Bài giảng về Ma trận_ Định thức

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

98
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học chuyên môn toán cao cấp - Giáo trình đại số tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng về Ma trận_ Định thức

1 Ch¬ng 2 Ma trËn_ §Þnh thøc 2.1 Ma trËn 1. Kh¸i niÖm vÒ ma trËn §Þnh nghÜa 2.1: Ma trËn cÊp m× n lµ mét b¶ng ch÷ nhËt gåm m.n sè trªn trêng K ®îc xÕp thµnh m hµng vµ n cét. Mçi ma trËn ®îc ký hiÖu bëi mét ch÷ c¸i in hoa. Ma trËn A ®îc ký hiÖu lµ  a11 a12 ... a1n     a 21 a 22 ... a 2 n  A=   (2_1) ...   a   m1 a m 2 ... a mn  HoÆc: A= (aij)m× n (i= 1, m ;j= 1, n ) (2_2) Trong ®ã aij lµ phÇn tö n»m trªn hµng thø i vµ cét thø j cña ma trËn A, i gäi lµ chØ sè hµng j gäi lµ chØ sè cét cña aij. NÕu m=n, A ®îc gäi lµ ma trËn vu«ng cÊp n, vµ ký hiÖu A=(a ij)nxn. Khi ®ã c¸c phÇn tö n»m trªn ®êng chÐo tõ gãc trªn bªn tr¸i xuèng gãc díi bªn ph¶i: a11,a22,...,ann , gäi lµ c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo chÝnh, c¸c phÇn tö n»m trªn ®êng chÐo tõ gãc trªn bªn ph¶i xuèng gãc díi bªn tr¸i: a1n,a2n-1,...,an1 gäi lµ c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo phô. Ta gäi tæng c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo chÝnh lµ Vet(A), vËy: Vet(A)=a11+a22+...+ann VÝ dô 2.1: Ma trËn cÊp 3 × 4 thùc: 8 4 2 0    A=  4 10 5 4   2 5 6,5 4    Cã: a11=8 a12=4 a13=2 a14=0 a21=4 a22=10 a23=5 a24=4 a31=2 a32=5 a33=6,5a34=4 Ma trËn vu«ng cÊp 3 phøc: 1 + i 2 − 3i 1 − i    B=  − 12i i 2 + 2i     3 + 4i 9 + 2i 12  Cã Vet(B)=1+i+i+12=13+2i. Mét ma trËn mµ mäi phÇn tö ®Òu b»ng 0 gäi lµ ma trËn kh«ng, ký hiÖu lµ θ.  0 0 ... 0    0 0 ... 0 θ=   ...    0 0 ... 0
Mét ma trËn vu«ng cÊp n mµ c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 1 vµ mäi phÇn tö cßn l¹i ®Òu b»ng 0 gäi lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n, ký hiÖu lµ I  1 0 ... 0    0 1 ... 0 I=   ...    0 0 ... 1 2. C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn a. Hai ma trËn b»ng nhau Hai ma trËn A,B ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã cïng cÊp vµ c¸c phÇn tö t¬ng øng b»ng nhau, ký hiÖu A=B. Nh vËy: A=(aij)m× n=B=(bij)m× n⇔ aij=bij (i= 1, m ;j= 1, n ) (2_3) b. PhÐp céng ma trËn Cho hai ma trËn cïng cÊp A=(a ij)m× n vµ B=(bij)m× n, tæng cña A vµ B lµ mét ma trËn cïng cÊp C=(cij)m× n, ký hiÖu: C=A+B víi: cij=aij+bij (i= 1, m ;j= 1, n ) (2_4) Nh vËy muèn céng hai ma trËn cïng cÊp ta céng c¸c phÇn tö t¬ng øng cña hai ma trËn víi nhau. C¸c tÝnh chÊt : Tõ tÝnh chÊt cña phÐp céng hai sè ta cã c¸c tÝnh chÊt sau cña phÐp céng ma trËn 1. TÝnh giao ho¸n: A+B=B+A 2. TÝnh kÕt hîp: (A+B)+C=A+(B+C) 3. A+θ =θ +A=A c. PhÐp nh©n mét sè víi mét ma trËn TÝch cña mét sè k víi mét ma trËn A=(a ij)m× n lµ mét ma trËn C=(cij)m× n ,ký hiÖu C=k.A, víi: cij=k.aij (i= 1, m ;j= 1, n ) (2_5) Nh vËy muèn nh©n mét sè víi mét ma trËn ta nh©n sè ®ã víi mäi phÇn tö cña ma trËn. C¸c tÝnh chÊt: 1. TÝnh kÕt hîp: (k.t)A=k(t.A) 2. TÝnh ph©n bè víi phÐp céng ma trËn: k.(A+B)=k.A+k.B 3. TÝnh ph©n bè víi phÐp céng c¸c sè: (k+t).A=k.A+t.A d. PhÐp trõ ma trËn Ta gäi hiÖu cña hai ma trËn cïng cÊp A vµ B lµ mét ma trËn cïng cÊp C, ký hiÖu: C=A- B, víi: C=A+(-1).B (2_6) e. PhÐp nh©n ma trËn Ta gäi tÝch cña ma trËn A=(aik)m× n cÊp m× n víi ma trËn B=(bkj)n× p cÊp n× p lµ mét ma trËn C=(cij)m× p cÊp m× p ký hiÖu: C=A.B mµ c¸c phÇn tö cij ®îc x¸c ®Þnh nh sau: n cij= ∑ aik bkj (i= 1, m ;j= 1, p ) (2_7) k =1 Nh vËy cij b»ng tæng cña tÝch c¸c phÇn tö trªn hµng i cña ma trËn A víi c¸c phÇn tö t¬ng øng trªn cét j cña ma trËn B. Ma trËn C cã sè hµng b»ng sè hµng cña ma trËn A, cã sè cét b»ng sè cét cña ma trËn B. VÝ dô 2.2: Cho A vµ B lµ c¸c ma trËn: Chương 2 2
−1 2 1 2 3 4      0 1 a. A=  0 1 5 1  B=   − 1 2 0 1 2 − 2      1 4 Khi ®ã tÝch C=A.B cã c¸c phÇn tö lµ: c11=1.(-1)+2.0+3.2+4.1=9 c12=1.2+2.1+3.(-2)+4.4=14 c21=0.(-1)+1.0+5.2+1.1=11 c22=0.2+1.1+5.(-2)+1.4=-5 c31=(-1)(-1)+2.0+0.2+1.1=2 c32=(-1).2+2.1+0(-2)+1.4=4  9 14   hay C=  11 − 5    2 4 1 2  2 − 1 b. A=  , B=   0 1 1 0  4 − 1 2 3 AB=   , BA=   1 0 1 2 TÝnh chÊt: 1. TÝnh kÕt hîp: (A.B).C=A.(B.C) 2. TÝnh ph©n bè víi phÐp céng: (A+B).C=A.C+B.C A(B+C)=AB+AC 3. Víi mäi ma trËn vu«ng A cÊp n th× a. A.I=I.A=A k b. A =A.A...A (k lÇn) Trong ®ã A0=I , cßn I lµ ma trËn ®¬n vÞ cïng cÊp víi A. Chóng ta chøng minh cho tÝnh kÕt hîp: Gi¶ sö c¸c ma trËn cã c¸c cÊp t¬ng øng lµ: A=(aik)m× n, B=(bkl)n× p, C=(clj)p× q. §Æt D=(A.B).C =(dij)m× q, D’=A.(B.C)=(d’ij)m× q Khi ®ã: p  n  p n dij = ∑  ∑ aik bkl  clj = ∑ ∑ aik bkl clj l =1  k =1  l =1 k =1 n p n  p  = ∑∑ a ik bkl clj = ∑ aik  ∑ bkl clj    k =1 l =1 k =1  l =1  (i= 1, m ;j= 1, q ) Tõ ®ã cã D=D’ hay phÐp nh©n ma trËn cã tÝnh kÕt hîp. Chó ý : 1. VÝ dô 2.2.b chøng tá phÐp nh©n ma trËn kh«ng giao ho¸n. Khi ®ã mét ma trËn vu«ng giao ho¸n víi mäi ma trËn vu«ng cïng cÊp ta gäi lµ ma trËn v« híng. 2. øng dông c¸c phÐp to¸n trªn ma trËn ta cã thÓ lËp ®a thøc trªn c¸c ma trËn vu«ng. Cho ®a thøc Pn(x)=a0+a1x+...+anxn vµ ma trËn vu«ng A cÊp m, khi ®ã: Pn(A)=a0I+a1A+...+anAn gäi lµ mét ®a thøc trªn A. HiÓn nhiªn Pn(A) còng lµ mét ma trËn vu«ng cÊp n.  1 2 VÝ dô 2.3: Cho P2(x)=2+x-x2 vµ A=   − 1 1  , tÝnh P2(A).    Ta cã: Chương 2 3
 1 2  1 2  −1 4 A 2=  −1   =   1  −1  1  − 2   − 1  VËy 1 0  1 2  −1 4  4 − 2 P2(A)=2  0  +  - =   1  − 1   1  − 2   − 1 1   4  2 − 1 VÝ dô 2.4: TÝnh An biÕt A=    3 − 2 Ta cã:  2 − 1  2 − 1 1 0 A2=A.A=    = =I  3 − 2  3 − 2 0 1 Nªn nÕu: n=2k: An=A2k=A2A2...A2=I n=2k+1: An=A2k.A=A2A2...A2A=IA=A f. ChuyÓn vÞ ChuyÓn vÞ cña A=(a ij)m× n lµ ma trËn nhËn ®îc tõ A b»ng c¸ch ®æi hµng thµnh cét vµ ®æi cét thµnh hµng, ký hiÖu AT. Nh vËy AT=(a’ij)n× m=(aji)n× m,lµ ma trËn cÊp n× m, hiÓn nhiªn: (AT)T=A. 0 1 e   0 1 e e2      1 e e  2 VÝ dô 2.5: A=  1 e e 2 0  , AT=  2   e e 0 2 1  e e 0   2  e 0 1  g. Tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c cét hoÆc c¸c hµng Cho ma trËn A=(aij)m× n, gäi c¸c ma trËn cÊp m× 1:  a11   a12   a1n        a 1  21  a 2  22  a2n a =  a = ... a =   n ... ...   ...         a m1   a m2   a mn  lµ c¸c vÐc t¬ cét cña A, víi mçi cÆp k sè x1,x2,...,xk (1≤ k≤ n) gäi: x1.a1+x2.a2+....+xk.ak =  a11   a12   a1k         a 21  +x  a 22  + ... +x  a 2 k  = x1   2  ...   ...  k ...        a m1   a m2   a mk   a11 x1 + a12 x2 +...+ a1k x k     a 21 x1 + a 22 x2 +...+ a 2 k x k  =  (2_8) ...    a m1 x1 + a m2 x2 +...+ a mk x k  Lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña k cét t¬ng øng cña A. T¬ng tù ta gäi c¸c ma trËn cÊp 1× n: a’1 = ( a11 a12 ... a1n ) a’2= ( a21 a22 ... a2n ) - - - ... - Chương 2 4
a’m= ( am1 am2 ... amn) lµ c¸c vÐc t¬ hµng cña A, vµ víi k sè x1,x2,..,xk (1≤ k≤ m ) ta gäi biÓu thøc: x1.a’1+x2a’2+...+xk.a’k lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña k hµng t¬ng øng cña A. 3. Mét sè ma trËn d¹ng ®Æc biÖt a. Ma trËn tam gi¸c trªn Lµ ma trËn vu«ng cÊp nxn mµ mäi phÇn tö n»m bªn díi ®êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 0, ký hiÖu U, vËy:  u11 u12 ... u1n    0 u22 ... u2 n  U=   ...   0 0 ... unn  b. Ma trËn tam gi¸c díi Lµ ma trËn vu«ng cÊp nxn mµ mäi phÇn tö n»m bªn trªn ® êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 0, ký hiÖu L, vËy:  l11 0 ... 0    l21 l22 ... 0  L=   ...    ln1 ln 2 ... lnn  c. Ma trËn ®êng chÐo Mét ma trËn vu«ng cÊp n mµ mäi phÇn tö ë ngoµi ®êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 0 th× gäi lµ ma trËn ®êng chÐo. DÔ dµng thÊy, nÕu:  λ1 0 ... 0   λ1k 0 ... 0       0 λ 2 ... 0  0 λk ... 0  2  th× B =  ...  k 1. B=  ...     0 0 ... λ n  0 k     0 ... λn  d 0 ... 0  1 0 ... 0       0 d ... 0   0 1 ... 0  2. D=   =d  ...  ...      0 0 ... d   0 0 ... 1     lµ ma trËn v« híng hay nã giao ho¸n víi mäi ma trËn vu«ng cïng cÊp trong phÐp nh©n ma trËn. d. Ma trËn ®èi xøng Lµ ma trËn vu«ng A cÊp nxn mµ: AT= A hay aij = aji (i= 1, n ; j= 1, n ). NÕu AT=-A hay aij =- aji(i= 1, n ; j= 1, n ) th× A ®îc gäi lµ ma trËn ph¶n ®èi xøng. HiÓn nhiªn A ph¶n ®èi xøng th× a ii=0 (i= 1, n ). Cßn víi mäi ma trËn A, tÝch AA T vµ ATA lµ ma trËn ®èi xøng. 0 1 e e2    VÝ dô 2.6: Cho A=  1 e e2 0  khi ®ã víi e=i tÝch:   e e2 0 1 Chương 2 5
0 1 e  0 1 e e2     1 0 − 2   1 e e2    AAT=  1 e e 2 0 e = 0 1 0   e2 0     e e2 0 1   − 2 0 1  2  e 0 1 d. Ma trËn khèi (i) Ph©n chia mét ma trËn thµnh ma trËn khèi C¸c ®êng th¼ng ®øng vµ c¸c ®êng n»m ngang sÏ chia mét ma trËn A thµnh c¸c khèi h×nh ch÷ nhËt, mµ mçi khèi lµ mét ma trËn cã cÊp nhá h¬n cÊp cña ma trËn A, khi ®ã ta gäi A lµ ma trËn khèi. VÝ dô 2.7: Cã thÓ ph©n ma trËn A díi ®©y thµnh c¸c khèi nh sau:  1 2 1 − 1 0 1  ( 1 2) ( 1 − 1 0 1)       − 1 1 1 0 − 1 1   − 1 1  1 0 − 1 1     A=  0 1 − 1 1 0 1  =   0 1  − 1 1 0 1     1 − 1 0 0 1 0    1 − 1  0 0 1 0         1 0 1 2 1 0    1 0  1 2 1 0  C¸c khèi cña A lµ A11 = ( 1 2) A12 = ( 1 − 1 0 1)  − 1 1  1 0 −1 1      0 1 −1 1 0 1 A21 =  A22 =  1 − 1  0 0 1 0      1 0  1 2 1 0  A11 A12  Khi ®ã ta cã thÓ viÕt: A=  .  A21 A22  Nh vËy mäi ma trËn ®Òu cã thÓ xem lµ ma trËn khèi vµ cã nhiÒu c¸ch chia nã thµnh c¸c khèi. (ii) C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn khèi 1. Gi¶ sö A=(Aij)nxp , B=(Bij)nxp nÕu mçi tæng Aij +Bij cã thÓ thùc hiÖn th× C=(Cij)nxp=A+B=(Aij+Bij)nxp. 2. Gi¶ sö A=(Aij)nxp , B=(Bij)pxm nÕu mçi tÝch Aik.Bkj cã thÓ thùc hiÖn vµ nÕu: C ij= p ∑A k =1 ik . Bkj th× C=A.B Chó ý: C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn khèi rÊt cã lîi trong viÖc gi¶i ph ¬ng tr×nh ma trËn vµ cã nhiÒu øng dông trong kü thuËt c¬ khÝ vµ c«ng tr×nh. Ch¼ng h¹n nÕu A,B,C,D,P,Q,X,Y lµ c¸c ma trËn cã sè chiÒu t¬ng thÝch ®Ó c¸c phÐp to¸n ma trËn cÇn thiÕt thùc hiÖn ®îc th× hÖ ph¬ng tr×nh ma trËn:  AX + BY = P  CX + DY = Q cã thÓ ®a vÒ ph¬ng tr×nh ma trËn: A B  X  P  C    =  (2_9)  D  Y   Q      vµ ngîc l¹i. Chương 2 6
2.2 §Þnh thøc 1. Ho¸n vÞ vµ nghÞch thÕ a. Ho¸n vÞ Cho tËp c¸c sè N={1,2,3,...,n}. Ta gäi mçi ho¸n vÞ cña tËp N lµ mét song ¸nh: δ: N→N tõ N vµo chÝnh nã. NÕu δ (k ) = l k (k= 1, n ) ho¸n vÞ δ thêng ®îc ký hiÖu b»ng mét ma trËn cÊp 2xn:  1 2 ... n  δ=   l l ...l  (2_10)  1 2 n hay cho gän: δ={l1,l2,.....,ln} (2_11) Nh vËy mçi ho¸n vÞ trªn N lµ mét c¸ch s¾p xÕp n sè tù nhiªn 1,2,...,n, nªn cã n! ho¸n vÞ tõ n sè ®· cho. b. NghÞch thÕ XÐt mét ho¸n vÞ δ={l1,l2,...,ln}, víi mçi cÆp hai sè (li,lj)∈ δ nÕu ilj hay: (j-i). (lj-li)
b»ng k phÐp ®æi chç hai cét ®øng c¹nh nhau, trong ®ã ký hiÖu δ (k ) = δ k . −1 −1 2. §Þnh nghÜa ®Þnh thøc a. §Þnh nghÜa Cho ma trËn vu«ng A =(aij) cÊp n, ta gäi ®Þnh thøc cña A lµ sè: ∆= ∑ sgn (δ )a1l1 a 2l2 ...a nln (2_15) δ Trong ®ã tæng lÊy theo mäi ho¸n vÞ δ={l1,...,ln} cña {1,...,n}. §Þnh thøc cña ma trËn A ®îc ký hiÖu: det(A) hay A. a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n det(A)= ... a n1 a n 2 ... a nn Nh vËy ®Þnh thøc cña ma trËn A cÊp n lµ tæng cña n! sè h¹ng, mçi sè h¹ng lµ tÝch cña n phÇn tö cña A lÊy trªn n hµng vµ n cét kh¸c nhau, víi dÊu lµ dÊu cña ho¸n vÞ lËp thµnh tõ c¸c chØ sè cét. V× det(A) lµ mét sè nªn nã cã thÓ kh¸c hoÆc b»ng 0. NÕu det(A) ≠ 0 ta nãi r»ng ma trËn A kh«ng suy biÕn, nÕu det(A)=0 ta nãi ma trËn A suy biÕn. b. §Þnh thøc cña ma trËn vu«ng cÊp 3  a11 a12 a13    A=  a 21 a 22 a 23     a 31 a 32 a 33  Theo vÝ dô 2.8 c¸c ho¸n vÞ cña 1,2,3, lµ: δ1={1,2,3} víi sgn(δ1)=1 δ2={2,3,1} víi sgn(δ2)=1 δ3={3,1,2} víi sgn(δ3)=1 δ4={1,3,2} víi sgn(δ4)=-1 δ5={2,1,3} víi sgn(δ5)=-1 δ6={3,2,1} víi sgn(δ6)=-1 Khi ®ã: det(A)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 Nh vËy ®Þnh thøc cña ma trËn cÊp 3 gåm: Ba sè h¹ng mang dÊu d¬ng lµ: 1. TÝch c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo chÝnh. 2. TÝch c¸c phÇn tö trªn tam gi¸c cã c¹nh song song víi ®êng chÐo chÝnh. Ba sè h¹ng mang dÊu ©m lµ: 1. TÝch c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo phô. 2. TÝch c¸c phÇn tö trªn tam gi¸c cã c¹nh song song víi ®êng chÐo phô. Víi m« t¶ b»ng h×nh vÏ nh sau: a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 (2_16) a31 a32 a33 a31 a32 a33 §ã chÝnh lµ quy t¾c Xariut cho ®Þnh thøc cÊp 3. VÝ dô 2.9: TÝnh ®Þnh thøc cÊp 3 Chương 2 8
1 −1 2 ∆= 1 3 − 4 =1.3.(-3) + (-1).(-4)(-5) + 1.3.2 −5 3 −3 - 2.3.(-5) - 1.(-1).(-3) - 1.3.(-4)= -9-20+6+30-3+12=16 c. §Þnh thøc cña ma trËn cÊp 2 vµ cÊp 1 V× 1,2 chØ cã c¸c ho¸n vÞ {1,2} víi sgn{1,2}=1 vµ {2,1} víi sgn{2,1}=-1 nªn víi: a11 a12 = a11 .a 22 − a12 .a 21 a 21 a 22 A=(a) cã ∆= a 3. C¸c tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc TÝnh chÊt 1: det(A)=det(AT) Theo ®Þnh nghÜa ta cã: det(AT)= ∑ δ sgn(δ) aδ11 aδ 2 2 ...aδ n n (2_17) Trong ®ã aδ j j lµ phÇn tö n»m ë cét thø j vµ hµng thø δ j cña ma trËn A. Theo bæ ®Ò 1, n thõa sè cña tÝch: aδ11 aδ 2 2 ...aδ n n cã thÓ s¾p xÕp l¹i thµnh d¹ng: a1δ −1 a 2δ −1 ...a nδ −1 . Do δ vµ δ −1 1 2 n cã cïng sè nghÞch thÕ nªn: sgn( δ )=sgn( δ −1 ), vËy : det(AT)= ∑ sgn(δ-1) a1δ1−1 a 2δ 2−1 ...a nδ n−1 =det(A) (1_18) δ −1 Chó ý : Do tÝnh chÊt 1, mäi tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc ®óng cho hµng th× còng ®óng cho cét vµ ngîc l¹i. V× vËy chóng ta sÏ chØ chøng minh hoÆc cho hµng hoÆc cho cét. TÝnh chÊt 2: NÕu nh©n tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña mét hµng (hay mét cét) víi sè k th× ®Þnh thøc còng ®îc nh©n víi sè k. Ta chøng minh tÝnh chÊt ®èi víi hµng mét, chøng minh tÝnh chÊt ®èi víi hµng bÊt kú hoµn toµn t¬ng tù. Gi¶ sö c¸c phÇn tö cña hµng 1 ®îc nh©n víi k, khi ®ã: det(A)= ∑ sgn (δ )(ka1l1 )a 2l2 ...a nln δ = k ∑ sgn (δ )a1l1 a 2l2 ...a nln = k det(A) δ HÖ qu¶ 1: Thõa sè chung cña c¸c phÇn tö cña cïng mét hµng hoÆc mét cét cã thÓ ®a ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc. Do ®ã ®Þnh thøc cã mét hµng hoÆc mét cét gåm c¸c phÇn tö b»ng 0 th× b»ng 0. TÝnh chÊt 3: NÕu ®æi chç hai cét (hoÆc hai hµng) cho nhau th× ®Þnh thøc ®æi dÊu. NÕu ®æi chç hai cét cho nhau th× N(δ) sÏ t¨ng thªm hoÆc gi¶m ®i mét sè lÎ lÇn, do ®ã sign(δ) ®æi dÊu víi mäi δ, nh vËy mäi sè h¹ng cña (2_15) ®Òu ®æi dÊu, vËy det(A) ®æi dÊu. HÖ qu¶ 2: NÕu cã hai cét (hoÆc hai hµng) gièng nhau th× ®Þnh thøc b»ng 0. Ma trËn A cã hai cét (hoÆc hai hµng) gièng nhau, nÕu ta ®æi chç hai cét ®ã cho nhau, theo tÝnh chÊt 3, det(A) ®æi dÊu, nhng v× hai cét gièng nhau nªn khi ®æi chç cho nhau ta vÉn nhËn ®îc A do ®ã cã: det(A)=- det(A). Chøng tá det(A)=0. TÝnh chÊt 4: NÕu mçi phÇn tö cña mét hµng i (hoÆc cét j) lµ tæng cña hai sè, th× ®Þnh thøc ®· cho b»ng tæng cña hai ®Þnh thøc, mµ mçi ®Þnh thøc nhËn ®îc tõ ®Þnh thøc ban ®Çu b»ng c¸ch thay phÇn tö cña hµng i (cét j) t¬ng øng b»ng mét trong hai sè ®ã. T¬ng tù tÝnh chÊt hai, ta chøng minh tÝnh chÊt ®èi víi hµng mét. Gi¶ sö a 1j=a’1j+a”1j Khi ®ã tõ (2_15): Chương 2 9
det(A)=∆= ∑ sgn (δ )(a '1l1 + a ' '1l1 )a 2l2 ...a nln δ = ∑ sgn (δ )a' δ 1l1 a 2l2 ...a nln + ∑ sgn (δ )a' '1l1 a 2l2 ...a nln δ = det(A’)+det(A”) TÝnh chÊt 5: NÕu céng vµo mét cét (hoÆc hµng) mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c cét (hµng) kh¸c th× ®Þnh thøc kh«ng ®æi. ThËt vËy, t¸ch cét võa nhËn ®îc thµnh cét gåm c¸c phÇn tö cña cét ban ®Çu vµ cét gåm c¸c phÇn tö cña tæ hîp võa céng vµo. Theo hÖ qu¶ 2 ®Þnh thøc thø hai b»ng kh«ng, nªn cã tÝnh chÊt 5. HÖ qu¶ 3: NÕu mét cét (hoÆc hµng) cña A lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c cét (hoÆc hµng) kh¸c th× det(A)=0. Chó ý: Khi tÝnh ®Þnh thøc ta thêng ¸p dông c¸c tÝnh chÊt trªn ®a ®Þnh thøc vÒ d¹ng ®¬n gi¶n råi míi tÝnh. VÝ dô 2.10: TÝnh ®Þnh thøc 2001 1002 1 ∆ = 2003 1000 3 2002 1002 2 T¸ch cét mét thµnh hai cét ®îc: 2000 1002 1 1 1002 1 ∆ = 2000 1000 3 + 3 1000 3 2000 1002 2 2 1002 2 §Þnh thøc thø hai cã hai cét b»ng nhau nªn b»ng 0. §Æt 2000 lµm thõa sè chung cho cét mét ta ®îc: 1 1002 1 ∆ =2000 1 1000 3 1 1002 2 LÇn lît lÊy hµng hai vµ hµng ba trõ hµng mét ®îc: 1 1002 1 =2000 0 − 2 2 =-4000 0 0 1 4. Khai triÓn ®Þnh thøc theo c¸c phÇn tö cña hµng (hoÆc cét) a. §Þnh thøc con vµ phÇn phô ®ai sè Cho ∆=det(A). KÝ hiÖu ∆ ij lµ ®Þnh thøc nhËn ®îc tõ ∆ b»ng c¸ch bá ®i hµng i vµ cét j ( hµng vµ cét chøa phÇn tö aij) vµ gäi lµ ®Þnh thøc con t¬ng øng cña phÇn tö aij, vµ gäi Aij=(-1)i+j∆ ij lµ phÇn phô ®¹i sè cña aij. b. Khai triÓn ®Þnh thøc theo c¸c phÇn tö cña hµng (vµ cét) §Þnh lý 2.1: Víi mçi hµng i hoÆc cét j ta lu«n cã: n n ∆= ∑ (−1) j =1 i+ j aij ∆ ij = ∑ aij Aij j =1 (i= 1, n ) (2_19) n n ∆= ∑ (−1) i =1 i+ j aij ∆ ij = ∑ aij Aij i =1 (j= 1, n ) (2_20) Chøng minh: Ta chøng minh cho (2_19). Theo ®Þnh nghÜa: Chương 2 10
∆=det(A)= ∑ sgn (δ )a δ 1l1 a 2l2 ...a nln Víi mçi i x¸c ®Þnh, sè h¹ng a1l1 a2 l2 ... anln chøa ®óng mét thõa sè lµ phÇn tö cña hµng i. Víi j= 1, n ®Æt aij lµm thõa sè chung cho tÊt c¶ c¸c sè h¹ng chøa nã, vµ gäi A ij lµ hÖ sè cña aij.Khi ®ã: n det(A)= ∑ aij Aij (2_21) j =1 Tr¬c tiªn ta tÝnh A11. C¸c tÝch trong det(A) chøa a11 cã d¹ng: sgn(δ) a11a2 l2 ... anln víi δ={1,l2,...,ln} Gäi δ1={l2,l3,...,ln} hiÓn nhiªn N(δ1)=N(δ) nªn hÖ sè cña a11 lµ: A = ∑ sgn (δ 1)a 2l2 ...a nln 11 δ1 Tæng lÊy theo mäi ho¸n vÞ δ1 cña {2,3,...,n}, vËy: A11= ∆ 11 lµ ®Þnh thøc cÊp n-1 cña ma trËn nhËn ®îc tõ ma trËn A b»ng c¸ch bá ®i hµng 1 vµ cét 1. TÝnh Aij, tõ det(A)= ∆ ta h·y ®æi chç liªn tiÕp cét j cho cét j-1, sau ®ã ®æi cét j-1 cho cét j-2,....§æi chç hµng i cho hµng i-1, sau ®ã ®æi hµng i-1 cho hµng i-2,... Lµm nh vËy ta sÏ ®æi cét j vÒ cét 1, ®æi hµng i vÒ hµng 1, thø tù c¸c hµng vµ c¸c cét kh¸c vÉn gi÷ nguyªn. Gäi ®Þnh thøc nhËn ®îc lµ ∆’, v× cã i-1 lÇn ®æi hµng vµ j-1 lÇn ®æi cét nªn: ∆= (-1)i-1(-1)j-1∆’=(-1)i+j∆’ Mµ A’11=∆’11 trong ®ã ∆’11 lµ ®Þnh thøc cÊp n-1 nhËn ®îc tõ ∆’ b»ng c¸ch bá ®i hµng 1 vµ cét 1, ®ã còng chÝnh lµ ®Þnh thøc nhËn ®îc tõ ∆ b»ng c¸ch bá ®i hµng i cét j, hay ∆’11=∆ ij. Nh vËy ta ®îc: Aij=(-1)i+j∆ ij (2_22) chøng tá Aij lµ phÇn phô ®¹i sè cña aij. Thay (2_22) vµo (2_21) ®Þnh lý ®îc chøng minh. T¬ng tù ta cã c«ng thøc tÝnh theo c¸c phÇn tö cña cét j: n det(A)= ∑a i =1 ij Aij (2_23) Ta thÊy ®Þnh lý trªn cho phÐp tÝnh ®Þnh thøc cÊp cao qua c¸c ®Þnh thøc cÊp thÊp. HÖ qu¶ 4: n a. ∑a j =1 kj Aij =0 víi i≠ k (2_24) n b. ∑a i =1 ik Aij =0 víi j≠ k (2_25) Trong (2_24) ta ®· thay hµng i bëi hµng k, nªn nã lµ ®Þnh thøc cã hµng i vµ hµng k gièng nhau. Trong (2_25) ta ®· thay cét j bëi cét k, nªn nã lµ ®Þnh thøc cã cét j vµ cét k gièng nhau nªn chóng b»ng 0. VÝ dô 2.11: Khai triÓn ®Þnh thøc cÊp 3 theo hµng 1 ta ®îc: a22 a23 a21 a23 a21 a22 det(A)=a11 - a12 +a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 =a11(a22a33-a23a32)-a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32-a22a31) =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 còng lµ khai triÓn theo Xariut. VÝ dô 2.12: Liªn tiÕp khai triÓn theo cét 1 ®Þnh thøc tam gi¸c trªn: Chương 2 11
u11 u12 ... u1n u22 ... u2 n 0 u22 ... u2 n ∆= = u11 ... = u11u22 ...unn (2_26) ... 0 ... unn 0 0 ... unn Nh vËy ®Þnh thøc cña ma trËn tam gi¸c trªn b»ng tÝch c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo chÝnh. T¬ng tù liªn tiÕp khai triÓn theo hµng mét cña ®Þnh thøc tam gi¸c díi vµ ®Þnh thøc ma trËn chÐo ta ®îc: l11 0 ... 0 d11 0 .. 0 l 21 l 22 ... 0 0 d 22 ... 0 = l11…lnn, =d11…dnn ... ... l n1 l n 2 ... l nn 0 0 ... d nn HiÓn nhiªn ma trËn ®¬n vÞ I cã ®Þnh thøc b»ng 1. Khi tÝnh ®Þnh thøc ta thêng ¸p dông c¸c tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc ®a ®Þnh thøc vÒ c¸c d¹ng trªn råi lÊy kÕt qu¶. VÝ dô 2.13 : TÝnh ®Þnh thøc: 0 1 1 1 1 0 1 1 ∆= 1 1 0 1 1 1 1 0 Céng c¸c cét vµo cét 1, råi ®a 3 lµm thõa sè chung ta ®îc: 3 1 1 1 1 1 1 1 3 0 1 1 1 0 1 1 = =3 3 1 0 1 1 1 0 1 3 1 1 0 1 1 1 0 LÊy c¸c hµng trõ ®i hµng 1 ta ®îc: 1 1 1 1 0 −1 0 0 ∆=3 = -3 0 0 −1 0 0 0 0 −1 VÝ dô 2.14: Víi e =cost+i.sint ∈C, tÝnh ®Þnh thøc: 0 1 e ∆= 1 e e2 e e2 0 LÊy hµng 1 nh©n víi -e céng vµo hµng hai 0 1 e 1 0 0 0=e e 0 =e 2 3 ∆= 1 0 e e2 0 0 1 e =(cost+i.sint)3 =(cos3t+i.sin3t) VÝ dô 2.15: T×m x ®Ó ma trËn suy biÕn. Chương 2 12
1 x x2   A=  a 1 x    1 1 1 1 x x2 Ta cã ∆= a 1 x 1 1 1 LÊy hµng hai nh©n víi -x råi céng vµo hµng thø nhÊt, sau ®ã khai triÓn theo hµng thø nhÊt: 1 − ax 0 0 = a 1 x = (1 -a.x) (1-x) 1 1 1 1 NÕu x=1 hoÆc x= (a≠ 0) th× A lµ ma trËn suy biÕn. a VÝ dô 2.16: §Þnh thøc Wandermon TÝnh ®Þnh thøc dïng c«ng thøc truy to¸n: 1 1 ... 1 x1 x2 ... xn Wn= ... x1n −1 x2 −1 ... xn −1 n n LÇn lît víi i= n,2 lÊy hµng i-1 nh©n víi (-x1) råi céng vµo hµng i ta ®îc: 1 1 ... 1 0 ( x 2 − x1 ) ... ( x n − x1 ) Wn= ... 0 x 2 −2 ( x 2 − x1 ) ... x n − 2 ( x n − x1 ) n n §a c¸c thõa sè chung ra ngoµi vµ khai triÓn theo cét 1: 1 1 ... 1 x2 x3 ... xn Wn=(x2-x1).....(xn-x1) ... x2 − 2 x3 − 2 ... xn − 2 n n n Hay: Wn=(x2-x1).....(xn-x1) Wn-1 Trong ®ã W n-1 lµ ®Þnh thøc Wandermon cÊp n-1 kh«ng chøa x 1. TiÕn hµnh liªn tiÕp c¸c bíc nh trªn ta ®îc: Wn= 1≤∏ ( x j − xi ) i< j≤n (2_27) Chó ý: Khi gÆp ®Þnh thøc d¹ng Wandermon ta cã thÓ ¸p dông trùc tiÕp c«ng thøc (2_27). VÝ dô 2.17: Coi x1=1, x2=3, x3=5, x4=7 ta cã: Chương 2 13
1 3 5 7 1 1 1 1 2 2 2 1 3 5 7 1 3 5 7 = 3.5.7 = 1 3 3 5 3 73 1 32 5 2 7 2 3 3 3 1 34 54 7 4 1 3 5 7 =3.5.7.(3-1)(5-1)(7-1)(5-3)(7-3)(7-5)=23.3.42.5.6.7 VÝ dô 2.18: TÝnh ®Þnh thøc ®a vÒ d¹ng tam gi¸c trªn: x a1 a2 ... an −1 1 a1 x a2 ... an −1 1 Dn= ... a1 a2 a3 ... x 1 a1 a2 a3 ... an 1 LÇn lît nh©n cét cuèi víi -a1,-a2,...,-an råi céng t¬ng øng vµo c¸c cét 1, n : x − a1 a1 − a2 a2 − a3 ... an −1 − an 1 0 x − a2 a2 − a3 ... an −1 − an 1 n = ... = ∏ ( x − ai ) i =1 0 0 0 ... x − an 1 0 0 0 ... 0 1 VÝ dô 2.19: TÝnh ®Þnh thøc: a1 x x ... x x a2 x ... x Vn= x x a3 ... x Víi ai≠ x (i= 1, n ) ... x x x ... an LÊy c¸c hµng trõ ®i hµng ®Çu a1 x x ... x x − a1 a2 − x 0 ... 0 = x − a1 0 a3 − x ... 0 ... x − a1 0 0 ... an − x §a a1-x tõ cét 1,a2-x tõ cét 2,...,an-x tõ cét n lµm thõa sè chung a1 x x x ... a1 − x a 2 − x a3 − x an − x −1 1 0 ... 0 Vn=(a1-x)(a2-x)..(an-x) − 1 0 1 ... 0 ... −1 0 0 ... 1 LÊy tÊt c¶ c¸c cét céng vµo cét 1 ta sÏ ®îc ®Þnh thøc d¹ng tam gi¸c trªn nªn b»ng tÝch c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo chÝnh Chương 2 14
 a1 x x  Vn=(a1-x)(a2-x)...(an-x)   a − x + a − x + ... + a − x    1 2 n  VÝ dô 2.20: TÝnh ®Þnh thøc ¸p dông c¸c ®Þnh thøc ®· biÕt: 0 x x ... x x 0 x ... x Cn= ... x x x ... 0 víi x=cost-i.sint ∈C. ¸p dông Vn víi a1=a2=...=an=0 ta ®îc Cn=(n-1) (-1)n-1.xn Còng cã thÓ thùc hiÖn: Céng c¸c cét vµo cét mét, sau ®ã lÊy c¸c hµng trõ ®i hµng mét, ta ®a ®Þnh thøc vÒ d¹ng tam gi¸c trªn. Thay x=cost-i.sint ta ®îc: Cn=(n-1)(-1)n-1(cost-i.sint)n=(n-1)(-1)n-1(cosnt-i.sinnt) VÝ dô 2.21: TÝnh 0 1 1 ... 1 1 1 0 x ... x x Un= 1 x 0 ... x x ... 1 x x ... x 0 NÕu x=0 khai triÓn theo cét n ta ®îc Un=0. NÕu x≠ 0 nh©n hµng 1 vµ nh©n cét 1 víi x ®îc: 0 x x ... x x x 0 x ... x x 1 Un= 2 x x 0 ... x x x ... x x x ... x x 1 Theo vÝ dô 2.20 ta ®îc: Un= 2 Cn =(n-1).(-1)n-1.xn-2. x 5. §Þnh lý Laplace Cho ma trËn vu«ng cÊp n: A=(aij)n× n vµ mét sè k: 1≤ k ≤ n. Víi c¸c sè nguyªn: 1≤ i1
Tæng lÊy theo tÊt c¶ c¸c bé j1,j2,...,jk cã thÓ tho¶ m·n: 1≤ j1
VÝ dô 2.22: TÝnh 1 1 0 0 0 1 x1 x2 0 0 0 x3 a1 b1 1 1 1 c1 ∆= a b x1 x2 x3 c2 2 2 a3 b3 x12 2 x2 2 x3 c3 x12 x2 0 0 0 2 2 x3 ¸p dông ®Þnh lý Laplace cho c¸c hµng 1,2,6 ta cã: 1 1 1 1 1 1 ∆= x1 x2 x3 (-1)(1+2+6+1+2+6) x1 x2 x3 x12 x2 x3 2 2 x12 x2 x3 2 2 Sö dông c«ng thøc Wandermon ta ®îc ∆= [(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)] 2 VÝ dô 2.23: TÝnh ®Þnh thøc: a b c d −b a d c ∆= −c − d a b −d −c −b a Khai triÓn Laplace theo hai hµng ®Çu ta ®îc: a b a b a c −d b a d −d a ∆= - + −b a −b a −b d −c a −b c −c −b b c −c b b d −c a c d −c −d + - + a d −d a a c −d −b d c −d −c =(a +b ) - (b c -a d )+(ac+bd) +(bd-ac)2-(b2c2-a2d2)+(c2-d2)2 2 2 2 2 2 2 2 2  B C Chó ý: A lµ ma trËn vu«ng cÊp n cã d¹ng A=   θ D  trong ®ã B,D lµ ma trËn vu«ng , khi ®ã det(A)= det(B).det(D). b. §Þnh thøc cña ma trËn tÝch §Þnh lý 2.3: Cho A,B lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n, vµ C=A.B. Ta cã: det(C)=det(A).det(B). Chøng minh: Gi¶ sö A=(aik)n , B=(bkj)n vµ C=A.B=(cij)n, khi ®ã: n cij= ∑a k =1 ik bkj Víi I lµ ma trËn ®¬n vÞ, θ lµ ma trËn kh«ng cÊp n. XÐt ®Þnh thøc cña ma trËn khèi: Chương 2 17
a11 a12 ... a1n 0 0 ... 0 a 21 a 22 ... a 2 n 0 0 ... 0 ... A θ a n1 a n 2 ... a nn 0 0 ... 0 ∆= = − I B −1 0 ... 0 b11 b12 ... b1n 0 − 1 ... 0 b21 b22 ...b2 n ... 0 0 ... − 1 bn1 bn 2 ...bnn B»ng khai triÓn Laplace n hµng ®Çu ta ®îc: ∆=det(A)det(B) MÆt kh¸c, thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi: LÊy cét 1 cña B lµm hÖ sè nh©n cét 1 víi b 11, cét 2 víi b21, ..., cét n víi bn1, råi thªm tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c cét ®ã vµo cét n+1, (®Þnh thøc kh«ng ®æi). T¬ng tù, lÊy cét i cña B lµm hÖ sè; nh©n cét 1 víi b 1i, nh©n cét 2 víi b2i,...,nh©n cét n víi bni, råi thªm tæ hîp tuyÕn tÝnh cña n cét ®ã vµo cét n+i. LÇn lît thùc hiÖn t¬ng tù víi i= 2, n . Khai triÓn Laplace kÕt qu¶ cuèi cïng theo n hµng ®Çu ta ®îc: a11 a12 ... a1n c11 c12 ... c1n a21 a22 ... a2 n c21 c22 ... c2 n ... an1 an 2 ... ann cn1 cn 2 ... cnn ∆= =det(C) − 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 − 1 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ... − 1 0 0 ... 0 VËy det(C)= det(A.B)=det(A).det(B) (2_37) 2 VÝ dô 2.24: TÝnh ®Þnh thøc cña A víi:  a b c d   − b a d −c  A=  −c −d a b    − d c − b a  Ta cã det(A2)=det(A.AT) víi:  a b c d a − b − c − d    T  − b a d − c  b a − d c A.A =  − c − d a b  c d a −b     − d c − b a  d −c b a  §Æt m= a2+b2+c2+d2 ta ®îc: m 0 0 0   T  0 m 0 0 A.A =  0 0 m 0    0 0 0 m Do ®ã det(A2)=det(A.AT) =m4=( a2+b2+c2+d2) 4 Chương 2 18
2.3. Ma trËn ®¶o 1. §Þnh nghÜa Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n, vµ I lµ ma trËn ®¬n vÞ cïng cÊp. NÕu cã ma trËn B sao cho: A.B=B.A=I (2_38) th× B ®îc gäi lµ ma trËn ®¶o cña ma trËn A, ta còng nãi r»ng A cã nghÞch ®¶o, vµ ký hiÖu B=A-1. Tõ (2_38) nÕu B lµ nghÞch ®¶o cña A th× B còng cã nghÞch ®¶o vµ nghÞch ®¶o B - 1 =A. 2. §iÒu kiÖn tån t¹i vµ duy nhÊt §Þnh lý 2.4: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn A cã nghÞch ®¶o lµ A kh«ng suy biÕn ( det(A)≠ 0). §iÒu kiÖn cÇn: NÕu A cã nghÞch ®¶o B, tõ A.B=I ta cã: det(AB)=det(A)det(B)=det(I)=1 VËy det(A)≠ 0 hay A kh«ng suy biÕn. §iÒu kiÖn ®ñ: Gi¶ sö det(A)≠ 0, ta lËp ma trËn A* gäi lµ ma trËn phô hîp cña A:  A11 A21 ... An1     A12 A22 ... An 2  A*=   (2_39) ...    A1n A2 n ... Ann  Trong ®ã Aij lµ phÇn phô ®¹i sè t¬ng øng cña aij. §Æt 1 B= A*, C=AB=(cij)n (2_40) det( A) Khi ®ã theo hÖ qu¶ 4:  1  det( A) .0 = 0 khi i ≠ j 1 n  cij= ∑ aik A jk =  1 det( A) k =1  . det( A) = 1 khi i = j  det( A)  Hay C=I. Chøng tá B lµ ma trËn ®¶o cña A. HÖ qu¶ 5: NÕu A cã A-1 th×: 1 a. det(A-1)= det( A) -1 b. A lµ duy nhÊt. ThËt vËy, tõ det(A.A-1)=det(A).det(A-1)=det(I)=1 hay 1 det(A-1)= det( A) NÕu B,C ®Òu lµ ®¶o cña A khi ®ã: B=B.I=B.(AC)=(B.A)C=I.C=C VËy B=C. VÝ dô 2.25: T×m ma trËn X tõ ph¬ng tr×nh ma trËn: Chương 2 19
1 −2 0 1 2      3 2 1  X=  0 1 0 2 1  3 1     1 −2 0 Ta cã: det(A)= 3 2 1 = 15≠ 0. nªn cã A-1. Tõ ph¬ng tr×nh ma trËn ta cã: 0 1 2 −1 1 −2 0 1 2      X=  3 2 1  0 1 0 1 2  3 1     TÝnh A* 2 1 3 1 3 2 A11= =3 A12=- =-6 A13= =3 1 2 0 2 0 1 −2 0 1 0 1 −2 A21=- =4 A22= =2 A23=- =-1 1 2 0 2 0 1 −2 0 1 0 1 −2 A31= =-2 A32=- =-1 A33= =8 2 1 3 1 3 2  3 4 − 2  3 4 − 2   1   VËy A*=  − 6 2 − 1 A =  − 6 2 − 1 -1   15    3 − 1 8  3 − 1 8  3 4 − 2 1 2  − 3 8  1    1  X=  − 6 2 − 1  0 1 =  − 9 − 11 15    15  27 13   3 − 1 8  3 1    VÝ dô 2.26: TÝnh ma trËn ®¶o cña 1 + i 2 − i 3 + i   A=  0 1 2−i   0 0 1− i    Ta cã det(A)=(1+i).(1-i)=2 1 2−i 0 2−i 0 1 A11= =1-i A12= − =0 A13= =0 0 1− i 0 1− i 0 0 2−i 3+i 1+ i 3+i A21= − =-1+3i A22= =2 0 1− i 0 1− i 1+ i 2 − i 2−i 3+i A23= − =0 A31= =-5i 0 0 1 2−i 1+ i 3 + i 1+ i 2−i A32= − =-3-I A33= =1+i 0 2−i 0 1 1 − i − 1 + 3i − 5i  1 −1  VËy A = 0 2 − 3 − i 2 0 0 1+ i  Chương 2 20