ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG TRƯỜNG THCS

Chia sẻ: La Mai Trang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

181
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giá trị tuyệt đối là một khái niệm được phổ biến rộng rãi trong các ngành khoa học Toán - Lí, Kỹ thuật,...Trong chương trình Toán ở bậc THCS, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số được gặp nhiều lần, xuyên suốt từ lớp 6 đến lớp 9. ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua bài 2: " Thứ tự trong Z", học sinh nắm được cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên và bước đầu hiểu ý nghĩa hình học của nó....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG TRƯỜNG THCS

trêng ®¹i häc s ph¹m hµ néi khoa to¸n – tin ====***=== ®Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m mét sè vÊn ®Ò vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trong trêng thcs Gi¶ng viªn híng dÉn: GS.TS.Tèng TrÇn Hoµn. Ngêi thùc hiÖn: Vò ThÞ Hoa H¶i D¬ng n¨m 2006 môc lôc
Trang A. nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 3 I: C¸c ®Þnh nghÜa 3 II: C¸c tÝnh chÊt 6 B. c¸c d¹ng bµi to¸n vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trong ch¬ng tr×nh THCS 9 Chñ ®Ò I: Gi¶i ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 9 I. KiÕn thøc cÇn lu ý II. Bµi tËp ®iÓn h×nh 9 Chñ ®Ò II: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 10 I. KiÕn thøc cÇn lu ý II. Bµi tËp ®iÓn h×nh 14 Chñ ®Ò III: §å thÞ hµm sè chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 14 I. §å thÞ hµm sè y = f( x ) 14 II. §å thÞ y = f(x) 17 III. §å thÞ y = f (x) IV. §å thÞ y = f ( x ) 17 V. §å thÞ y = f (x ) 18 Chñ ®Ò IV: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc 19 chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 20 I. KiÕn thøc cÇn lu ý 20 II. Bµi tËp ®iÓn h×nh 24 c. §¸p ¸n d. tµi liÖu tham kh¶o 24 e.kÕt luËn 24 f. gi¸o ¸n thùc nghiÖm 26 30 31 32 PhÇn I: Lêi nãi ®Çu Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lµ mét kh¸i niÖm ®îc phæ biÕn réng r·i trong c¸c ngµnh khoa häc To¸n - LÝ, Kü thuËt,...Trong ch¬ng tr×nh To¸n ë bËc THCS, kh¸i niÖm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè ®îc gÆp nhiÒu lÇn, xuyªn suèt tõ líp 6 ®Õn líp 9. ë líp 6, häc sinh b¾t ®Çu lµm quen víi kh¸i niÖm " Gi¸ trÞ tuyÖt 2
®èi" qua bµi 2: " Thø tù trong Z", häc sinh n¾m ®îc c¸ch t×m gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè nguyªn vµ bíc ®Çu hiÓu ý nghÜa h×nh häc cña nã. Nhê ®ã s¸ch gi¸o khoa dÇn dÇn ®a vµo c¸c quy t¾c tÝnh vÒ sè nguyªn råi ®Õn sè h÷u tû. ë líp 8, tuy kh«ng cã trong ch¬ng tr×nh gi¶ng d¹y song bµi: " Gi¶i ph- ¬ng tr×nh cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi" ®îc rÊt nhiÒu gi¸o viªn quan t©m vµ trang bÞ ®Çy ®ñ cho häc sinh nhÊt lµ c¸c häc sinh kh¸ giái. §Õn líp 9, khi xÐt c¸c tÝnh chÊt cña c¨n thøc bËc hai, kh¸i niÖm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi l¹i cã thªm øng dông míi( ®a mét thõa sè ra ngoµi c¨n, ®a mét thõa sè vµo trong c¨n, khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n,...) Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lµ mét kh¸i niÖm trõu tîng vµ quan träng v× nã ®îc sö dông nhiÒu trong qu¸ tr×nh d¹y To¸n ë THCS còng nh THPT vµ §¹i Häc,...ViÖc n¾m v÷ng kh¸i niÖm nµy ë bËc THCS sÏ lµ nÒn t¶ng c¬ b¶n cÇn thiÕt ®Ó c¸c em cã thÓ tiÕp thu nh÷ng kiÕn thøc cao h¬n ë c¸c bËc häc sau. Tríc nhu cÇu n©ng cao kiÕn thøc cña b¶n th©n còng nh n©ng cao kiÕn thøc cho ngêi d¹y còng nh ngêi häc vÒ kh¸i niÖm " Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi", chóng t«i quyÕt ®Þnh chän ®Ò tµi: " Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trong trêng THCS". T«i mong r»ng ®Ò tµi nµy cña t«i sÏ gióp cho gi¸o viªn còng nh häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ häc tËp cña m×nh. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n GS. TS Tèng TrÇn Hoµn ®· híng dÉn vµ gióp ®ì t«i hoµn thµnh tèt ®Ò tµi nµy ! V× hoµn thµnh trong mét thêi gian ng¾n nªn ®Ò tµi cßn nhiÒu h¹n chÕ, thiÕu sãt. T«i rÊt mong nhËn ®îc sù quan t©m, ®ãng gãp ý kiÕn cña thÇy c« gi¸o vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp. A. nhøng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi I. C¸c ®Þnh nghÜa 1. 1. §Þnh nghÜa 1 Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi thùc chÊt lµ mét ¸nh x¹ f: R R+ a a víi mçi gi¸ trÞ a ∈ R cã mét vµ chØ mét gi¸ trÞ f(a) = a ∈ R+ 1.2. §Þnh nghÜa 2 Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè thùc a, ký hiÖu a lµ: a nÕu a ≥ 0 3
a = -a nÕu a < 0 VÝ dô1: 15 = 15 − 32 = 32 0 =0 −1 = 1 − 17 = 17 *Më réng kh¸i niÖm nµy thµnh gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc A(x), kÝ hiÖu A(x) lµ: A(x) nÕu A(x) ≥ 0 A(x) = -A(x) nÕu A(x) < 0 VÝ dô 2: 1 2x - 1 nÕu 2x- 1 ≥ 0 2x - 1 nÕu x ≥ 2 2x −1 = = 1 -(2x - 1) nÕu 2x - 1 < 0 1 - 2x nÕu x < 2 1.3. §Þnh nghÜa 3: Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña sè nguyªn a, kÝ hiÖu lµ a , lµ sè ®o( theo ®¬n vÞ dµi ®îc dïng ®Ó lËp trôc sè) cña kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm a ®Õn ®iÓm gèc 0 trªn trôc sè ( h×nh 1). -a 0 a -a a H×nh 1 VÝ dô 1: 3 a =3 ⇒ a= − 3 Do ®ã ®¼ng thøc ®· cho ®îc nghiÖm ®óng bëi hai sè t¬ng øng víi hai ®iÓm trªn trôc sè ( h×nh 2) -3 0 3 H×nh 2 a = b b b Tæng qu¸t:  ⇒a= ; a = b ⇒a= b > 0 − b − b VÝ dô 2: 4
a ≤ 3 nÕu a ≥ 0 0 ≤ a ≤3 a ≤3⇒ ⇔ ⇔ -3 ≤ a ≤ 3 -a ≤ 3 nÕu a < 0 -3 ≤ a < 0 Do bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc nghiÖm ®óng bëi tËp hîp c¸c sè cña ®o¹n [ − 3;3] vµ trªn trôc s«d th× ®îc nghiÖm ®óng bëi tËp hîp c¸c ®iÓm cña ®o¹n [ − 3;3] ( h×nh 3) -3 0 3 H×nh 3 VÝ dô 3: a ≥ 3 nÕu a ≥ 0 a ≥ 3 nÕu a ≥ 0 a ≤ 3⇒ ⇔ ⇔ 3 ≤ a hoÆc a ≤ 3 -a ≥ 3 nÕu a < 0 a ≤ -3 v nÕu a < 0 Do bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc nghiÖm ®óng bëi tËp hîp c¸c sè cña hai nöa ®o¹n (- ∞ ; 3] vµ [3; + ∞ ) vµ trªn trôc sè th× ®îc nghiÖm ®óng bëi hai nöa ®o¹n t- ¬ng øng víi c¸c kho¶ng sè ®ã. (h×nh 4) -3 0 3 H×nh 4 a ≥ b Tæng qu¸t: a ≥ b ⇔  a ≤ −b bµi tËp tù luyÖn Bµi 1. T×m tÊt c¶ c¸c sè a tho¶ m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) a = a b) a < a c) a > a d) a = -a e) a ≥ a f) a + a = 0 g) a + b = b Bµi 2:T×m c¸c vÝ dô chøng tá c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y kh«ng ®óng: a) ∀ a ∈ Z ⇒ a > 0 b) ∀ a ∈ Q ⇒ a > a 5
c) ∀ a, b ∈ Z, a = b ⇒ a = b d) ∀ a, b ∈ Q, a > b ⇒ a > b Bµi 3: Bæ sung thªm c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ ®óng a) a = b ⇒ a = b b) a > b ⇒ a > b Bµi 4: T×m tÊt c¶ c¸c sè a tho¶ m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau, sau ®ã biÓu diÔn c¸c sè t×m ®îc lªn trôc sè: a) a ≤ 1 b) a ≥ 3 c) a - 6 = 5 d) 1 < a ≤ 3 Bµi 5: a) Cã bao nhiªu sè nguyªn x sao cho x < 50 b) Cã bao nhiªu cÆp sè nguyªn (x, y) sao cho x + y = 5 ( C¸c cÆp sè nguyªn (1, 2) vµ (2,1)lµ hai cÆp kh¸c nhau) c) Cã bao nhiªu cÆp sè nguyªn (x, y) sao cho x + y < 4 II - mét sè tÝnh chÊt vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 2.1. TÝnh chÊt 1: a ≥0∀ a 2.2. TÝnh chÊt 2: a = 0 ⇔ a = 0 2.3. TÝnh chÊt 3: - a ≤ a ≤ a 2.4 TÝnh chÊt 4: a = − a Dùa trªn ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ngêi ta rÔ thÊy ®îc c¸c tÝnh chÊt 1, 2, 3, 4. 2.5. TÝnh chÊt 5: a + b ≤ a + b ThËt vËy: - a ≤ a ≤ a ; - b ≤ a ≤ b ⇒ -( a + b ) ≤ a + b ≤ a + b 6
2.6. TÝnh chÊt 6: a - b ≤ a −b ≤ a + b ThËt vËy: a = a − b + b ≤ a − b + b ⇒ a − b ≤ a − b (1) a −b = a + ( −b) ≤ a + −b = a + b ⇒ a −b ≤ a + b (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ ®pcm. 2.7. TÝnh chÊt 7: a − b ≤ a b ThËt vËy: a − b ≤ a − b (1) b − a ≤ b − a = − (b − a ) = a − b ⇒ − ( a − b ) ≤ a − b (2) a − b a−b = (3) − ( a − b )  Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ a − b ≤ a − b (4) a − b ≤ a − − b ≤ a − (−b) ≤ a + b ⇒ a − b ≤ a + b (5) Tõ (4) vµ (5) ⇒ ®pcm. 2.8. TÝnh chÊt 8: a.b = a . b ThËt vËy: a = 0, b = 0 hoÆc a = 0, b ≠ 0 hay a ≠ 0, b= 0 ⇒ a.b = a . b (1) a > 0 vµ b > 0 ⇒ a = a, b = b vµ a.b > 0 ⇒ a.b = a.b = a . b ⇒ a.b = a . b (2) a < 0 vµ b < 0 ⇒ a = -a, b = -b vµ a.b > 0 ⇒ a.b = a.b = (− a)(−b) = a . b ⇒ a.b = a . b (3) a > 0 vµ b < 0 ⇒ a = a, b = -b vµ a.b < 0 ⇒ a.b = − a.b = a.(−b) = a . b ⇒ a.b = a . b (4) Tõ (1), (2), (3) vµ (4) ⇒ ®pcm. 2.9. TÝnh chÊt 9: a a = (b ≠ 0) b b a a a ThËt vËy: a = 0 ⇒ =0⇒ = ≡0 (1) b b b a a a a a > 0 vµ b > 0 ⇒ a = a, b = b vµ >0⇒ = = (2) b b b b 7
a a a −a a a < 0 vµ b < 0 ⇒ a = -a, b = -b vµ >0⇒ = = = (3) b b b −b b a a a a a a > 0 vµ b < 0 ⇒ a = a, b = -b vµ
Bµi 9: Rót gän biÓu thøc: a) a +a b) a - a c) a .a d) a : a e) 3( x − 1) − 2 x + 3 f) 2 x − 3 − (4 x − 1) B. c¸c d¹ng to¸n vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trong ch¬ng tr×nh THCS chñ ®Ò i: gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi I. c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý 1.1 A(x) nÕu A(x) ≥ 0 A(x ) = ( A(x) lµ biÓu thøc ®¹i sè) -A(x) nÕu A(x) < 0 1.2. §Þnh lÝ vÒ dÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt ax + b (a ≠ 0) NhÞ thøc bËc nhÊt ax + b (a ≠ 0) sÏ: + Cïng dÊu víi a víi c¸c gi¸ trÞ cña nhÞ thøc lín h¬n nghiÖm cña nhÞ thøc. + Tr¸i dÊu víi a víi c¸c gi¸ trÞ cña nhÞ thøc nhá h¬n nghiÖm cña nhÞ thøc. Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm cña nhÞ thøc ax + b khi ®ã: + NhÞ thøc cïng dÊu víi a ∀ x > x0 + NhÞ thøc tr¸i dÊu víi a ∀ x < x0 1.3. §Þnh lÝ vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai XÐt tam thøc bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) - NÕu ∆ < 0, th× f(x) cïng dÊu víi a ∀ x - NÕu ∆ ≥ 0 th×: + f(x) cïng dÊu víi a ∀ x n»m ngoµi kho¶ng hai nghiÖm + f(x) tr¸i dÊu víi a ∀ x n»m trong kho¶ng hai nghiÖm Hay - NÕu ∆ < 0 ⇒ a.f(x) > 0 ∀ x 9
- NÕu ∆ ≥ 0 ⇒ f(x) cã hai nghiÖm x1 ≥ x2 nÕu x1 < x < x2 ⇒ a.f(x) < 0 nÕu x ≤ x1 hoÆc x ≥ x2 ⇒ a.f(x) > 0 NhËn xÐt: Gi¶ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc banõg chÝnh nã( nÕu biÓu thøc kh«ng ©m) hoÆc b»ng biÓu thøc ®èi cña nã( nÕu biÓu thøc ©m). V× thÕ khi khö dÊu gi¸ tÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc, cÇn xÐt gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña biÕn lµm cho biÓu thøc d¬ng hay ©m( dùa vµo ®Þnh lÝ vÒ dÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt hoÆc ®Þnh lÝ vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai). DÊu cña biÓu thøc thêng ®îc viÕt trong b¶ng xÐt dÊu. II. c¸c bµi tËp ®iÓn h×nh 2.1 Rót gän biÓu thøc A = 2(3x - 1) - x − 3 ThËt vËy: + Víi ( x - 3) ≥ 0 hay x ≥ 3 th× x − 3 = x - 3 + Víi ( x- 3) < 0 hay x < 3 th× x − 3 = -(x - 3) = 3 - x ta xÐt hai trêng hîp øng víi hai kho¶ng cña biÕn x + NÕu x ≥ 3 th× A = 2(3x - 1) - x − 3 = 2(3x - 1) - (x - 3) = 6x - 2 - x + 3 = 5x + 1 + NÕu x < 3 th× A = 2(3x - 1) - x − 3 = 2(3x - 1) - (3 - x) = 6x - 2 - 3 + x = 7x - 5 2.2 Rót gän biÓu thøc B = x − 1 - x − 5 ThËt vËy Víi x-1 ≥ 0 hay x ≥ 1th× x − 1 =x-1 Víi x-1
=x-1-5+x =2x-6 NÕu x ≥ 5 th× B = x − 1 - x − 5 =(x-1)-(x-5) =x-1-x+5 = 4 2.2 Rót gän biÓu thøc B = /x2 - 4x + 3/-5 ThËt vËy: XÐt tam thøc bËc hai: f(x) = x2 – 4x + 3 ⇒ f(x) cã ∆ ' = 4 -3 = 1 > 0 ⇒ x1 = 1; x2 = 3 Víi 1 < x < 3 ⇒ 1.f(x) < 0 ⇒ f(x) < 0 Víi x ≤ 1 hoÆc x ≥ 3 ⇒ 4f(x) > 0 ⇒ f(x) > 0 VËy ta xÐt hai trêng hîp øng víi ba kho¶ng cña biÕn Víi 1 < x < 3 th× B = -(x2 - 4x + 3) - 5 = - x2 + 4x - 3 - 5 = - x2 + 4x - 8 Víi x ≤ 1 hoÆc x ≥ 3 th× B = ( x2 - 4x + 3) - 5 = x2 - 4x + 3 - 5 = x2 - 4x - 2 2.3. Gi¶i ph¬ng tr×nh x − 1 + x − 2 = 3x + 1 ThËt vËy: ¸p dông ®Þnh lÝ vÒ dÊu nhÞ thøc bËc nhÊt vµ lËp b¶ng, ta xÐt 3 trêng hîp øng víi 3 kho¶ng. + NÕu x < 1 ta ®îc ph¬ng tr×nh: 1 - x + 2 - x = 3x + 1 ⇔ 3 - 2x = 3x + 1 ⇔ 5x = 2 ⇔ x = 2/5 < 1 ( lµ nghiÖm) + NÕu 1 ≤ x < 2 ta ®îc ph¬ng tr×nh: x -1 + ( 2 - x) = 3x + 1 ⇔ x = 0 ∉ [1, 2] ( kh«ng lµ nghiÖm) + NÕu x ≥ 2 ta ®ùoc ph¬ng tr×nh: x - 1 + x - 2 = 3x + 1 ⇔ x = - 4 < 2 ( kh«ng lµ nghiÖm) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2/5 2.4. Gi¶i ph¬ng tr×nh x − 2 − 1 = 5 ThËt vËy: ¸p dông ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ta cã:  x − 2 − 1 = 5(1) x − 2 −1 = 5 ⇔   x − 2 − 1 = −5(2)   x − 2 = 6(1' ) Gi¶i 1: x − 2 − 1 = 5 ⇒ x − 2 = 6 ⇔   x − 2 = −6(2' )  Gi¶i 1': x − 2 = 6 ⇒ x = 8 ⇒ x = ±8 ( lµ nghiÖm) Gi¶i 2': x − 2 = −6 ⇒ x = −4 ⇒ x kh«ng cã gi¸ trÞ 11
Gi¶i 2: x − 2 − 1 = −5 ⇒ x − 2 = −4 ( kh«ng cã nghÜa) VËy ph¬ng tr×nh cã hai ngiÖm: x = 8 hoÆc x = -8  x − y =1  2.5 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  x− y + y−2 =3  ThËt vËy: Ph¬ng tr×nh thø nhÊt ®a ®Õn tËp hîp hai ph¬ng tr×nh: x − y = 1  y = x − 1(1)  x − y = −1 hay  y = x + 1( 2)   ViÖc ph©n tÝch ph¬ng tr×nh thø hai ®a ®Õn tËp hîp 4 ph¬ng tr×nh theo c¸c kho¶ng x¸c ®Þnh. Theo d¹ng cña ph¬ng tr×nh thø 2 ta thÊy dÔ dµng lµ x −1 ≤ 3 vµ y − 2 ≤ 3 , tõ ®ã - 2 ≤ x ≤ 4 vµ -1 ≤ y ≤ 5 Víi - 2 ≤ x ≤ 1 ta cã: Víi -1 ≤ y ≤ 2, 1 - x + 2 - y = 3 hay lµ x + y = 0 (I) Víi 2 ≤ y ≤ 5, 1 - x + y - 2 = 3 hay lµ y - x = 4 (II) Víi 1 ≤ x ≤ 4 ta cã : Víi -1 ≤ y ≤ 2, x -1 + 2 - y = 3 hay lµ x - y = 2 (III) Víi 2 ≤ y ≤ 5, x -1 + y - 2 = 3 hay lµ x + y = 6 (IV) Gi¶i 8 hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt: x − y = 1 1 1 HÖ (1; I)  ⇒ x = ; y = − , ®ã lµ nghiÖm v× nã thuéc kho¶ng x¸c x + y = 0 2 2 ®Þnh. x − y = 1 HÖ (1; II)  kh«ng cã nghiÖm y − x = 4 x − y = 1 HÖ (1; III)  kh«ng cã nghiÖm x − y = 2 x − y = 1 7 5 HÖ (1; IV)  ⇒ x = ; y = − ®ã lµ nghiÖm v× nã thuéc kho¶ng x¸c x + y = 6 2 2 ®Þnh.  x − y = −1 1 1 HÖ (2; I)  ⇒ x = − ; y = ®ã lµ nghiÖm v× nã thuéc kho¶ng x¸c x + y = 0 2 2 ®Þnh.  x − y = −1 HÖ (2; II)  kh«ng cã nghiÖm y − x = 4  x − y = −1 HÖ (2; III)  kh«ng cã nghiÖm x − y = 2  x − y = −1 5 7 HÖ (2; IV)  ⇒ x = ; y = , ®ã lµ nghiÖm v× nã thuéc kho¶ng x¸c x + y = 6 2 2 ®Þnh. VËy nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ: 12
x1 = 1/2; y1 = -1/2 x2 = 7/2; y2 = 5/2 x3 = -1/2; y3 = 1/2 x4 = 5/2; y4 = 7/2 Bµi tËp luyÖn tËp Bµi 10: T×m x trong c¸c biÓu thøc a) 2 x − 3 = 5 e) 2x − 1 = 2x + 3 b) 5 x − 3 − x = 7 f) x +1 − 2 x −1 − x = 0 c) x − 1 + 3x = 1 g) x − 3 x + 3 − x = −1 d) x − 1 + x − 2 = 1 h) x +1 − 2 − x = 3 Bµi 11: T×m x trong c¸c biÓu thøc a) x − 1 − 1 = 2 e) x + 2 − 3 = 1 b) x − 3 = ( x − 3) 2 f) x − 3x + 2 = 3x − x − 2 2 2 c) x = 1 + x − 1 = 2 g) x − 1 = x 2 d) x + 2 + x + x − 2 = 4 h) 4 x − 1 − 2 x − 3 + x − 2 = 0 Bµi 12: víi gi¸ trÞ nµo cña a, b ta cã ®¼ng thøc: a (b − 2) = a (2 − b) Bµi 13: T×m c¸c sè a, b sao cho: a + b = a − b Bµi 14: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau x+ y = 2  3 x + 5 y + 9 = 0  a)  c)  x + y =3  2 x − y − 7 = 0  x− y = 2   x + 3 + y +1 = 4  b)  d)  x + y = 4   x −1 + y − 3 = 5  Bµi 15: Gi¶i ph¬ng t×nh sau: x − x + 1 + x − x − 2 = 3 2 2 Bµi 16: T×m x 2 x + a − x − 2a = 3a ( a lµ h»ng sè) chñ ®Ò II: gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 13
I. c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý 1.1. C¸c phÐp biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc a ≥ b ⇔a+c ≥ b+c a ≥ b ⇔ a.c ≥ b.c ( c > 0 ) a ≥ b ⇔ a.c ≤ b.c ( c < 0 ) 1.2 C¸c d¹ng c¬ b¶n cña bÊt ph¬ng tr×nh +D¹ng 1: f ( x) ≤ a ⇔ -a ≤ f(x) ≤ a a: sè thùc kh«ng ©m f(x): hµm sè mét ®èi sè +D¹ng 2: f (x) ≥ a ⇔ f(x) ≥ a hoÆc f(x) ≤ -a a: sè thùc kh«ng ©m f(x):hµm sè mét ®èi sè  f ( x) ≥ g ( x) +D¹ng 3: f (x) ≥ g(x) ⇔  f(x), g(x): hµm sè mét ®èi sè  f ( x) ≤ − g ( x) +D¹ng 4: f (x) ≤ g(x) ⇔ -g(x) ≤ f(x) ≤ g(x) f(x), g(x): hµm sè mét ®èi sè +D¹ng 5: f (x) ≥ g (x) ⇔ [f(x)]2 = [g(x)]2 f(x), g(x): hµm sè mét ®èi sè II. bµi tËp ®iÓn h×nh 2.1 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 2 x − 5 ≤ 7 ThËt vËy: 2 x − 5 ≤ 7 ⇔ -7 ≤ 2x - 5 ≤ 7 ⇔ -2 ≤ 2x ≤ 12 ⇔ -1 ≤ x ≤ 6 2.2 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 3 x − 5 ≥ 10 ThËt vËy: x ≥ 5 3 x − 5 ≥ 10 3 x ≥ 15 3 x − 5 ≥ 10 ⇔  ⇔ ⇔ 3 x − 5 ≤ −10 3 x ≤ −5 x ≤ − 5  3 5 VËy x ≥ 5 hoÆc x ≤ - 3 2.3 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x − 2 x − 2 ≤ 1 2 ThËt vËy: x 2 − 2 x − 2 ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ x 2 − 2 x − 2 ≤ 1 ⇔ x2-2x-2 ≤ 1 vµ x2-2x-2 ≥ -1 Tõ x 2 − 2 x − 2 ≤ 1 ⇔ x 2 − 2 x − 3 ≤ 0 Dùa vµo ®Þnh lÝ vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai ⇔ -1 ≤ x ≤ 3 14
Tõ x 2 − 2 x − 2 ≥ −1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 ≥ 0 x ≤ 1 − 2 Dùa vµo ®Þnh lÝ vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai ⇔  x ≥ 1 + 2  KÕt hîp l¹i ta ®îc c¸c nghiÖm cña hÖ lµ: −1 ≤ x ≤ 1− 2 ; 1+ 2 ≤ x ≤ 3 x+2 2.4 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: ≥2 x −1 ThËt vËy: TX§: ∀x ≠ 1 x+2 x+2  x −1 ≥ 2 C¸ch 1: ≥2 ⇔ x −1  x + 2 ≤ −2  x −1  x+2 x+2 4− x + Víi ≥2 ⇔ −2≥0⇔ ≥ 0 ⇔1≤ x ≤ 4 x −1 x −1 x −1 x+2 x+2 3x + Víi < −2 ⇔ +2 0 ¸p dông ®Þnh lÝ vµ dÊu cña nhÞ thøc, ta xÐt 3 trêng hîp: + NÕu x ≤ -2 th× - x- 2 -2(1 - x) > 0 ⇔ x > 4 > -2 ( kh«ng lµ nghiÖm) + NÕu -2 ≤ x < 1 th× x + 2 - 2(1 - x) > 0 ⇔ 3x > 0 ⇔ x > 0 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm: 0 < x < 1 + NÕu x > 1 th× x + 2 - 2(x - 1) > 0 ⇔ x < 4 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm: 1 < x < 4 VËy bÊt ph¬ng tr×nh cã ngiÖm: 1 ≤ x ≤ 4; 0 2 ⇔ x + 2 > 2 x −1 x −1 x −1 ⇔ (x + 2)2 > 4(x - 1)2 ⇔ x2 4x + 4 > 4(x2 - 2x + 1) ⇔ 3x2 - 12x < 0 ⇔ 3x( x - 4) < 0 ⇔ 0
Bµi 17: T×m x trong c¸c bÊt ®¼ng thøc a) 2 x − 1 ≤ 5 b) 2 x − 3 − 4 x < 9 c) 2 x − 3 ≥ 7 d) 3x − 2 + 5 x > 10 Bµi 18: T×m x trong c¸c bÊt ®¼ng thøc a) 3x − 2 < 4 b) 3 − 2 x < x + 1 c) 3x − 1 > 5 d) x + 1 ≥ x + 1 3 Bµi 19: T×m x trong c¸c bÊt ®¼ng thøc a) x + 1 > x − 3 b) x − 1 > x + 2 − 3 c) x + 1 + x − 5 > 8 d) x − 3 + x + 1 < 8 e) x − 2 − x ≥ 0 f) 2 x + 5 − 3x − 7 ≤ 0 Bµi 20: T×m x trong c¸c bÊt ®¼ng thøc x2 −1 a) 0 16
- Dùng phÇn ®ß thÞ bªn tr¸i ®èi xøng víi trôc bªn ph¶i qua Oy 1.2 VÝ dô: Dùng ®å thÞ hµm sè y = 2|x| - 2 ThËt vËy: §å thÞ cña hµm sè y = 2x - 2 víi x = 1 y=0 (1, 0) thuéc ®å thÞ víi x = 0 y = -2 ( 0, -2) thuéc ®å thÞ y O x -1 1 -2 H×nh 6 PhÇn ®å thÞ in ®Ëm( H×nh 6) lµ ®å thÞ hµm sè y = 2|x| - 2 II. ®å thÞ hµm sè y = |f(x)| 2.1 KiÕn thøc cµn lu ý NhËn xÐt f(x) víi f(x) 0 y= -f(x) víi f(x) < 0 ⇒ C¸ch dùng: - Dùng ®å thÞ hµm sè y = f(x) - PhÇn ®å thÞ n»m ë díi mÆt ph¼ng Ox nghÜa lµ ë ®Êy f(x) < 0 ⇒ ta dùng phÇn ®å thÞ ®èi xøng víi phÇn ®å thÞ ®ã qua Ox. * Chó ý: §å thÞ hµm sè y = |f(x)| + k ®îc xem nh ®å thÞ hµm sè y = |f(x)|tÞnh tiÕn theo ®êng th¼ng ®øng mét ®o¹n b»n k ( k lµ sè thùc) 17
2.2 VÝ dô: Dùng ®å thÞ hµm sè y = |x - 2| §å thÞ hµm sè y = x - 2 x = 0 ⇒ y = -2 ⇒ ( 0, -2) thuéc ®å thÞ hµm sè x = 1 ⇒ y = -1 ⇒ (1, -1) thuéc ®å thÞ hµm sè y x O 1 -1 -2 H×nh 7 PhÇn ®å thÞ in ®Ëm ( h×nh 7) lµ ®å thÞ hµm sè y = |x - 2| III. ®å thÞ cña hµm sè y = |f(|x|)| 3.1 KiÕn thøc cÇn lu ý Ta cã: f(|x|) víi f(|x|) ≥ 0 y = |f(|x|)|= - f(|x|) víi f(|x|) < 0 ⇒ C¸ch dùng a) Dùng ®å thÞ hµm sè y = |f(|x|)| + Dùng ®å thÞ hµm sè y = f(x) víi x > 0 + Dùng phÇn ®å thÞ bªn tr¸i ®èi xøng víi phÇn bªn ph¶i qua Oy b) PhÇn ®å thÞ n»m ë mÆt ph¼ng díi Ox nghi· lµ ë ®Êy f(|x|) < 0 ⇒ ta dùng phÇn ®å thÞ ®èi xøng víi phÇn ®å thÞ ®ã qua trôc Ox. ( Hay biÕn ®æi c¸c phÇn cña ®å thÞ n»m trong nöa mÆt ph¼ng díi nªn nöa mÆt ph¼ng trªn ®èi xøng qua trôc Ox) 3.2 VÝ dô: Dùng ®å thÞ hµm sè y = |1 - |x|| ThËt vËy: 18
§å thÞ hµm sè y = 1- x x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ ( 1, 0 ) thuéc ®å thÞ hµm sè x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ ( 0, 1) thuéc ®ß thÞ hµm sè §å thÞ hµm sè §å thÞ hµm sè §å thÞi hµm sè y = 1 - x víi x ≥ 0 y = 1 - |x| y = |1 - |x|| y y y 1 x x 1 -1 1 O O -1 O 1 a) b) c) H×nh 8 x PhÇn ®å thÞ in ®Ëm trong phÇn b ( h×nh 8) lµ ®å thÞ hµm sè y = |1 - |x|| IV. §å thÞ cña |y| = f(x) víi f(x) 0 4.1 KiÕn thøc cÇn lu ý Ta cã: y = f(x) víi f(x) 0 C¸ch dùng: - Dùng ®å thÞ hµm sè y = f(x) víi f(x) 0 ( PhÇn ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) phÝa trªn trôc hoµnh ) - Dùng phÇn ®å thÞ ®èi xøng víi phÇn ®å thÞ ®É thu ®îc qua trôc Ox. 4. 2 VÝ dô 1 Dùng ®å thÞ hµm sè |y| = x +1 2 ThËt vËy: 1 §å thÞ hµm sè y = x +1 2 x=0 y=1 ( 0; 1) thuéc ®å thÞ x = -2 y=0 ( -2; 0) thuéc ®å thÞ -1 -2 O -1 H×nh 9 19
1 PhÇn ®å thÞ in ®Ëm ( h×nh 9 ) lµ ®å thÞ hµm sè |y| = x +1 2 V. §å thÞ cña hµm sè |y| = |f(x)| 5.1 KiÕn thøc cÇn lu ý: Theo ®Þnh nghÜa vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, ta cã: y = |f(x)| C¸ch dùng: - Dùng ®å thÞ hµm sè y =|f(x)|( hoµn toµn n»m ë nöa mÆt ph¼ng trªn) - Dùng phÇn ®å thÞ ®èi xøng víi phÇn ®å thÞ thu ®îc ë trªn qua trôc Ox. 5.2 VÝ dô: 1. Dùng ®å thÞ hµm sè |y| = |x - 3| ThËt vËy: §å thÞ hµm sè y = x - 3 x=0 y = -3 ( 0; -3) thuéc ®å thÞ x=3 y=0 ( 3; 0) thuéc ®å thÞ §å thÞ hµm sè §å thÞ hµm sè §å thÞ hµm sè y = 1- x víi 0 y = 1- |x| y = |1- |x|| y y y x x x O 3 O 3 O 3 a) b) c) H×nh 10 PhÇn ®å thÞ in ®Ëm trong phÇn c) (h×nh 10) lµ ®å thÞ hµm sè |y| = |x - 3| VI. më réng §èi víi mçi d¹ng ®å thÞ hµm sè gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®Òu cã mét c¸ch dùng riªng t¬ng øng víi nã. Tuy nhiªn trong thùc tÕ cã thÓ cã c¸c hµm sè gi¸ trÞ tuyÖt ®èi kh«ng chØ ë mét d¹ng nªu trªn mµ nã lµ sù kÕt hîp cña nhiÒu d¹ng kh¸c nhau. §èi víi trêng hîp nµy chóng ta cã thÓ dùng hµm sè ®ã b»ng c¸ch kÕt hîp nhiÒu c¸ch dùng nªu trªn, ngoµi ra ta cßn cã thÓ dùng hµm sè ®ã b»n c¸ch dùng chung. C¸ch dùng nµy cã thÓ ¸p dông cho tÊt c¶ c¸c d¹ng ®å thÞ hµm sè gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. C¸ch dùng chung 20