Bài giảng Cơ lượng tử - Chương 3: Ma trận thống kê lượng tử

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Ma trận thống kê lượng tử, thống kê lượng tử, trung bình thống kê lượng tử, tính trị trung bình,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ lượng tử - Chương 3: Ma trận thống kê lượng tử

Chương 3: Ma trận thống kê lượng tử KE
3.1 – Mở đầu • Trong bài toán thống kê lượng tử, hệ được xem như vô số các hạt lượng tử. • Trạng thái vi mô của hệ xem là trạng thái của các hạt lượng tử mô tả bởi các hàm sóng. • Các hàm sóng và các mức năng lượng của hệ được xác định bằng cách giải phương trình Schrodinger.
3.1 – Mở đầu • Nói chung các mức năng lượng của hệ lượng tử là gián đoạn. • Tuy nhiên đối với hệ vĩ mô, số lượng các mức năng lượng là vô cùng lớn, nên sự phân bố các mức trên phổ năng lượng là gần như liên tục nhau (dày đặc)  Khoảng cách 2 vạch kề nhau s là rất bé • Vì thế năng lượng của bất kỳ một loại tương tác nào đó đều lớn hơn rất nhiều so với khoảng cách của hai mức năng lượng liên tiếp
Trung bình thống kê lượng tử • Thực tế, hệ vĩ mô không thể ở một trạng thái dừng hoàn toàn tức là không thể mô tả trạng thái vĩ mô của một hệ lượng tử chính xác bằng một hàm sóng được. • Như vậy, tại một thời điểm xác định, trạng thái vĩ mô của một hệ lượng tử có thể được mô tả bằng rất nhiều hàm sóng khác nhau ứng với nhiều trạng thái lượng tử khác nhau. • Việc tính trung bình đại lượng được thực hiện trên các trạng thái vi mô xác định bởi các hàm sóng thông qua một đại lượng trung gian là ma trận thống kê.
Trung bình thống kê lượng tử • GiBBS: Tính trung bình theo thời gian được tính bằng trung bình qua toàn bộ các hàm riêng theo biến không gian (tương ứng các trạng thái vi mô của hệ lượng tử) dựa trên ma trận thống kê Xem các loa phát âm liên tiếp nhau bằng các trạng thái lượng tử
3.1 – Tính trị trung bình • Giả sử ở thời điểm cho trước, hệ ở trạng thái lượng tử mô tả bởi hàm sóng (q,t) với q là ký hiệu toàn bộ tọa độ của hệ. Trị trung bình của đại lượng F tính qua toán tử F theo biểu thức: F * (q, t ).Fˆ (q, t )dq (3.1) Vì có nhiều hàm sóng (q,t) nên giá trị trung bình thống kê được tính bởi trung bình lấy theo các hàm sóng: F * Fˆ (3.2)
Bài tập 3.1 • Tính trị trung bình của toán tử toạ độ x Trong bài toán electron ở giếng thế sâu vô hạn có độ rộng a. Hàm sóng mô tả trạng thái electron là : 2 2 n x n (x) sin( k n x ) sin( ) a a a
3.1 – Mở đầu Để thuận tiện ta chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn mômen xung lượng:  Lˆ rˆ x P (3.3) Toán tử mômen xung lượng có các hàm riêng trực giao n và các trị riêng ln thỏa biểu thức: (Chuyển L vì hàm sóng không phụ thuộc t) Lˆ n ( q ) n . n (q ) n / m nm (3.4)
3.2 – Trung bình thống kê • Chỉ số n là ký hiệu tập hợp các lượng tử số đặc trưng một trạng thái riêng. Khai triển hàm (q,t) theo các hàm n (q) trong L n • (q , t ) ck (t) k (q ) (3.5) k 1 Thay biểu thức 3.5 vào 3.2 và viết lại như sau: F * Fˆ C*k * k Fˆ Cj j (3.6) k j Vì tích phân (TP) và tổng là giao hoán, đưa hằng số ra ngoài TP: F C*k C j .Fkj (3.7) k, j
3.3 – Ma trận thống kê • Phần tử ma trận của toán tử F (trong L biểu diễn) được tính là: Fkj * k Fˆ J * k (q )Fˆ J (q ) .dq (3.8) Định nghĩa phần tử ma trận thống kê là * kJ C C J (3.9) K Đưa kết quả 3.9 và 3.8 vào biểu thức trung bình của F: F kj .Fkj (3.10) k, j Tập hợp n các giá trị của (3.9) tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận thống kê ký hiệu là: 11 12 ... 1n 21 22 ... 21 M (3.11) ... ... ... ... n1 n2 ... nn
Bài tập 3.2 • Hệ ở giếng thế có 3 trạng thái lượng tử mô tả bởi hàm sóng tổng quát: 3 ( x, t ) CJ J (x, t ) J 1 1 iE1t 1 x 1 iE 2 t 2 x 1 iE 3 t 3 x . exp( ). sin( ) . exp( ). sin( ) . exp( ). sin( ) 2  a 2  a 2  a Xác định các thành phần của ma trận thống kê 3x3 Theo công thức: * kJ C CJ K (3.9)
Kết quả 11 12 13 ? ? ? M 21 22 23 ? ? ? 31 32 33 ? ? ?
3.4 – Phần tử ma trận Tập hợp n các giá trị (3.8) cũng tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận F trong L (và ma trận nghịch đảo của F): F11 F12 ... F1n F11 F21 ... Fn1  F21 F22 ... F2 n T F12 F22 ... Fn 2 MF & MF (3.12) ... ... ... ... ... ... ... ... Fn1 Fn 2 ... Fnn F1n F2 n ... Fnn Từ 2 ma trận 3.11 và 3.12 nếu nhân 2 ma trận đó và sau đó lấy Tổng các TP đường chéo của MT tích thì nó = biểu thức trung bình của F:  F kj .Fkj F SP(M .MF) (3.13) k, j Ký hiệu SP của ma trận X là lấy F F F ... tổng của các phần tử nằm trên 11. 11 12. 12 13. 13 đường chéo của ma trận X F 21. 21 F 22. 22 F ... 23. 23 ... n1. n1F F n 2. n 2 F ... n 3. n 3 F nn . nn (3.10)
Bài tập 3.3 • Tính SP của ma trận m 12 5 m2 X với: 5 8 X m m2 m2 2 2 m 7 15 • Với giá trị m bằng bao nhiêu thì SP (X) có giá trị đơn vị Đáp án là : (được chuẩn hóa)
Bài tập 3.4 • Cho: m 12 5 m2 1 2 3 4 5 8 1 3 2 1 MX 2 2 MY m m m 0 1 1 4 2 m2 7 15 2 1 1 2 • Tính: N MX.MY (3.13) SP SP(MX.MY ) (3.13a )
Matrix of Statistics
Bài tập 3.5 • Hệ ở giếng thế có 3 trạng thái lượng tử mô tả bởi hàm sóng tổng quát: 3 ( x, t ) CJ J (x, t ) J 1 1 iE1t 1 x 1 iE 2 t 2 x 1 iE 3 t 3 x . exp( ). sin( ) . exp( ). sin( ) . exp( ). sin( ) 2  a 2  a 2  a Xác định các thành phần của ma trận của toán tử toạ độ 3x3. Theo công thức: * * x kj k xˆ J k (q )xˆ J (q ) .dq (3.8)
Bài tập 3.6 • Trở lại bài tập 3.2 và 3.5 Xác định các thành phần của ma trận của toán tử xung lượng theo phương x(3x3). Theo công thức: Pkj * k pˆ x J * k (q)pˆ x J (q ) .dq (3.8) Xác định giá trị trung bình của xung lượng theo ma trận thống kê: P SP(M .MPˆ) (3.13)
Hướng dẫn (1) • Kết quả MT thống kê: M ?
Hướng dẫn (2) • Tính giá trị Trung bình của toán tử Px ? ? ?  MPx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? M ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?  P SP(M .MPx ) SP ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?