Một số vấn đề nhận thức toán học trong giảng dạy Triết học

Chia sẻ: Thiên Lăng Sở | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo tập trung vào các kiến thức cơ bản của triết học suy vật biện chứng như: đối tượng nhận thức, phép biện chứng và vấn đề chân lí trên cơ sở làm rõ các khía cạnh liên quan trong mối quan hệ giữa triết học với nhận thức toán học. Về kết cấu, nội dung bài báo bao gồm: (i) đối tượng của nhận thức toán học, (ii) biện chứng và toán học, (iii) vấn đề chân lí trong toán học. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số vấn đề nhận thức toán học trong giảng dạy Triết học

MËT SÈ VN NHN THÙC TON HÅC TRONG GING DY TRIT HÅC L¶ Nguy¹n H÷ìng Trinh Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 1 °t v§n · º l m s¡ng tä cì sð khoa håc tü nhi¶n cõa tri¸t håc, F.Engels ¢ ph£i c§t cæng 8 n«m nghi¶n cùu h¦u h¸t c¡c ng nh khoa håc tü nhi¶n nh÷: to¡n håc, cì håc, vªt l½ håc, hâa håc, sinh vªt håc, thi¶n v«n håc,. . . v t¡c ph©m Bi»n chùng tü nhi¶n cõa æng m°c dò cán dang dð d÷îi d¤ng b£n th£o song thüc sü v¨n l mët âng gâp quþ cho nh¥n lo¤i °c bi»t trong l¾nh vüc làch sû tri¸t håc v¼ ¢ chùng minh cì sð khoa håc tü nhi¶n cõa tri¸t håc düa tr¶n nhúng th nh tüu khoa håc tü nhi¶n thíi b§y gií. Trong gi£ng d¤y tri¸t håc hi»n nay, nhi·u gi£ng vi¶n ch÷a chó þ khai th¡c mèi quan h» giúa tri¸t håc vîi c¡c khoa håc cö thº l m cho ki¸n thùc, tri¸t håc trð n¶n xa l¤ vîi ch½nh n·n mâng khoa håc cõa nâ, v nguy h¤i hìn l l m cho sinh vi¶n ti¸p nhªn tri¸t håc nh÷ mët sü ¡p °t d¨n tîi khæng th½ch håc ho°c håc tri¸t håc mët c¡ch thö ëng. V¼ vªy möc ½ch cõa b i b¡o l âng gâp mët þ ki¸n trong vi»c êi mîi ph÷ìng ph¡p gi£ng d¤y tri¸t håc ð c¡c tr÷íng ¤i håc thæng qua khai th¡c mèi quan h» giúa tri¸t håc v to¡n håc trong gi£ng d¤y tri¸t håc duy vªt bi»n chùng (DVBC). B i b¡o s³ tªp trung v o c¡c ki¸n thùc cì b£n cõa tri¸t håc DVBC nh÷: èi t÷ñng nhªn thùc, ph²p bi»n chùng v v§n · ch¥n l½ tr¶n cì sð l m rã c¡c kh½a c¤nh li¶n quan trong mèi quan h» giúa tri¸t håc vîi nhªn thùc to¡n håc. V· k¸t c§u, nëi dung b i b¡o bao gçm: (i) èi t÷ñng cõa nhªn thùc to¡n håc; (ii) bi»n chùng v to¡n håc; (iii) v§n · ch¥n l½ trong to¡n håc. 1
2 Nëi dung nghi¶n cùu 2.1 èi t÷ñng cõa nhªn thùc to¡n håc èi t÷ñng cõa nhªn thùc l to n bë th¸ giîi hi»n thüc. V· èi t÷ñng nghi¶n cùu, c¡c khoa håc ch¿ kh¡c nhau ð ché méi mët khoa håc nghi¶n cùu mët m°t cõa th¸ giîi hi»n thüc. Vªy, èi t÷ñng cõa nhªn thùc to¡n håc l g¼ theo quan iºm cõa chõ ngh¾a duy vªt bi»n chùng? Trong t¡c ph©m Chèng Duhring, khi ph¶ ph¡n chõ ngh¾a ti¶n nghi»m cõa Duhring, Engels ¢ °c bi»t nh§n m¤nh: èi t÷ñng cõa to¡n håc thu¦n tóy l nhúng h¼nh thùc khæng gian v nhúng quan h» sè l÷ñng cõa th¸ giîi hi»n thüc. . . biºu hi»n d÷îi h¼nh thùc cüc ký trøu t÷ñng, i·u â ch¿ câ thº che l§p i mët c¡ch y¸u ît nguçn gèc cõa nâ trong th¸ giîi b¶n ngo i [1]. Engels cán gi£i th½ch th¶m r¬ng b¬ng c¡ch â (tùc ph÷ìng ph¡p trøu t÷ñng to¡n håc - ng÷íi vi¸t), ng÷íi ta câ ÷ñc nhúng iºm khæng câ di»n t½ch, nhúng ÷íng khæng câ b· d y v b· rëng, nhúng a v b, x v y, nhúng h m sè v bi¸n sè. T§t c£ o¤n tr½ch d¨n tr¶n h m þ r¬ng: khi x²t èi t÷ñng cõa nhªn thùc to¡n håc, c¦n ph£i nh§n m¤nh hai iºm: i) nguçn gèc thüc ti¹n (t½nh hi»n thüc cõa nâ); ii) t½nh biºu hi»n cüc ký trøu t÷ñng. Nâi ¸n to¡n håc l nâi ¸n sü trøu t÷ñng, trong t¡c ph©m Bi»n chùng tü nhi¶n Engels mët l¦n núa nhc ¸n t½nh trøu t÷ñng cõa to¡n håc thu¦n tóy v c¡c ¤i l÷ñng t÷ðng t÷ñng cõa nâ. Tuy nhi¶n, Engels công nhc nhð øng bao gií qu¶n t½nh hi»n thüc cõa nâ: nhúng kh¡i ni»m v· sè v h¼nh khæng thº rót ra tø ¥u ÷ñc m ch¿ câ thº rót ra tø th¸ giîi hi»n thüc [1]. Sð d¾ ng÷íi ta khâ th§y t½nh hi»n thüc cõa to¡n håc l v¼ bà t½nh trøu t÷ñng luæn che l§p i. Engels cho r¬ng i·u â công gièng nh÷ vi»c rót mët ¤i l÷ñng to¡n håc n y tø mët ¤i l÷ñng to¡n håc kh¡c d÷íng nh÷ l ti¶n nghi»m nh÷ng l¤i khæng chùng minh ÷ñc nguçn gèc ti¶n nghi»m cõa nhúng ¤i l÷ñng m ch¿ chùng minh mèi li¶n h» hñp l½ giúa chóng vîi nhau. Song thíi cõa Engels t÷ìng ùng vîi thíi ký to¡n håc cê iºn trong làch sû ph¡t triºn cõa to¡n håc. C¡c nh to¡n håc sau n y cho r¬ng quan ni»m èi t÷ñng cõa to¡n håc nghi¶n cùu h¼nh thùc khæng gian v quan h» sè l÷ñng m Engels ÷a ra ch¿ óng cho to¡n håc cê iºn nh÷ng g¥y khâ kh«n èi vîi vi»c ¡p döng v o to¡n håc hi»n ¤i, v½ dö l½ thuy¸t C§u tróc Buorbaki N (nhâm c¡c nh to¡n håc, ph¦n lîn l ng÷íi Ph¡p - t¡c gi£) khæng thu¦n tóy nghi¶n cùu h¼nh thùc khæng gian v quan h» sè l÷ñng. Câ thº nâi ¥y công l mët sü th¡ch è cõa to¡n håc hi»n ¤i èi vîi tri¸t håc M¡c-L¶nin. 2
Xung quanh v§n · èi t÷ñng cõa to¡n håc hi»n ¤i ¢ tøng bòng nê c¡c cuëc tranh luªn giúa c¡c nh to¡n håc. Nhi·u þ ki¸n cho r¬ng to¡n håc hi»n ¤i v¨n nghi¶n cùu h¼nh thùc khæng gian v quan h» sè l÷ñng nh÷ng d÷îi h¼nh thùc mîi. Theo h÷îng n y, c¡c þ ki¸n cho r¬ng h¼nh thùc mîi l do to¡n håc hi»n ¤i nghi¶n cùu c£ ch§t l÷ñng. Ð ¥y c¦n hiºu ch§t l÷ñng m to¡n håc nghi¶n cùu khæng gièng nh÷ ch§t l÷ñng cõa c¡c sü vªt hi»n t÷ñng trong th¸ giîi hi»n thüc m l ch§t l÷ñng cõa b£n th¥n sè l÷ñng. Ch½nh Engels trong t¡c ph©m Bi»n chùng tü nhi¶n công ¢ · cªp tîi ch§t l÷ñng cõa sè l÷ñng v sü chuyºn hâa m°c dò Engels ch÷a õ i·u ki»n º bao qu¡t h¸t ÷ñc èi t÷ñng cõa to¡n håc. Vªy to¡n håc l khoa håc trøu t÷ñng ¢ ÷ñc l÷ñng hâa v to¡n håc nghi¶n cùu ch§t theo ngh¾a: ch§t cõa l÷ñng v l÷ñng hâa c¡c ch§t â. °c thò cõa to¡n håc hi»n ¤i l l÷ñng hâa c¡c quan h», h¼nh thùc do â C§u tróc v Thuªt to¡n ¢ trð th nh èi t÷ñng cõa to¡n håc hi»n ¤i. Thüc ra b£n th¥n C§u tróc vîi cì sð l l½ thuy¸t tªp hñp ¢ th¥u tâm hai °c t½nh cì b£n cõa to¡n håc: quan h» v h¼nh thùc m Engels ¢ nâi, song nâ v§p ph£i khâ kh«n v· tçn t¤i m ch¿ L½ thuy¸t thuªt to¡n mîi gi£i quy¸t nêi cho n¶n to¡n håc hi»n ¤i l sü thèng nh§t cõa hai m°t èi lªp: C§u tróc v Thuªt to¡n. Quay l¤i quan ni»m cõa Engels v· èi t÷ñng nhªn thùc to¡n håc tùc l c¡ch xem x²t tr¶n c£ hai ph÷ìng di»n: (i) m°t thu¦n tóy to¡n håc (t½nh trøu t÷ñng) v (ii) m°t thüc ti¹n vîi t½nh c¡ch nguçn gèc to¡n håc (t½nh hi»n thüc); mët c¥u häi s³ °t ra: vªy th¼ to¡n håc hi»n ¤i ph£i ch«ng còng vîi sü trøu t÷ñng hâa ng y c ng cao hìn s³ bà ct khäi sñi d¥y li¶n h» vîi hi»n thüc, vîi thüc ti¹n cuëc sèng? C¦n ph£i hiºu r¬ng, to¡n håc ng y c ng trøu t÷ñng hâa bªc cao hìn n¶n vi»c i t¼m sü t÷ìng quan giúa c¡c thuªt ngú to¡n håc vîi hi»n thüc l i·u tèn cæng væ ½ch. C¡c thuªt ngú, l½ luªn hay cæng thùc, k½ hi»u to¡n håc ÷ñc x¥y düng b¬ng con ÷íng gi¡n ti¸p, t÷ duy logic thu¦n tóy, c ng xa hi»n thüc bao nhi¶u c ng t«ng t½nh ch§t phê bi¸n cõa l½ luªn v do â c ng ©y l½ thuy¸t to¡n håc ¸n g¦n hi»n thüc b§y nhi¶u. Thªt vªy, l½ thuy¸t to¡n i·u khiºn hay tin håc thªt trøu t÷ñng song vai trá x¥m nhªp v o måi kh½a c¤nh cõa íi sèng thªt l phong phó v hi»u qu£, nh÷ vªy t½nh hi»n thüc cõa to¡n håc ¢ ÷ñc chùng minh b¬ng kh£ n«ng thóc ©y ho¤t ëng thüc ti¹n cõa con ng÷íi. T§t nhi¶n hi»n nay khâ câ thº h¼nh dung h¸t ÷ñc ki¸n tróc to¡n håc trong t÷ìng lai s³ nh÷ th¸ n o, èi t÷ñng cõa nhªn thùc to¡n håc s³ mð rëng ra sao; song i·u chn chn l méi b÷îc ti¸n l¶n cõa to¡n håc công l mët b÷îc mð rëng hìn ph¤m vi ùng döng thüc ti¹n cõa nâ. 3
Trong thüc t¸ câ v´ khâ tin khi nâi r¬ng câ mèi quan h» n o â giúa ¥m nh¤c v to¡n håc, giúa ¥m thanh vîi c¡c ph¥n sè ìn gi£n nh÷ nh thæng th¡i Pythagore ¢ ph¡t hi»n c¡ch ¥y hìn 2000 n«m. Vªy m mîi ¥y, GS. Clifton Callender cõa tr÷íng ¤i håc bang Florida, GS. Ian Quinn cõa ¤i håc Yale v GS. Dmitri Tymoczko cõa ¤i håc Princeton, ba gi¡o s÷ ¢ giîi thi»u mët ph÷ìng thùc mîi º ph¥n t½ch v ph¥n lo¤i ¥m nh¤c düa v o to¡n håc [2]. C¡c gi¡o s÷ ¢ ÷a ra mët ph÷ìng ph¡p gåi l l½ thuy¸t h¼nh håc cõa ¥m nh¤c, khði ¦u quan trång trong sü ành l÷ñng ¥m nh¤c, nhªn thùc ¥m nh¤c s¥u sc hìn nhí khai th¡c sü ph¡t triºn to¡n håc theo chi·u s¥u. T§t c£ i·u â c ng minh håa mët c¡ch rã n²t hìn, ¦y õ hìn nhªn ành cõa Engels trong cuèn Chèng Duhring: công nh÷ trong måi l¾nh vüc t÷ duy, nhúng quy luªt rót ra b¬ng con ÷íng trøu t÷ñng hâa, tø th¸ giîi hi»n thüc ¸n mët mùc ph¡t triºn n o â th¼ nhúng quy luªt §y t¡ch khäi th¸ giîi hi»n thüc, èi lªp vîi nâ nh÷ mët c¡i g¼ èi lªp, nh÷ nhúng quy luªt tø b¶n ngo i ¸n m th¸ giîi ph£i th½ch ùng theo. T¼nh h¼nh x£y ra trong x¢ hëi v Nh n÷îc l nh÷ th¸, trong to¡n håc thu¦n tóy công vªy chù khæng kh¡c. To¡n håc thu¦n tóy v· sau ÷ñc ¡p döng v o th¸ giîi tuy ch½nh nâ tø trong th¸ giîi m rót ra v ch¿ ph£n ¡nh ph¦n n o nhúng h¼nh thùc li¶n h» vèn câ cõa th¸ giîi - ch½nh v¼ th¸ m to¡n håc nâi chung câ thº ùng döng ÷ñc [1]. 2.2 Bi»n chùng v to¡n håc Logic nëi t¤i cõa to¡n håc l logic h¼nh thùc, bði v¼ to¡n håc l s£n ph©m cõa t÷ duy trøu t÷ñng m t÷ duy vèn mang t½nh h¼nh thùc, nâ trøu t÷ñng i t§t c£ nhúng g¼ l sèng ëng vèn câ cõa nëi dung èi t÷ñng. V½ dö, logic h¼nh thùc quan t¥m tîi Måi S l P m khæng quan t¥m tîi S v P l g¼. Logic h¼nh thùc l khoa håc cõa t÷ duy m to¡n håc l¤i l mët khoa håc cüc ký trøu t÷ñng. Cho n¶n, logic h¼nh thùc, c¡c ph÷ìng ph¡p suy di¹n h¼nh thùc l logic ch½nh thèng, logic nëi t¤i cõa to¡n håc. Quy luªt m¥u thu¨n cõa logic h¼nh thùc ái häi måi qu¡ tr¼nh t÷ duy ph£i nh§t qu¡n, khæng m¥u thu¨n, â công l ái häi cõa c¡c l½ thuy¸t to¡n håc. To¡n håc l mët l¾nh vüc cõa nhªn thùc con ng÷íi, m nhªn thùc thèng nh§t vîi ph²p bi»n chùng, vªy to¡n håc câ mèi quan h» g¼ èi vîi ph²p bi»n chùng tri¸t håc? Ngay tø t¡c ph©m Bi»n chùng tü nhi¶n Engels ¢ vi¸t: ¤i l÷ñng kh£ bi¸n cõa Descartes ¢ ¡nh d§u mët b÷îc ngo°t trong to¡n håc. Vîi ¤i l÷ñng â, Vªn ëng v Bi»n chùng ¢ i v o to¡n håc v ph²p t½nh vi ph¥n, t½ch ph¥n ¢ lªp tùc trð th nh c¦n thi¸t [1]. Công trong t¡c ph©m 4
n y Engels khæng ti¸c líi ca ngñi sü ph¡t minh ra c¡c ¤i l÷ñng væ còng b² (VCB): Trong t§t c£ c¡c th nh tüu l½ luªn, ch÷a chc ¢ câ mët th nh tüu n o ÷ñc måi ng÷íi xem l thng lñi tèi cao cõa tr½ âc con ng÷íi nh÷ ph¡t minh ra ph²p t½nh c¡c ¤i l÷ñng VCB v o nûa cuèi th¸ k XVII bði v¼ theo Engels Quan h» bi»n chùng ¢ câ trong ph²p t½nh vi ph¥n, ð â dx l VCB nh÷ng l¤i câ t¡c döng v t¤o ra måi c¡i [1]. H¢y l§y mët v½ dö ìn gi£n º hiºu rã hìn nhªn ành tr¶n cõa Engels. Vîi to¡n håc sì c§p ta ch¿ t½nh ÷ñc vªn tèc trung b¼nh cõa chuyºn ëng s v cæng thùc vT B = (s: qu¢ng ÷íng v t: thíi gian) ch¿ óng vîi chuyºn t ëng ·u. Tuy nhi¶n gi£ thi¸t chuyºn ëng ·u ch¿ l l½ t÷ðng, thüc ti¹n cuëc sèng °t ra b i to¡n ph£i t½nh ÷ñc vªn tèc tùc thíi câ ngh¾a l vªn tèc cõa chuyºn ëng t¤i mët thíi iºm n o â. Muèn vªy, nhªn x²t sau trð n¶n quþ gi¡: kho£ng c¡ch i ÷ñc trong méi kho£ng khc l x§p x¿ b¬ng 0 nh÷ng khæng bao gií b¬ng 0 v c¡ch hiºu ch¯ng i ÷ñc c¥y sè n o trong nh¡y mt ¢ xâa bä ÷ñc sü ch¶nh l»ch giúa c¡c vªn tèc vîi nhau. Ch½nh tø nhªn x²t §y ¢ °t n·n mâng cho ph²p t½nh vi ph¥n. Khi §y chuyºn ëng ÷ñc hiºu l sau mët kho£ng thíi gian VCB n o â, vªt chuyºn ëng ÷ñc mët kho£ng c¡ch VCB n o â v ta câ cæng thùc t½nh vªn tèc tùc thíi t¤i thíi iºm to nh÷ sau: vt = lim ∆s /∆t = ds/dt = s0t . Do â, vt t¤i thíi iºm ∆t →0 t = to b¬ng s0t vîi t = to . C¡i kho£ng thíi gian khæng ¡ng kº dt §y ¢ l m ÷ñc vi»c k¼ di»u l gi£i quy¸t ÷ñc b i to¡n thüc ti¹n nâi tr¶n v· vªn tèc tùc thíi. Công trong t¡c ph©m Bi»n chùng tü nhi¶n Engels cán kh¯ng ành th¶m r¬ng ch¿ câ ph²p t½nh vi ph¥n mîi mang l¤i kh£ n«ng mi¶u t£ to¡n håc khæng ch¿ nhúng tr¤ng th¡i m c£ qu¡ tr¼nh: vªn ëng [1]. B£n th¥n sü vªn ëng ¢ l mët m¥u thu¨n, Engels ¢ ti¸p töc · cªp v§n · m¥u thu¨n trong to¡n håc ð c¡c t¡c ph©m Bi»n chùng tü nhi¶n v Chèng Duhring v tø â Engels k¸t luªn: khi nghi¶n cùu nhúng bi¸n sè, b£n th¥n to¡n håc ¢ b÷îc v o l¾nh vüc cõa ph²p bi»n chùng (PBC) rçi. Engels nhªn ành quan h» giúa to¡n håc v· bi¸n sè v to¡n håc v· sè nh÷ th¸ n o th¼ quan h» giúa t÷ duy bi»n chùng v t÷ duy si¶u h¼nh x²t cho còng công nh÷ th¸ v c¥u nâi â cõa Engels khi¸n ng÷íi ta li¶n t÷ðng ngay ¸n mèi quan h» nëi t¤i trong b£n th¥n to¡n håc giúa logic bi»n chùng (vèn ái häi t½nh m·m d´o cõa t÷ duy: xem x²t sü vªt trong tr¤ng th¡i ëng, ngh¾a l A vøa l A vøa khæng ph£i l A) v logic h¼nh thùc (ng÷ñc l¤i, ái häi t½nh nh§t qu¡n cõa t÷ duy: xem x²t sü vªt trong tr¤ng th¡i t¾nh, ngh¾a l A khæng thº vøa l A vøa khæng ph£i A). 5
Gi£i t½ch to¡n håc ¢ câ nhúng y¸u tè cõa PBC v¼ ta ph£i xem cong l giîi h¤n cõa th¯ng tùc cong vøa l cong vøa l th¯ng. Hay ch¯ng h¤n khi t½nh limf(x) khi x→0 l ta ¢ ph£i coi x vøa 6= 0 l¤i vøa = 0, tùc l bi¸n sè x ÷ñc xem x²t trong sü vªn ëng, trong tr¤ng th¡i bi¸n êi. ¸n ¥y n£y sinh mët v§n ·: to¡n håc ph£i nghi¶n cùu vªn ëng (bi¸n sè) v do â c¡c y¸u tè cõa PBC ¢ th¥m nhªp v o ph÷ìng ph¡p cõa to¡n håc, vªy i·u n y câ g¼ m¥u thu¨n vîi kh¯ng ành ban ¦u r¬ng logic nëi t¤i cõa to¡n håc l logic h¼nh thùc chù khæng ph£i logic bi»n chùng? Gi£i quy¸t c¥u häi n y công ch½nh l nëi dung ch½nh cõa mèi quan h» giúa Bi»n chùng v To¡n håc. Muèn vªy ta h¢y quay l¤i thíi ký tr÷îc th¸ k XIX trong làch sû ph¡t triºn cõa to¡n håc, lóc b§y gií nhúng cì sð cõa l½ thuy¸t giîi h¤n bt ¦u ÷ñc h¼nh th nh nhí â câ thº l m c«n cù h¼nh th nh Gi£i t½ch to¡n håc. Cì sð cõa l½ thuy¸t giîi h¤n l kh¡i ni»m væ h¤n ti·m n«ng ÷ñc thº hi»n d÷îi h¼nh thùc VCB (væ còng b²) ho°c VCL (væ còng lîn). Nâi ¸n væ h¤n ti·m n«ng l nâi ¸n sü væ h¤n m ta câ thº x¥y düng d¦n d¦n c¡c ph¦n tû cõa nâ. C¦n l÷u þ r¬ng c¡c ph¦n tû trong væ h¤n ti·m n«ng khæng tçn t¤i còng mët lóc m tçn t¤i trong qu¡ tr¼nh ta x¥y düng chóng tø ph¦n tû n y ¸n ph¦n tû kh¡c (v½ dö ìn gi£n nh§t l tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n N). Ng÷íi ta câ thº gi£i ÷ñc nhi·u ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phùc t¤p nh÷ng khæng bi¸t ành ngh¾a th¸ n o l VCB, VCL, thªm ch½ th¸ n o l sè thüc. â l sü khõng ho£ng v· cì sð to¡n håc nûa ¦u th¸ k XIX m nh bi»n chùng thi¶n t i Hegel ¢ h¼nh dung ÷ñc khi nâi ¸n vi ph¥n, t½ch ph¥n: to¡n håc. . . cho ¸n nay v¨n ch÷a chùng minh ÷ñc b¬ng b£n th¥n m¼nh, ngh¾a l mët c¡ch to¡n håc, nhúng ph²p t½nh düa tr¶n sü chuyºn hâa â v nh÷ vªy l v¼ sü chuyºn hâa â ½t câ t½nh ch§t to¡n håc [3]. Nh÷ vªy b£n ch§t cõa cuëc khõng ho£ng ch½nh l m¥u thu¨n trong to¡n håc giúa y¶u c¦u ph£n ¡nh sü vªn ëng (tùc sü chuyºn hâa) v t½nh ch§t to¡n håc (ái häi tu¥n theo quy luªt nëi t¤i cõa to¡n håc l logic h¼nh thùc, tùc ái häi t½nh phi m¥u thu¨n trong to¡n håc). Cuèi th¸ k XIX, l½ thuy¸t tªp hñp cõa Canto ra íi ¢ gi£i quy¸t ÷ñc cuëc khõng ho£ng cì sð n y. Düa tr¶n nhúng kh¡i ni»m cõa l½ thuy¸t tªp hñp, ng÷íi ta ¢ t¼m ÷ñc c¡c ành ngh¾a hñp ph¡p cho c¡c kh¡i ni»m: sè thüc, giîi h¤n, li¶n töc.v.v. . . H¤t nh¥n cõa l½ thuy¸t n y l sü trøu t÷ñng hâa væ h¤n thüc t¤i: câ ngh¾a l kh¡i ni»m væ h¤n hi»n thüc ¢ ÷ñc ÷a v o trong to¡n håc. Sü trøu t÷ñng n y cho ph²p ta câ quy·n h¼nh dung c¡i væ h¤n nh÷ mët thüc thº to n vµn ho n ch¿nh trong â måi ph¦n tû cõa nâ ÷ñc xem nh÷ tçn t¤i çng thíi v b¼nh ¯ng vîi nhau. Ph÷ìng ph¡p trøu t÷ñng hâa 6
væ h¤n thüc t¤i nâi tr¶n (m thüc ch§t l tuy»t èi hâa logic h¼nh thùc) ¢ gi£i quy¸t ÷ñc cuëc khõng ho£ng n y. Vîi ph÷ìng ph¡p â, sè thüc ÷ñc ành ngh¾a l mët tªp hñp c¡c sè húu t thäa m¢n mët quan h» h¼nh thùc n o â. Ta ành ngh¾a lim y = b tùc ¤i l÷ñng bi¸n thi¶n y=f(x) ti¸n ¸n giîi a→0 h¤n b khi x ti¸n ¸n a nh÷ sau: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ M : |x − a| < δ th¼ |y − b| < ε trong â M l mi·n x¡c ành cõa h m sè. Nh÷ vªy, ta ch¿ th§y c¡c h» thùc ¥u cán bâng d¡ng cõa vªn ëng bi»n chùng ð ¥y núa, to¡n håc ¢ ti¸p nhªn nh÷ th¸ â c¡c y¸u tè cõa PBC. Khi nghi¶n cùu c¡c ¤i l÷ñng bi¸n thi¶n, c¡c y¸u tè PBC ¢ th¥m nhªp v o to¡n håc nh÷ng to¡n håc ¢ t¼m c¡ch h¼nh thùc hâa sü th¥m nhªp â b¬ng c¡ch mð rëng sü trøu t÷ñng cõa m¼nh º b£o v» t½nh h¼nh thùc v t½nh phi m¥u thu¨n cõa t÷ duy. L½ thuy¸t tªp hñp còng vîi ph÷ìng ph¡p trøu t÷ñng hâa thüc t¤i ra íi v o cuèi th¸ k XIX, ¦u th¸ k XX khæng ch¿ gi£i quy¸t ÷ñc cuëc khõng ho£ng cì sð to¡n håc nûa ¦u th¸ k XIX m cán ¡nh d§u mët giai o¤n mîi trong làch sû ph¡t triºn cõa to¡n håc â l giai o¤n to¡n håc hi»n ¤i. Ra íi do nhu c¦u ph¡t triºn cõa to¡n håc, l½ thuy¸t tªp hñp ¢ tä ra l mët ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu câ hi»u qu£ v d¦n d¦n x¥m nhªp v o t§t c£ c¡c l¾nh vüc cõa to¡n håc. Vîi l½ thuy¸t tªp hñp v· nguy¶n tc câ thº thèng nh§t c¡c l½ thuy¸t to¡n håc trong 1 h» thèng c§u tróc v l½ thuy¸t cõa méi c§u tróc to¡n håc ·u câ thº x¥y düng mët c¡ch ti¶n · hâa, h¼nh thùc hâa ngh¾a l x¥y düng sao cho vi»c rót ra c¡c ành l½ ch¿ cán l c¡c suy di¹n xu§t ph¡t tø h» ti¶n · l½ thuy¸t. Tuy nhi¶n vi»c mð rëng sü trøu t÷ñng hâa væ h¤n thüc t¤i º b£o £m t½nh phi m¥u thu¨n h¼nh thùc l¤i °t ra mët khâ kh«n mîi l khâ kh«n v· sü tçn t¤i. Nâi cö thº hìn, khâ kh«n v· sü tçn t¤i tùc l ng÷íi ta câ thº chùng minh h ng lo¤t ành l½ v· sü tçn t¤i nh÷ng â ch¿ l sü tçn t¤i thu¦n tóy, ngh¾a l kh¯ng ành r¬ng èi t÷ñng câ nh÷ng câ ð ¥u, l m sao t¼m ra nâ th¼ khæng bi¸t. C¡c ành l½ v· sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, sü tçn t¤i cõa h m sè ©n, cõa iºm b§t ëng, cõa c¡c gi¡ trà trung b¼nh, . . . l c¡c ành l½ thuëc lo¤i â. V½ dö vîi logic h¼nh thùc ta câ cæng thùc suy di¹n: ∀P (x) ⇒ ∃xP (x) (tùc n¸u khæng ph£i khæng câ t½nh ch§t P(x) th¼ t câ mët x n o â câ t½nh ch§t P(x). Ngh¾a l tø phõ ành mët ph¡n o¡n phê bi¸n ta suy ra kh¯ng ành cõa mët ph¡n o¡n °c thò. N¸u x thuëc tªp hñp húu h¤n th¼ sü tçn t¤i suy ra tø quy tc â v· nguy¶n tc câ thº x¡c ành ÷ñc, nh÷ng n¸u x thuëc tªp 7
væ h¤n th¼ sü tçn t¤i tuy chùng minh ÷ñc nh÷ng khâ x¡c ành. Khâ kh«n n y ¢ ÷ñc gi£i quy¸t bði l½ thuy¸t thuªt to¡n ra íi v o nhúng n«m 1930 cõa th¸ k XX. l½ thuy¸t thuªt to¡n ¢ t¤o ti·n · ra íi v ph¡t triºn cõa to¡n håc theo h÷îng ki¸n thi¸t. Nh÷ vªy n¸u nh÷ vi»c trøu t÷ñng hâa væ h¤n thüc t¤i mð ¦u cho giai o¤n to¡n håc hi»n ¤i th¼ sü ph¡t triºn ti¸p theo cõa to¡n håc hi»n ¤i l¤i ái häi to¡n håc ch¿ sû döng væ h¤n ti·m n«ng. V th¸ l d÷íng nh÷ ta l¤i bt g°p quy luªt phõ ành cõa phõ ành (phõ ành bi»n chùng) ngay trong làch sû to¡n håc. Væ h¤n ti·m n«ng ÷ñc sû döng trong to¡n håc ki¸n thi¸t ¢ gâp ph¦n x¥y düng cì sð l½ luªn cho vi»c ch¸ t¤o v ho n thi»n d¦n c¡c m¡y t½nh i»n tû. Ph¡t triºn l½ thuy¸t thuªt to¡n gâp ph¦n chuyºn s£n xu§t cì kh½ l¶n tü ëng hâa trong ho¤t ëng thüc ti¹n cõa con ng÷íi. Trong l½ thuy¸t thuªt to¡n sü tçn t¤i ph£i ÷ñc chùng thüc b¬ng thuªt to¡n, v½ dö ph¡n o¡n ∀x, ∃y, R(x, y) (vîi måi x tçn t¤i y sao cho R(x,y) ) ÷ñc xem l óng khi x¥y düng ÷ñc mët thuªt to¡n º theo â vîi méi x ·u câ thº t¼m ra y t÷ìng ùng sao cho R(x,y) ÷ñc thäa m¢n. Nâi chung, méi ph¡n o¡n to¡n håc ·u ÷ñc gi£i th½ch v chùng thüc b¬ng mët thuªt to¡n t÷ìng ùng n o §y. Theo quan iºm n y, nhi·u quy luªt cõa logic h¼nh thùc cê iºn nh÷ quy luªt lo¤i trø c¡i thù ba (A ∪ A) ¯ , quy luªt phõ ành k²p (A¯ = A), quy luªt ∀P (x) ⇒ ∃xP (x) bà cæng k½ch v¼ nâ l m cì sð cho sü chùng minh tçn t¤i thu¦n tóy. Nh÷ vªy l d÷íng nh÷ t÷ìng ùng vîi to¡n håc ki¸n thi¸t l logic ki¸n thi¸t. Tuy nhi¶n, c¦n l÷u þ r¬ng logic cõa to¡n håc ki¸n thi¸t tuy câ kh¡c vîi logic h¼nh thùc cê iºn nh÷ng v· b£n ch§t v¨n l h¼nh thùc logic cõa t÷ duy con ng÷íi. Væ h¤n ti·m n«ng công ch¯ng bi»n chùng hìn væ h¤n thüc t¤i v n¸u nh÷ to¡n håc ki¸n thi¸t gióp ta i s¥u v o sü phùc t¤p cõa c§u tróc thæng tin cõa èi t÷ñng to¡n håc th¼ çng thíi nâ l¤i khæng câ kh£ n«ng cõa sü trøu t÷ñng hâa thüc t¤i º nghi¶n cùu c¡c c§u tróc d÷îi d¤ng tü do v kh¡i qu¡t. Hìn núa, c¦n l÷u þ r¬ng nhúng nh to¡n håc nêi ti¸ng câ cæng khai ph¡ to¡n håc theo h÷îng ki¸n thi¸t (nh÷ Brower, Po«ngcare) l¤i l nhúng ¤i di»n cho tr÷íng ph¡i trüc gi¡c, duy t¥m tri¸t håc: l§y trüc gi¡c gi£i th½ch cho thuªt to¡n [3]. Song dò sao công khæng thº phõ nhªn cæng lao cõa hå cüc ký to lîn v¼ ¢ mð ra khuynh h÷îng ph¡t triºn cõa to¡n håc hi»n ¤i, thóc ©y tü ëng hâa trong s£n xu§t. Nh÷ vªy ng y nay trong to¡n håc hi»n ¤i, còng vîi c§u tróc ta câ thuªt to¡n: chóng ëc lªp nhau nh÷ng bê sung cho nhau trong sü ph¡t triºn, chóng l cì sð cõa ph÷ìng ph¡p mæ h¼nh hâa v thuªt to¡n trong i·u khiºn håc. T§t c£ c¡c tr¼nh b y tr¶n rót ra k¸t luªn g¼ v· mèi quan h» giúa bi»n 8
chùng v to¡n håc? Ta th§y r¬ng c¡c l½ thuy¸t to¡n håc ·u ái häi t½nh h¼nh thùc v phi m¥u thu¨n >< . Tuy nhi¶n, phi m¥u thu¨n >< ch¿ l mì ÷îc cõa to¡n håc v¼ b£n th¥n l½ thuy¸t to¡n håc ch÷a chùng minh ÷ñc t½nh phi m¥u thu¨n cõa nâ. Muèn chùng minh t½nh phi m¥u thu¨n ph£i dòng h» rëng hìn; câ l³ ch½nh v¼ th¸ m trong suy di¹n cõa tøng l½ thuy¸t to¡n håc th¼ ái häi phi m¥u thu¨n nh÷ng x²t c£ qu¡ tr¼nh ph¡t triºn cõa to¡n håc th¼ l¤i luæn chùa üng m¥u thu¨n v do â tu¥n theo nhúng quy luªt cõa PBC ngh¾a l vªn ëng v bi»n chùng ¢ i v o to¡n håc theo c¡ch ri¶ng cõa to¡n håc. Sü chuyºn hâa v th¥m nhªp l¨n nhau giúa væ h¤n v húu h¤n, giúa væ h¤n thüc t¤i v væ h¤n ti·m n«ng, giúa li¶n töc v ríi r¤c, giúa c§u tróc v thuªt to¡n,. . . l sü chuyºn hâa cõa c¡c m°t èi lªp t¤o n¶n sü ph¡t triºn cõa to¡n håc. 9
2.3 V§n · ch¥n l½ trong to¡n håc N¸u thüc ti¹n l ti¶u chu©n cõa ch¥n l½ nhªn thùc nâi chung th¼ thüc ti¹n câ ÷ñc coi l ti¶u chu©n cõa ch¥n l½ to¡n håc hay khæng? Nh÷ ¢ tr¼nh b y trong ph¦n tr÷îc: logic nëi t¤i cõa to¡n håc l logic h¼nh thùc v t½nh phi m¥u thu¨n l ti¶u chu©n quan trång º kiºm tra t½nh óng n trong c¡c l½ thuy¸t to¡n håc. Song n¸u muèn kiºm tra mët l½ thuy¸t to¡n håc n o â l óng n m ch¿ c«n cù v o t½nh phi m¥u thu¨n th¼ ta s³ khæng thº l m nêi vi»c kiºm tra â. Bði v¼ mët l½ thuy¸t to¡n håc gi£ sû câ thº h¼nh thùc hâa v trð th nh mët h» thèng c¡c k½ hi»u. Cho n¶n º chùng minh mët l½ thuy¸t to¡n håc phi m¥u thu¨n th¼ ch¿ c¦n chùng minh h» thèng sè håc h¼nh thùc hâa l½ thuy¸t â l phi m¥u thu¨n. Nh to¡n håc Hilbert ¢ cè gng l m i·u â º chùng minh t½nh ch¥n l½ cõa to¡n håc l phi m¥u thu¨n. Tuy nhi¶n Godel, nh to¡n håc léi l¤c ¦u th¸ k XX ¢ chùng tä l sè håc khæng thº h¼nh thùc hâa ÷ñc v b§t cù h» thèng h¼nh thùc hâa sè håc n o công s³ ho°c l b§t nh§t (inconsistent) ho°c l b§t to n (incomplete) [2 v 4]. ành l½ cõa æng khæng ch¿ l m kinh ng¤c giîi to¡n håc m cán câ þ ngh¾a s¥u sc v· m°t tri¸t håc, cö thº nh÷ sau: 1) N¸u sè håc h¼nh thùc hâa phi m¥u thu¨n th¼ nâ khæng ¦y õ (khæng ¦y õ câ ngh¾a l câ i·u óng trong sè håc m l½ thuy¸t sè håc h¼nh thùc hâa khæng chùng minh ÷ñc). 2) N¸u sè håc h¼nh thùc hâa phi m¥u thu¨n th¼ t½nh phi m¥u thu¨n cõa nâ khæng ph£i l ành l½ cõa nâ (tùc l nâ khæng thº chùng minh ÷ñc t½nh phi m¥u thu¨n cõa nâ). ành l½ Godel câ þ ngh¾a to lîn v¼: Thù nh§t, do khæng thº h¼nh thùc hâa mët c¡ch ¦y õ c¡c l½ thuy¸t to¡n håc m c¡c l½ thuy¸t khæng ngøng ÷ñc mð rëng v nhªn thùc to¡n håc ph¡t triºn khæng ngøng. Thù hai, t½nh ch¥n l½ cõa to¡n håc dò câ ÷ñc hiºu l t½nh phi m¥u thu¨n i núa th¼ t½nh phi m¥u thu¨n â khæng thº chùng minh ÷ñc b¬ng ch½nh to¡n håc. Tâm l¤i phi m¥u thu¨n l y¶u c¦u nëi t¤i cõa l½ thuy¸t to¡n håc, nh÷ng tuy»t nhi¶n â khæng ph£i l ti¶u chu©n cõa ch¥n l½ to¡n håc. Khæng ti¶u chu©n n o trong sè nhúng ti¶u chu©n kiºm tra (logic thu¦n tóy) câ thº èi lªp ÷ñc vîi ti¶u chu©n thüc ti¹n. Tuy nhi¶n, trong khi nâi v· thüc ti¹n nh÷ ti¶u chu©n kiºm tra ch¥n l½, n¸u chóng ta l¤i kh¯ng ành r¬ng méi mët l½ thuy¸t to¡n håc mîi lªp tùc câ thº ÷ñc thüc ti¹n x¡c ành ngay th¼ â ch¿ l £o t÷ðng. Khi Lobasepxki ph¡t triºn h¼nh håc hypebolic, thüc ti¹n cõa thíi ¤i b§y gií ch÷a thº kh¯ng ành ÷ñc t½nh ch¥n thüc cõa nâ. Nh÷ vªy, m°c dò ch¿ câ thüc ti¹n l ti¶u chu©n ëc nh§t cõa ch¥n l½ th¼ ta công øng bao gií tuy»t èi hâa ti¶u chu©n â mët c¡ch si¶u h¼nh. L¶nin công ¢ nh§n 10
m¤nh: Ti¶u chu©n â (ti¶u chu©n thüc ti¹n) công kh¡ l khæng x¡c ành º khæng cho ph²p c¡c hiºu bi¸t cõa con ng÷íi trð th nh mët c¡i tuy»t èi, çng thíi nâ công kh¡ x¡c ành º câ thº ti¸n h nh §u tranh quy¸t li»t chèng t§t c£ c¡c thù chõ ngh¾a duy t¥m v b§t kh£ tri [3]. 3 K¸t luªn M°c dò to¡n håc l mët khoa håc trøu t÷ñng hâa bªc cao, to¡n håc khæng t¡ch ríi khäi hi»n thüc, tri¸t håc duy vªt bi»n chùng luæn luæn l cì sð th¸ giîi quan v ph÷ìng ph¡p luªn óng n cho sü ph¡t triºn cõa to¡n håc. çng thíi, làch sû ph¡t triºn cõa to¡n håc công chùng minh r¬ng sü ph¡t triºn cõa to¡n håc thº hi»n sü t¡c ëng cõa c¡c quy luªt cõa ph²p bi»n chùng, di¹n ra thæng qua sü chuyºn hâa cõa c¡c m°t èi lªp, sü phõ ành bi»n chùng hay sü nh£y våt v· ch§t nh÷ng t§t nhi¶n theo c¡ch thùc ri¶ng, °c thò cõa to¡n håc. V¼ vªy, nghi¶n cùu sü ph¡t triºn cõa nhªn thùc to¡n håc s³ gâp ph¦n luªn chùng v ho n thi»n hìn th¸ giîi quan khoa håc m n·n t£ng cõa nâ l tri¸t håc duy vªt bi»n chùng. Mèi quan h» giúa to¡n håc v tri¸t håc c¦n ph£i ÷ñc nghi¶n cùu ¦y õ hìn, s¥u hìn trong qu¡ tr¼nh ph¡t triºn cõa to¡n håc v tri¸t håc. i·u â s³ gâp ph¦n khæng nhä trong vi»c n¥ng cao ch§t l÷ñng d¤y v håc tri¸t håc ð ¤i håc, °c bi»t èi vîi c¡c èi t÷ñng sinh vi¶n khoa to¡n. TI LIU THAM KHO [1] Ph. ng-ghen, 1994. Bi»n chùng cõa tü nhi¶n, Chèng uy rinh trong "C. M¡c v Ph. ng-ghen to n tªp", tªp 20. Nxb Ch½nh trà Quèc gia. [2] Di¹n n to¡n håc, tri¸t håc trong to¡n håc,http://diendantoanhoc.net/home [3] V. I. Lenin, 1994. L¶-nin to n tªp, Bót k½ tri¸t håc, (tªp 29), Chõ ngh¾a Duy vªt v Kinh nghi»m ph¶ ph¡n, (tªp 18). Nxb Ch½nh trà Quèc gia. [4] Miskatonic University Press, G odel's Incompleteness Theorem, http://www.miskatonic.org/godel.html ABSTRACT Philosophy of mathematical knowledge - teaching issues In order to comprehend the whole of science from the materialist's stand- point, Friedrich Engels spent eight years extensively examining many sci- entific fields from mathematics, geology, physics, chemistry, biology to as- 11
tronomy. Although many of his observations in Dialectics of Nature (1883) were recorded in fragmented and unedited manuscripts, this written work is an outstanding philosophical contribution to humanity. Engels saw in various scientific works a philosophical confirmation of scientific establishment. Many modern teachers of philosophy today are not aware of the close relationship between philosophy and other sciences, turning philosophy into an unfamiliar subject and dissociating this subject from its scientific establishment. This deficiency in pedagogical methods causes students to treat philosophy as an imposition of dull knowledge and learn it passively. By exploring Engel's ide- als on the relationship between philosophy and mathematics, the author of this article hopes to introduce a new approach to the teaching of philosophy in tertiary institutions. 12