HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

184
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'hàm số nhiều biến số', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

TrÇn V¨n Minh_NguyÔn cao nh¹c (§ång chñ biªn) NguyÔn huy hoµng_nguyÔn v¨n viÖt nguyÔn minh khoa_ §Æng thÞ Mai PhÐp tÝnh Gi¶I tÝch hµm nhiÒu biÕn sè thùc Gi¸o tr×nh to¸n A3 Dµnh cho c¸n bé, sinh viªn c¸c ngµnh kinh tÕ kü thuËt Nhµ XuÊt B¶n Giao Th«ng VËn T¶i Hµ Néi 2004 Ch¬ng 1 Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 1
Hµm sè nhiÒu biÕn sè 1.1 TËp hîp trong Rn XÐt kh«ng gian ¥clit n chiÒu Rn (n>1): Rn={x=(x1,x2,…,xn): xi∈R, i= 1, n } Nh vËy mçi phÇn tö x=(x1,x2,…,xn) lµ mét bé cã s¾p thø tù gåm n sè thùc. Ta còng gäi mçi phÇn tö cña Rn lµ mét ®iÓm trong Rn vµ ký hiÖu chóng b»ng c¸c ch÷ c¸i in hoa: A, B,… Trong tµi liÖu nµy chóng ta xÐt víi n=2 hoÆc n=3. Mäi kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ thu ® îc ®Òu më réng ®îc cho n h÷u h¹n tuú ý. a. Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm: Gi¶ sö M(x1,x2,…,xn), N(y1,y2,…,yn) lµ hai ®iÓm trong Rn, ta gäi kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm ®ã, ký hiÖu d(M,N), lµ sè ®îc x¸c ®Þnh bëi: n d(M,N)= ∑ (x i =1 i − yi ) 2 (1) Tõ (1) dÔ dµng chøng minh ®îc bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c, víi ba ®iÓm A, B, C bÊt kú trong Rn lu«n cã: d(A,C)≤ d(A,B)+d(B,C) b. L©n cËn: Cho M0∈Rn vµ ε>0 ®ñ bÐ, ta gäi ε_l©n cËn cña M0 lµ tËp hîp, ký hiÖu uε(M0), x¸c ®Þnh bëi: uε(M0)={M∈Rn:d(M0,M)< ε} Ngêi ta gäi mäi tËp hîp chøa mét ε_l©n cËn nµo ®ã cña M0 lµ mét l©n cËn cña M0. c. TËp më: Cho E lµ mét tËp trong Rn. - §iÓm M∈E ®îc gäi lµ ®iÓm trong cña E nÕu tån t¹i mét ε_l©n cËn nµo ®ã cña M n»m trong E. - TËp E ®îc gäi lµ më nÕu mäi ®iÓm cña E ®Òu lµ ®iÓm trong. - Cho ®iÓm M0 vµ sè r>0, khi ®ã tËp E x¸c ®Þnh bëi: E={M: d(M0,M)
H×nh 1 Trong h×nh 1, miÒn vµnh khuyªn lµ miÒn liªn th«ng, nhng cã hai biªn; miÒn trong cña Lemnixcat cã mét biªn nhng kh«ng liªn th«ng. 1.2 Hµm nhiÒu biÕn sè 1. §Þnh nghÜa: Cho D lµ mét tËp con trong Rn. Ta gäi ¸nh x¹: f: D→R cho øng mçi x=(x1,x2,…,xn)∈D víi mét sè thùc x¸c ®Þnh u lµ mét hµm sè n biÕn x¸c ®Þnh trªn D vµ ký hiÖu: u=f(x1,x2,…,xn) NÕu xem (x1,x2,…,xn) lµ to¹ ®é cña ®iÓm M∈Rn th× ta còng cã thÓ viÕt u=f(M). NÕu n=2 hay n=3 ta thêng dïng ký hiÖu: z=f(x,y) hay u=u(x,y,z). Ta gäi D lµ miÒn x¸c ®Þnh vµ f(D) lµ miÒn gi¸ trÞ cña hµm f. NÕu hµm hai biÕn cho bëi: z=f(x,y) trong ®ã f(x,y) lµ mét biÓu thøc cña x,y th× ta nãi hµm hai biÕn cho díi d¹ng hiÖn. NÕu tõ biÓu thøc: ϕ(x,y,z)=0 víi mçi (x,y)∈D ta x¸c ®Þnh ®îc z t¬ng øng ®Ó biÓu thøc trªn tho¶ m·n th× ta nãi biÓu thøc x¸c ®Þnh mét hµm Èn hai biÕn z=z(x,y). Trong c¸c biÓu thøc trªn x,y lµ c¸c biÕn ®éc lËp, cßn z lµ biÕn phô thuéc. NÕu tõ hÖ thøc:  F ( x, y , z , u , v ) = 0  G ( x, y, z , u , v ) = 0 víi mçi (x,y,z)∈Ω ta x¸c ®Þnh ®îc u, v t¬ng øng ®Ó hÖ thøc tho¶ m·n th× ta nãi hÖ thøc x¸c ®Þnh mét hÖ hai hµm Èn ba biÕn: u=u(x,y,z) v=v(x,y,z) 2. MiÒn x¸c ®Þnh vµ ý nghÜa h×nh häc cña hµm hai biÕn NÕu hµm z cho bëi biÓu thøc z=f(x,y) th× miÒn x¸c ®Þnh cña z lµ tËp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm M(x,y)∈R2 sao cho biÓu thøc f(x,y) cã nghÜa, nã thêng lµ mét tËp liªn th«ng trong R2. NÕu z=f(x,y) cã miÒn x¸c ®Þnh D th× tËp hîp: Ω={(x,y,z): x,y∈D}⊂R3 ®îc gäi lµ ®å thÞ cña hµm z=f(x,y). Khi (x,y) ch¹y trªn D, th× ®iÓm M(x,y,z) vÏ lªn mét mÆt trong kh«ng gian, nh vËy Ω lµ mét mÆt trong kh«ng gian mµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña nã trªn mÆt ph¼ng Oxy lµ miÒn x¸c ®Þnh D. VÝ dô 1.1: T×m vµ biÓu diÔn h×nh häc miÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè: x a. z = arcsin + xy 2 MiÒn x¸c ®Þnh ®îc x¸c ®Þnh tõ bÊt ®¼ng thøc kÐp:  x − 1 ≤ ≤ 1  2  xy ≥ 0  VËy ta ®îc: Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 3
− 2 ≤ x ≤ 2 − 2 ≤ x ≤ 2  hoÆc   x ≤ 0, y ≤ 0  x ≥ 0, y ≥ 0 Cã biÓu diÔn h×nh häc lµ h×nh 2a. x2 y2 z2 b. u= 1 − 2 − 2 − 2 a b c 2 x y2 z2 MiÒn x¸c ®Þnh 2 + 2 + 2 ≤ 1 , ®ã lµ mét elipx«it, h×nh 2b. a b c H×nh 2a H×nh 2b VÝ dô 1.2: BiÓu diÔn h×nh häc hµm sè: a. x2+y2=3-z lµ Paraboloit cã ®Ønh (0,0,3), h×nh 3a. b. x2+y2=(6-z)2 lµ nãn cã ®Ønh (0,0,6), h×nh 3b. c. x=y2 lµ mÆt trô ®øng cã ®êng sinh lµ x=y2 vµ ®êng chuÈn lµ Oz, h×nh 3c. H×nh 3a H×nh 3b H×nh 3c 1.3 Giíi h¹n vµ liªn tôc 1. Giíi h¹n cña hµm hai biÕn Trong mÆt ph¼ng, khi cho x→x0, y→y0 th× ®iÓm M(x,y) dÇn ®Õn ®iÓm M 0(x0,y0), ®iÒu nµy t¬ng ®¬ng víi kho¶ng c¸ch: Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 4
ρ ( M 0 , M ) = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 → 0 Cho z=f(x,y)=f(M) x¸c ®Þnh trªn tËp D vµ M 0(x0,y0) lµ mét ®iÓm cã thÓ thuéc D hoÆc kh«ng thuéc D. §Þnh nghÜa 1: Ta nãi hµm z=f(M) cã giíi h¹n a khi M→M0 nÕu ∀ε>0, ∃δ>0 sao cho ∀M∈D, 0
lim f ( M ) = f ( M 0 ) M →M 0 Cho x0 vµ y0 c¸c sè gia t¬ng øng ∆x vµ ∆y , khi ®ã biÓu thøc: ∆f = f ( x 0 + ∆x, y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 ) gäi lµ sè gia toµn phÇn cña f(x,y) t¹i (x0,y0). Ta thÊy, f(x,y) liªn tôc t¹i (x0,y0) khi vµ chØ khi: lim ∆f = 0 ∆x → 0 ∆y → 0 NÕu f(M) kh«ng liªn tôc t¹i M 0 th× ta nãi nã gi¸n ®o¹n t¹i M0. HiÓn nhiªn M0 lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f(M) khi: (i) HoÆc f(M) kh«ng x¸c ®Þnh t¹i M0. (ii) HoÆc f(M) x¸c ®Þnh t¹i M0 nhng kh«ng tån t¹i giíi h¹n cña f(M) khi M→M0. (iii) HoÆc f(M) x¸c ®Þnh t¹i M0 vµ tån t¹i giíi h¹n khi M→M0 nhng giíi h¹n ®ã kh¸c f(M0). Hµm f(M) ®îc gäi lµ liªn tôc trªn D nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc D. NÕu D lµ miÒn ®ãng vµ f(M) liªn tôc trªn D th× còng gièng nh hµm mét biÕn, khi ®ã f(M) bÞ chÆn trªn D, nã ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt trªn miÒn Êy. VÝ dô 1.4: Kh¶o s¸t tÝnh liªn tôc cña hµm sè:  xy α  khi ( x, y ) ≠ (0,0) f(x,y)=  x 2 + y 2   0 khi ( x, y ) = (0,0) Trong ®ã α lµ mét sè d¬ng. Ta thÊy, f(x,y) liªn tôc víi mäi (x,y)≠ (0,0) v× nã lµ th¬ng cña hai hµm liªn tôc cã mÉu sè kh¸c kh«ng. XÐt t¹i ®iÓm (0,0), theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: 1 2 xy ≤ (x + y 2 ) 2 1 Do ®ã f ( x, y ) ≤ ( x 2 + y 2 ) α −1 2α lim f ( x, y ) = 0 NÕu α>1 ta cã x →0 y →0 , hay f(x,y) liªn tôc t¹i (0,0). NÕu α≤ 1 ta cã: x 2α 1 f(x,x)= 2 = 2(1−α ) 2x 2x kh«ng dÇn ®Õn kh«ng khi x→0, do ®ã f(x,y) kh«ng liªn tôc t¹i (0,0). 1.4 ®¹o hµm vµ vi ph©n 1. §¹o hµm riªng §Þnh nghÜa 4: Cho hµm sè z=f(x,y) x¸c ®Þnh trªn miÒn D vµ ®iÓm M 0(x0,y0)∈D. Cho y=y0 cè ®Þnh, nÕu hµm sè mét biÕn sè z=f(x,y 0) cã ®¹o hµm t¹i x=x0 th× ®¹o hµm ®ã gäi lµ ®¹o hµm riªng cña f(x,y) ®èi víi x t¹i (x0,y0) vµ ký hiÖu lµ: f’x(x0,y0) hay z’x(x0,y0), ∂f ( x 0 , y 0 ) ∂z ( x 0 , y 0 ) HoÆc hay ∂x ∂x NÕu cho x0 sè gia ∆x = x − x 0 , khi ®ã: ∆f x = f ( x 0 + ∆x, y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) gäi lµ sè gia riªng t¬ng øng cña x t¹i x0. Khi ®ã ta cã: ∂f ( x 0 , y 0 ) ∆f f ( x 0 + ∆x, y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) = lim x = lim ∂x ∆x →0 ∆x x → x0 ∆x T¬ng tù, nÕu cho x=x0 cè ®Þnh, nÕu f(x0, y) cã ®¹o hµm t¹i y0 th× ®¹o hµm ®ã gäi lµ ®¹o hµm riªng cña f(x,y) t¹i (x0,y0) theo y. Ta còng ký hiÖu ®¹o hµm riªng theo y lµ: f’y(x0,y0) hay z’y(x0,y0), Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 6
∂f ( x 0 , y 0 ) ∂z ( x 0 , y 0 ) HoÆc hay ∂y ∂y NÕu cho y0 sè gia ∆y = y − y 0 , khi ®ã: ∆f y = f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 ) gäi lµ sè gia riªng t¬ng øng cña y t¹i y0. Khi ®ã ta cã: ∂f ( x 0 , y 0 ) ∆f y f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 ) = lim = lim ∂y ∆y →0 ∆y y → y0 ∆y Chó ý: 1. C¸c ®¹o hµm riªng cña hµm sè n biÕn (n≥ 3) ®îc ®Þnh nghÜa t¬ng tù. HiÓn nhiªn c¸c ®¹o hµm riªng cña hµm n biÕn trªn D còng lµ hµm cña n biÕn trªn D. 2. Khi tÝnh ®¹o hµm riªng cña hµm n biÕn theo mét biÕn nµo ®ã ta coi hµm chØ phô thuéc biÕn ®ã, c¸c biÕn cßn l¹i coi nh kh«ng ®æi, råi ¸p dông mäi quy t¾c ®¹o hµm cho hµm mét biÕn sè. VÝ dô 1.5: Cho hµm 1 u= ln x2 + y2 + z2 ∂u ∂u ∂u Chøng tá r»ng: x +y +z = −1 . ∂x ∂y ∂z 1 x §Æt r = x 2 + y 2 + z 2 , khi ®ã u= ln . Do r ' x = nªn: r r ∂u  1 r' x = r  − 2 r ' x = − x = − 2 ∂x  r  r r V× u(x,y,z) lµ hµm ®èi xøng ®èi víi x,y,z nªn ta cã: ∂u y ∂u z =− 2 , =− 2 ∂y r ∂z r Do ®ã: ∂u ∂u ∂u 2 2 2 2 x +y +z = − x − y − z = − r = −1 ∂x ∂y ∂z r2 r2 r2 r2 2. Vi ph©n toµn phÇn a. §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 5: Cho hµm sè z=f(x,y) x¸c ®Þnh trªn miÒn D vµ ®iÓm M 0(x0,y0)∈D. Hµm sè z=f(x,y) ®îc gäi lµ kh¶ vi t¹i (x0,y0) nÕu sè gia toµn phÇn t¹i (x0,y0) cã thÓ biÓu diÔn díi d¹ng: ∆f = A∆x + B∆y + o( ∆x, ∆y ) Trong ®ã A, B lµ c¸c h»ng sè chØ phô thuéc (x 0,y0) mµ kh«ng phô thuéc ∆x , ∆y , cßn o( ∆x , ∆y ) lµ mét v« cïng bÐ cÊp cao h¬n ρ = (∆x) 2 + (∆y ) 2 khi ∆x , ∆y dÇn tíi kh«ng. BiÓu thøc A ∆x +B ∆y gäi lµ vi ph©n toµn phÇn cña f(x,y) t¹i (x0,y0), ký hiÖu: df=A ∆x +B ∆y NÕu z=f(x,y) kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm cña miÒn (më) D th× ta nãi f(x,y) kh¶ vi trªn D. MÖnh ®Ò: NÕu f(x,y) kh¶ vi t¹i (x0,y0) th× nã liªn tôc t¹i ®ã. ThËt vËy, nÕu f(x,y) kh¶ vi, tõ biÓu thøc: ∆f = A∆x + B∆y + o( ∆x, ∆y ) Khi ∆x , ∆y dÇn ®Õn kh«ng ta cã ∆f còng dÇn ®Õn kh«ng, hay f(x,y) liªn tôc t¹i (x0,y0). b. §iÒu kiÖn kh¶ vi cña hµm sè §Þnh lý 1: (§iÒu kiÖn cÇn) NÕu z=f(x,y) kh¶ vi t¹i (x 0,y0) th× nã cã c¸c ®¹o hµm riªng h÷u h¹n t¹i ®iÓm ®ã vµ: Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 7
∂z ∂z dz = ∆x + ∆y ∂x ∂y Chøng minh: V× z=f(x,y) kh¶ vi t¹i (x0,y0), nªn: ∆z = A∆x + B∆y + o( ∆x, ∆y ) Víi ∆y=0 ta cã: ∆z A∆x + o( ∆x,0) o( ∆x,0) = = A+ ∆x ∆x ∆x ∂z ∆z Do ®ã: = lim =A ∂x ∆x →0 ∆x T¬ng tù ta cã: ∂z ∆z = lim =B ∂y ∆x →0 ∆y ∂z ∂z Nªn ta cã: dz = ∆x + ∆y ∂x ∂y Tuy nhiªn, ngîc l¹i, nÕu z=f(x,y) cã c¸c ®¹o hµm riªng t¹i (x0,y0) cha ch¾c nã ®· kh¶ vi t¹i ®ã. VÝ dô 1.6: XÐt hµm:  sin xy  2 khi ( x, y ) ≠ (0,0) f(x,y)=  x + y 2  0 khi ( x, y ) = (0,0)  T¹i (x0,y0)=(0,0) ta cã: f ( ∆x,0) − f (0,0) f’x(0,0) = lim =0 ∆x → 0 ∆x T¬ng tù cã: f’y(0,0)=0. Tuy nhiªn theo vÝ dô 1.2, f(x,y) kh«ng liªn tôc t¹i (0,0) nªn nã kh«ng kh¶ vi t¹i ®ã. Nh vËy kh¸c víi hµm mét biÕn sè, ®èi víi hµm nhiÒu biÕn sè, ®iÒu kiÖn kh¶ vi lµ m¹nh h¬n ®iÒu kiÖn hµm cã c¸c ®¹o hµm riªng t¹i mét ®iÓm. Tuy nhiªn, ®Þnh lý sau ®©y sÏ cho ta ®iÒu kiÖn ®Ó hµm cã ®¹o hµm riªng t¹i mét ®iÓm th× còng kh¶ vi t¹i ®ã. §Þnh lý 2: (§iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm kh¶ vi) NÕu hµm z=f(x,y) cã c¸c ®¹o hµm riªng ë l©n cËn ®iÓm M 0(x0,y0) vµ nÕu c¸c ®¹o hµm riªng ®ã liªn tôc t¹i M0(x0,y0) th× f(x,y) kh¶ vi t¹i ®ã. Chøng minh: Ta cã: ∆z = f ( x 0 + ∆x, y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 ) = [ f ( x 0 + ∆x, y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 + ∆y )] + [ f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 )] ¸p dông c«ng thøc sè gia giíi néi cho hµm mét biÕn ta ®îc: f ( x 0 + ∆x, y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 + ∆y ) = f ' x ( x 0 + θ 1 ∆x, y 0 + ∆y )∆x f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 ) = f ' y ( x 0 , y 0 + θ 2 ∆y ) ∆y trong ®ã 0
Hay z=f(x,y) kh¶ vi t¹i (x0,y0). Chó ý: Còng nh trêng hîp hµm mét biÕn, nÕu x,y lµ c¸c biÕn ®éc lËp th× ∆x=dx, ∆y=dy do ®ã ta cã thÓ viÕt: dz = z ' x dx + z ' y dy vµ c¸c c«ng thøc trªn còng ®îc më réng cho hµm n biÕn. VÝ dô 1.7: TÝnh vi ph©n toµn phÇn cña x z = arctg y y x Do z' x = , z' y = − x + y2 2 x + y2 2 Nªn víi (x,y)≠ (0,0) ta cã: y x dz = 2 2 dx − 2 dy x +y x + y2 c. øng dông vi ph©n tÝnh gÇn ®óng T¬ng tù nh hµm mét biÕn sè, tõ ®Þnh nghÜa vi ph©n toµn phÇn ta cã c«ng thøc tÝnh gÇn ®óng: f ( x 0 + ∆x, y 0 + ∆y ) ≈ f ( x 0 , y 0 ) + f ' x ( x 0 , y 0 )∆x + f ' y ( x 0 , y 0 ) ∆y 1,02 VÝ dô 1.8: TÝnh gÇn ®óng arctg 0,95 x y Chän z= arctg , (x0,y0)=(1,1), ∆x=0,02, ∆y=-0,05. Theo vÝ dô 1.7 ta cã: z' x = , y x + y2 2 x z' y = − , nªn: x + y2 2 1,02 1 1 π arctg ≈ arctg 1 + 0,02 − ( −0,05) = + 0,035 ≈ 0,82 0,95 2 2 4 3. §¹o hµm cña hµm hîp a. Hµm hîp cña hµm hai biÕn Gi¶ sö z=f(u,v), trong ®ã u, v lµ hµm cña hai biÕn ®éc lËp x,y: u = u ( x, y )  v = v( x, y ) Khi ®ã ta nãi z lµ hµm hîp cña hai biÕn x,y vµ viÕt: z=f(u(x,y),v(x,y)) Chóng ta cã c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm cña hµm hîp tõ ®Þnh lý sau: ∂f ∂f §Þnh lý 3: NÕu f cã c¸c ®¹o hµm riªng , liªn tôc trong trªn miÒn ∆ vµ nÕu u, v cã c¸c ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ®¹o hµm riªng , , , liªn tôc trong miÒn D, u(D)⊂∆ vµ v(D)⊂∆ th× khi ®ã trªn D ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z ∂z tån t¹i c¸c ®¹o hµm riªng , vµ: ∂x ∂y  ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v  ∂x = ∂u ∂x + ∂v ∂x   ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v (2)  = +  ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y  C«ng thøc (2) cã thÓ viÕt díi d¹ng sau: Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 9
 ∂z   ∂u ∂v   ∂f        ∂x   ∂x ∂x   ∂u   ∂z  =  ∂u ∂v   ∂f  (3)      ∂y   ∂y ∂y   ∂v    Ma trËn:  ∂u ∂v     ∂x ∂x   ∂u ∂v     ∂y ∂y  vµ gäi lµ ma trËn Jac«bi cña u,v ®èi víi x,y cßn ®Þnh thøc cña nã gäi lµ ®Þnh thøc Jac«bi, ký hiÖu: ∂u ∂v D (u , v) ∂x ∂x (4) = D( x, y ) ∂u ∂v ∂y ∂y VÝ dô 1.9: TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng cña hµm hîp cho bëi: z=euln(u+v) u = 2 xy víi  2 2 v = x + y 1 Ta cã: z’u=eu[ln(u+v)+ ] u+v 1 z’v=eu , u’x=2y, v’x=2x u+v VËy ta cã: ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x  1  1 =eu ln(u + v) +  2 y +e u + v 2x u  u + v 2 xy  2  = e  y ln( x + y ) + 4  ( x + y)   Do tÝnh ®èi xøng cña x,y trong biÓu thøc, t¬ng tù ta cã: ∂z  2  = e 2 xy  x ln( x + y ) 4 + ∂y  ( x + y)  b. Hµm hîp cña hµm mét biÕn XÐt trêng hîp z=f(x,y), trong ®ã x,y ®Òu lµ hµm cña biÕn ®éc lËp t:  x = x(t )   y = y (t ) Khi ®ã z=f(x(t),y(t)) lµ hµm hîp mét biÕn t, nªn nã cã ®¹o hµm theo t. §©y còng chÝnh lµ trêng hîp riªng cña trêng hîp trªn víi u=x, v=y cßn x=y=t. ¸p dông c«ng thøc ta cã: dz ∂f dx ∂f dy = + (5) dt ∂x dt ∂y dt VÝ dô 1.10: Cho z=sin(x2+y2) víi:  x = a cos 3 t    y = a sin 3 t  ∂z ∂z Ta cã: = 2 x cos( x 2 + y 2 ) , = 2 y cos( x 2 + y 2 ) ∂x ∂y Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 10
x' t = −3a sin t cos 2 t y ' t = 3a cos t sin 2 t dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt ( ) = 3a 2 cos a 2 cos 6 t + a 2 sin 6 t . sin 2t.[sin 4 t − cos 4 t ] XÐt trêng hîp z=f(x,y), trong ®ã x lµ biÕn ®éc lËp, cßn y=y(x) lµ hµm cña x, khi ®ã z=f(x,y(x)) lµ truêng hîp riªng cña trêng hîp trªn víi t=x, nªn ta cã: dz ∂f ∂f dy = + (6) dx ∂x ∂y dx x x VÝ dô 1.11: Cho z = arcsin , − 1 ≤ ≤ 1 vµ y=x2 y y ∂z 1 1 = = Ta cã: ∂x x 2 y − x2 2 y 1− y2 ∂z x x =− =− ∂y x2 y y − x2 2 y2 1− y2 Do y’x=2x nªn: dz ∂f ∂f dy 1 2x 2  1 = + dx ∂x ∂y dx = 1 −  =− y2 − x2  y  x − x2 4 4. §¹o hµm cña hµm Èn a. §iÒu kiÖn tån t¹i hµm Èn Ta thÊy, biÓu thøc: F(x,y)=0 (7) cã thÓ x¸c ®Þnh mét hoÆc nhiÒu hµm Èn y=y(x). BiÓu thøc: F(x,y,z)=0 (8) cã thÓ x¸c ®Þnh mét hoÆc nhiÒu hµm Èn hai biÕn z=z(x,y). HÖ thøc:  F ( x, y , z , u , v ) = 0  (9) G ( x, y, z , u , v ) = 0 cã thÓ x¸c ®Þnh mét hoÆc nhiÒu cÆp hµm Èn u=u(z,y,z), v=v(x,y,z). Ta thõa nhËn c¸c ®Þnh lý sau vÒ sù tån t¹i, tÝnh liªn tôc vµ kh¶ vi cña c¸c hµm sè Èn. §Þnh lý 4: Gi¶ sö F(x0,y0)=0, nÕu hµm sè F(x,y) cã c¸c ®¹o hµm riªng liªn tôc ë l©n cËn cña ®iÓm M0(x0,y0) vµ nÕu F’y(M0)≠ 0 th× hÖ thøc F(x,y)=0 x¸c ®Þnh mét hµm Èn y=y(x) trong mét l©n cËn nµo ®ã cña x0, hµm sè ®ã cã gi¸ trÞ y0 khi x=x0, liªn tôc vµ cã ®¹o hµm liªn tôc t¹i l©n cËn nãi trªn. §Þnh lý 5: Gi¶ sö F(x0,y0,z0)=0, nÕu hµm sè F(x,y,z) cã c¸c ®¹o hµm riªng liªn tôc ë l©n cËn cña ®iÓm M0(x0,y0,z0) vµ nÕu F’z(M0)≠ 0 th× hÖ thøc F(x,y,z)=0 x¸c ®Þnh mét hµm Èn z=z(x,y) trong mét l©n cËn nµo ®ã cña (x 0,y0), hµm sè ®ã cã gi¸ trÞ z 0 khi (x,y)=(x0,y0) liªn tôc vµ cã c¸c ®¹o hµm riªng liªn tôc t¹i l©n cËn nãi trªn. §Þnh lý 6: Gi¶ sö:  F ( x0 , y 0 , z 0 , u 0 , v 0 ) = 0  G ( x 0 , y 0 , z 0 , u 0 , v0 ) = 0 NÕu c¸c hµm sè F(x,y,z,u,v) vµ G(x,y,z,u,v) cã c¸c ®¹o hµm riªng liªn tôc ë l©n cËn cña ®iÓm M0(x0,y0,z0,u0,v0) vµ nÕu t¹i c¸c ®iÓm Êy ®Þnh thøc Jac«bi: Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 11
D( F , G ) F 'u F ' v = ≠0 (10) D(u , v) G 'u G 'v th× hÖ thøc:  F ( x, y , z , u , v ) = 0  G ( x, y, z , u , v ) = 0 x¸c ®Þnh hai hµm Èn u=u(x,y,z) vµ v=v(x,y,z) trong l©n cËn nµo ®ã cña ®iÓm (x 0,y0,z0), chóng cã gi¸ trÞ t¬ng øng lµ u=u0, v=v0 khi (x,y,z)=(x0,y0,z0), chóng liªn tôc vµ cã c¸c ®¹o hµm riªng liªn tôc trong l©n cËn ®ã. b. §¹o hµm cña hµm Èn Gi¶ sö c¸c ®iÒu kiÖn cña c¸c ®Þnh lý trªn ®îc tho¶ m·n. (i) Tõ biÓu thøc (7) lÊy ®¹o hµm riªng hai vÕ theo x: ∂F ∂F dy + =0 ∂x ∂y dx Tõ ®ã ta ®îc: dy F ' ( x, y ) =− x (11) dx F ' y ( x, y ) x2 y2 VÝ dô 1.12: Chøng tá ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i (x0,y0) trªn Elip: + =1 a2 b2 x0 x y0 y lµ: 2 =1+ a b2 x2 y2 §Æt F(x,y)= 2 + 2 − 1 ta cã: a b 2x 2y F’x= 2 , F’y= 2 a b dy F' b2 x Do ®ã: =− x =− 2 dx F'y a y Khi ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i (x0,y0) trªn Elip lµ: b 2 x0 (y-y0)= − ( x − x0 ) a 2 y0 x0 x y 0 y Hay + 2 =1 a2 b (ii) Tõ biÓu thøc (8) lÇn lît lÊy ®¹o hµm riªng hai vÕ theo x, y ta ®îc: ∂F ∂F ∂z + =0 ∂x ∂z ∂x ∂F ∂F ∂z + =0 ∂y ∂z ∂y Tõ ®ã ta ®îc: ∂z F ' ( x, y , z ) =− x (12) ∂x F ' z ( x, y , z ) ∂z F ' y ( x, y , z ) =− (13) ∂y F ' z ( x, y , z ) VÝ dô 1.13: TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng cña z theo x, y cña hµm: 2 z2 + = y2 − z2 x 2 Ta cã: F(x,y,z)= z 2 + − y 2 − z 2 = 0 x Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 12
2 y z F’x= − , F’y= − , F’z=2z+ x2 y2 − z2 y2 − z2 ∂z F' 2 y2 − z2 VËy: =− x = ∂x F ' z x 2 z 1 + 2 y 2 − z 2      ∂z F'y y =− = ∂y F ' z z 1 + 2 y 2 − z 2      (iii) Tõ hÖ thøc (9) lÇn lît lÊy c¸c ®¹o hµm riªng theo c¸c biÕn x cña hÖ ta ®îc:  ∂F ∂F ∂u ∂F ∂v  ∂x + ∂u ∂x + ∂v ∂x = 0   (14)  ∂G + ∂G ∂u + ∂G ∂v = 0  ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x  ∂u ∂v HÖ (14) lµ hÖ tuyÕn tÝnh víi c¸c ®¹o hµm riªng , . Do ®Þnh thøc Jac«bi: ∂x ∂x D( F , G ) F 'u F ' v = ≠0 (x,y,z)∈D D(u , v) G 'u G 'v HÖ ph¬ng tr×nh sÏ cho nghiÖm duy nhÊt: D( F , G ) D( F , G ) ∂u D ( x, v) ∂v D ( x, u ) =− , =− , (15) ∂x D( F , G ) ∂x D( F , G ) D (u , v ) D (u , v ) Thay x bëi y, hoÆc z ta cã c¸c ®¹o hµm riªng theo y vµ theo z. VÝ dô 1.14: Cho hÖ hµm Èn u, v x¸c ®Þnh bëi: u + v = x + y + z  2 2 2 uv = x + y + z T×m c¸c ®¹o hµm riªng cÊp mét cña chóng theo x. Ta cã: F = x + y + z − u − v  2 2 2 G = x + y + z − uv D( F , G ) − 1 − v D( F , G ) 1 2x = =u −v , = = −u + 2 x D(u , v) − 1 − u D ( x, v ) − 1 − u Do ®ã ta cã: ∂u − u + 2x u − 2x =− = ∂x u−v u −v Do tÝnh ®èi xøng ta cã: ∂u − v + 2x v − 2x =− = ∂x u−v v−u 5. §¹o hµm theo híng Gi¶ sö u=u(x,y,z) lµ hµm x¸c ®Þnh trªn miÒn D⊂R3. Cho ®iÓm M0(x0,y0,z0)∈D vµ ®êng → th¼ng ®i qua M0 víi vÐc t¬ chØ ph¬ng lµ vÐc t¬ ®¬n vÞ l = (cos α , cos β , cos γ ) (H×nh 4) Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 13
H×nh 4 → M lµ ®iÓm trªn ®êng th¼ng, gäi ρ lµ ®é dµi ®¹i sè cña M 0 M , khi ®ã: M 0 M =ρ l . NÕu khi → ρ→0 hay M dÇn ®Õn M0 theo híng l mµ tû sè: ∆u u ( M ) − u ( M 0 ) = ρ ρ dÇn ®Õn mét giíi h¹n h÷u h¹n th× giíi h¹n Êy ®îc gäi lµ ®¹o hµm cña hµm u(x,y,z) theo híng → ∂u ( M 0 ) l , ký hiÖu: → . ∂l → → HiÓn nhiªn ®¹o hµm cña u(x,y,z) theo híng l , biÓu thÞ tèc ®é biÕn thiªn cña u theo l . §Þnh lý 7: NÕu hµm u=u(x,y,z) kh¶ vi t¹i M0(x0,y0,z0) th× t¹i ®iÓm Êy nã cã ®¹o hµm theo → mäi híng l vµ ta cã: ∂u ( M 0 ) ∂u ( M 0 ) ∂u ( M 0 ) ∂u ( M 0 ) → = cos α + cos β + cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z Chøng minh: V× u(x,y,z) kh¶ vi t¹i M0 nªn: ∆u = u ( M ) − u ( M 0 ) ∂u ( M 0 ) ∂u ( M 0 ) ∂u ( M 0 ) = ∆x + ∆y + ∆z + o( ρ ) ∂x ∂y ∂z trong ®ã o(ρ) lµ v« cïng bÐ bËc cao h¬n ρ. Do: ∆x=ρcosα, ∆y=ρcosβ, ∆z=ρcosγ nªn: ∆u ∂u ( M 0 ) ∂u ( M 0 ) ∂u ( M 0 ) o( ρ ) = cos α + cos β + cos γ + ρ ∂x ∂y ∂z ρ ChuyÓn qua giíi h¹n khi ρ→0 ta ®îc biÓu thøc cÇn chøng minh. T¹i M(x,y,z), ký hiÖu: ∂u ( M ) → ∂u ( M ) → ∂u ( M ) →  ∂u ∂u ∂u  Grad u ( M ) = i+ j+ k = , ,   ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z   ®äc lµ Gra®iªn cña u t¹i M(x,y,z). Khi ®ã ta cã: ∂u ( M 0 ) ∂u ( M 0 ) ∂u ( M 0 ) ∂u ( M 0 ) → = cos α + cos β + cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z Hay ∂u ( M 0 ) → → = gradu. l = ch→ Grad u ( M 0 ) l (16) ∂l Tõ (16) ta thÊy theo híng Gradu ( M 0 ) tèc ®é biÕn thiªn cña hµm sè qua M0 lµ lín nhÊt. ∂u ∂u ∂u HiÓn nhiªn ta cã c¸c ®¹o hµm riªng , , lµ c¸c ®¹o hµm theo híng lµ c¸c trôc Ox, Oy, ∂x ∂y ∂z Oz. VÝ dô 1.15: Cho u=xyz, t×m ®¹o hµm theo híng t¹i M0(5,1,2) theo híng M 0 M 1 , víi M1(7,- 1,3). Ta cã: M 0 M 1 =(2,-2,1), M 0 M 1 = 9 = 3 , do ®ã: Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 14
2 2 1 cos α = , cos β = − , cos γ = 3 3 3 ∂u ∂u ∂u = yz =2, = xz M 0 = 10 , = xy =5 ∂x M0 ∂y ∂z M0 ∂u 2 2 1 11 VËy → = 2. − 10 + 5 = − 3 3 3 3 ∂l 6. §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao a. §¹o hµm riªng cÊp cao Cho hµm sè z=f(x,y), c¸c ®¹o hµm riªng cÊp mét z’ x, z’y cña nã hiÓn nhiªn còng lµ c¸c hµm cña hai biÕn x,y. C¸c ®¹o hµm riªng cña c¸c ®¹o hµm riªng cÊp mét nµy, nÕu tån t¹i, sÏ ®îc gäi lµ c¸c ®¹o hµm riªng cÊp hai. Ta cã bèn ®¹o hµm riªng cÊp hai víi ký hiÖu lµ: ∂  ∂f  ∂ 2 f ∂  ∂f  ∂ 2 f  = = f " x2 ,  = = f " xy ∂x  ∂x  ∂x 2 ∂y  ∂x  ∂x∂y ∂  ∂f  ∂ 2 f ∂  ∂f  ∂ 2 f  = = f " yx ,  = = f " y2 ∂x  ∂y  ∂x∂y   ∂y  ∂y  ∂y 2   T¬ng tù, c¸c ®¹o hµm riªng cña c¸c ®¹o hµm riªng cÊp hai, nÕu cã, gäi lµ c¸c ®¹o hµm riªng cÊp ba. Trong c¸c ®¹o hµm riªng cÊp hai f " x 2 , f " y 2 gäi lµ c¸c ®¹o hµm vu«ng, cßn f " xy , f " yx gäi lµ c¸c ®¹o hµm ch÷ nhËt. Th«ng thêng, c¸c ®¹o hµm riªng cÊp cao kh«ng phô thuéc vµo thø tù lÊy ®¹o hµm, ®iÒu ®ã ®îc chØ ra b»ng ®Þnh lý sau. §Þnh lý 8: ( §Þnh lý Schwartz) NÕu trong mét l©n cËn nµo ®ã cña ®iÓm M 0(x0,y0) hµm f(x,y) cã c¸c ®¹o hµm cÊp hai f " xy , f " yx vµ nÕu c¸c ®¹o hµm Êy liªn tôc t¹i M 0(x0,y0) th× f " xy (x0,y0)= f " yx (x0,y0). §Þnh lý còng ®óng cho hµm n biÕn bÊt kú.  x VÝ dô 1.16: Cho hµm z = f ( xy ) + g   víi f, g tuú ý cã ®¹o hµm riªng cÊp hai. Chøng tá    y r»ng: x 2 z" xx − y 2 z" yy + xz ' x − yz ' y = 0 1 x Ta cã: z ' x = yf '+ g ' , z ' y = xf '− 2 g ' y y 1 x2 2x z" xx = y 2 f "+ g" , z" yy = x 2 f "+ g"+ 3 g ' y2 y 4 y 2x 2x Do xz ' x − yz ' y = g' , x 2 z" xx − y 2 z" yy = − g' y y nªn ta cã ®¼ng thøc cÇn chøng minh. b. Vi ph©n toµn phÇn cÊp cao V× vi ph©n toµn phÇn cÊp mét: dz=f’xdx+f’ydy còng lµ mét hµm cña hai biÕn x,y nªn nÕu nã kh¶ vi th× vi ph©n toµn phÇn cña nã ®îc gäi lµ vi ph©n toµn phÇn cÊp hai cña z vµ ®îc ký hiÖu d2z. Nh vËy: d2z=d(dz)=d(f’xdx+f’ydy) T¬ng tù, vi ph©n toµn phÇn cÊp ba: d3z=d(d2z) … dnz=d(dn-1z) vµ chóng ®îc gäi lµ c¸c vi ph©n toµn phÇn cÊp cao cña z. Gi¶ sö z=f(x,y) tho¶ m·n ®Þnh lý Schwartz, khi ®ã: Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 15
d2z=d(f’xdx+f’ydy) = f " x 2 dx2+ f " xy dxdy+ f " xy dydx+ f " y 2 dy2 = f " x 2 dx2+2 f " xy dxdy+ f " y 2 dy2 Ngêi ta thêng dïng ký hiÖu tîng trng:  ∂ ∂  ∂f ∂f dz=   dx +  f =  dx + dy  dx dy  ∂x ∂y Khi ®ã víi c¸c vi ph©n toµn phÇn cÊp cao ta cã: 2  ∂ ∂  d z=  dx + dy  f 2  ∂x  ∂y  … n  ∂ ∂  d z=  dx + dy  f n  ∂x  ∂y   x VÝ dô 1.17: Cho z=arctg , tÝnh d2z vµ d2z(0,1). y y x Ta cã: z’x= 2 2 , z’y= − 2 x +y x + y2 2 xy 2 xy z”xx= − 2 2 2 , z”yy= 2 (x + y ) (x + y 2 ) 2 1 2y2 x2 − y2 z”xy= − 2 = 2 x 2 + y 2 (x + y 2 ) 2 (x + y 2 )2 Do vËy: 2 xy x2 − y2 2 xy d2z= − 2 2 2 dx2+2 2 2 2 dxdy+ dy2 (x + y ) (x + y ) (x + y 2 ) 2 2 d2z(0,1)=-2dxdy c. C«ng thøc Taylo C«ng thøc Taylo cho hµm nhiÒu biÕn còng ®îc më réng tõ hµm mét biÕn b»ng ®Þnh lý sau: §Þnh lý 9: Gi¶ sö hµm f(x,y) cã c¸c ®¹o hµm riªng ®Õn cÊp (n+1) liªn tôc trong mét l©n cËn nµo ®ã cña ®iÓm M 0(x0,y0). NÕu ®iÓm M(x0+∆x,y0+∆y) còng n»m trong l©n cËn ®ã th× ta cã: d 2 f ( x0 , y0 ) f ( x 0 + ∆x, y 0 + ∆y ) = f ( x 0 , y 0 ) + df ( x 0 , y 0 ) + + 2! d n f ( x 0 , y 0 ) d n +1 f ( x 0 + θ∆x, y 0 + θ∆y ) ... + + n! (n + 1)! Trong ®ã: (0
−4[(1 + y )dx − xdy][(1 − x + y )(− dx + dy ) + (1 + x + y )(dx + dy )] d2f= [(1 − x + y) 2 + (1 + x + y ) 2 ] 2 d2f(0,0)=-2dxdy Sö dông c«ng thøc Macl«ranh: 1 f(x,y)=f(0,0)+df(0,0)+ d2f(0,0)+… 2 víi dx=x, dy=y ta ®îc: 1+ x + y π xy arctg ≈ +x− 1− x + y 4 2 7. TiÕp diÖn vµ ph¸p tuyÕn cña mÆt a. Hµm vÐc t¬ phô thuéc tham sè XÐt hÖ ba hµm phô thuéc tham sè:  x = x (t )   y = y (t ) t∈[t0,T]  z = z (t )  Víi mçi t∈[t0,T], ta cã ®iÓm M(x(t),y(t),z(t))∈R3, xÐt vÐc t¬: → → → → r (t ) = OM = x(t ) i + y (t ) j + z (t ) k (17) §ã lµ mét hµm vÐc t¬ phô thuéc tham sè v« híng t. Khi t ch¹y trªn [t0,T], ®iÓm M sÏ vÏ lªn mét → ®êng cong L trong kh«ng gian gäi lµ tèc ®å cña r (t ) . → → → Gäi ∆ r = r (t ) − r (t 0 ) lµ sè gia t¬ng øng víi sè gia ∆t = t − t 0 . Khi ®ã, nÕu tån t¹i giíi h¹n: → ∆r → lim = r '(t 0 ) t →t0 ∆t → th× r '(t 0 ) gäi lµ ®¹o hµm cña hµm vÐc t¬ t¹i t0. → → Gäi r '(t ) lµ ®¹o hµm cña r (t ) t¹i t, tõ (1) ta dÔ dµng chøng minh ®îc: → → → → r '(t ) = x' (t ) i + y ' (t ) j + z ' (t ) k BiÓu diÔn b»ng h×nh vÏ (H×nh 5), trªn tèc ®å ta cã: H×nh 5 → → → → → r (t 0 ) = OM 0 , r (t ) = OM , ∆ r = r − r0 = M 0 M → VÐc t¬ ∆ r lµ mét hµm vÐc t¬ n»m theo d©y cung M 0M. Khi t → t 0 , M dÇn ®Õn M0 trªn ®- ∆t êng cong L, ph¬ng cña d©y cung M0M dÇn ®Õn trïng víi ph¬ng cña tiÕp tuyÕn M0T cña ®- êng cong t¹i tiÕp ®iÓm M0 nÕu tiÕp tuyÕn nµy tån t¹i. Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 17
Nh vËy ®¹o hµm: → → → → r '(t ) = x' (t ) i + y ' (t ) j + z ' (t ) k (18) → lµ vÐc t¬ cã ph¬ng n»m theo tiÕp tuyÕn víi tèc ®å L cña hµm vÐc t¬ r (t ) t¹i ®iÓm M(x(t),y(t),z(t)) víi c¸c chiÕu trªn c¸c trôc to¹ ®é t¬ng øng lµ: x’(t), y’(t), z’(t). b. TiÕp tuyÕn vµ ph¸p diÖn cña ®êng cong XÐt M0(x0,y0,z0) trªn ®êng cong L cã ph¬ng tr×nh tham sè:  x = x (t )   y = y (t ) t∈[t0,T]  z = z (t )  → → → → Theo (18) r '(t 0 ) = x' (t 0 ) i + y ' (t 0 ) j + z ' (t 0 ) k lµ vÐc t¬ chØ ph¬ng cña tiÕp tuyÕn t¹i M0, do ®ã ph¬ng tr×nh cña tiÕp tuyÕn víi ®êng cong t¹i M0 lµ: x − x0 y − y 0 z − z 0 = = (19) x ' (t 0 ) y ' (t 0 ) z ' (t 0 ) Ta gäi mÆt ph¼ng ®i qua M 0 vµ vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn cña ®êng cong t¹i M0 lµ mÆt ph¼ng ph¸p diÖn cña ®êng cong t¹i M0. Ta thÊy, mÆt ph¼ng ph¸p diÖn cã vÐc t¬ ph¸p: → → → → r '(t 0 ) = x' (t 0 ) i + y ' (t 0 ) j + z ' (t 0 ) k nªn nã cã ph¬ng tr×nh: (x-x0).x’(t0)+(y-y0).y’(t0)+(z-z0).z’(t0)=0 (20) NÕu ®êng cong n»m trong mÆt ph¼ng Oxy vµ cã ph¬ng tr×nh F(x,y)=0, khi ®ã do: F' y ' x = − x nªn vÐc t¬: F'y →  ∂F ∂F  n=  ∂x , ∂y     lµ vÐc t¬ ph¸p cña tiÕp tuyÕn. NÕu ®êng cong cã ph¬ng tr×nh y=f(x), khi ®ã vÐc t¬ ph¸p cña tiÕp tuyÕn cã c¸c cosin chØ ph¬ng lµ:  f 'x  ( cos α , cos β ) =  1 2 ,  1+ f '  2   x 1 + f 'x  VÝ dô 1.19: T×m c¸c cosin chØ ph¬ng cña vÐc t¬ ph¸p cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm (x,y) cña ®êng trßn ®¬n vÞ: x2+y2=1. §Æt F(x,y)=x2+y2-1 , ta cã: ∂F ∂F = 2 x, = 2y ∂x ∂y Do ®ã  2x 2y  ( cos α , cos β ) =  4x 2 + 4 y 2 ,  = ( x, y ) 2   4x + 4 y  2 Nh vËy, trªn ®êng trßn ®¬n vÞ ph¸p tuyÕn t¹i mçi ®iÓm cã c¸c cosin chØ ph¬ng b»ng hoµnh ®é vµ tung ®é t¬ng øng cña ®iÓm. c. Ph¸p tuyÕn vµ tiÕp diÖn cña mÆt cong Cho mÆt cong S cã ph¬ng tr×nh: F(x,y,z)=0 (21) Mét ®êng th¼ng ®îc gäi lµ tiÕp tuyÕn cña mÆt S t¹i ®iÓm M 0 thuéc S nÕu nã lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng cong nµo ®ã n»m trªn S vµ ®i qua M0. Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 18
T¹i mçi M0 thuéc S nãi chung cã v« sè ®êng cong n»m trong S ®i qua, cho nªn t¹i mçi M 0 thuéc S cã v« sè tiÕp tuyÕn kh¸c nhau. M 0 ®îc gäi lµ ®iÓm b×nh thêng nÕu t¹i ®ã c¶ ba ®¹o hµm riªng F’x(x,y,z), F’y(x,y,z), F’z(x,y,z) ®Òu tån t¹i, liªn tôc vµ kh«ng ®ång thßi triÖt tiªu. Mét ®iÓm kh«ng b×nh thêng ®îc gäi lµ ®iÓm kú dÞ trªn mÆt cong. NÕu M 0 lµ ®iÓm b×nh thêng ta kÕt qu¶ sau: §Þnh lý 10: Quü tÝch cña mäi tiÕp tuyÕn cña mÆt S t¹i mäi ®iÓm b×nh thêng cña S lµ mét mÆt ph¼ng ®i qua nã. Chøng minh: Gi¶ sö L lµ mét ®êng cong nµo ®ã thuéc S cã ph¬ng tr×nh:  x = x (t )   y = y (t ) t∈[t0,T]  z = z (t )  ®i qua ®iÓm b×nh thêng M0((t0) cña S. Khi ®ã tiÕp tuyÕn cña L t¹i M0 cã ph¬ng tr×nh: x − x0 y − y 0 z − z 0 = = x ' (t 0 ) y ' (t 0 ) z ' (t 0 ) → víi vÐc t¬ chØ ph¬ng n0 = {x' (t 0 ), y ' (t 0 ), z ' (t 0 )} . V× L thuéc S nªn x(t), y(t), z(t) tho¶ m·n ph- ¬ng tr×nh: F[x(t),y(t),z(t)]=0 §¹o hµm hai vÕ theo t ta ®îc: ∂F ∂F ∂F x ' (t ) + y ' (t ) + z ' (t ) = 0 ∂x ∂y ∂z  ∂F ∂F ∂F  → Chøng tá Grad F =   ∂x , ∂y , ∂z  vu«ng gãc víi vÐc t¬ n (t ) = { x' (t ), y ' (t ), z ' (t )} . T¹i M0     ∂F ∂F ∂F  → Grad F =   ∂x , ∂y , ∂z  t =t0 vu«ng gãc víi vÐc t¬ n0 = {x' (t 0 ), y ' (t 0 ), z ' (t 0 )} .    T¹i M0, Grag F ( M 0 ) lµ vÐc t¬ x¸c ®Þnh nªn mäi tiÕp tuyÕn cña S ®i qua M 0 ®Òu vu«ng gãc víi Grag F ( M 0 ) nªn chóng ph¶i cïng n»m trªn mÆt ph¼ng ®i qua M 0 vµ vu«ng gãc víi Grag F ( M 0 ) . MÆt ph¼ng chøa mäi tiÕp tuyÕn cña S ®i qua M 0 gäi lµ mÆt tiÕp diÖn cña S t¹i M 0. §êng th¼ng ®i qua M0 vµ vu«ng gãc víi mÆt tiÕp diÖn t¹i ®ã gäi lµ ph¸p tuyÕn cña mÆt S t¹i M 0 (h×nh 6). H×nh 6 Chóng ta thÊy vÐc t¬ ph¸p cña mÆt tiÕp diÖn t¹i M thuéc S còng chÝnh lµ vÐc t¬ chØ ph - ¬ng cña ph¸p tuyÕn t¹i M, vµ lµ: Huỳnh Ngọc Cảm -Từ internet Trang 19
 ∂F ∂F ∂F  Grad F =   ∂x , ∂y , ∂z     §Æt r = (F ' x ) 2 + (F ' y ) 2 + (F ' z ) 2 Khi ®ã nã cã c¸c cosin chØ ph¬ng t¬ng øng: Grad F  F ' x F ' y F ' z  ( cos α , cos β , cos γ ) = = , ,  Grad F  r  r r   NÕu mÆt S cã ph¬ng tr×nh z=f(x,y), ta cã: f 'x cos α = 1 + f '2 + f '2 x y f 'y cos β = 1 + f '2 + f '2 x y 1 cos γ = 1 + f '2 + f '2 x y Do ®ã t¹i M0(x0,y0,z0) thuéc S ta cã ph¬ng tr×nh ph¸p tuyÕn lµ: x − x0 y − y0 z − z0 = = F ' x ( x0 , y 0 , z 0 ) F ' y ( x0 , y0 , z 0 ) F ' z ( x0 , y 0 , z 0 ) vµ ph¬ng tr×nh tiÕp diÖn lµ: (x-x0)F’x(x0,y0,z0)+(y-y0)F’y(x0,y0,z0)+(z-z0)F’z(x0,y0,z0)=0 VÝ dô 1.20: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp diÖn vµ ph¸p tuyÕn cña mÆt x 2+z2=y, t×m gãc gi÷a ph¸p tuyÕn vµ trôc Oy t¹i M0(1,2,1). Ta cã: F(x,y,z)=x2-y+z2=0 nªn: F’x=2x, F’y=-1, F’z=2z T¹i M0 cã grad F (1,2,1) = (2,-1,2). Do ®ã: (i) Ph¬ng tr×nh cña tiÕp diÖn: 2(x-1)-(y-2)+2(z-1)=0 hay 2x-y+2z-2=0 (ii) Ph¬ng tr×nh cña ph¸p tuyÕn x −1 y − 2 z −1 = = 2 −1 −1 2 (iii) Gãc gi÷a ph¸p tuyÕn vµ trôc Oy lµ: 1 1 cos β = = 9 3 1.4 Cùc trÞ cña hµm nhiÒu biÕn 1. Cùc trÞ kh«ng ®iÒu kiÖn §Þnh nghÜa 6: Cho hµm z=f(x,y) x¸c ®Þnh trong miÒn D vµ ®iÓm M 0(x0,y0)∈D. Ta nãi r»ng f(x,y) ®¹t cùc trÞ t¹i M0(x0,y0), nÕu tån t¹i mét l©n cËn nµo ®ã cña M 0(x0,y0), mµ f(M)- f(M0) cã dÊu kh«ng ®æi víi mäi ®iÓm M(x,y) kh¸c M0 thuéc l©n cËn. NÕu f(M)-f(M0)>0 ta cã ®iÓm cùc tiÓu, nÕu f(M)-f(M0)