intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng véctơ và tọa độ để giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình

Chia sẻ: Thanhbinh225p Thanhbinh225p | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST
Báo xấu
184
lượt xem 10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng véctơ và tọa độ để giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình được viết nhằm giúp học sinh bổ sung thêm kiến thức và khắc phục được những yếu điểm để từ đó rút được kết quả cao khi giải bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng véctơ và tọa độ để giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình

  1. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trương THPT Bình Sơn Mã số: ................................ (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Nguyễn Cảnh Thắng Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: .Toán.................  (Ghi rõ tên bộ môn) - Lĩnh vực khác: .......................................................  (Ghi rõ tên lĩnh vực) Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) SƠ LƯỢC LÝhọc: Năm LỊCH KHOA HỌC 2014-2015. –––––––––––––––––– Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 1
  2. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: Nguyễn Cảnh Thắng 2. Ngày tháng năm sinh: 13-03-1980 3. Nam, nữ: Nam 4. Địa chỉ: Tổ 4, Ấp 1, Xã Bình Sơn, Long Thành, Đồng Nai 5. Điện thoại: 0613533100 (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0939088658 6. Fax: E-mail:Canhthangbs90@gmail.com 7. Chức vụ: Giáo viên 8. Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán, lớp 10A5, 11B3, 11B8: 9. Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị : Cử nhân : - Năm nhận bằng: 2005 - Chuyên ngành đào tạo: Toán III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học Số năm có kinh nghiệm: 9 - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: - . Phương pháp chứng minh bất đẳng thức và một số sai lầm của học sinh. - 2. Sử dụng tính đơn điệu để giải một số bài toán. - 3. Phương pháp tính tích phân và một số sai lầm thường gặp của học sinh Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 2
  3. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Tên SKKN SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Việc dạy cho học sinh hiểu và nắm được các phương pháp để giải được các bài tập là một trong những thành công, nhưng thành công hơn cả là việc định hướng được cho học sinh biết phán đoán về phương pháp giải bài tập. Từ đó khẳng định phương pháp đã dự đoán là hoàn toàn đúng đắn và biết tự sáng tạo ra các bài tập khác nhờ khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá, biến lạ thành quen… được các giáo viên áp dụng và được bộ khuyến khích. Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào đó trong trường phổ thông. Trong những năm gần đây các bài toán d ng phương pháp tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi đại học, kì thi học sinh gi i. Sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán không c n mới m . Tuy nhiên đa số học sinh c n lúng túng và vụng về trong việc sử dụng phương pháp để giải toán. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: " n h n h đ đ m n h n nh, h h n nh h n nh" II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN a.Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành ch m bài toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh c n rất hạn chế. Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em c n rất ít, khả năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh c n lúng túng, bỡ ngỡ. b. Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận dụng những phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học sinh trong việc hình Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 3
  4. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình thành ch m bài toán từ bài toán cơ bản đến nâng cao. Tuy nhiên việc vận dụng nó một cách có hiệu quả thì vẫn c n gặp nhiều khó khăn. Trong đề thi học kì Học sinh gi i, Đại học , Cao đẳng của các năm bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và nó c n cần sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp giải từ cơ bản đến phức tạp. Trong thực tế đa số học sinh giải toán một cách hết sức máy móc và rất thụ động. vì thế trong quá trình giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức rất khó khăn. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhìn thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ n e đ đ h n nh, h h n nh, h n nh đẳn hứ ”. Nhằm giúp học sinh bổ sung thêm kiến thức và khắc phục được những yếu điểm để từ đó rút được kết quả cao khi giải bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. III.TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Giải pháp -T y vào từng bài học mà chúng ta xây dựng kế hoạch hoạt động khác nhau, ph hợp với nội dung của bài và đồng thời đảm bảo học sinh hiểu và vận dụng kiến thức bài học một cách thành thạo. Căn cứ vào thực trạng của học sinh, căn cứ vào tình hình thực tế của trường học, căn cứ vào tình hình chung của địa phương, theo tôi thì dạy học môn toán nên chia ra 2 kiểu bài lên lớp. Một là lên lớp cho một tiết lý thuyết , Hai là lên lớp cho một tiết bài tập. a.Đối với lý thuyết: Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 4
  5. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Để học sinh nắm được các kiến thức của bài và vận dụng kiến thức vào giải bài tập đây là một quá trình rất khó khăn đ i h i người dạy và người học đều phải cố gắng nổ lực. Để cho việc cung cấp lý thuyết được nhẹ nhàng mà học sinh hứng thú học thì giáo viên cần thực hiện các bước sau. Bước 1: Tổ chức cho học sinh quan sát tiếp thu Bước 2: Giáo viên cho các em thảo luận nhóm Bước 3: Khắc sau kiến thức b. Đối với bài tập. Đối với tiết làm bài tập giáo viên phải tổ chức, điều khiển học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập để khắc sau kiến thức, thấy được mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đồng thời qua tiết học giải bài tập rèn luyện cho học sinh kỉ năng giải toán và diễn đạt vấn đề toán học thông qua ngôn ngữ của bản thân, hình thành phẩm chất tính cách của học sinh. Để làm được như vậy chúng ta thực hiện các bước sau. Bước 1: Tạo tiền đề xuất phát Tổ chức đàm thoại để đưa ra hệ thống lý thuyết của bài cũ. Chỉ ra những kỉ năng sẽ cần vâng dụng kiến thức vào giải bài tập. Bước 2: Thực hiện chương trình giải -Đọc đề để hiểu vấn đề của đề bài. -Tổ chức cho học sinh độc lập giải bài tập trên cơ sở huy động vốn kiểu biết của học sinh. Giáo viên quan sát theo dõi, giúp đỡ các em khi gặp khó khăn nảy sinh và tổ chức cho tập thể học sinh khai thác các bài tập theo định hướng đã chuẩn bị và dự đoán trước . Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 5
  6. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT Kiến thức cơ bản: a.Tính chất vectơ r r Cho hai véc tơ a = (a1;a 2 ), b = (b1;b 2 ) , (k  R) r r a + b = (a1 + b1;a 2 + b 2 ) r r a - b = (a1 - b1;a 2 - b 2 ) r r r k a = (k a;k b) b.Tích vô hướng của hai vec tơ : r r Cho hai véc tơ a = (a1;a 2 ), b = (b1;b 2 ) rr a.b = a1b1  a 2b 2 c.Độ dài vec tơ: r r Cho véc tơ a =  a1;a 2  khi đó độ dài vec tơ a là : r a = a12 + a 22 d. Mối liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vec tơ: uuur Với hai điểm A(x A ; y A ),B(x B ; y B ) thì AB = (x B - x A ; y B - y A ) uuur AB = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 e. Bất đẳng thức vec tơ: r2 r 2 * Tính chất 1: a = a  0 r r Dấu đẳng thức ‘xảy ra’ khi và chỉ khi a = 0 r r  Tính chất 2: cho 2 vectơ a và b ta có: r r r r a + b  a+b Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 6
  7. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình r r r r a-b  a - b r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b c ng chiều r r  Tính chất 3: cho 2 vectơ a và b ta có: r r rr a . b  a.b r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b c ng phương r r rr a . b  a.b r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b c ng hướng B.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 : Giải phương trình: x 2 - 2 x+ 2 + x 2 -10 x+ 34 = - x 2 + 4 x- 4 + 4 2 (1) Giải : (1)   x  1 1  5  x   9   x2  4x  4  4 2 2 2 Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt r r r r a = (x-1;1) ; b = (5 - x;3) ; a + b = (4;4) r r r r Theo BĐT vec tơ a + b  a + b ta có:  x-1 5 - x  + 9  42 + 42 = 4 2 2 2 +1 + r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng r r   k : a = k b , k>0 Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 7
  8. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình  1  x-1 = k(5 - x) k =   3 1 = 3k  x = 2 - x 2 + 4 x- 4 + 4 2 = -  x- 2  + 4 2  4 2 2 Mặt khác : Dấu đẳng thức “xảy ra” khi và chỉ khi : x=2 Vậy x=2 là nghiệm của phương trình Bài 2: Giải phương trình : x+ 6 x-1 + 24 - x- 2 x-1 +1 = 5 (1) Giải: Điều kiện: x  1 (1)  ( x-1 + 3)2 +16 - ( x-1 -1) 2 +1 = 5 Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt Đặt r r r r a = ( x-1 + 3;4) , b = ( x-1 -1;1) ,a - b = (4;3) r r r r Theo đẳng thức vec tơ ta có: a - b  a - b  ( x-1 + 3)2 +16 - ( x-1 -1) 2 +1  5 r r r r Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a,b c ng hướng   k : a = k.b , k  0  x-1 + 3 = k( x-1 -1)   ( x-1 + 3) = 4( x-1 -1) 4 = k 58  3 x-1 = 7  x = 9 58 Vậy nghiệm của phương trình : x= 9 Bài 3: Giải phương trình: x 2 + 2 x+ 5 + x 2 - 6 x+13 = 4 2 (1) Giải: Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 8
  9. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình (1)  (x+1) 2 + 4 + (3 - x) 2 + 4 = 4 2 Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt r r r r a = (x+1;2) ; b = (3 - x;2) ; a + b = (4;4) r r r r  a = (x+1) 2 + 4 ; b = (3 - x) 2 + 4  a + b = 4 2 r r r r Theo BĐT vectơ ta có : a + b  a + b = 4 2  (x+1) 2 + 4 + (3 - x) 2 + 4  4 2 r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng r r   k : a = k b , k>0  x+1 = k(3 - x) k = 1   2 = 2k x = 1 Vậy phương trình có nghiệm là x=1 Bài 4: Giải phương trình: x 2 - 4 x+ 5 + x 2 - 4 x+13 = 4 (1) Giải: (1)  (x- 2)2 +1 + (2 - x) 2 + 9 = 4 r r Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy Đặt a = (x- 2;1) ; b = (2 - x;3) r r r r r r  a = (x- 2) 2 +1 ; b = (2 - x) 2 + 9  a + b = 2 và a + b = (0;4) r r r r Theo BĐT vectơ ta có : a + b  a + b = 4  (x- 2) 2 +1 + (2 - x) 2 + 9  4 r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng r r   k : a = k b , k>0 Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 9
  10. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình  1 1 = 3k k =   3  x- 2 = k(2 - x)  x = 2 Vậy phương trình có nghiệm là x=2 Bài 5: Giải phương trình: x-1 + x = 3 + 2(x- 3) 2 + 2 x- 2(1) Giải Điều kiện x  1 r r Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ: a = (x- 3; x-1),b = (1;1) r r ur r  a = (x- 3) 2 + (x-1), b = 2,a.b = x-1 + x- 3 rr r r Suy ra bất phương trình (1) tương đương a.b  a.b (*) rr r r Mặt khác theo bất đẳng thức vec tơ ta có a.b  a . b (**) rr r r r r Từ (*) và (**) suy ra : a.b = a . b  a,b c ng hướng x  3  x-1=x-3   2  x=5 .  x -7x+10=0 Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất. Bài 6:Giải phương trình : x x+1 + 3 - x = 2 x 2 +1 Giải: Điều kiện: -1  x  3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy r r r r Đặt : a = (x;1) ; b = ( x+1; 3 - x ) , a = x 2 +1, b = 2 Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 10
  11. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình r r rr Theo BĐT vectơ ta có: a . b  a.b  2 x 2 +1  x x+1 + 3 - x r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng phương r r  k : a = k b  x = k x+1  1 = k 3 - x Ta thấy x=3 không là nghiệm của hệ phương trình nên  x = k x+1   1  x 3 - x = x+1  x 3 - 3x 3 + x+1 = 0 k =  3- x x = 1   (x-1)(x2-2x-1)=0   x = 1 + 2  x = 1- 2  So với điều kiện vậy nghiệm của phương trình:x=1 ; x= 1+ 2 và x=1- 2 Bài 7: Giải phương trình: x 1 + x 2 + 8 - x 2 = 3 x 2 +1 Giải: Điều kiện:  8  x  8 r r Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt a = (x;1) ,b = ( x 2 +1; 8 - x 2 ) rr r r Theo BĐT vectơ a.b  a . b ta có: x 1 + x 2 + 8 - x 2  3 x 2 +1 r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng hướng r r   k : a = k b , k>0  x = k x 2 +1 x  0   x 2 +1  x 8 - x 2   4 2 1 = k 8 - x 2  x - 7 x +1 = 0 Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 11
  12. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình  7 - 45 x =  2   x = 7 + 45  2 7 - 45 7 + 45 Vây phương trình đã cho có nghiệm: x = ,x = 2 2 Bài 8: Giải phương trình : x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = 2 Giải: 1 3 1 3 Ta có: x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = (x+ ) 2 + + ( - x) 2 + 2 4 2 4 Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt : r  1 3 r 1 3 r r a =  x+ ;  ,b =  - x;   a + b = (1; 3)  2 2   2 2  r r r r Theo BĐT vec tơ : a + b  a + b suy ra 1 3 1 3 x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = (x+ ) 2 + + ( - x) 2 +  2 2 4 2 4 r r r r Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a,b c ng hướng   k : a = k.b , k  0  1 1 x+  2 = k( - x) 2 x = 0    3 = k. 3 k = 1  2 2 Vậy nghiệm của phương trình : x=0 Bài 9 : Giải phương trình: x 2 - 2 x+ 2 + 4 x 2 +12 x+ 25 = 9 x 2 +12 x+ 29 (1) Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 12
  13. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ: r a = (x-1;1) r r r  a + b = (3x+ 2;5) b = (2x+ 3;4) r r r r  a = x 2 - 2 x+ 2, b = 4 x 2 +12 x+ 25, a + b = 9 x 2 +12 x+ 29 Suy ra phương trình (1) tương đương:  1  k = r r r r r r  x-1 = k(2 x+ 3) 4 a + b = a + b  a = k b(k > 0)    1 = k.4 x = 7  2 7 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2 C. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  3x+1 + 3y+1 = 4 (1) Bài 1: Giải hệ phương trình:   3x+13 + 3y+13 = 8 (2) Giải : 1 1 Điều kiện: x  - ,y  - 3 3 Từ (2)  3x+1+12 + 3y+1+12 = 8 r r r r Đặt a = ( 3x+1; 12) , b = ( 3y+1; 12) , a + b = ( 3x+1 + 3y+1;2 12) r r r r Theo BĐT vec tơ ta có : a + b  a + b   2 3x+1+12 + 3y+1+12  3x+1 + 3y+1 + 48 = 8 r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 13
  14. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình r r   k : a = k b , k>0   3x+1 = k 3y+1 x = y     12 = k 12 k = 1 (1)  3x+1 = 2  x = 1  y = 1 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (1;1)  2 x+ 5 + 2 y+ 3 = 6 Bài 2: Giải hệ phương trình:   2 x+ 21 + 2 y+19 = 10 5 3 Điều kiện: x  - , y  - 2 2 r r r r Đặt a = ( 2x+ 5;4) , b = ( 2 y+ 3;4) , a + b = ( 2x+ 5 + 2 y+ 3;8) r r r r Theo BĐT vec tơ ta có : a + b  a + b   2 2x+ 5 +16 + 2 y  3  16  2x+ 5 + 2 y+ 3 + 64 = 10 r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ a,b c ng hướng r r   k : a = k b , k>0  2x+ 5 = k 2 y+ 3  2x+ 5 = 2 y+ 3    y=x+1 4 = k 4 k = 1 (1)  2 x+ 5 = 3  x = 2  y = 3 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;3)  x+ y = 4 Bài 3: Giải hệ phương trình:  2  x + 2 x+17 + y + 2 y+17 = 10 2 Giải : Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 14
  15. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình x 2 + 2 x+17 + y 2 + 2 y+17 = 10   x+1  y+1 2 2 Ta có: + 42 + + 4 2 = 10 r r r r a = (x+1;4) , b = (y+1;4) , a + b = (x+ y+ 2;8) r r r r Theo BĐT vec tơ ta có : a + b  a + b   x+1  y+1 + 42   x+ y+ 2  2 2 2 + 42 + + 82 = 10 r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ a,b c ng hướng r r   k : a = k b , k>0  x+1 = y+1  x = y (1)  x=y=2 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)  x 8 - y + y 8 - x = 16 (1) 2 2 Bài 4:Giải hệ phương trình:   2 3 2 x +12 = y + 2 y (2) Giải: Điều kiện: 2 2  x  2 2; 2 2  y  2 2     r r r2 r2 Đặt : a = x; 8 - x 2 ,b = 8 - y 2 ; y ta có: a = b = 8 r2 r2 rr r r (1)  a + b = 2a.b  a = b  x = 8 - y2 (2)  y3+3y2-20=0  y=2  x=2 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2) Bài 5: (Đề thi đại học năm 2014)  x 12 - y + y(12 - x 2 ) = 12 (1) Giải hệ phương trình:  (x, y  R)  3 x - 8x-1 = 2 y- 2 (2) Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 15
  16. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Giải : Điều kiện:  12  x  12;2  y  12 r r r r Đặt a = (x; 12 - x 2 ) ; b = ( 12 - y; y) ta có: a = b = 12 r2 r2 rr r r (1)  a + b = 2a.b  a = b  x = 12 - y (2)  x 3 -8x-3=2 10-x 2 -2 2(3 - x)(3 + x)  (x- 3)(x 2 + 3x+1) = 10 - x 2 +1 x = 3  2 (x + 3x+1)( 10 - x +1) - 2(3 + x) = 0 (*) 2 Với x=3 =>y=3 Đặt f(x) = (x 2 + 3x+1)( 10 - x 2 +1) - 2(3 + x) f’(x) 0 => phương trình (*) vô nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình : (3;3) D. BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Giải bất phương trình: x2 - 3 + 5 - x2  2 Giải : Điều kiện :  5  x   3, 3  x  5   r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: a = x 2 - 3; 5 - x 2 ,b = 1;1 r r Ta có: a  2, b  2 rr r r Theo đề bài ta có: a.b  2  a b rr r r Theo BĐT vec tơ ta có: a.b  a b Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 16
  17. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình rr r r r r  a.b  a b khi và chỉ khi a và b c ng hướng  x 2 - 3 = 5 - x 2  x = ±2 Vậy nghiệm bất phương trình : x=2 v x=-2 Bài 2: Giải bất phương trình: x  1  2 3  x  10 Giải : Điều kiện :1  x  3   r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: a = x-1; 3 - x ,b = 1;2  r r Ta có: a  2, b  5 rr r r Theo đề bài ta có: a.b  10  a b rr r r Theo BĐT vec tơ ta có: a.b  a b rr r r r r  a.b  a b khi và chỉ khi a và b c ng hướng 7  2 x-1 = 3 - x  x = 5 7 Vậy nghiệm bất phương trình : x= 5 Bài 3: Giải bất phương trình: 3 x+ 3 + 7 - x  10 Giải : Điều kiện : 3  x  7   r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: a = x  3; 7 - x ,b = 3;1 r r Ta có: a  10, b  10 rr r r Theo bài ra ta có: a.b  a b luôn đúng Vậy nghiệm bất phương trình: 3  x  7 Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 17
  18. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Bài 4: Cho 4 số thực x, y, z, t. Chứng minh rằng : (x2 +y2)(z2 +t2)  (x z+ y t)2 Giải: r r Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : a = (x; y), b = (z; t) r u r ru uu r r 2 u r 2 ru uu r a b  a.b  a b  (a.b)2 Ta có Vậy (x2 +y2) (z2 +t2)  (x z+ y t)2 đẳng thức xảy ra  xt = yz Bài 5: Chứng minh rằng: x 4 +1 - y 4 +1  x 2 - y 2 ,  x, y  R Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ: r a = (x 2 ;1) r r r  a - b = (x 2 - y 2 ;0) b = (y ;1) 2 r r r r Theo BĐT vec tơ a - b  a - b ta có x 4 +1 - y 4 +1  x 2 - y 2 ,  x, y  R Bài 6 : Đề thi đại học khối A 2003 Cho x, y, z là ba số thực dương và x+ y+ z £ 1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 x 2 + 2 + y 2 + 2 + z2 + 2 ³ 82 x y z r 1 r 1 r 1 r r r 1 1 1 Đặt a =(x; ), b =(y; ), c =(z; ), a + b + c =(x+y+z; + + ) x y z x y z r r r r r r Theo BĐT vectơ : a + b + c  a + b + c ta có: Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 18
  19. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình 2 1 1 1 æ1 1 1 ö (x+ y+ z) + çççx + y + z ÷÷÷÷ 2 2 x + 2 + 2 y + 2 + z+ 2 ³ 2 x y z è ø 2  1 1 1  1 1 1  81 x+ y+ z  +  + +  - 80  x+ y+ z   18  x+ y+ z   + +  - 80 2 2 x y z x y z 1  162 3 xyz. 3 - 80 = 82 xyz 1 1 1 Vậy x2 + + y2 + + z2 + ³ 82 x2 y2 z2 Bài 7: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì x 2 + xy+ y 2 + x 2 + xz+ z 2 > y 2 + yz+ z 2 Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: y 2 3 2 z 2 3 2 y z 2 3 3 2 (x+ ) +( y) + (x+ ) +( z) > ( - ) +( y+ z) (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 y 3 3 3 y z Xét 3 điểm A(x+ , z) ;B(0, y+ z) ;C( - ,0) 2 2 2 2 2 2 (1)  AB + AC > BC Ta có AB+ AC  BC với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây uuur y 3 uuur z 3 AB = (-x- ; y);AC = (-x- ;- z) 2 2 2 2 Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ c ng âm) do đó không thể xảy ra đẳng thức AB + AC = BC. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 19
  20. Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình 1. Giải phương trình: x 2  2 x+ 2 + x 2 - 6 x+18 = - x 2  4 x+ 4 2 ĐS:x=0 2. Giải phương trình: x 2 -10 x+ 50  x 2 - 4 x+ 5 = 5 ĐS:x=5/4 3. Giải phương trình: 2 2 x - 2 x+ 5 + x + 2 x+10 = 29 ĐS: x=1/5  x+ 5 + 2 y+ 3 = 5 4. Giải hệ phương trình:   x+17 + 2 y  2 = 6 ĐS: (-1;3)  x(5 - y) + y(5 - x) = 5 5. Giải hệ phương trình:  ĐS:(4;1) ;(4/9;41/9)  x + 3x + 5 y+ y = 118 3 2 3  ( x  1) 5 - y + y(4  2 x- x ) = 5 2 6. Giải hệ phương trình:  ĐS: (2;4) x + 3x = 2 y 6  3  x 13  y + y 13  x = 12 2 2 7. Giải hệ phương trình:  x  2x  y  30  3 2 ĐS: (3;3) 8. Giải bất phương trình: 10  x 2 + x 2  8  2 ĐS: x=3;x=-3 9. Giải bất phương trình: 3x+ 24 + 84 -12x  15 ĐS: x=-33/5 IV.HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 1.Kinh nghiệm thực tiễn - Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã phân loại các dạng toán thường gặp và tổng hợp các phương pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc kết và rút được một số kinh nghiệm trong công tác dạy học,” Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, Hệ phương trình và bất phương trình” vừa cũng cố, hoàn thiện kiến thức cho học sinh . Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học của mình nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh THPT Bình Sơn". - Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số bài toán mà giáo viên toán cụ thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt. những ví dụ minh họa ph hợp với trình độ học sinh . Một số bài tập chọn lọc về phương trình, Hệ phương trình và bất phương trình” nhằm hướng dẫn học sinh tự học, rèn luyên kỹ năng của mình. - Bên cạnh đó việc nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đã thực hiện bước đầu có kết quả tốt ở trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diện vùng sâu, v ng xa, có nhiều khó khăn của tỉnh Đồng Nai. Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
922 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2