Giáo án Giải tích lớp 12: Chuyên đề 2 bài 3 - Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Giải tích lớp 12: Chuyên đề 2 bài 3 - Hàm số mũ và hàm số lôgarit" được biên soạn dành cho các bạn học sinh lớp 12 nắm vững khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit. Trình bày và áp dụng được công thức tìm đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit. Nhận biết dạng đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Giải tích lớp 12: Chuyên đề 2 bài 3 - Hàm số mũ và hàm số lôgarit

CHUYÊN ĐỀ 2 BÀI 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit. + Trình bày và áp dụng được công thức tìm đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit. + Nhận biết dạng đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit.  Kĩ năng + Biết cách vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit. + Biết cách vẽ đồ thị các hàm số mũ, hàm số lôgarit. + Tìm được đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hàm số mũ Định nghĩa Hàm số y  a x  a  0; a  1 được gọi là hàm số mũ cơ số a. Tập xác định Hàm số y  a x  a  0; a  1 có tập xác định là  . Đạo hàm Đặc biệt:  e x  '  e x . Hàm số y  a x  a  0; a  1 có đạo hàm tại mọi x. a  '  a x x ln a a '  a u u ln a.u ' lim a x  0, lim a x    a  1 ; x  x  lim a x  , lim a x  0  0  a  1 . x  x  Sự biến thiên  Khi a  1 hàm số luôn đồng biến.  Khi 0  a  1 hàm số luôn nghịch biến. Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm  0;1 , 1; a  và nằm phía trên trục hoành. TOANMATH.com Trang 1
2. Hàm số lôgarit Định nghĩa Hàm số y  log a x  a  0; a  1 được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. Tập xác định Tập xác định:  0;  . Đạo hàm 1 Đặc biệt:  ln x  '  . Hàm số y  log a x  a  0; a  1 có đạo hàm tại mọi x dương và x 1  log a x  '  . x ln a Giới hạn đặc biệt lim log a x  , lim log a x    a  1 ; x  0 x  lim log a x  , lim log a x    0  a  1 . x  0 x  Sự biến thiên  Khi a  1 hàm số luôn đồng biến.  Khi 0  a  1 hàm số luôn nghịch biến. Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm 1;0  ,  a;1 và nằm bên phải trục tung. Nhận xét: Đồ thị của các hàm số y  a x và y  log a x  a  0, a  1 đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x . Ứng dụng 1. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra. Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n   * ) là: S n  A  nAr  A 1  nr  2. Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút S  n  log 1 r   n  ; ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.  A TOANMATH.com Trang 2
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi Sn r%  n  1; kép r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau A Sn n kì hạn ( n   * ) là: S n  A 1  r  . n A 1  r  n 3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền  S n .r  n  log 1 r   1 ; vào một thời gian cố định.  A 1  r     Công thức tính: Đầu mỗi tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng  S n .r  n  log1 r    1 ;  A 1  r   số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n   * ) (nhận tiền cuối tháng, khi S n .r A 1  r  1  r   1 n ngân hàng đã tính lãi) là Sn . A 1  r   1 1  r  . n Ta có S n  r  4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng). Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. r Công thức tính: X   A 1  r   Sn  n .   1  r n  1 1  r  n 1 Khi đó số tiền còn lại sau n tháng là Sn  A1  r  n X r 5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng). Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng. Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có 1  r  n 1 S n  A 1  r  n X . r Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S n  0 nên 1  r  n 1 A 1  r   X n 0. r A 1  r  .r n Suy ra mỗi lần hoàn nợ số tiền là X  . 1  r  n 1 6. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là A (đồng/tháng). Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm TOANMATH.com Trang 3
r (% / tháng). Hỏi sau kn tháng, người đó lĩnh được bao nhiêu tiền? Công thức tính: Lương nhận được sau kn tháng là 1  r  k 1 S kn  An. . r 7. Bài toán tăng trưởng dân số Công thức tính tăng trưởng dân số: X m  X n 1  r  mn , m, n    , m  n Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m; X m dân số năm m, X n dân số năm n. Xm Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là r %  m  n 1 Xn 8. Lãi kép liên tục Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm ( n   * ) là: S n  A 1  r  . n Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất r mỗi kì hạn là % thì số tiền thu được sau n năm là: m m .n  r Sn  A 1    m Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m   , gọi là hình thức lãi kép liên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là: S  Ae n.r (công thức tăng trưởng mũ). TOANMATH.com Trang 4
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA HÀM SỐ MŨ y' 0 Tập xác định y' 0 với mọi x D với mọi x Luôn đồng biến Luôn nghịch biến Đạo hàm y '  a x ln a Hàm số Hàm số y  ax y  ax Tiệm cận ngang Ox 0  a 1 a 1 Đồ thị  Luôn đi qua điểm  0;1 và  a;1  Nằm phía trên Ox HÀM SỐ LÔGARIT y '  0 x  0 y '  0 x  0 Tập xác định D   0;   Luôn đồng biến Luôn nghịch biến Đạo hàm 1 y'  ,x  0 Hàm số x ln a Hàm số y  log a x y  log a x a 1 Tiệm cận đứng Oy 0  a 1 Đồ thị  Luôn đi qua điểm 1;0  và  a;1  Nằm bên phải Oy TOANMATH.com Trang 5
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Đạo hàm, sự biến thiên của hàm số Bài toán 1: Tìm đạo hàm của các hàm số mũ – hàm số lôgarit Phương pháp giải Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ, lôgarit. a '  a x x ln a;  a u  '  a u ln a.u' . 1 1  log a x  '  ;  ln x  '  . x ln a x Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây sai? 1 A.  3x  '  3x ln 3 B.  ln x  '  x 1 C.  log3 x  '  D.  e2 x  '  e 2 x x ln 3 Hướng dẫn giải Ta có:  3  '  3 .ln 3 nên đáp án A đúng. x x 1  ln x  '  nên đáp án B đúng. x 1  log 3 x  '  nên đáp án C đúng. x ln 3  e  '   2 x  '.e 2x 2x  2.e 2 x nên đáp án D sai. Chọn D. 2 2 Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y  16 x . A. y '   x 2  2  .16 x 2 2 1 2 B. y '  8 x.16 x ln 4 2 2 2 4 C. y '  16 x .ln16 D. y '  8 x.42 x .ln 2 Hướng dẫn giải Ta có: y '   x 2  2  '.16 x 2 2 2 2 2 4 .ln16  2 x.16 x .4ln 2  8 x.42 x .ln 2 . Chọn D. Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số f  x   ln  x 2  1 . A. f '  x   ln  x 2  1 B. f '  x   ln 2 x 1 2x C. f '  x   D. f '  x   x 1 2 x 12 TOANMATH.com Trang 6
Hướng dẫn giải Ta có: f '  x   x 2  1 '  2x x 12 x 12 Chọn D. Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của hàm số y  ln 1  x  1 .   1 1 A. y '  B. y '   2 x 1 1 x 1   2 x 1 1 x 1  x 1 1 C. y '  D. y '  1 x 1 1 x 1 Hướng dẫn giải u' Áp dụng công thức  ln u  '  , ta có u 1   x 1 '   y '  ln 1  x  1 '   1 x 1  Mà 1  x  1 '   1 nên y '  1 . 2 x 1 2 x 1 1 x 1   Chọn B. Ví dụ 5: Cho hàm số f  x   ln  e  x  xe x  . Giá trị f '  2  bằng 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Ta có f '  x   e x  xe x  '  e  x  e  x  xe  x  x . e x  xe x x e  xe x 1 x 2 2 Suy ra f '  2     . 1 2 3 Chọn D. Ví dụ 6: Cho hàm số y  log 2  2 x  1 . Giá trị của y ' 1 bằng 2 2 2ln 2 1 A. B. C. D. 3ln 2 3 3 3ln 2 Hướng dẫn giải 2 x ln 2 2 Ta có f  x   log 2  2 x  1  f '  x    f ' 1  .  2  1 ln 2 x 3 Chọn B. TOANMATH.com Trang 7
Bài toán 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và hàm số lôgarit Phương pháp giải Hàm số y  a x  a  0; a  1 đồng biến khi a  1 1 x Ví dụ: Hàm số y    nghịch biến trên  vì và nghịch biến khi 0  a  1 . 2 1 0  1. 2 Hàm số y  log a x đồng biến khi a  1 và nghịch Ví dụ: Hàm số y  log 2 a  3 x đồng biến trên biến khi 0  a  1 .  0;  khi và chỉ khi 2a  3  1  a  1 . Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm a để hàm số y   2a  5  nghịch biến trên  . x 5 5 5 A. a3 B. a3 C. a  3 D. a  2 2 2 Hướng dẫn giải 5 Hàm số y   2a  5  nghịch biến trên  khi và chỉ khi 0  2a  5  1  x  a  3. 2 Chọn A. Ví dụ 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ? x   x  3 A. y  log 2 x B. y    C. y   D. y  log 1 x 2  2    2 Hướng dẫn giải Ta có hàm số y  a x luôn đồng biến trên  khi và chỉ khi a  1 .  Ở phương án B, a   1 thỏa mãn khẳng định trên. 2 Ta loại phương án A và D vì hàm số y  log a x chỉ xác định trên  0;  . x 3  3 Ta loại phương án C, vì 0  2  2  nghịch biến trên  0;  .  1 nên hàm số y     Chọn B. Ví dụ 3: Cho hàm số y   x 2  3 e x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;  . TOANMATH.com Trang 8
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;3 . Hướng dẫn giải Ta có: y '  2 x.e x   x 2  3 .e x  e x . x 2  2 x  3 . x  1 y'  0   .  x  3 Bảng xét dấu: x  -3 1  y’ + 0 - 0 + Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Câu 1: Cho hàm số y  e x .sin x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. y '  e x cos x B. y ' y  y " C. y "  2  y ' y  D. y "  2e x cos x 2  bx  c Câu 2: Cho hàm số y  e ax đạt cực trị tại x  1 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e . Giá trị của hàm số tại x  2 là 1 A. y  2   1 B. y  2   e C. y  2   e 2 D. y  2   e2 ln x Câu 3: Cho hàm số y  , khẳng định nào sau đây đúng? x 1 1 1 1 A. 2 y ' xy"   B. y ' xy"  C. y ' xy"   D. 2 y ' xy"  x2 x2 x2 x2 a 1 Câu 4: Cho hàm số y  log 3  3x  x  , biết y ' 1   với a, b   . Giá trị của a  b bằng 4 b ln 3 A. 2 B. 7 C. 4 D. 1 Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số y  f  x   x . x tại điểm x  1 . A. f ' 1   B. f ' 1   2  ln  C. f ' 1   2   ln  D. f ' 1  1 Câu 6: Tìm đạo hàm của hàm số y  log 2 x . 1 1 1 ln10 A. y '  B. y '  C. y '  D. y '  x ln 2 x ln10 2 x ln10 x Câu 7: Cho hàm số f  x   ln x . Tìm đạo hàm của hàm số g  x   log 3  x 2 f '  x   . 1 1 ln 3 x A. g '  x   B. g '  x   C. g '  x   D. g '  x   x x ln 3 x ln 3 TOANMATH.com Trang 9
Câu 8: Cho hàm số y  ecos x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. y 'cos x  y.sin x  y "  0 B. y 'sin x  y.cos x  y "  0 C. y 'sin x  y ".cos x  y '  0 D. y 'cos x  y.sin x  y "  0 Câu 9: Hàm số y  x.e  x đạt cực trị tại A. x0  e B. x0  e 2 C. x0  1 D. x0  2 x2  Câu 10: Cho hàm số y  x.e 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. xy  1  x 2  . y ' B. xy '  1  x 2  . y C. xy  1  x 2  . y ' D. xy '  1  x 2  . y Câu 11: Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ? x x x 3 x  2 3  3    A. y    B. y    C. y   D. y      3  2    2 3     Câu 12: Các giá trị thực của tham số a để hàm số y  log M x, M  a 2  4 nghịch biến trên tập xác định là A. 2  a  5 B. a  5 C.  5  a  2; 2  a  5 D. a  2 Câu 13: Với giá trị nào của tham số a thì hàm số y   a 2  3a  3 đồng biến? x A. a  1 B. a  2 C. a  1; 2  D. a   ;1   2;   3 2 3 4 Câu 14: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a 2  a ;log b 2  logb . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 4 5 A. 0  a  1, 0  b  1 B. 0  a  1, b  1 C. a  1, 0  b  1 D. a  1, b  1  Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x 2  1  x ln x  x 2  1 trên đoạn  1;1 là  A. 2 B. 2 1 C.  2  ln 1  2  D. 2  ln  2 1  1 Câu 16: Đối với hàm số y  ln . Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 A. xy ' 1  e y B. xy ' 1  e y C. xy ' 1  e y D. xy ' 1  e y e x  e x Câu 17: Đạo hàm của hàm số y  là e x  e x 3e 2 x e2 x 2e 2 x 4e 2 x A. y '  B. y '  C. y '  D. y '  e  1 e  1 e  1 e  1 2x 2 2x 2 2x 2 2x 2 Câu 18: Cho hàm số y  x sin x . Khẳng định nào sau đây đúng? TOANMATH.com Trang 10
A. xy " 2 y ' xy  2sin x B. xy ' yy " xy '  2sin x C. xy ' yy ' xy '  2sin x D. xy " y ' xy  2cos x  sin x Câu 19: Hàm số y   3a 2  10a  2  đồng biến trên  ;   khi x  1  1 1  A. a   ;  B. a   3;   C. a   ;  D. a   ;3   3  3 3  Câu 20: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến? x x x x    2  3   1  A. y    B. y    C. y    D. y  3 x   3 5  e  3 2  3 2 Câu 21: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trong khoảng  0;  ? 1 A. y  log 2 x B. y  x 2  log 2 x C. y  x  log 2 x D. y  log 2 x Câu 22: Đạo hàm của hàm số y  log3  4 x  1 là 1 4 ln 3 4ln 3 A. y '  B. y '  C. y '  D. y '   4 x  1 ln 3  4 x  1 ln 3 4x  1 4x  1 Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số y  log  ln 2 x  . 2 1 1 1 A. y '  B. y '  C. y '  D. y '  x ln 2 x.ln10 x ln 2 x.ln10 2 x ln 2 x.ln10 x ln 2 x Câu 24: Cho hàm số f  x   ln  4 x  x 2  . Khẳng định nào sau đâ y đúng? A. f '  3  1,5 B. f '  2   0 C. f '  5  1 D. f '  1  1 Câu 25: Tìm đạo hàm của hàm số y  log 5  x 2  x  1 . 2x  1 2x  1 1 A. y '  B. y '  2 C. y '   2 x  1 ln 5 D. y '   x  x  1 ln 5 2 x  x 1  x  x  1 ln 5 2 Câu 26: Cho hàm số f  x   ln  x 4  1 . Đạo hàm f ' 1 bằng ln 2 1 A. B. 1 C. D. 2 2 2 Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số y  ln x  x 2  1   1 2x 1 1 A. y '  B. y '  C. y '  D. y '  2 x 1 2 x  x 1 2 x  x 1 2 x2  1 Câu 28: Tìm đạo hàm của hàm số y  log  x 2  x  . TOANMATH.com Trang 11
1 2x  1 2x  1 2x  1 A. y  B. y '  C. y '  D. y '  .log e  x  x  ln10 2 x2  x  x  x  log e 2 x2  x Câu 29: Đạo hàm của hàm số y  log  2sin x  1 trên tập xác định là 2cos x 2cos x 2 cos x 2cos x A. y '  B. y '  C. y '  D. y '  2sin x  1 2sin x  1  2sin x  1 ln10  2sin x  1 ln10 2 1 Câu 30: Nếu  0,1a    0,1a  3 2 và log b  log b thì 3 2 A. a  10 và b  1 B. 0  a  10 và 0  b  1 C. 0  a  10 và b  1 D. a  10 và 0  b  1 Câu 31: Tìm đạo hàm của hàm số y   x 2  2 x  e  x . A. y '   2 x  2  e x B. y '   x 2  2  e  x C. y '  xe  x D. y '    x 2  2  e  x Câu 32: Cho hàm số y  ex  e  x . Nghiệm của phương trình y '  0 là A. x  0 B. x  1 C. x  1 D. x  ln 2 Câu 33: Tìm đạo hàm của hàm số y  32017 x . 32017 A. y '  2017 ln 3.32017 x B. y '  C. y '  32017 D. y '  ln 3.32017 x ln 3 Câu 34: Cho hàm số y  e x  e  x . Giá trị của y "1 là 1 1 1 1 A. e  B. e  C. e  D. e  e e e e 3 4 1 2 Câu 35: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a 4  a 5 và logb  log b . Mệnh đề nào sau đây 2 3 đúng? A. a  1, b  1 B. a  1,0  b  a C. 0  a  1,0  b  1 D. 0  a  1, b  1 Bài tập nâng cao  x 1 Câu 36: Cho hàm số f  x   ln 2017  ln   . Tính tổng S  f '  x   f '  2   ...  f '  2017  , ta được  x  kết quả 4035 2016 2017 A. S  B. S  2017 C. S  D. S  2018 2017 2018 Câu 37: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y   20 x 2  20 x  1283 e 40 x trên tập hợp các số tự nhiên là TOANMATH.com Trang 12
A. 1283 B. 163.e 280 C. 157.e320 D. 8.e300 Câu 38: Các giá trị của tham số m để hàm số y  ln  x 2  1  2mx  2 đồng biến trên  là 1 1 1 1 A. Không tồn tại m B. m  C. m   D.   m  2 2 2 2 Câu 39: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y  4 x  2 x  2  mx  1 đồng biến trên khoảng  1;1 là  1   3  A.  ;  ln 2  B.  ;0 C.  ; 2ln 2 D.  ;  ln 2   2   2  TOANMATH.com Trang 13
Dạng 2: Tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit Bài toán 1. Tìm tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit. Phương pháp giải Hàm số y  a x  a  0; a  1 có tập xác định là  . Ví dụ: Tìm tập xác định D của hàm số Hàm số y  log a x  a  0; a  1 có tập xác định là y  log x 1  x 2  6 x  9  . Hứớng dẫn giải  0;  .  x2  6 x  9  0  Hàm số xác định:  x  1  0 x 1  1   x  3 2  0 x  3    x  1   x  1  x  1;   \ 2,3 . x  2 x  2   Vậy D  1;   \ 2,3 . Ví dụ mẫu  1 x  Ví dụ 1: Tập xác định D của hàm số y  ln   là  x2 A. 1; 2  B.  ;1   2;   C.  \ 2 D.  \ 1, 2 Hướng dẫn giải 1 x Hàm số xác định   0 1 x  2 x2 Chọn A. 1 Ví dụ 2: Điều kiện xác định D của hàm số y  là 2x 1 log9  x 1 2 A. x  3 B. x  1 C. 3  x  1 D. 0  x  3 Hướng dẫn giải  2x 1  2x 1 log  9 x  1 2    9 2 x  1 2x Hàm số xác định     3  2 x  2 x x  1 0 0  x  1  x  1 x3   0  3  x  1 x 1 Chọn C TOANMATH.com Trang 14
Ví dụ 3: Tìm tập xác định D của hàm số y  3x  2 A. D   log 2 3;   B. D   log3 2;   C. D   ;log 2 3 D. D   ;log 3 2 Hướng dẫn giải Hàm số xác định  3x  2  0  3x  2  x  log 3 2 . Chọn B. Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số xác định trên khoảng cho trước Phương pháp giải Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y  log a f  x  xác định trên  trong đó f  x  là một tam thức bậc hai. Áp dụng tính chất a  0  Tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c  0 x   khi và chỉ khi  .   0 Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y  log a f  x  xác định trên khoảng D.  Cô lập tham số m.  Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  ln  x 2  2mx  4  xác định với mọi x   ? A. 5 B. 2 C. 4 D. 3 Hướng dẫn giải Hàm số xác định x    x 2  2mx  4  0, x   . a  0 1  0   2  2  m  2 .   0 4m  16  0 Do m   nên m  1;0;1 Chọn D. Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y  log 2  m  2  x 2  2  m  2  x  m  3 có tập xác định D   . A. m  2 B. m  2 C. m  2 D. m  2 Hướng dẫn giải Hàm số xác định trên    m  2  x 2  2  m  2  x  m  3  0, x   (*). TOANMATH.com Trang 15
Trường hợp 1: a  0 . a  0 m  2  0  m  2 (*)      m  2 . 4  m  2   4  m  2  m  3  0 2   0 m  2  0 Trường hợp 2: a  0  m  2 , ta có (*)  1  0, x   (đúng), nhận m  2 Vậy m  2 . Chọn D. Ví dụ 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng  10;10  để hàm số y  log 2  4 x  2 x  m  có tập xác định D   ? A. 9 B. 10 C. 11 D. 8 Hướng dẫn giải Hàm số có tập xác định D   khi 4 x  2 x  m  0 x   (1). Đặt t  2 x , t  0 . Khi đó (1) trở thành t 2  t  m  0 t   0;    m  t 2  t t   0;   1  m  max f  t   với f  t   t 2  t .  0;   4 Do m   và m   10;10  nên m  1; 2;3;...;8;9 . Chọn A. Ví dụ 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng  10;10  để hàm số 1 y xác định trên khoảng  0;  ? m log x  4log 3 x  m  3 2 3 A. 13 B. 11 C. 12 D. 10 Hướng dẫn giải Hàm số xác định x   0;    m log 32 x  4log 3 x  m  3  0, x   0;   (*). Đặt t  log 3 x, t   . (*)  mt 2  4t  m  3  0 vô nghiệm. Trường hợp 1: m  0 . Phương trình có nghiệm (loại m  0 ). Trường hợp 2: m  0 . Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi  '  0  4  m  m  3  0  m  4 hoặc m  1 . Do m   và m   10;10  nên m  9; 8; 7; 6; 5;2;3;...8;9 . Vậy có 13 giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn A. TOANMATH.com Trang 16
Bài tập tự luyện dạng 2  Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số y   3 x  x 2    log 2  x  1 . 4 2 A. D   \ 0;1;3 B. D  1;3 C. D   0;3 \ 1 D. D  1;3 Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số y   x  2   log 2  x 2  2 x  3 . log100 A. D   3;   B. D   2;3 C. D   ; 1   3;   D. D   1;3 Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y  2 x  1  log  x  2  . 4 A. D   2;   B. D   0;   C. D   0;   \ 2 D. D   0;   \ 2 x 1 Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số y  log 2 . x A. D  1;   B. D   ;0   1;   C. D   0;1 D. D   \ 0 Câu 5: Tìm tập xác định D của hàm số y  ln  x2  x  2  x .  A. D   ; 2  B. D   ; 2    2;   C. D   ; 2   2;   D. D   2;2  Câu 6: Tìm tập xác định D của hàm số y  5 x 1  25   x  4  2 A. D   ;3 B. D   4;   C. D   ;3 D. D  3;   \ 4 2  x2 Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số y  2017 .  A. D   2; 2  B. D   2; 2   C. D    2; 2   D. D  ;  2  1 Câu 8: Cho hàm số y  . Các giá trị thực của tham số m để hàm số  x  m  log 2  x  2  2m  1 x  4m2  2 đã cho xác định với mọi x  1;   là TOANMATH.com Trang 17
A. m   ;2  B. m   1;1 C. m   ;1 D. m   ;1 Câu 9: Điều kiện xác định của phương trình log 4  x  1  log 2  x  1  25 là 2 A. x   B. x  1 C. x  1 D. x  1 10  x Câu 10: Tập xác định D của hàm số y  log 3 là x  3x  2 2 A. D   2;10  B. D  1;   C. D   ;10  D. D   ;1   2;10  Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  ln  x 2  2mx  4  có tập xác định D  . A. 2  m  2 B. m  2 hoặc m  2 C. m  2 D. 2  m  2 Câu 12: Hàm số y   x 2  16   ln  24  5 x  x 2  có tập xác định là 5 A.  8; 4    3;   B.  ; 4    3;   C.  8;3 \ 4 D.  4;3 Câu 13: Tập xác định của hàm số y  log 2  5x  2  125  là A. 1;  B. 1;  C.  2;  D.  2;  Câu 14: Tập xác định của hàm số y  ln  x  1  ln  x  1 là A. 1;   B. ; 2  C.  D.  2;   Câu 15: Hàm số y  log 2  4 x  2 x  m  có tập xác định D   khi 1 1 1 A. m  B. m  0 C. m  D. m  4 4 4 Câu 16: Tập xác định D của hàm số y  log  x 2  6 x  5 là A. D   ;1   5;   B. D  1;5  C. D   ;1  5;   D. D  1;5 3x  1 Câu 17: Tập xác định của hàm số log 2 là. x  x  1  x2  x  1 2  1   1   1 A.   ;   B.   ;   C.  D.  \    3   3   3 Dạng 3: Đồ thị hàm số Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 18
Ví dụ 1: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y  a x , y  b x , y  c x được cho trong hình vẽ sau Mệnh đề nào đúng? A. a  b  c B. a  c  b C. b  c  a D. c  a  b Hướng dẫn giải Ta có: y  a x nghịch biến nên 0  a  1 . Mặt khác, y  b x , y  c x đồng biến, đồng thời cho x  1  y  b  y  c . Vậy a  c  b Chọn B. Ví dụ 2: Từ các đồ thị y  log a x , y  log b x , y  log c x đã cho ở hình vẽ sau: Khẳn định nào sau đây đúng? A. 0  a  b  1  c B. 0  c  1  a  b C. 0  c  a  1  b D. 0  c  1  b  a Hướng dẫn giải Ta có: y  log c x nghịch biến nên 0  c  1 . Mặt khác, y  log a x và y  log b x đồng biến nên a, b  1 đồng thời cho y  1 thì x  a  x  b . Vậy 0  c 1 a  b. TOANMATH.com Trang 19
Chọn B. Ví dụ 3: Cho các hàm số y  a x , y  log b x , y  log c x có đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng? A. b  c  a B. a  c  b C. c  b  a D. c  a  b Hướng dẫn giải Ta có y  log c x nghịch biến nên 0  c  1 còn y  log b x và y  a x đồng biến nên b  1 và a  1 . Xét y  a x : Với x  1  y  a  1  a  2 . Xét y  log b x : Với y  1  x  b  b  2 . Do đó a  b Vậy c  1  a  b . Chọn D. Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản Câu 1: Cho hàm số y  log 1 x . Khẳng định nào sau đây sai? 5 A. Hàm số có tập xác định là D   \ 0 . 1 B. y '  x ln 5 C. Hàm số nghịch biến trên  0;  D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy. Câu 2: Tìm phát biểu sai. A. Đồ thị hàm số y  a x  a  0, a  1 nằm hoàn toàn phía trên Ox. B. Đồ thị hàm số y  a x  a  0, a  1 luôn đi qua điểm A  0;1 . TOANMATH.com Trang 20