Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo Euler” nhằm phát triển năng lực giải toán Tổ hợp - Xác suất của học sinh THPT

Chia sẻ: Chuheodethuong10 | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung sáng kiến "Xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo Euler” nhằm phát triển năng lực giải toán Tổ hợp - Xác suất của học sinh THPT" được tác giả xây dựng thành các dạng toán thường gặp trong đó vận dụng kết quả và tư duy lời giải của bài toán “chia kẹo Euler”, ở mỗi dạng được thiết kế theo cấu trúc: Ví dụ – Lời giải – Nhận xét, hướng suy luận và tư duy. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo Euler” nhằm phát triển năng lực giải toán Tổ hợp - Xác suất của học sinh THPT

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng thâm đinh ̉ ̣ sáng kiến tỉnh Ninh Binh ̀ 1. Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tôi gồm: Trình Tỷ lệ % độ đóng góp Nơi Chức Ghi TT Họ và tên vào việc công tác danh chuyên chú tạo ra môn sáng kiến THPT Thư ký Đồng 1 Doan Huy Tung ̃ ̀ Đại học 40% Kim Sơn A HĐGD tác giả THPT Phó hiệu Đồng 2 Đinh Cao Thượng Thạc sỹ 20% Kim Sơn A trưởng tác giả THPT Phó hiệu Đồng 3 Lê Thị Lan Anh Thạc sỹ 20% Kim Sơn A trưởng tác giả THPT Phó hiệu Đồng 4 Nguyễn Xuân Trường Thạc sỹ 20% Yên Mô A trưởng tác giả Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Xây dựng môt sô dang toan ̣ ́ ̣ ́ đêm d ́ ựa trên bai toan “chia keo Euler” nhăm phat triên năng l ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ực giai toan Tô h ̉ ́ ̉ ợp Xac suât cua hoc sinh THPT ́ ́ ̉ ̣ . 2. Lĩnh vực và năm áp dụng sáng kiến: Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và đào tạo. Năm áp dụng sáng kiến: Bắt đầu từ năm học 2019 – 2020. 3. Các từ viết tắt: THPT: Trung học phổ thông SGK: Sách giáo khoa 4. Nội dung sáng kiến 1
4.1. Thực trạng và giải pháp cũ thường làm Hạn chế của giải pháp cũ Trong chương trình toán THPT các bài toán đêm va xac suât luôn là các bài toán khi ́ ̀ ́ ́ ến đa số học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng. Xét bài toán nổi tiếng trong toán học Tổ hợp Xác suất “Chia kẹo Euler” “Có bao nhiêu cách chia n chiếc kẹo cho k em bé”. Kết quả và cách tư duy lời giải của bài toán này được ứng dụng giải quyết một số bài toán sau: + Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chất lượng cao (20212022) (ĐHCN ĐHQGHN) Alice vừa đoạt giải quán quân trong một kì thi lập trình danh giá. Ban tổ chức trao thưởng theo cách thức sau: Có n hộp xếp trên một hàng dài và trong n hộp đó có k hộp có quà đặc biệt. Alice được phép chọn ra đúng k hộp và lấy tất cả quà trong k hộp đã chọn. Ban tổ chức cho Alice biết rằng, không có hai hộp quà đặc biệt nào được xếp cạnh nhau. Nhằm tăng xác suất chọn được cả k hộp quà đặc biệt. Alice quyết định sẽ chọn k hộp quà mà không có hai hộp nào cạnh nhau. Yêu cầu: Cho hai số nguyên dương n và k. Gọi C là số cách chọn k hộp mà không có hai hộp nào đứng cạnh nhau trong dãy n hộp, hãy tính C%(10^9+7)(trong đó % là phép toán chia lấy dư). + Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2020 – 2021 (VMO) Bài 6: Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào). a. Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hau cách chia là khác nhau). + Trích đề tham khảo kì thi tốt nghiệp THPT năm 2020 Câu 39. Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng: A. B. C. D. + Một số bài toán khác (Bài toán liên quan vấn đề trồng rừng) Ông An trông 3 cây lim, 4 cây long nao va 5 cây ̀ ̃ ̀ ̀ ư trên môt hang môt cach ngâu nhiên. Tinh xac suât đê không co 2 cây xa c xa c ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ̃ ́ ́ ́ ̉ ́ ̀ ừ nao đ ̀ ược trông canh ̀ ̣ nhau? 2
(Bài toán bầu cử): Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A được a phiếu bầu, ứng cử viên B được b phiếu bầu (a > b). Cử tri bỏ phiếu tuần tự từng người. Có bao nhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về số phiếu bầu? (Bài toán mua vé): Có m + n người đang đứng quanh quầy vé, trong đó có n người chỉ có tiền 5.000 và m người chỉ có tiền 10.000. Đầu tiên ở quầy không có tiền, vé giá 5.000. Hỏi có bao nhiêu cách xếp m + n người thành một hàng để không một người nào phải chờ tiền trả lại? Nhìn nhận các vấn đề xung quanh các bài toán trên, chúng tôi nhận thấy một số vấn đề liên quan đến thực trạng dạy và học các vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng nội dung các đề thi cũng như ưu, nhược điểm của các giải pháp trong dạy và học để giải quyết các bài toán trong nội dung này.  Các bài toán nêu trên đều ở mức vận dụng và vận dụng cao có nội dung thực tiễn, xuất phát từ những vấn đề trong thực tế. Điều này phù hợp với cách tiếp cận chương trình PT mới 2018 nhằm phát triển năng lực giải quyết tình huống.  Để giải quyết các bài toán cần sử dụng toán nền tảng (kiến thức chương II ĐS&GT 11 Tổ hợp – Xác suất theo chương trình hiện tại và còn được trang bị trong nội dung chương trình cả 3 khối 10,11,12 theo chương trình GDPT mới 2018) và sử dụng phương pháp tư duy được đề cập đến trong bài toán “Chia kẹo Euler”.  Sách giáo khoa viết còn mang tính hàn lâm: các bài tập chỉ chủ yếu dừng lại mức nhận biết và thông hiểu; trong khi nội dung này được đề cập đến trong các đề thi đại học ; thi THPT Quốc gia trước đây (bây giờ là kì thi tốt nghiệp THPT); thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia ; thi kiểm tra đánh giá năng lực của các trường Đại học…có cả mức vận dụng và vận dụng cao. Mặt khác các bài tập được đề cập trong sách giáo khoa cũng không được phân chia theo dạng và định hướng các phương pháp tư duy cho học sinh.  Sách tham khảo; nguồn tài liệu trên mạng Internet…hầu như không đề cập đến một cách hệ thống các bài toán theo phương pháp tư duy được trình bày trong lời giải bài toán “Chia kẹo Euler” mà chỉ xuất hiện rải rác.  Vấn đề dạy học của giáo viên: Khi giảng dạy các phần kiến thức thuộc nội dung tô h ̉ ợp xac suât giáo viên g ́ ́ ặp phải rất nhiều khó khăn trong việc định hướng cũng như hướng dẫn học sinh tiếp cận lời giải cho bài toán, ́ ̣ chia cac dang toan sao cho h ́ ợp ly nhât. Thông th ́ ́ ường đa sô giao viên chi day sao cho hoc sinh năm ́ ́ ̉ ̣ ̣ ́ được cang nhiêu bai cang tôt, đê t ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ừ đo khi đi thi găp bai quen thuôc la co thê lam đ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ̀ ược. Hoặc nếu có định hình chia dạng để dạy cho học sinh thì cũng chỉ là chia theo đặc điểm của đối tượng tham gia vào bài toán (đếm người; đếm đồ vật; đếm hình học…), mà rõ ràng trong mỗi dạng đó có rất nhiều 3
cách tư duy để giải quyết (đa dạng phương pháp trong cùng một dạng). Điều này hạn chế tính logic trong việc xâu chuỗi các bài toán trong cùng một cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh phải ghi nhớ rất nhiều phương pháp giải trong cùng một dạng toán. Từ đó không phát huy được tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình giải toán.  Vấn đề học của học sinh: Đa số học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ động, lười tư duy tìm tòi và sáng tạo; khả năng tự học chưa cao. Do đó, khi tiếp cận bài toán thuộc nội dung này tuy rằng có thể hiểu được lời giải nhưng khả năng vận dụng để giải quyết các bài toán khác còn hạn chế do chưa hiểu rõ phương pháp tư duy. 4.2. Giải pháp mới: Sáng kiến được hình thành theo dạng một chủ đề dạy học ( Phụ lục 2), cung cấp các dạng bài tập (7 dạng) với nội dụng gắn với thực tiễn: + Vận dụng kết quả của bài toán “Chia kẹo Euler” (Dạng 1 đến dạng 6) + Vận dụng tư duy của lời giải bài toán “Chia kẹo Euler” đó là tư duy “vách ngăn”. cùng với đó là các phương pháp dạy học đổi mới phát triển năng lực của học sinh. Hệ thống lý thuyết được trình bày một cách cô đọng và ngắn gọn nhất. Các dạng bài tập được xây dựng một cách hệ thống, có phân chia các mức độ, quá trình hình thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tìm lời giải trên cơ sở giả thiết từ đó giúp học sinh tạo được thói quen tư duy liên kết khi gặp các bài toán lạ. Bài tập được thiết kế chủ yếu theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân. * Nội dung giải pháp trong sáng kiến (Phụ lục 1) Có thể được tóm tắt như sau: Phần thứ nhất: Cung cấp lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của đai sô tô h ̣ ́ ̉ ợp va xac ̀ ́ suât. ́ Phần thứ hai: Giơi thiêu nôi dung bai toan “chia keo Euler”, cach giai va cac kêt qua. ́ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ́ ̉ ̀ ́ ́ ̉ Phần thứ ba: Xây dựng môt sô dang toan th ̣ ́ ̣ ́ ương găp vân dung kêt qua va cach t ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ̉ ̀ ́ ư duy cua bai toan ̉ ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̀ ̣ “chia keo Euler”, cu thê gôm 7 dang: ̣ + Dang 1 ̣ ̉ : Đêm sô nghiêm nguyên cua ph ́ ́ ương trinh, bât ph ̀ ́ ương trinh. ̀ ̣ + Dang 2 ́ ̀ ̣ ̉ ̉ : Đêm sô cach phân phôi đô vât, san phâm. ́ ́ ́ ̣ + Dang 3 : Đêm sô. ́ ́ ̣ + Dang 4 ́ ̣ : Đêm sô tâp con. ́ ̣ + Dang 5 ̣ : Đêm hinh hoc. ́ ̀ 4
̣ + Dang 6 : Lươi toa đô. ́ ̣ ̣ ̣ + Dang 7 ́ ̀ ́ ̣ ̣ : Cac bai toan vân dung “tư duy vach ngăn ́ ”. Phần thứ tư: Hê thông bai tâp vân dung d ̣ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ưới hinh trăc nghiêm. ̀ ́ ̣ Phâǹ thứ năm: Thiết kế hệ thống câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức giúp học sinh nắm được bài và vận dụng kiến thức vào giải quyết các tình huống có liên quan trong quá trình học tập. Như vậy: Giải pháp mới đã giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong quá trình học tập. Kiến thức cần thiết chỉ nằm trong khuôn khổ của sách giáo khoa hiện hành, không phải nhớ quá nhiều dạng bài tập một cách máy móc, không phải tốn kém trong quá trình mua tài liệu tham khảo. Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tự chủ động tìm lời giải độc lập cho một bài toán dựa trên lượng kiến thức đã có sẵn. Do đó học sinh có thể chủ động và linh hoạt trước một bài toán không phải áp đặt theo một khuôn mẫu định sẵn. Các giải pháp mới nêu ra đều sử dụng phần lớn những kiến thức mà học sinh được học ngay trên lớp. Sự liên kết giữa các phần kiến thức cùng với những định hướng ban đầu khiến cho bài toán trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận. Việc vận dụng một cách phù hợp vào từng bài toán cụ thể luôn tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rất quen thuộc với học sinh. Các bài tập vận dụng giải pháp mới hầu như là những bài toán đã xuất hiện trong các tài liệu tham khảo cũng như trong các Đề thi đại học trong những năm gần đây nhưng được tiếp cận một cách hoàn toàn mới mẻ nhưng đồng thời rất gần gũi với mức độ suy luận của các em học sinh. 5. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được 5.1. Hiệu quả về kinh tế: ̀ ệu in ấn giá thành thấp. + Tai li + Học sinh có thể tự học và tự nghiên cứu tài liệu do đó tránh được việc học thêm gây lãng phí và tốn kém. 5.2. Hiệu quả xã hội + Có tính thực tiễn cao: Kiến thức chỉ nằm trong SGK hiện hành. Sáng kiến tập trung vào việc phân tích tư duy giúp học sinh tìm lời giải. Hệ thống ví dụ và bài tập mang tính sáng tạo, đáp ứng được yêu cầu về đổi mới. Bài tập được xây dựng kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm; đặc biệt bài tập tự luyện chỉ xây dựng dưới hình thức trắc nghiệm phù hợp với tình hình thi cử hiện tại. Các bài toán trong đề thi đại học trước đây; đề thi tốt nghiệp THPT trong những năm gần đây; đề thi HSG tỉnh và quốc gia và các đề ĐGNL của các trường ĐH sử dụng cách định hướng tư duy của giải pháp có thể giải quyết một cách dễ dàng. + Hình thành các phẩm chất năng lực của học sinh, phù hợp với các yêu cầu của chương trình giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo trong học tập. Phát huy được sự hứng thú và niềm đam mê trong học tập. Từ đó tự tin tham gia các kì thi kiểm tra định kì hoặc các cuộc thi học sinh giỏi; + Tính kết nối và chia sẻ: Thông qua trao đổi và chia sẻ sáng kiến này với các giáo viên trong trường cũng như các đơn vị khác đã giúp giáo viên trong việc dạy học theo phương pháp mới, 5
xác định được các nội dung trọng tâm của bài, giáo viên sử dụng như tài liệu tham khảo, sáng kiến giúp cho giáo viên giảm bớt được nhiều công sức trong việc soạn bài, chuẩn bị bài lên lớp. Đặc biệt, giúp giáo viên có được một số dạng toán hay để có thể áp dụng trong quá trình biên soạn đề thi. Trong nhóm tác giả của sáng kiến, đều từng là thành viên ban soạn thảo đề thi của Sở; ngân hàng đề thi của Sở và có người tham gia ban soạn thảo đề của Bộ. + Tính giáo dục định hướng: định hướng cho học sinh khi học tập và nghiên cứu cần đề cao phương pháp tư duy và khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tiễn. Đặc biệt, khi ứng dụng sáng kiến trong môn Toán tại trường THPT Kim Sơn A, huyện Kim Sơn, tỉnh Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau: Năm 20192020 Năm 20202021 Nội dung (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) Kết quả Học sinh giỏi THPT cấp 02/03 giải 02/03 giải tỉnh (02 giải Khuyến khích). (01 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) 03/03 đạt giải Kết quả Học sinh giỏi lớp 12 cấp 03/03 đạt giải tỉnh ( 01 giải Nhì, 01 giải Ba, 01 giải Khuyến (01 giải Nhất, 02 giải Nhì) khích) Số lượng học sinh được nhận giải 23 học sinh 35 học sinh thưởng Đinh Bộ Lĩnh do có kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc (Có tổng điểm ba môn của các khối thi (Có tổng điểm ba môn của các khối gia truyền thống trên 27,25 điểm). thi truyền thống trên 27,0 điểm). ĐTB môn Toán là 8,32 ĐTB môn Toán là 8,15 Điểm trung bình môn Toán trong (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,22 (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,06 kì thi tốt nghiệp THPT ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,68) ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,61) Khi ứng dụng sáng kiến trong môn Toán tại trường THPT Yên Mô A, huyện Yên Mô , tỉnh Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau: Năm 20192020 Năm 20202021 Nội dung (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) Kết quả Học sinh giỏi THPT 01/03 giải 03/05 giải cấp tỉnh (01 giải nhì). (02 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) 06/06 đạt giải Kết quả Học sinh giỏi lớp 12 04/06 đạt giải cấp tỉnh (03 giải Nhì, 02 giải Ba và 01 giải ( 04 giải Khuyến khích) Khuyến Khích) Số lượng học sinh được nhận 08 học sinh 12 học sinh giải thưởng Đinh Bộ Lĩnh do (Có tổng điểm ba môn của các khối thi (Có tổng điểm ba môn của các khối thi có kết quả cao trong kỳ thi truyền thống trên 27,25 điểm). truyền thống trên 27,00 điểm). THPT Quốc gia 6
ĐTB môn Toán là 7,83 ĐTB môn Toán là 7,64 Điểm trung bình môn Toán (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,22 (ĐTB môn Toán của tỉnh là 7,06 trong kì thi tốt nghiệp THPT ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,68) ĐTB môn Toán của toàn quốc là 6,61) Các kết quả nổi bật khác: Trong nhóm tác giả, có thầy Doãn Huy Tùng giáo viên Toán THPT Kim Sơn A trong hai năm học gần đây dạy đội tuyển HSG Toán lớp 12 đều có học sinh đạt giải Nhất kì thi chọn HSG lớp 12 cấp tỉnh. Các thầy cô trong nhóm tác giả đều là những người hướng dẫn và giảng dạy trực tiếp bộ môn Toán cho em Nguyễn Thị Thu Hằng – học sinh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt vòng nguyệt quế chương trình chung kết năm “Đường lên đỉnh Olympia” năm thứ 20. Năm học 2020 – 2021: giảng dạy em Nguyễn Hoàng Anh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt điểm 9.8 môn Toán, trở thành thủ khoa của tỉnh Ninh Bình ở 2 khối thi là B và D07. 6. Điều kiện và khả năng áp dụng: 6.1. Điều kiện áp dụng: Học sinh lớp 11,12 THPT theo chương trình hiện hành; sau này cả lớp 10,11,12 THPT và học sinh THCS (theo chương trình GDPT mới). Kiến thức nền tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT 6.2. Khả năng áp dụng: + Đáp ứng nhu cầu dạy học của giáo viên: đổi mới phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển năng lực phẩm chất. (Do giải pháp được trình bày dưới dạng một chủ đề dạy học). + Đáp ứng cho nhiều đối tượng học sinh, phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn của học sinh cũng như nâng cao khả năng tư duy + Phù hợp với nội dung chương trình GDPT hiện hành và CT GDPT mới 2018; xu thế ra đề thi trong các kì thi quốc gia; kì thi ĐGNL…. + Trong tình hình dịch bệnh như hiện nay, việc dạy và học có thể phải tiến hành theo hình thức trực tuyến. Khi đó rõ ràng việc tương tác giữa thầy và trò có hạn chế hơn, yêu cầu với người học cũng cao hơn ở tính tự giác và tìm tòi. Vì vậy, càng thấy được tính khả thi của giải pháp được đề cập đến. Ninh Bình, tháng 05 năm 2021 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG ĐẠI DIỆN NHÓM TÁC GIẢ 7
Doan Huy Tung ̃ ̀ 8
PHỤ LỤC 1 Phần 1. MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN Sáng kiến được thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã được nhóm tác giả áp dụng trong quá trình giảng dạy ôn tập cho cac l ́ ơp va ôn thi hoc sinh gioi t ́ ̀ ̣ ̉ ại 02 nhà trường THPT Kim sơn A và THPT Yên Mô A. Tùy theo mức độ của học sinh từng lớp mà các tác giả đã đưa vào các phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn. Nội dung sáng kiến được nhom tac gia xây d ́ ́ ̉ ựng thanh cac dang toan th ̀ ́ ̣ ́ ương găp trong đo ̀ ̣ ́ ̣ ̣ ̉ ̀ ư duy lơi giai cua bai toan “chia keo Euler”, vân dung kêt qua va t ́ ̀ ̉ ̉ ̀ ́ ̣ ở môi dang đ ̃ ̣ ược thiêt kê theo câu ́ ́ ́ ́ ̣ truc: Vi du – L ́ ời giai – Nhân xet, h ̉ ̣ ́ ướng suy luân va t ̣ ̀ ư duy. Sáng kiến ngoài là nguồn tài liệu cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy còn là tư liệu để các em học sinh tự học một cách tốt nhất. Các em học sinh có thể đọc lời giải và các hướng dẫn suy luận trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thống bài tập được trình bày trong sáng kiến. Phần 2. MÔT SÔ DANG TOAN TH ̣ ́ ̣ ́ ƯƠNG GĂP VÂN DUNG KÊT QUA VA T ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ̉ ̀ Ư DUY LƠI GIAI CUA BAI TOAN “CHIA KEO EULER” ̀ ̉ ̉ ̀ ́ ̣ 2.1. KIÊN TH ́ ƯC C ́ Ơ BAN ̉ 2.1.1. Hai quy tăc đêm c ́ ́ ơ ban ̉ ́ ̀ ử cua tâp h Sô phân t ̉ ̣ ợp hưu han ̃ ̣ A được ki hiêu la hoăc ́ ̣ ̀ ̣ 2.1.1.1. Quy tăc công ́ ̣ ̣ Môt công viêc đ ̣ ược hoan thanh b ̀ ̀ ởi môt trong hai hanh đông. Nêu hanh đông nay co m ̣ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ́ cach th ́ ực hiên, hanh đông kia co n cach th ̣ ̀ ̣ ́ ́ ực hiên không trung v ̣ ̀ ơi bât ki cach nao cua hanh đông ́ ́ ̀ ́ ̀ ̉ ̀ ̣ thứ nhât thi công viêc đo co m + n cach th ́ ̀ ̣ ́ ́ ́ ực hiên. ̣ Chu ý ́: ́ ̣ + Quy tăc công đ ược phat biêu ́ ̉ ở trên co thê tông quat cho công viêc đ ́ ̉ ̉ ́ ̣ ược hoan thanh ̀ ̀ bới nhiêu hanh đông. ̀ ̀ ̣ ́ ̣ + Quy tăc công đ ược phat biêu ́ ̉ ở trên thực chât la quy tăc đêm sô phân t ́ ̀ ́ ́ ́ ̀ ử cua hai tâp ̉ ̣ hợp hưu han không giao nhau: ̃ ̣ ́ ̀ ̀ ́ ̣ ợp hữu han không giao nhau, thi: Nêu A va B la cac tâp h ̣ ̀ ́ ̣ ̀ ược mở rông đôi v + Quy tăc công con đ ̣ ́ ới cac tâp h ́ ̣ ợp hưu han, co giao khac rông. Co ̃ ̣ ́ ́ ̃ ́ ̉ ưng minh đ thê ch ́ ược răng, v ̀ ới hai tâp h ̣ ợp hưu han ̃ ̣ A va ̀B bât ki, ta co: ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ư)̀ (quy tăc bao ham va loai tr ̣ ới 3 tâp h Hoăc v ̣ ợp hưu han ̃ ̣ A,B,C ta co:́ 2.1.1.2. Quy tăc nhân ́ ̣ ̣ ược hoan thanh b Môt công viêc đ ̀ ̀ ởi hai hanh đông liên tiêp. Nêu co m cach th ̀ ̣ ́ ́ ́ ́ ực hiên ̣ ̣ hanh đông th ̀ ứ nhât va ́ ̀ứng với môi cach đo co n cach th ̃ ́ ́ ́ ́ ực hiên hanh đông th ̣ ̀ ̣ ứ hai thi co m.n cach ̀ ́ ́ hoan thanh công viêc. ̀ ̀ ̣ Chu y ́ ̉ ở rông cho công viêc đ ́ ́: Quy tăc nhân co thê m ́ ̣ ̣ ược hoan thanh b ̀ ̀ ởi nhiêu hanh đông liên ̀ ̀ ̣ tiêp. ́ 2.1.2. Hoan vi – Chinh h ́ ̣ ̉ ợp – Tô h ̉ ợp 9
2.1.2.1. Hoan vi ́ ̣ ̣ A gôm Cho tâp ̀ ử . Môi kêt qua cua s ̀ n phân t ̃ ́ ̉ ̉ ự săp xêp th ́ ́ ứ tự n phân t ̀ ử cua tâp h ̉ ̣ ợp A được ̣ ̀ ̣ hoan vi cua n phân t goi la môt ́ ̣ ̉ ̀ ử đo. ́ ́ ̣ ̉ n phân t Sô cac hoan vi cua ́ ́ ̀ ử: 2.1.2.2. Chinh h ̉ ợp Cho tâp ̣ A gôm ̀ ử . Kêt qua cua viêc lây ̀ n phân t ́ ̉ ̉ ̣ ́ k phân t ̀ ử khac nhau t ́ ừ n phân t ̀ ử cua tâp h ̉ ̣ ợp ̣ ứ tự nao đo đ A va săp xêp chung theo môt th ̀ ́ ́ ́ ̣ ̀ ̣ chinh h ̀ ́ ược goi la môt ̉ ợp châp k cua n phân t ̣ ̉ ̀ ử đa cho. ̃ ̉ Sô cac chinh h ́ ́ ơp: Chu ý ́: 2.1.2.3. Tô h ̉ ợp ̣ A gôm Cho tâp ̀ ử . Môi tâp con gôm ̀ n phân t ̃ ̣ ̀ ử cua ̀ k phân t ̣ ̀ ̣ tô h ̉ A được goi la môt ̉ ợp châp k ̣ cua n phân t ̉ ̀ ử đa cho. ̃ ́ ́ ̉ ợp: Sô cac tô h Chu y ́ ́: 2.1.3. Xac suât cua biên cô ́ ́ ̉ ́ ́ 2.1.3. Đinh nghia ̣ ̃ ̉ ử A la biên cô liên quan đên môt phep th Gia s ̀ ́ ́ ́ ̣ ́ ử chi co môt sô h ̉ ́ ̣ ́ ữu han kêt qua đông ̣ ́ ̉ ̀ ̉ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ̣ ̀ kha năng xuât hiên. Ta goi ti sô la xac suât cua biên cô A, ki hiêu la ́ ́ Chu y ̀ ́ ̀ ử cua ́ ́: la sô phân t ̉ A hay cung la sô cac kêt qua thuân l ̃ ̀ ́ ́ ́ ̉ ̣ ợi cho biên cô ́ ́A, con la ̀ ̀ ̉ ́ ̉ ̉ ̉ ́ ử. sô cac kêt qua co thê xay ra cua phep th ́ ́ ́ 2.1.3. Tinh chât ́ ́ Chu y ́ ́: Tinh chât c) la công th ́ ́ ̀ ức công xac suât va ta co hê qua: ̣ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ́ ̉ la biên cô đôi cua biên cô ́ ́A. 2.2. BAI TOAN “CHIA KEO EULER” ̀ ́ ̣ 2.2.1. Nôi dung bai toan: ̣ ̀ ́ Co bao nhiêu cach chia ́ ́ n cai keo giông nhau cho ́ ̣ ́ k em be?́ 2.2.2. Lời giai: ̉ Trươc hêt ta xet cac bai toan sau: ́ ́ ́ ́ ̀ ́ Bai toan 1 ́ ́ ́ ̣ ́ ́ ̀ ̃ ̀ ́ : “Co bao nhiêu cach chia n cai keo giông nhau cho k em be sao cho em nao cung co keo, ́ ̣ ”. ̣ n cai keo trên môt hang ngang, khi đo gi Đăt ́ ̣ ̣ ̀ ́ ữa n chiêc keo se co ́ ̣ ̉ ̃ ́n – 1 khoang trông. ́ Nêu ta đăt ́ ̣ k – 1 chiêc que vao ́ ̉ ̀ k – 1 khoang trông bât ki trong sô ́ ́ ̀ ̉ ́n – 1 khoang trông trên ta ́ ́ ̣ thây n chiêc keo se đ ́ ̃ ược chia thanh ̀ ̉ ̀ k phân đê cho k em be theo th ́ ư t ́ ự. ̣ Do đo sô cach chia keo băng sô cach chon ́ ́ ́ ̀ ́ ́ ̣ k – 1 khoang trông trong sô ̉ ́ ̉ ́ ưć ́n – 1 khoang trông t la ̀ Nhân xet ̣ ́: + Từ lơi giai trên ta nhân thây, khi xêp cac đôi t ̀ ̉ ̣ ́ ́ ́ ́ ượng trên môt hang thi gi ̣ ̀ ̀ ữa cac đôi ́ ́ tượng luôn hinh thanh khoang trông (hay con goi ̀ ̀ ̉ ́ ̀ ̣ vach ngăn ́ ̉ ́ ượng trên ), va dê thây răng đê hai đôi t ̀ ̃ ́ ̀ 10
hang đo không đ ̀ ́ ứng canh nhau ta chi cân xêp môt đôi t ̣ ̉ ̀ ́ ̣ ́ ượng khac vao khoang trông đo. Đê cho đ ́ ̀ ̉ ́ ́ ̉ ơn ̉ ̣ gian ta goi đây la “ ̀ tư duy vach ngăn ́ ”. ́ ̣ ́ ̣ + Nêu goi sô keo nhân đ ̣ ược cua ̉ k em be ́ưng v ́ ơi môi cach chia lân l ́ ̃ ́ ̀ ượt la thi . Va ̀ ̀ ̀ ̉ ́ ̣ hiên nhiên, sô nghiêm cua ph ̉ ương trinh đo băng chinh sô cach chia. T ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ừ đo ta co kêt qua bai toan sau. ́ ́ ́ ̉ ̀ ́ Bai toan 2 ̀ ́ : “Tim sô nghiêm nguyên d ̀ ́ ̣ ương cua ph ̉ ương trinh ̀ ” Đap sô: ́ ́ Bai toan 3 ̣ ̀ ́ : “Tim sô nghiêm nguyên không âm cua ph ̀ ́ ̉ ương trinh ̀ ” ̣ Đăt va ph̀ ương trinh đa cho tr ̀ ̃ ở thanh: ̀ (*) Sô nghiêm ph ́ ̣ ương trinh đa cho băng sô nghiêm nguyên d ̀ ̃ ̀ ́ ̣ ương cua ph̉ ương trinh (*), ap dung ̀ ́ ̣ bai toan 2, ta đ ̀ ́ ược sô nghiêm đo băng: ́ ̣ ́ ̀ Nhân xet ̣ ́: Đên đây, theo s ́ ự tương ưng gi ́ ưa sô cach chia keo va sô nghiêm cua ph ̃ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ương trinh ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̀ ́ chia keo Euler thi đap sô cua bai toan “ ̣ ” la: ̀ 2.3. MÔT SÔ DANG TOAN LIÊN QUAN ̣ ́ ̣ ́ Từ kêt qua cua bai toan chia keo Euler cung nh ́ ̉ ̉ ̀ ́ ̣ ̃ ư cach t ́ ư duy đê tim ra kêt qua đo, ta rut ra ̉ ̀ ́ ̉ ́ ́ được môt sô kêt luân quan trong sau: ̣ ́ ́ ̣ ̣ * KÊT LUÂN 1 ́ ̣ : Sô cach chia ( ́ ́ ́ ̣ san phâm phân phôí) n cai keo ( ̉ ̉ ) cho k em be ( ́ ượng) sao ́ đôi t ́ ̣ đôi t cho em nao cung co keo ( ̀ ̃ ́ ượng nao cung co san phâm ̀ ̃ ́ ̉ ̉ ) hay sô nghiêm nguyên d ́ ̣ ương cua ph ̉ ương trinh la: ̀ ̀ ̣ : Sô cach chia ( * KÊT LUÂN 2 ́ ́ ́ ́ ̣ san phâm phân phôí) n cai keo ( ̉ ̉ ) cho k em be ( ́ ượng) hay ́ đôi t ̣ sô nghiêm nguyên không âm cua ph ́ ̉ ương trinh la: ̀ ̀ * KÊT LUÂN 3 ́ ̀ ̀ tư duy vach ngăn ̣ : Hinh thanh “ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ” trong viêc giai quyêt cac bai toan đêm co gia ́ ́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ́ ượng được xêp hoăc không xêp canh nhau. thiêt yêu câu cac đôi t ́ ́ ̣ ́ ̣ ̃ ́ ̣ ́ ̣ ́ ́ ường găp vân dung cac kêt luân trên đây. Sau đây ta se xet môt sô dang toan đêm th ̣ ̣ ̣ ́ ́ ̣ 2.3.1.DANG 1: ̣ Đêm sô nghiêm nguyên cua ph ́ ́ ̣ ̉ ương trinh, bât ph ̀ ́ ương trinh ̀ Vi du 1 ́ ̣ : Cho phương trinh: Tim sô nghiêm nguyên cua ph ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ương trinh thoa man: ̀ ̉ ̃ 1. 2. 3. ̀ ́ ́ ự nhiên chia 4 dư 1, vơi 4. la cac sô t ́ 5. LƠI GIAI ̀ ̉ ̣ 1. Sô nghiêm nguyên không âm cua ph ́ ̉ ương trinh: ̀ ̣ 2. Sô nghiêm nguyên d ́ ương cua ph ̉ ương trinh: ̀ ̣ 3. Đăt: . Sô nghiêm ph ́ ̣ ương trinh thoa man điêu kiên băng sô nghiêm nguyên d ̀ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ ̣ ương cuả phương trinh: ̀ Sô nghiêm la: ́ ̣ ̀ ̣ 4. Đăt Sô nghiêm ph ́ ̣ ương trinh thoa man điêu kiên băng sô nghiêm ph ̀ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ ̣ ương trinh: ̀ Sô nghiêm la: ́ ̣ ̀ 5.Cach 1 ́ : Xet cac tŕ ́ ường hợp Sô nghiêm ph ́ ̣ ương trinh thoa man điêu kiên la: ̀ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ : (Sử dung biên cô đôi) Cach 2 ̣ ́ ́ ́ 11
̣ + Sô nghiêm nguyên không âm cua ph ́ ̉ ương trinh la: ̀ ̀ ̣ + Sô nghiêm nguyên không âm cua ph ́ ̉ ương trinh thoa man : Đăt ̀ ̉ ̃ ̣ ́ ̣ Sô nghiêm la: . ̀ Suy ra: sô nghiêm ph ́ ̣ ương trinh thoa man điêu kiên: ̀ ̉ ̃ ̀ ̣ Nhân xet: ̣ ́ ́ ́ ̣ Khi đêm sô nghiêm co điêu rang buôc: ́ ̀ ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ + Điêu kiên rang buôc dang: đăt ân phu. ̀ ̀ ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ + Điêu kiên rang buôc dang: ̀ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ́ ̀ ́ ̣ Nêu chi co 1 biên co điêu kiên đo thi ap dung 2 cach trên. ́ ́ ́ ̀ ́ ́ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ̣ ́ ̉ Nêu co nhiêu biên co điêu kiên rang buôc ta ap dung cach giai 2 nh ưng cân ̀ ́́ ́ ̀ ̀ ̣ ừ. Cu thê ta xet trong vi du tiêp theo. chu y quy tăc bao ham va loai tr ̣ ̉ ́ ́ ̣ ́ Vi du 2 ́ ̣ : Cho phương trinh: Tim sô nghiêm nguyên cua ph ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ương trinh thoa man: ̀ ̉ ̃ 1. 2. LƠI GIAI ̀ ̉ ̣ 1. + Sô nghiêm nguyên không âm cua ph ́ ̉ ương trinh la: ̀ ̀ + Goi lân ḷ ̀ ượt la tâp cac nghiêm nguyên không âm cua ph ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ương trinh thoa man điêu kiên: . ̀ ̉ ̃ ̀ ̣ ̣ ̉ Khi đo: sô nghiêm thoa man điêu kiên la: ́ ́ ̃ ̀ ̣ ̀ Ta co: ́ Suy ra: ̣ ̉ Do đo sô nghiêm thoa man điêu kiên: ́ ́ ̃ ̀ ̣ 2. * Đăt ̣ Sô nghiêm ph ́ ̣ ương trinh thoa man điêu kiên băng sô nghiêm nguyên không âm ph ̀ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ ̣ ương trinh ̀ với điêu kiên ̀ ̣ * Goi ̣ Y la tâp tât ca cac nghiêm nguyên không âm cua ph ̀ ̣ ́ ̉ ́ ̣ ̉ ương trinh (*), suy ra: ̀ ̣ * Goi lân l ̀ ượt la tâp cac nghiêm nguyên không âm cua ph ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ương trinh (*) thoa man lân l ̀ ̉ ̃ ̀ ượt cac điêu kiên: ́ ̀ ̣ ́ ́ ̣ * Khi đo sô nghiêm phương trinh thoa man điêu kiên bai toan la: ̀ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ Vi du 3 ́ ̣ : Tim sô nghiêm nguyên không âm cua bât ph ̀ ́ ̣ ̉ ́ ương trinh : ̀ LƠI GIAI ̀ ̉ + Cach 1 ̣ ̉ ́ : Sô nghiêm nguyên không âm cua bât ph ́ ́ ương trinh băng tông sô nghiêm nguyên ̀ ̀ ̉ ́ ̣ ̉ không âm cua 12 ph ương trinh: ̀ ́ ̣ Sô nghiêm la: ̀ + Cach 2 ̣ ̣ ̉ ̣ ̣ ́ : Đăt Khi đo sô nghiêm thoa man điêu kiên bai toan băng sô nghiêm nguyên không ́ ́ ̃ ̀ ̀ ́ ̀ ́ ̉ âm cua ph ương trinh: ̀ ́ ̣ Sô nghiêm la: ̀ Vi du 4 ́ ̣ : Tim sô nghiêm nguyên không âm cua bât ph ̀ ́ ̣ ̉ ́ ương trinh : thoa man ̀ ̉ ̃ 12
LƠI GIAI ̀ ̉ ̀ ượt cho va vân dung cach giai cua bai 3 ta đ Lân l ̀ ̣ ̣ ́ ̉ ̉ ̀ ược kêt qua sô nghiêm thoa man điêu kiên: ́ ̉ ́ ̣ ̉ ̃ ̀ ̣ 2.3.2.DANG 2:Đêm sô cach phân phôi đô vât, san phâm. ̣ ́ ́ ́ ́ ̀ ̣ ̉ ̉ Vi du 1 ́ ̣ : Co bao nhiêu cach xêp (phân phôi) 4 viên bi giông nhau vao 3 chia hôp ́ ́ ́ ́ ́ ̀ ̣ A, B, C. LƠI GIAI ̀ ̉ ̣ x, y, z lân l Goi ̀ ượt la sô viên bi đ ̀ ́ ược xêp (phân phôi) vao cac hôp ́ ́ ̀ ́ ̣ A, B, C. Khi đo: ́ ̣ Môi nghiêm cua ph ̃ ̉ ương trinh nay la môt cach phân phôi 4 viên bi vao 3 chiêc hôp, do đo sô ̀ ̀ ̀ ̣ ́ ́ ̀ ́ ̣ ́ ́ cach phân phôi la: ́ ́ ̀ Nhân xet: ̣ ́ + Ta co thê hiêu đ ́ ̉ ̉ ơn gian h ̉ ơn răng, viêc phân phôi 4 viên bi cho 3 hôp cung la công viêc chia ̀ ̣ ́ ̣ ̃ ̀ ̣ ́ ̣ ́ ́ ̉ 4 cai keo cho 3 em be. Do đo co thê suy ra ngay đap an bai toan. ́ ́ ́ ̀ ́ + Từ đo, môt cach khac ta co thê phat biêu bai toan chia keo Euler theo “ ́ ̣ ́ ́ ́ ̉ ́ ̉ ̀ ́ ̣ ngôn ngư” khac nh ̃ ́ ư sau: Sô cach phân phôi ́ ́ ̉ ̉ ́ n san phâm cho ́ ượng la: (trong toan hoc đây chinh la sô tô h k đôi t ̀ ́ ̣ ́ ̀ ́ ̉ ợp lăp ̣ ̣ n cua châp ̉ k phân t ̀ ử). Do đo, khi giai cac bai toan t ́ ̉ ́ ̀ ́ ương tự ta co thê s ́ ̉ ử dung ngay “ngôn ng ̣ ữ” naỳ ̉ ̉ ̣ đê giai quyêt rât nhanh gon. ́ ́ Vi du 2 ́ ̣ : Môt c ̣ ửa hang co 6 loai kem khac nhau. Môt ng ̀ ́ ̣ ́ ̣ ười khach muôn mua 9 que kem. Hoi ng ́ ́ ̉ ươì khach đo co bao nhiêu s ́ ́ ́ ự lựa chon? ̣ LƠI GIAI ̀ ̉ ́ ́ ựa chon cua ng Sô cach l ̣ ̉ ười khach chinh la sô cach phân phôi 9 que kem mua đ ́ ́ ̀ ́ ́ ́ ươc cho 6 loai ̣ ́ ́ ́ ựa chon la: kem, do đo sô cach l ̣ ̀ Vi du 3 ́ ̣ : Co bao nhiêu cach xêp (phân phôi) 30 viên bi giông nhau vao 5 chiêc hôp khac nhau sao cho: ́ ́ ́ ́ ́ ̀ ́ ̣ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̀ ́ ượng viên bi trong môi hôp. 1. Cach xêp la bât ki vê sô l ́ ̃ ̣ ̣ 2. Hôp 1 co it nhât 5 viên bi. ́́ ́ ̣ ́́ ́ ̣ ̀ ̣ 3. Hôp 1 co it nhât 5 viên bi; hôp 2 va hôp 3 co không qua 6 viên bi. ́ ́ LƠI GIAI ̀ ̉ 1. Ta co ngay sô cach xêp (phân phôi) la: ́ ́ ́ ́ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ́ ̣ ̀ ̣ 2. Do hôp 1 cân it nhât 5 viên bi nên ta lây luôn 5 viên bi cho hôp 1, con lai 25 viên bi ta phân ́ ̣ phôi cho 5 hôp. Sô cach phân phôi la: ́ ́ ́ ̀ ́ ́ ́ ̉ ̃ ̀ ́ ́ ́ ̣ 3. Sô cach phân phôi thoa man băng sô cach phân phôi 25 viên bi cho 5 hôp va thoa man điêu ̀ ̉ ̃ ̀ ̣ ̣ kiên hôp 2 va 3 đêu co sô bi nho h ̀ ̀ ́ ́ ̉ ơn hoăc băng 6. ̣ ̀ + Sô cach phân phôi 25 viên bi cho 5 hôp la: ́ ́ ́ ̣ ̀ ̣ + Sô cach phân phôi 25 viên bi cho 5 hôp sao cho hôp 2 ch ́ ́ ́ ̣ ứa sô bi l ́ ớn hơn hoăc băng 7 la:. ̣ ̀ ̀ Tương tự: Sô cach phân phôi 25 viên bi cho 5 hôp sao cho hôp 3 ch ́ ́ ́ ̣ ̣ ứa sô bi l ́ ớn hơn hoăc băng 7 la: . ̣ ̀ ̀ ̣ ̉ ̣ Sô cach phân phôi 25 viên bi cho 5 hôp sao cho ca hôp 2 va 3 ch ́ ́ ́ ̀ ứa sô bi l ́ ớn hơn hoăc băng 7 ̣ ̀ la: ̀ ́ ́ ́ ́ ̉ Do đo, sô cach phân phôi thoa man điêu kiên la: ̃ ̀ ̣ ̀ 13
Vi du 4 ́ ̣ : Co bao nhiêu cach chon ra 6 sô (co thê giông nhau) t ́ ́ ̣ ́ ́ ̉ ́ ừ 9 chữ sô t ́ ự nhiên 1,2...,9? LƠI GIAI ̀ ̉ ́ ́ ̣ Sô cach chon ra 6 sô băng sô cach phân phôi 6 sô đo cho 9 ch ́ ̀ ́ ́ ́ ́ ́ ữ sô t ́ ừ 1 đên 9, t ́ ức la co: ̀ ́ cach ́ ̣ chon. 2.3.3.DANG 3: Đêm sô. ̣ ́ ́ Vi du 1 ́ ̣ : Co bao nhiêu sô t ́ ́ ự nhiên co 5 ch ́ ữ sô dang thoa man: ́ ̣ ̉ ̃ 1. 2. LƠI GIAI ̀ ̉ 1.Cach 1 ́ ́ ư sô 1,2,3,...,9 theo th ́ : + Ta viêt cac ch ̃ ́ ứ tự tăng dân. ̀ ̣ ́ ́ ược 1 sô thoa man. + Ta chon 5 sô day 9 sô đo đ ́ ̃ ́ ̉ ̃ ́ ́ ́ ́ ̉ Do đo sô cac sô thoa man la: ̃ ̀ ́ : + Tư tô h Cach 2 ̀ ̉ ợp 9 chư sô t ̃ ́ ự nhiên ta chon ra 5 ch ̣ ư sô khac nhau: ( ̃ ́ ́ ̣ Chon thanh phân ̀ ̀ ). ̃ ́ ̣ ́ ́ ́ ̉ ̣ ́ ̉ + Môi cach chon đo ta săp xêp chi dc môt sô thoa man điêu kiên. ( ̃ ̀ ̣ Săp xêp ́ ́) ́ ́ ́ ́ ̉ Do đo sô cac sô thoa man la: ̃ ̀ Nhân xet ̣ ̣ ̣ ́: cach lâp luân th ́ ứ 2 la cach lâp luân thông th ̀ ́ ̣ ̣ ường với cac bai toan lâp sô, t ́ ̀ ́ ̣ ́ ức là ̉ trai qua 2 b ́ Chon thanh phân ươc: ̣ ̀ ̀ va ̀săp xêp ́ ́. ̣ ̣ 2.+ Chon thanh phân : chon 5 sô t ̀ ̀ ́ ừ 9 sô (cac ch ́ ́ ữ sô co thê lăp lai) băng cach phân phôi 5 sô ́ ́ ̉ ̣ ̣ ̀ ́ ́ ́ ̣ ược cho 9 chư sô t chon đ ̃ ́ ự nhiên, do đo sô cach chon la: ́ ́ ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ ́ ́ ̣ ́ ̉ + Săp xêp: Môi cach chon đo chi co duy nhât môt sô thoa man điêu kiên. ́ ́ ̃ ́ ̃ ̀ ̣ ́ ́ ́ ́ ̉ Do đo, sô cac sô thoa man la: ̃ ̀ Vi du 2 ́ ̣ : Co bao nhiêu sô t ́ ́ ự nhiên co 5 ch ́ ữ sô dang thoa man: ́ ̣ ̉ ̃ 1. 2. LƠI GIAI ̀ ̉ ̣ ̣ ́ ự nhiên đôi môt khac nhau t 1. + Chon thanh phân: chon 5 sô t ̀ ̀ ̣ ́ ừ 10 chữ sô t ́ ự nhiên, cocach ́ ́ ̣ chon. ́ ́ ̃ ́ ̣ ̀ ̀ ̉ ́ ́ ̣ ́ + Săp xêp: môi cach chon thanh phân chi co duy nhât môt cach xêp đê cac ch́ ̉ ́ ữ sô giam dân. ́ ̉ ̀ ́ ́ ́ ́ ̉ Do đosô cac sô thoa man la: ̃ ̀ ̣ ̣ 2. + Chon thanh phân: chon 5 sô t ̀ ̀ ́ ự nhiên (co thê giông nhau) t ́ ̉ ́ ừ 10 chữ sô t ́ ự nhiên băng sô ̀ ́ cach phân phôi 5 ch ́ ́ ư sô đo vê cho 10 ch ̃ ́ ́ ̀ ữ sô t ́ ự nhiên từ 0 đên 9, co cach chon. ́ ́ ́ ̣ ́ ́ ̃ ́ ̣ ̀ ̀ ̉ ́ ́ ̣ ́ + Săp xêp: môi cach chon thanh phân chi co duy nhât môt cach xêp đê cac ch ́ ̉ ́ ữ sô giam dân ́ ̉ ̀ ́ ́ ́ ́ ̀ ́ ự nhiên co 5 ch (trong đo co cach xêp 00000 không la sô t ́ ữ sô). ́ ́ ́ ́ ́ ̉ Do đo, sô cac sô thoa man la: ̃ ̀ Vi du 3 ́ ̣ : Co bao nhiêu sô t ́ ́ ự nhiên co 5 ch ́ ữ sô dang thoa man: ́ ̣ ̉ ̃ LƠI GIAI ̀ ̉ ̣ Đăt ́ ̣ ̉ Vi du 1 Ap dung cach giai ́ ́ ̣ ta được kêt qua: ́ ̉ 14
Vi du 4 ́ ̣ : (Ve hanh phuc ́ ̣ ́ ) Môi ve xe co môt day 6 ch ̃ ́ ́ ̣ ̃ ữ sô đ ́ ược goi la ̣ ̀ve hanh phuc ́ ̣ ́ ̉ ́ nêu tông 3 ch ữ sô đâu ́ ̀ ̉ băng tông 3 ch ̀ ư sô cuôi. Hoi co tât ca bao nhiêu ve hanh phuc? ̃ ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ́ ̣ ́ LƠI GIAI ̀ ̉ ̣ + Nhân xet: nêu ́ ́ ̣ ̃ + Goi day 6 chữ sô cua môt ve xe la: . ́ ̉ ̣ ́ ̀ ́ ̣ + Ve xe hanh phuc thi: ́ ̀ ̣ ̣ Do đo: sô ve xe hanh phuc băng sô nghiêm nguyên không âm cua ph ́ ́ ́ ́ ̀ ́ ̉ ương trinh (*) thoa man ̀ ̉ ̃ ̣ điêu kiên ̀ ̣ + Sô nghiêm nguyên không âm cua ph ́ ̉ ương trinh (*): ̀ + Goi ̣ Mi la tâp h ̀ ̣ ợp cac nghiêm nguyên không âm cua ph ́ ̣ ̉ ương trinh (*) ma ̀ ̀ Ta cân tinh: ̀ ́ + Tinh ́ + Tinh ́ + Giao từ 3 tâp ̣ Mi trở lên đêu co phân t ̀ ́ ̀ ừ băng 0. ̀ ́ ́ ́ ̣ Do đo sô ve hanh phuc la: ́ ̀ 2.3.4. DANG 4: ̣ Đêm sô tâp con. ́ ́ ̣ Vi du 1 ́ ̣ : Cho tâp h ̣ ợp A gôm 100 sô nguyên d ̀ ́ ương đâu tiên. Tim sô tâp con cua tâp h ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ ợp A co 3 phân t ́ ̀ ử sao ̀ ử nao cua môi tâp con đo la hai sô t cho không co 2 phân t ́ ̀ ̉ ̃ ̣ ́ ̀ ́ ự nhiên liên tiêp? ́ LƠI GIAI ̀ ̉ Cach 1: ́ ̣ a, b, c la 3 phân t + Goi ̀ ̀ ử cua 1 tâp con thoa man, gia s ̉ ̣ ̉ ̃ ̉ ử a
́ ́ ̀ ̣ ược 4 ngay nghi thi se con lai 26 ngay không đ Thang 1 năm 2021 co 30 ngay, khi chon đ ̀ ̉ ̀ ̃ ̀ ̣ ̀ ược nghi.̉ ̣ ̉ ̀ ̉ ́ ược tao ra t Ta đăt 4 ngay nghi vao 27 khoang trông đ ̀ ̣ ư 26 ngay không đ ̀ ̀ ược nghi, môi cach ̉ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̉ ̣ ̉ đăt đo cho ta môt cach chon thoa man yêu câu. Do đo, sô cach chon thoa man: ́ ̃ ̀ ́ ́ ́ ̃ Vi du 3 ́ ̣ : Cho tâp h ̣ ợp A gôm 2021 sô nguyên d ̀ ́ ương đâu tiên. Co bao nhiêu tâp con cua ̀ ́ ̣ ̉ A co 3 phân t ́ ̀ ử sao ̉ ̀ ử cua tâp con đo băng 2019? cho tông cac phân t ́ ̉ ̣ ́ ̀ LƠI GIAI ̀ ̉ ̣ a, b, c la 3 phân t + Goi ̀ ̀ ử cua môt tâp con cua A. ̉ ̣ ̣ ̉ + Khi đo: ́ + Tưc la ta cân đêm sô nghiêm nguyên d ́ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ương cua ph ̉ ương trinh (*) ma ̀ ̣ ̀a, b, c đôi môt phân ̣ biêt. ̣ + Sô nghiêm nguyên d ́ ương cua ph ̉ ương trinh (*) la: ̀ ̀ ̣ + Sô nghiêm nguyên d ́ ương ma ̀a = b = c la: 1 nghiêm la (673;673;673). ̀ ̣ ̀ ̣ + Sô nghiêm nguyên d ́ ương ma Ph̀ ương trinh (*)le. ̀ ̉ ̣ Suy ra sô nghiêm la: , (tr ́ ̀ ư đi ̣ ́ ̣ ̀ c nhân gia tri 673 va 2019). ̀ + Tương tự vơi 2 tr ́ ương h ̀ ợp cung co sô nghiêm la 1008. ̃ ́ ́ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ̉ Do đo sô nghiêm thoa man yêu câu: ̃ ̀ ̀ ̃ ̣ + Vi môi tâp con co 3 phân t ́ ̀ ử cua A thoa man yêu câu sinh ra 3! nghiêm đa tinh đ ̉ ̉ ̃ ̀ ̣ ̃ ́ ược. ́ ́ ̣ ̉ Do đo sô tâp con thoa man la: ̃ ̀ 2.3.5. DANG 5: Đêm hinh hoc. ̣ ́ ̀ ̣ Vi du 1 ́ ̣ : Cho đa giac đêu co 2021 đinh. Co bao nhiêu tam giac, t ́ ̀ ́ ̉ ́ ́ ứ giac co đinh la đinh cua đa giac đêu đa ́ ́ ̉ ̀ ̉ ̉ ́ ̀ ̃ ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ̉ cho sao cho không co canh nao la canh cua đa giac đêu đa cho? ́ ̀ ̃ LƠI GIAI ̀ ̉ Từ gia thiêt suy ra cac đinh cua tam giac, t ̉ ́ ́ ̉ ̉ ́ ứ giac không la cac đinh kê nhau cua cac đinh đa ́ ̀ ́ ̉ ̀ ̉ ́ ̉ giac ban đâu, t ́ ̀ ừ đo cho ta y t ́ ́ ưởng cach giai nh ́ ̉ ư dang toan tâp con. Nh ̣ ́ ̣ ưng do cac đinh cua đa giac ́ ̉ ̉ ́ được xêp trên đ ́ ường tron nên khi đêm ta cân cô đinh môt đinh tr ̀ ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ước, tức la chon 1 đinh cua tam giac, ̀ ̣ ̉ ̉ ́ tứ giac thoa man tr ́ ̉ ̃ ước. + Đêm sô tam giac thoa man ́ ́ ́ ̉ ̃ : Gia s ̉ ử tam giac ̉ ̀ ́ ̉ ́ ABC la tam giac co 3 đinh la cac đinh cua đa ̀ ́ ́ ̉ ̣ ̀ ̀ ̣ giac đêu đa cho ma không canh nao la canh cua đa giac. ́ ̀ ̃ ̀ ̉ ́ ̣ Chon đinh ̉ A co 2021 cach chon. ́ ́ ̣ ̣ ̉ ̀ ̣ ̣ ̀ ́ ̉ Chon 2 đinh con lai: Goi la sô đinh gi ưa ̃ A va ̀B; B va ̀C; C va ̀A. Khi đo: ́ ̣ ̉ ̀ ̣ Sô cach chon 2 đinh con lai chinh la sô nghiêm nguyên d ́ ́ ́ ̀ ́ ̣ ương cua ph ̉ ương trinh (*) va băng: ̀ ̀ ̀ Do môi tam giac đ ̃ ́ ược đêm 3 lân nên sô tam giac cân đêm la: ́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ + Tương tự vơi sô t ́ ́ ứ giac thoa man: ́ ̉ ̃ Nhân xet: ̣ ́ Dê dang co thê suy ra bai toan tông quat: đêm sô ̃ ̀ ́ ̉ ̀ ́ ̉ ́ ́ ́ ư ̀n – giac đêu sao cho ́k – giac t ́ ̀ ́ ̣ ̀ ̉ k – giac la canh cua không co canh nao cua ́ ̀ ̣ ̉ n – giac. Đap sô la: ́ ́ ́ ̀ 16
Vi du 2 ́ ̣ : Cho đa giac đêu co 2013 đinh. Ng ́ ̀ ́ ̉ ươi ta tô mau đo cho 100 đinh cua đa giac đêu đo. Hoi co bao ̀ ̀ ̉ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ́ nhiêu cach tô mau sao cho gi ́ ̀ ữa 2 đinh đ ̉ ược tô co it nhât 3 đinh không đ ́́ ́ ̉ ược tô mau? ̀ LƠI GIAI ̀ ̉ ̣ ̉ + Chon đinh tô đâu tiên : co 2013 cach chon. ̀ ́ ́ ̣ ̣ ̉ ̀ ̣ ̣ ̀ ́ ̉ + Chon 99 đinh con lai: Goi la sô đinh gi ữa 100 đinh v ̉ ới nhau. Khi đo: ́ Dê dang đêm đ ̃ ̀ ́ ược sô nghiêm ph ́ ̣ ương trinh (*) thoa man (1) la: ̀ ̉ ̃ ̀ ̣ ̉ Đo cung chinh la sô cach chon 99 đinh con lai. ́ ̃ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ ́ ược đêm 100 lân, nên sô cach tô mau la: + Do môi 100 – giac đo đ ̃ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ Vi du 3 ́ ̣ : Cho tam giac co diên tich băng 27. Môt điêm P năm trong tam giac đ ́ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ̀ điêm tôt ́ ược goi la “ ̉ ́” nêu co ́ ́ ̉ ̀ ược 27 tia chung gôc P chia tam giac thanh 27 tam giac con co cung diên tich? Đêm sô điêm P? thê tim đ ́ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ ́ ́ ̉ LƠI GIAI ̀ ̉ ̣ + Nhân xet: Cac tia ́ ́ ̣ PA, PB, PC đêu thuôc 27 tia chung gôc ̀ ̉ ̉ ́ P cua điêm tôt ́ P. đêu la cac sô nguyên d ̀ ̀ ́ ́ ương. + Vơi môi điêm tôt ́ ̃ ̉ ̣ ́ P , đăt ̣ Dê thây sô nghiêm nguyên d ̃ ́ ́ ương cua ph ̉ ương trinh (*) la ̀ ̀ ̉ ̀ ơi môi điêm Bô đê: “V ́ ̃ ̉ P năm trong tam giac ̀ ́ ABC, ta luôn co:́ ” Từ hê th ̣ ưc nay ta dê dang ch ́ ̀ ̃ ̀ ưng minh đ ́ ược răng v ̀ ới môi bô ( ̃ ̣ x; y; z) chi tôn tai duy nhât môt ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ P. điêm ́ ́ ̉ Do đo, sô điêm tôt ́ P la: 325. ̀ 2.3.6. DANG 6: L ̣ ươi toa đô. ́ ̣ ̣ Vi du 1 ́ ̣ : Cho 1 lươi gôm cac ô vuông, cac nut đ ́ ̀ ́ ́ ́ ược đanh sô t ́ ́ ừ 0 đên ̀ ư trai sang phai va t ́ m theo chiêu t ̀ ́ ̉ ̀ ừ 0 đên ̀ ư d ́ n theo chiêu t ̀ ươi lên trên (nh ́ ư hinh ve): ̀ ̃ ̉ ́ Hoi co bao nhiêu đ ường đi khac nhau t ́ ư nut (0; 0) đên nut ( ̀ ́ ̉ ̣ ́ ́ m; n) nêu chi cho phep đi trên canh cac ô ́ ́ ́ ̀ ư trai sang phai hoăc t vuông theo chiêu t ̀ ́ ̉ ̣ ừ dưới lên trên. LƠI GIAI ̀ ̉ 17
+ Môt con đ ̣ ương đi thoa man yêu câu bai toan trên trai qua ̀ ̉ ̃ ̀ ̀ ́ ̉ m + n bươc do môi b ́ ̃ ươc chi co 2 ́ ̉ ́ ́ ̉ cach di chuyên (đây cung chinh la con đ ̃ ́ ̀ ường ngăn nhât đê di chuyên t ́ ́ ̉ ̉ ừ nut (0;0) đên nut ( ́ ́ ́ m; n)). + Trong m + n bươc đo, ta chon ra ́ ́ ̣ m bươc đê đê di chuyên sang phai, con ́ ̉ ̉ ̉ ̉ ̀ n bươc con lai ta di ́ ̀ ̣ ̉ chuyên lên trên. Khi đo sô con đ ́ ́ ường di chuyên la: ̉ ̀ Vi du 2 ́ ̣ : Trên ban c ̀ ờ 5x4 ô vuông như hinh ve d ̀ ̃ ươi đây, ng ́ ười chơi chi đ ̉ ược di chuyên quân theo cac ̉ ́ ̣ ̉ ̃ ươc đi đ canh cua hinh vuông, môi b ̀ ́ ược môt canh. Co bao nhiêu cach di chuyên quân t ̣ ̣ ́ ́ ̉ ừ điêm A đên điêm ̉ ́ ̉ B băng 9 b ̀ ước? LƠI GIAI ̀ ̉ ̉ Di chuyên quân t ừ A đên B băng 9 b ́ ̀ ươc do đo đây chinh la con đ ́ ́ ́ ̀ ường di chuyên ngăn nhât, ̉ ́ ́ tưc la ́ ̀ở môi b ̃ ước di chuyên chi đ ̉ ̉ ược phep lên trên hoăc sang phai. Do đo theo y trên ta suy ra sô ́ ̣ ̉ ́ ́ ́ ̉ ̀ cach di chuyên la: ́ 2.3.7. DANG 7: Vân dung t ̣ ̣ ̣ ư duy vach ngăn. ́ Vi du 1 ́ ̣ : Thây Binh trông 3 cây lim, 4 cây long nao va 5 cây xa c ̀ ̀ ̀ ̃ ̀ ̀ ừ trên môt hang môt cach ngâu nhiên. Tinh ̣ ̀ ̣ ́ ̃ ́ ́ ̉ ̀ ừ nao đ xac suât đê không co 2 cây xa c ́ ́ ̀ ược trông canh nhau? ̀ ̣ LƠI GIAI ̀ ̉ + Ta co: ́ + Biên cô ̀ ừ nao đ ́ ́A: “Không co 2 cây xa c ́ ̀ ược trông canh nhau” ̀ ̣ Trông 7 cây gôm lim va long nao co 7! cach. ̀ ̀ ̀ ̃ ́ ́ ̃ ́ ̀ ́ ữa 7 cây co 8 khoang trông, ta chon 5 khoang trông trong Môi cach trông 7 cây đo, gi ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ́ ̉ ̀ 8 khoang trông đo đê trông cac cây xa c ́ ́ ̀ ừ, sô cach chon vi tri la: ́ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ́ ́ Môi cach chon vi tri đo co 5! cach trông cac cây xa c ́ ̀ ́ ̀ ừ. Do đo: ́ Vi du 2 ́ ̣ : Trong môt giai bong đa co 10 trân đâu đ ̣ ̉ ́ ́ ́ ̣ ́ ược diên ra trong vong 30 ngay. Hoi ban tô ch ̃ ̀ ̀ ̉ ̉ ức co bao ́ ́ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ́ ̣ nhiêu cach săp xêp lich thi đâu cac trân đâu sao cho 2 trân đâu kê nhau phai cach nhau it nhât môt ngay? ́ ́ ́ ̀ ́ ̀ LƠI GIAI ̀ ̉ 18
Dựa theo gia thiêt ta suy ra ngay th ̉ ́ ̀ ứ 1 va ngay th ̀ ̀ ứ 30 môi ngay co 1 trân. Do đo sô cach săp ̃ ̀ ́ ̣ ́ ́ ́ ́ ́ ́ ̣ ̣ ̣ ̀ ̣ ̀ ̉ xêp cac trân băng sô cach đăt 8 trân con lai vao 19 khoang trông gi ̀ ́ ́ ́ ữa 20 ngay ma không co trân đâu ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̃ ́ ́ ́ ́ ́ ̣ diên ra. Do đo, sô cach săp xêp lich thi đâu la: ́ ̀ Vi du 3 ́ ̣ : Môt l ̣ ơp co 36 hoc sinh đ ́ ́ ̣ ược xêp theo môt hang ngang sao cho khoang cach gi ́ ̣ ̀ ̉ ́ ưa hai ng ̃ ươi canh ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ̉ ̣ nhau la 0,5 met. Co bao nhiêu cach chon ra 10 hoc sinh trong hang đo đê sau khi chon ra không tôn tai ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ ớn hơn 1 met gi khoang trông l ́ ưa hai hoc sinh canh nhau trong sô cac hoc sinh con lai trong hang? ̃ ̣ ̣ ́ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ LƠI GIAI ̀ ̉ ̀ ̀ ́ ́ ̀ ́ ́ ̣ Yêu câu bai toan chinh la sô cach chon ra 10 ng ười trong hang sao cho không co 2 ng ̀ ́ ười nao ̀ đứng canh nhau. Gi ̣ ưa 26 ng ̃ ươi không đ ̀ ược chon co 27 khoang trông, sô cach đăt 10 ng ̣ ́ ̉ ́ ́ ́ ̣ ười được ̣ ̉ ́ ̃ ́ ̀ ́ ́ ̣ ̉ chon vao 27 khoang trông cung chinh la sô cach chon thoa man yêu câu. ̀ ̃ ̀ ̣ ̀ Do đo, sô cach chon la: ́ ́ ́ Vi du 4 ́ ̣ : Co bao nhiêu cach xêp 4 ban n ́ ́ ́ ̣ ữ va 6 ban nam vao 10 ghê ngôi ma không co hai ban n ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̀ ́ ̣ ữ nao đ ̀ ược ́ ̣ xêp canh nhau, nêu: ́ 1. Ghê xêp thanh hang ngang. ́ ́ ̀ ̀ 2. Ghê xêp quanh ban tron. ́ ́ ̀ ̀ LƠI GIAI ̀ ̉ ́ ́ ́ ̣ 1. Sô cach xêp 6 ban nam: 6! Giưa 6 ban nam co 7 khoang trông, chon 4 khoang trông trong sô đo va xêp 4 ban n ̃ ̣ ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ ́ ́ ̀ ́ ̣ ữ, sô cach ́ ́ xêp la: ́ ̀ ́ ́ ́ ́ ̉ Do đo sô cach xêp thoa man la: ̃ ̀ ́ ̣ 2. Sô cach xêp 6 ban nam quanh ban tron la: 5! ́ ́ ̀ ̀ ̀ Giưa 6 ban nam co 6 khoang trông, chon 4 khoang trông trong sô đo va xêp 4 ban n ̃ ̣ ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ ́ ́ ̀ ́ ̣ ữ, sô cach ́ ́ xêp la: ́ ̀ Do đo, sô cach xêp la: ́ ́ ́ ́ ̀ 2.4. BAI TÂP TRĂC NGHIÊM T ̀ ̣ ́ ̣ Ự LUYÊN ̣ DANG 1: ĐÊM SÔ NGHI ̣ ́ ́ ỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 1: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình: A. 126 B.84 C. D. Câu 2: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thỏa mãn ? A. B. C. D. Câu 3:Một nhóm học sinh gồm 4 bạn, mỗi bạn mang một số thứ tự .Cô giáo có bao nhiêu cách chia 18 cái kẹo cho 4 bạn học sinh sao cho lấy số kẹo của mỗi bạn trừ đi số thứ tự của bạn đó ta luôn được một số không âm? A. B.C. D. Câu 4:Gọi là tập các số tự nhiên có 4 chữ số . Bốn bạn An, Bình, Chi ,Dũng chọn mỗi người một số từ . Tính xác suất để 4 số chọn được của 4 bạn có tổng là 1 số mà tổng các chữ số chia hết cho 9 và chia hết cho 4042? A. B. C. D. 19
DANG 2: ĐÊM SÔ CACH PHÂN PH ̣ ́ ́ ́ ỐI ĐÔ VÂT, SAN PHÂM ̀ ̣ ̉ ̉ Câu 1: Xét tập . Số tập con của tập là: A. B. C. D. Câu 2: (VMO 2021) Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1,2,3,4,5 (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào). Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp? A. B. C. D. Câu 3:Phân phối 60 thùng hàng giống hệt nhau cho 6 cửa hàng. Tính số cách chia để mỗi cửa hàng nhận được ít nhất 6 thùng hàng? A. B. C. D. Câu 4:Có bao nhiêu cách chia 30 chiếc bánh cho An, Bình, Chi (có thể có bạn không được chiếc bánh nào) sao cho An luôn hơn Bình ít nhất 5 cái bánh và số bánh của Chi luôn là 1 số lẻ ? A. B. C. D. DANG 3: ĐÊM S ̣ ́ Ố Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn A. B.. C. . D. . Câu 2:Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn A. B. C. D. Câu 3:Cho tập hợp . Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập A. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc . Tính xác suất để chọn được số có tổng ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số cuối 3 đơn vị . A. B. C. D. Câu 4: Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng mà A. B. C. D. DANG 4: ĐÊM S ̣ ́ Ố TẬP CON CỦA TẬP HỢP: Câu 1: Từ 2021 số tự nhiên đầu tiên có bao nhiêu cách chọn ra 3 số tự nhiên sao cho không có hai số liên tiếp nào được chọn? A. B. . C.. D. . Câu 2:Mỗi tháng Minh được chọn 5 ngày để nghỉ ngơi, nhưng không được phép chọn hai ngày nghỉ liên tiếp. Hỏi Minh có bao nhiêu cách chọn ngày nghỉ cho mình? A. . B. . C.. D. Câu 3: (AIME 1986) Cho xâu nhị phân: 001101001111011 có 4 cặp 01, 3 cặp 10, 5 cặp 11 và 2 cặp 00 đứng cạnh nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu xâu nhị phân cùng tính chất như thế? A.. B. .C.540 D. 420 Câu 4: (VMO 2012) Có bao nhiêu cách xếp 5 chàng trai và 2 cô gái vào 1 dãy có 7 ghế mà: Mỗi ghế có một người ngồi. Các cô gái không ngồi ở hai đầu dãy. Ở giữa hai cô gái không có quá hai người. A.2160 B. 2400 C.5040 D. 2520 DANG 5: ĐÊM HÌNH H ̣ ́ ỌC 20