Bài giảng toán cao cấp - Trần Bá Tịnh

Chia sẻ: Le Chi Hung Cuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

359
lượt xem 115
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Được sự phân công giảng dạy của Ban giám đốc Trung tâm Giảng dạy và Thực hành cơ bản, bộ môn Toán – Tin của chúng tôi thực hiện biên soạn bài giảng về các môn học Toán cao cấp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng toán cao cấp - Trần Bá Tịnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM HUẾ DỰ ÁN HỢP TÁC VIỆT NAM – H À LAN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Người biê n soạn: Trần Bá Tịnh Huế, 08/2009
L ời nó i đầ u Được sự phân công giảng d ạy của Ban giám đ ốc Trung tâm Gi ảng dạy và Thực hành cơ b ản, bộ môn Toán – Tin của chúng tôi th ực hiện biên so ạn bài gi ảng về các môn học Toán cao cấp. Bài gi ảng này nh ằm cung cấp các kiến thức cơ bản về gi ải tích cổ điển cần cho ngành Nông học và một số ngành khoa học công nghệ khác. Bài gi ảng được biên so ạn theo đ ề cương chi tiết của bộ chương trình GIÁO DỤ C H ỌC Đ ẠI CƯƠNG do Bộ Giáo Dục ban hành theo quyết định số 3244/GD- ĐT ngày 12/09/1995 c ủa Bộ trưở ng Bộ Giáo d ục và đào tạo . Bài gi ảng do tổ bộ môn Toán – Tin chúng tôi biên so ạn trước m ắt phục vụ c ho đối tượng là là sinh viên ngành Nông học trường Đ ại học Nông lâm. Lần đ ầu tiên biên so ạn theo yêu c ầu đ ổi mới phương pháp gi ảng d ạy, ch ắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi r ất mong được sự trao đ ổi, đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để hoàn thiện bài gi ảng theo định hướ ng về một bài gi ảng chung môn học Toán cao cấp. Tác gi ả
MỤC L ỤC  Bài 1: Ma trận – Đị nh thức – Hệ phương trình tuyến tính ........................................ 4 1. MA TR ẬN ....................................................................................................................... 5 1.1 Khái niệm ma trận..................................................................................................... 5 1.2 Ma tr ận bằng nhau .................................................................................................... 5 1.3 Cộng ma tr ận.............................................................................................................. 6 1.4 Nhân ma tr ận với một số .......................................................................................... 6 1.5 Ma tr ận chuyể n vị ..................................................................................................... 7 2. Đ ỊNH THỨC .................................................................................................................. 7 2.1 Định thức của ma trận vuông .................................................................................. 7 2.2 Định nghĩa:................................................................................................................. 8 2.3 Tính chất c ủa định thức ............................................................................................ 9 2.4 Quy t ắc tính định thức b ằng biến đổi sơ c ấp ....................................................... 10 3. PHÉP NHÂN MA TR ẬN VỚ I MA TR ẬN  M A TR ẬN NGH ỊCH Đ ẢO .... 11 3.1 Phép nhân ma trận với ma tr ận .............................................................................. 11 3.2 Một số tính chất ....................................................................................................... 12 3.3 Ma tr ận khả đ ảo và ma trận nghịch đảo ............................................................... 12 3.4 Các phương pháp tính ma trận nghịch đảo .......................................................... 13 4. HỆ P HƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ................................................................... 14 4.1 Định nghĩa dạng tổng quát c ủa hệ phương trình tuyế n tính .............................. 14 4.2 Hệ Cramer ................................................................................................................ 15 4.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss ............................... 15 4.4 Hệ thuần nhất ........................................................................................................... 16 4.5 Hạng của ma trận_H ạng c ủa hệ phương trình tuyế n tính tổng quát ................. 17 Bài 2: Phép tính vi phân .................................................................................................. 19 1. TẬP HỢP  C ÁC PHÉP TOÁN .............................................................................. 19 1.1 Tập hợ p..................................................................................................................... 19 1.2 Các phép toán về t ập hợp ....................................................................................... 20 2. ÁNH X Ạ ........................................................................................................................ 22 2.1 Định nghĩa................................................................................................................ 22 2.2 Đơn ánh .................................................................................................................... 23 2.3 Toàn ánh ................................................................................................................... 23 2.4 Song ánh ................................................................................................................... 23 2.5 Ánh xạ ngược của một song ánh – Tương ứ ng 1-1 ............................................ 24 2.6 Hợp (Tích của 2 ánh xạ) ......................................................................................... 24 2
2.7 Tập hữ u hạn – Tập đếm được – Tập không đếm được ...................................... 25 3. HÀM SỐ ........................................................................................................................ 26 3.1 Khái niệm hàm số - Các đị nh nghĩa...................................................................... 26 3.2 Các hàm số cơ bản .................................................................................................. 31 4. GIỚ I H ẠN HÀM S Ố .................................................................................................. 37 4.1 Các định nghĩa ......................................................................................................... 37 4.2 Tính chất và phép toán c ủa giới hạn hàm số........................................................ 39 5. SỰ LIÊN TỤC C Ủ A HÀM S Ố ................................................................................ 42 5.1 Các định nghĩa ......................................................................................................... 42 5.2 Các phép toán và tính chất của hàm liên tục ....................................................... 44 5.3 Các định lý về hàm liên tục ................................................................................... 44 6. Đ ẠO HÀM .................................................................................................................... 45 6.1 Hai bài toán dẫn đế n đạo hàm ............................................................................... 45 6.2 Định nghĩa đạo hàm c ủa hàm một biến số ........................................................... 46 6.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm .............................................................................. 47 6.4 Các quy tắc cơ b ản để tính đạo hàm ..................................................................... 48 6.5 Sự liên hệ giữ a đ ạo hàm và tính liên t ục .............................................................. 50 6.6 Đạo hàm c ấp cao ..................................................................................................... 50 6.7 Đạo hàm các hàm sơ c ấp ........................................................................................ 51 7. VI PHÂN ....................................................................................................................... 53 7.1 Định nghĩa vi phân .................................................................................................. 53 7.2 Ứng dụng vi phân để tính gần đúng...................................................................... 54 7.3 Tính bất biến của dạng biểu thức vi phân ............................................................ 55 7.4 Vi phân cấp cao ....................................................................................................... 55 Bài 3: Phép tính tích phân .............................................................................................. 56 1.TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC Đ ỊNH ......................................................................... 56 1.1 Định nghĩa và tính chất .......................................................................................... 56 1.2. Các phương pháp l ấy tích phân không xác đ ịnh ................................................ 57 1.3 Các công thức truy hồi ........................................................................................... 59 1.4 Tích phân các hàm hữ u tỉ ....................................................................................... 61 1.5 Tích phân một số hàm vô tỉ dạng đơn giản.......................................................... 62 2. TÍCH PHÂN XÁC Đ ỊNH .......................................................................................... 63 2.1 Định nghĩa................................................................................................................ 63 2.2 Một vài tính chẤt c ủa tích phân xác đ ịnh ............................................................ 66 2.3 Điều kiện khả tích của hàm liên tục ...................................................................... 69 2.4 Sự phân chia khoảng l ấy tích phân Cận l ấy tích phân ...................................... 70 3
2.5 Tích phân xác đ ịnh và nguyên hàm ...................................................................... 71 2.6 Biến đổi tích phân xác đị nh ................................................................................... 73 2.7 Ứng dụng c ủa phép tính tích phân ........................................................................ 76 2.8 Tích phân suy rộng.................................................................................................. 78 Bài 5: Phương trình vi phân ............................................................................................. 79 1. KHÁI NIỆM VỀ P HƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – C ÁC Đ ỊNH NGH ĨA ......... 79 1.1 Khái niệm ................................................................................................................. 79 1.2 Định nghĩa................................................................................................................ 79 2. PHƯƠNG TR ÌNH VI PHÂN C ẤP MỘ T .............................................................. 79 2.1 Tổng quát về phương trình vi phân c ấp một ........................................................ 79 2.2 Phương trình vi phân có biến phân ly. .................................................................. 80 2.3 Phương trình đẳng cấp c ấp một ............................................................................. 81 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ................................................................. 81 2.5 Phương trình Bernoulli ........................................................................................... 83 3. PHƯƠNG TR ÌNH VI PHÂN C ẤP HAI ................................................................ 83 3.1 Tổng quát về phương trình vi phân c ấp hai ......................................................... 83 3.2 Các phương trình vi phân cấp hai có thể giảm cấp ............................................. 84 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai .............................................................. 85 3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số không đổi ..................................... 87 4
1. MA TR ẬN 1.1 Khái ni ệm ma tr ận Định nghĩa 5.1: Một tập hợ p gồm m  n phần t ử được sắp xếp thành bảng chữ nh ật có m hàng n cột gọi là một ma tr ận cỡ m  n cột j   a1n   a1 1 a12 a1j a  a 2n   a 22 a 2j  21        A  a in  hàng i  a a i2 a ij  i1       a mn   a m1 a m2 a mj   Ma tr ận A được ký hiệu bởi dấu móc vuông hoặc móc tròn  mn A  a ij  ; A  a ij  m n a ij là phần tử n ằm ở h àng i, cộ t j Khi m  n m a trận A đư ợc gọi là ma tr ận vuông cấp n và được biể u diễn ng ắn gọn  ,n A  a ij  ; A  a ij  ,n Khi m  1 ta gọi A là ma trận hàng n  1 ta gọ i A là ma trận cộ t Thí dụ :  2 1  1 3 5  32    1 3 ; B  bij A  a ij  2 4 6  23  3 2     14   5  13  3 4 1 7 5 8 ; A  a ij B  bij Chú ý 1.1: – Ta chỉ xét chủ yếu các ma tr ận thực, tức a ij  R – Chữ i n hoa A, B, C, … kí hiệu ma trận; chữ thườ ng a, b, c, … chỉ phần tử của ma trận. – Nếu các ph ần tử a ij  0 i, j ma trận A   a ij  được gọi là ma trận không cỡ mn mn . – Kí hiệ u tập hợ p các ma trận cỡ m  n là M – Kí hiệ u tập hợ p các ma trận vuông c ấp n là M 1.2 Ma tr ận b ằng nhau Cho hai ma tr ận A cùng cỡ A   a ij  ; B   bij  mn mn 5
Định nghĩa 5.2 : Hai ma trận A và B được gọi là b ằng nhau nếu chún g cùng cỡ và có các phần tử cùng vị trí bằng nhau. Tức là: a ij  bij i, j Ta viết A  B Thí dụ :  3 1 a b ; A B   2 5  c d   A  B  a  3, b  1, c  2, d  5 1.3 Cộng ma trận Cho hai ma trân cùng cỡ A   a ij  ; B   bij  mn mn Định nghĩa 5.3: Tổ ng của hai ma trận cùng cỡ m  n A  B là một ma trận C cùng c ỡ được xác định bởi công thức: C  A  B   a ij  bij    cij     m n mn Chú ý 1.2: – P hép cộng ma trận chỉ t hực hiện với các ma tr ận cùng cỡ. – Ta có thể m ở rộng cho phép cộng nhiều ma trận cùng cỡ – P hép cộng được hiểu theo nghĩa cộng đại số. Thí dụ : Cho A, B, C  1 3 5 5 7 9 2 4 6 ; B ; A A   1 3 5 7 5 3  2 4 6     1 5  2 3  7  4 5  9  6  4 6 8 A  BC     2  1  7 4  3  5 6  5  3   4 8 2   1.4 Nhân ma trận với một số Cho ; k  R 1. Định nghĩa 5.4: P hép nhân ma trận A với một số k là nhân tất c ả các ph ần tử a ij của A với k. Ta có:  mn   ka ij mn C  k.A  k. a ij (5.3) Thí dụ : Cho , k  3 6
 1 4 3 5  1 4 3 5  3 12 9 15  A  2 1 0 4 3.A  3.  2 1 0 4   6 1 0 12  ;  4 2 3 1  4 2 3 1 12 6 9 3      2. Tính chất: k (A  B)  kA  kB (k  h).A  kA  hA k(h.A)  (kh).A 1.A  A 0.A  0 1.5 Ma tr ận chuyể n vị Định nghĩa 5.6: Xét ma trận . Đổi hàng thành cột; cột thành hàng ta nhận được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A, kí hiệu là A t . A t  a ji    n m Thí dụ : 4 1 4 3 2 t A 3 0  A  7 1 0 2 7    2. Đ ỊNH THỨC 2.1 Đị nh th ức củ a ma trận vuông Xét A  M ,n Lấy a ij là phần tử hàng i cột j. Loại bỏ khỏi A hàng i, cột j ta nhân đư ợc ma tr ận vuông cấp n 1 , kí hiệu là M ij . Gọi M ij là ma tr ận con ứ ng với phần tử a ij của A. Xét ma trận A cấp n; .Ta Chú ý đến phần t ử hàng i cột j a ij  A . Loại bỏ đi các phần tử của hàng i, cột j ta nhận được m a tr ận vuông c ấp n 1 , kí hiệu là M ij . M ij l à ma trận con ứng với phần t ử a ij . Ta có: a1j  a 1n  a 11 a 12    a 2n  a 2j a 21 a 22          A  a ij a i1 a i2 a in           a nn  a a n1 a    nj n2 7
a 1 j 1 a 1j+1   a 11 a 12 a 1n              a i 1 j1 a i 1j 1 a i11 a i 12 a i1n   M ij    a i  1 j 1 a i  1 j 1 a i 11 a i 12 a i 1n                a nj1 a nj 1 a n1 an2 a nn     Đối tượng nghiê n cứ u là các ma trận vuông có a ij  R 2.2 Đị nh nghĩa: Định nghĩa 5.7 : Định thức c ủa ma trận A là một số, kí hiệ u là det(A) được đ ịnh nghĩa lần lượt như sau: * A là ma tr ận vuông c ấp 1: A   a11  thì det A  a1 1 * A là ma tr ận vuông c ấp 2: a a A   11 12  thì det A  a1 1 det(M11 )  a12 det(M12 )  a11a 22  a12 a 21  a 21 a 22  * A là ma tr ận vuông c ấp n: det A  a11 det(M11 )  a12 det(M12 )    (1)1 n a 1n det(M1n ) (1 .1) Ở đây a1 1 , a12 , .a1n là các phần tử nằm ở hàng một của ma trận A. Người ta dùng hai gạch đứng đ ặt ở hai bên để kí hiệ u định thức. a11 a12 a13 a11 a12 a 21 a 22 a 23 ; a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n. Thí dụ : 1 32 6 5  1 6 5  3 4 5  2 4 6  1( 48  45)  3(32  35)  2( 36  42)  240 4 9 8 7 8 7 9 9 8 7 Chú ý : Để tính định thức cấp 3 ngoài việc tính theo đ ị nh nghĩa đ ã nêu ta có thể sử dụng công thức ngôi sao bằng cách l ấy tổng của tích các phần tử nằm trên đường chéo chính và các đ ỉnh của tam giác có cạnh song song với đườ ng chéo chính trừ đi tổng c ủa tích các phần tử trên đườ ng chéo phụ và các số nằm ở đỉnh các tam giác có cạnh song song với đư ờng chéo phụ. a11 a12 a1 3 a11 a12 a1 3 A  a 21 a 22 a 23 A  a 21 a 22 a 23 a 31 a32 a 33 a 31 a32 a 33 det A  a1 1a12 a13  a12 a 23 a 31  a 13a 21a 32  (a13 a 22 a 31  a12 a 21a 33  a 23a 32 a11 ) 8
Để dể nhớ t a có thể viết theo 2 cột 1 và 2 và kế tiếp cột 3 và thực hiện nhân các phần tử trên đườ ng chéo. a11 a12 a13 a11 a12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 2.3 Tính ch ất củ a đị nh thức Tính chất 1: det(A t )  det A (1.2) Hệ quả 1: Một tính ch ất đúng khi phát biểu về hàng của định thức cũng sẽ đúng khi phát biểu đối với cột. Tính ch ất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai c ột) của định thức thì giá trị của định thức mới bằng giá trị của định thức cũ đổi dấu. Tính chất 3 : Một định thức có hai hàng (hay hai c ột) như nhau thì có giá trị b ằng không. Tính chất 4: Giá trị định thức được tính khi khai triển định thức theo một hàng (hay một cột). n det A   ( 1) i j a ij det(M ij ) (1.3) j1 1 32 Thí dụ: 6 5 . Theo Thí d ụ 5 .1 kết qu ả det A  240 Tính det A  4 9 8 7 Ở đây ta thực hiện khai triển theo hàng th ứ 3. det A  ( 1) 31 .7 3 2  ( 1) 3 2 .9 1 2  ( 1)3 3 .( 8) 1 3  7(15  12)  9(5  8)  8(6  12) 4 4 65 5 6  240 Tính chất 5: Một định thức có một hàng (hay một cột) toàn các phần t ử không thì có giá trị bằng không. Tính chất 6 : Khi nhân các ph ần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì giá trị của định thức mới tăng lên k lần. Hệ quả 2: Khi định thức có các phần tử c ủa một hàng (hay một cột) có chung hệ số k thì ta có thể đưa thừa số chung ra ngoài dấu định thức. Tính chất 7: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỉ lệ thì có giá trị bằng không. 134 134 Thí dụ : 3 2 1  2 3 2 1  0 Do định thức có 2 hàng 1 và 3 giố ng nhau. 268 134 Tính chất 8 : Khi t ất c ả c ác ph ần tử của một hàng (hay một cột) có d ạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức. 9
Thí dụ : ' " ' " ' ' " " a11  a11 a12  a12 a11 a12 a11 a 12 (1.4)   a 21 a 22 a 21 a 22 a 21 a 22 Tính ch ất 9: Nếu định thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (hay c ủa các cột khác) thì giá trị định thức b ằng không. Tính chất 10: Khi nhân một hàng (hay một cột) của định thức với số k và cộ ng vào một hàng (hay một cột) khác thì giá trị định thức k hông thay đổi. Thí dụ : 1 32 3 1 2 det A  4 65  0 18 13 9 8 7 0 12 22 Khai triển theo cột 1 det A  1. 18 13  ( 1) .0 3 2  ( 1)3  1.0 3 2  240 2 1 12 22 12 22 18 13 Đây là giá trị của định thức được tính trong Thí dụ (1.1) Tính ch ất 11 : Định thức có d ạng tam giác có giá trị bằng tích c ủa các phần tử n ằm trên đường chéo. a1 1 a12  a1n a1 1 0 0 0 a 22  a 2n  a .a  a ; a 21 a 22  0  a .a  a (1.5) 11 22 nn 11 22 nn       a nn a n1 a n2  a nn  00 2.4 Quy t ắc tính đị nh th ức b ằng bi ến đổi sơ cấp Để tính đ ịnh thức một cách nhanh và đơn gi ản ta thường sử dụng các tính ch ất vừ a nêu c ủa đ ịnh th ức đ ể biến đ ổi định thức về dạng tam giác. Các phép biến đ ổi khi sử dụng các tính chất được gọi là các phép biến đổi sơ cấp. Nó được biế n thành qua hai bước sau: Bước 1: Sử dụng phép biến đổi để có ít nhất 1 phần tử ở a11 bằng 1. Sau đó thực hiện các phép biế n đổi về hàng để đưa định thức về dạng tam giác. Bước 2: Tính giá trị đ ịnh thức dạng tam giác b ằng tích c ủa các ph ần tử trên đường chéo. Thí dụ: 3 14 Tính   2 3 5 427 Bước 1: Đổi chỗ cột 1 và 2 – Nhân hàng 1 với –3 cộng vào hàng 2 và với –2 cộng vào hàng 3 – Nhân hàng 2 với –2 và cộng vào hàng 3 10
134 134 134 134    3 2 5   0 7 7  7 0 1 1 7 0 1 1 7 0 2 1 0 2 1 247 001 3. PHÉP NHÂN MA TR ẬN VỚ I MA TR ẬN  M A TR ẬN NGH ỊCH Đ ẢO 3.1 Phép nhân ma trận với ma trận Nhận xét: Phép nhân ma trận chỉ th ực hiện được khi số cột của ma trận bị nhân bằng số hàng của ma trận nhân. Xét A   a ij    pn B  bij mp 1. Định nghĩa: Tích của hai ma tr ận A.B là ma tr ận C   cij    mn mà ph ần t ử cij được tính bởi công th ức: p cij  a i1b1j  a i2 b2 j    a ip bpj   a ik b kj (1.6) k 1 Sơ đồ tính cij được thực hiệ n như sau: * Định lý: Chuyể n vị của ma tr ận tích (A.B) t bằng tích c ủa chuyể n vị của các ma trận A t .Bt (A.B) t  A t .Bt Tức Thí dụ: A  1 2   B   2 1 3  4 1   1 4 6  ( 1).2  2.1 ( 1).1  2.4 (1).3  2.6  0 7 9 A.B      6 17 27   1.2  4.1 1.1  4.4 1.3  4.6   Chú ý: + Việc nhân 2 ma trận có tính giao hoán. Tức phép nhân A với B thực hiện được nhưng phép nhân B với A chưa chắc đ ã thực hiệ n được + Nếu A , B , n thì ta thực hiện được A.B và B.A nhưng trong trườ ng hợp tổng quát A.B  B.A + Có thể A  0 , B  0 nhưng A.B  0 Thí dụ:     A   0 1 B   1 2  3 2  3 0   0.1  ( 1).3 0.2  ( 1).0   3   0 A.B   0 1  1 2     3.2  2.0   9 6  3 2  3 0   3.1  0.3       3 B.A   1 2  0 1   1.0  2.3 1.  1  2.2   6  3 0  3 2   3.0  0.3 3.  1  0.2  0 3  Thí dụ: 11
    B   2  6 A   1 2  2 4   1 3   1.2  2.( 1) 1.( 6)  2.3  0 0   A.B   1 2  2 6       2 4  1 3  2.2  4.( 1) 2.( 6)  4.3  0 0 3.2 Một số tính chất Cho các ma tr ận A, B, C. Sao cho chúng có thể t hực hiện các phép nhân được với nhau. Ta có: A.(B  C)  A.B  A.C (B  C).A  B.A  C.A k(B.C)  (kB).C  B.(kC) (A.B) t  Bt .A t det(A.B)  det(A).det(B) Thí dụ: Xét các ma tr ận A, B trong Thí dụ 1.5     A   0 1 B   1 2  3 2  3 0 * Ta có: A.B   3 0   (A.B) t  3 9 9 6 0 6      3 ; B t   1 3 ; Bt .A t   3 9 A  0 t 2 2 0 0 6 1      Suy ra det(A)  0 1  3 ; det(B)  1 2  6 ; det(A).det(B)  18 32 30 det(A.B)  3 0  18 9 6 Suy ra: det(A.B)  det(A).det(B) 3.3 Ma tr ận khả đ ảo và ma trận nghị ch đ ảo Định nghĩa: Xét nếu tồn t ại ma tr ận sao cho (1 .7) A.B  B.A  I thì ta nói rằng ma trận A khả đ ảo và ma trận B là ma tr ận nghịch đ ảo của ma tr ận A. Kí hiệ u ma tr ận nghịch đ ảo của ma trận A là A 1 Tức: A.A1  A 1.A  I (1.8) Nhận xét: * Ma tr ận nghịch đ ảo A 1 của ma trận A nếu có là duy nhất * Từ công thức (1 .8) ta có: det(A.A 1 )  det(A).det(A 1 )  det(I)  1 Vậy det(A)  0 , det(A 1 )  0 12
Tức điều kiện c ần và đủ để m a tr ận A khả đảo là det(A)  0 Nhận xét: 1. Ma tr ận nghịch đ ảo của A nếu có là duy nhất. 2. Giả s ử A và B  M,n l à hai ma trận khả đảo. Khi đó A.B khả đ ảo và (A.B) 1  B1 .A 1 (1.9) 3.4 Các phương pháp tính ma trận nghị ch đ ảo a) P hương pháp thứ nhất (Phương pháp ma trận phụ trợ) Bước 1: Tính detA (Nếu detA  0) Bước 2: Tính ma trận phụ trợ C  (cij ) ,n Với cij  ( 1)i  j .det M ij 1 Bước 3: Tính A 1  .C t (1.10) det A  1 2 3 Thí dụ: Cho A  2 5 3    1 0 8 Ta có: detA = 1  0 tồ n tại A1 5 3 2 1  2 3 31  2 3 11 0 8  40 ; c 21  ( 1)  0 8  16 ; c31  ( 1)  5 3  9 c11  ( 1)       2 3 2  2  1 3 3  2  1 3 12  1 8  13 ; c 22  ( 1)  1 8  5 ; c32  (1) 2 3  3 c12  ( 1)       2 5 23  1 2  33  1 2  13  1 0   5 ; c 23  (1)  1 0   2 ; c33  ( 1)  2 5   1 c13  (1)        40 13  40 16 9 15  C   16 2 ; C   13 3 t 5 5      9  5 3 1 2 1  40 16 9 1t 3 1  .C  13 5 A   1 2 1 5 b) P hương pháp thứ hai (Phương pháp biế n đổi ma trận) Bước 1: Tính detA (Nếu detA  0) Bước 2: L ập ma trận (A|I) Bước 3: Thực hiện các phép biến đ ổi về hàng biến ma trận (A|I) thành ma trận (I|A1) Thí dụ: Xét lại ví dụ đã cho detA = 1  0 13
 1 2 3 1 0 0  2 5 3 0 1 0    1 0 8 0 0 1  Nhân hàng 1 với 2 cộ ng vào hàng 2. Nhân hàng 1 với 1 cộ ng vào hàng 3. 1 2 3 1 0 0   0 1 3 2 0 1    0 2 5 1 0 1  Nhân hàng 2 với 2 cộ ng vào hàng 1 Nhân hàng 2 với 2 cộng vào hàng 3. 0 0 5 2 1 0  0 0 1 3 2 1   0 1 5 2 0 1  Chia hàng 3 cho 1 0 9 5 2 0  1  0 1 3 2 1 0    0 1 5 2 1 0  Nhân hàng 4 với 9 cộ ng vào hàng 1 Nhân hàng 4 với 3 cộng vào hàng 2 0 40 16 9  1 0   3 0 13 5 0 1   5 2 1 0 0 1   40 16 9   13 5 3 1 A    5 2 1 4. HỆ P HƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4.1 Đị nh nghĩa d ạng tổng quát củ a hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa: Hệ m phương trình đ ại số bậc nhất đối với n ẩn số xi gọi là hệ phương trình tuyế n tính:  a11 x1  a12 x 2  K  a 1n x n  b1  a 21 x1  a 22 x 2  K  a 2n x n  b2 (1.11) K   a m1x1  a m2 x 2  K  a mn x n  b m Ở đây aij là hệ số của ẩn xj ở phương trình thứ i. Bi l à vế phải của phương trình thứ i. Nếu bi  0 i  1, m hệ phương trình tuyế n tính gọi là thuần nhất. Định nghĩa 2: Dạng ma tr ận của hệ phương trình tuyến tính 14
 a1 1 a12 K a1n  a a 2n  a K Gọi A   21 22  là ma trận hệ số . M   a m1 a m2 K a mn    t B   b1 bm  là ma trận vế p h ải b2 K t X   x1 x 2 K x n  là ma trận ẩn số . Hệ (1.1) viết lại dưới dạng ma trận như sau: AX = B (1 .12) 4.2 Hệ Cramer Xét hệ phương trình (5.12) AX = B, với AM,n , B và XM1n. Định nghĩa 5.12: Hệ (5.12) với AM,n gọi là hệ Cramer nế u detA  0. Định lý: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được xác định bởi công thức det A i xi  det A Ở đ ây Ai là ma trận nhận đư ợc từ A bằng cách thay cột thứ i bởi ma trận vế phải B Thí dụ: Giải hệ  x1  2x 2  3x3  8   2x 3  6  x1  3x1  4x 2  6x 3  30   1 2 3  8 A   1 0 2 B   6 Ta có ;    3 4 6   30  8 2 3  1 8 3 2 8 1 A1   6 0 2 A 2   1 6 2 A3   1 0 6 ; ;        3 30 6   3  30 4 6 4 30 Ở đây detA = 44 ; detA1 = 40 ; detA2 = 72 ; detA3 = 152 Nghiệm c ủa hệ l à: 40 10 72 18 152 38 ; x2  ; x3  x1      44 11 44 11 44 11 4.3 Gi ải hệ phương trình tuyến tính b ằng phương pháp Gauss Xét hệ (1.11). Ta có các trư ờng hợ p xảy ra như sau: Nếu m > n, tức số phương trình nhiều hơn số ẩn, ta có thể ghép các phương trình để số phương trình bằng số ẩn. Nếu m < n, tức số phương trình ít hơn số ẩn, ta có thể chuyển một số hạng chứa ẩn ở vế trái sang vế phải để nhận được số phương trình bằng số ẩn. Như vậy ta luôn đưa (1.11) về hệ có số phương trình bằng số ẩn: AX = B với A M,n 15
Sử dụng các phép biến đổi về hàng ta luôn đưa được phương trình có ma trận hệ số dạng tam giác trên. A* X = B* (1.13) A*  (a ij* ) ,n , a ij  0 nế u i > j Giải ngược hệ từ dư ới lên ta rút ra giá trị của các nghiệm. Cách giải: Bước 1: L ập ma trận [A|B] Bước 2: Biến đổi [A|B] về dạng [A* |B* ] trong đó A* l à ma tr ận tam giác trên. Bước 3: Giải ngược t ừ dưới lên tìm các giá trị của nghiệm. Thí dụ: Giải hệ  x1  x 2  2x 3  1  3x1  9x 2  6x 3  6  2x  4x  3x  9 1 2 3 1 2 1 1  A | B   3 6 6 9   2 3 10 4    Nhân hàng 1 với 3 cộ ng vào hàng 2 Nhân hàng 1 với 2 cộ ng vào hàng 3. 1 2 1 1  0 3 6 0   0 8 2 7   1  Nhân hàng 2 với  cộng vào hàng 3 3 1 2 1 1  A | B    0 6 0 3 * *    0 0 7 7   Giải ngược từ dưới lên ta có: 7x3 = 7  x3 = 1 1 6x2 = 3  x2 = 2 1 x1  x 2  2x 3  1  x1  2 2 4.4 Hệ thuần nhất Xét hệ t huần nhất AX = 0 (1.14) Với AM,n * Nếu detA  0 , hệ có nghiệm duy nhất x i  0 i Nghiệm này gọi là nghiệm t ầm thường c ủa hệ t huần nhất. 16
* Nếu detA = 0 , hệ t huần nhất có nghiệm không t ầm thườ ng tức là các nghiệm xi không đồng thời bằng 0. 4.5 Hạng củ a ma trận_Hạng củ a hệ phương trình tuyến tính tổng quát a) Hạng của ma trận Định nghĩa 5.13 : Ma trận vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ đi m p hàng và n p cột gọi là ma trận con c ấp p của A. Định thức của ma trận con cấp p gọi là định thức con cấp p c ủa A. Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không c ủa A. Kí hiệ u: r(A) Nhận xét: 1) Vì B M,p thì detB = detB t Nên r(A) = r(At ) 2) Nếu biến đ ổi A về dạng bậc thang thì r(A) bằng số hàng khác không c ủa ma trận bậc thang suy ra từ A. b) Hạng của hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 1.15: H ạng của hệ phương trình tuyế n tính tổng quát AX = B là số hàng khác không của ma trận bậc thang suy ra từ [A|B]= A Định lý KroneckerCapelli Hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B có nghiệm khi và chỉ khi r (A)  r(A) Thí dụ: Biện luận theo a, b nghiệm c ủa hệ phương trình:  x1  2x 2  ax 3  3  3x1  x 2  ax3  2  2x  x  3x  b 1 2 3 1 2 a 1. Ta có: det A  3 1 a  2a  21 2 1 3 21 Nếu detA  0 tức a  hệ có nghiệm duy nhất. 2 21 2. Nếu detA = 0 t ức a  2 12 Vì  7  0 nên r(A) = 2 3 1 Theo định lý KroneckerCapelli đ ể hệ có nghiệm ta c ần r (A)  2 21 Thế giá trị a  vào phương trình và đưa [A|B] về dạng bậc thang ta có: 2 17
1 2 21 2 3  A 2 1  21 2 3     b 2 1 3   Nhân hàng 1 với 3 cộ ng vào hàng 2 Nhân hàng 1 với 2 cộ ng vào hàng 3 1 2 21 2 3   7  1 42 3    18 b  6 2 1   3 Nhân hàng 2 với  cộng vào hàng 3. 7 1 2 21 2 3    7 42 7 3  0 b 3 0 0  Để r (A)  2 thì b  3 = 0  b = 3 3. Nếu b  3  0 tức r (A)  3 . Hệ vô nghiệm. 21 Kết luận: a  hệ duy nhất nghiệm 2 21 a  , b  3 hệ vô số n ghiệm 2 21 a  , b  3 hệ vô nghiệm 2 18