 K 0 n (2.1920)