zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số C - Chương 2: Định thức và hệ phương trình đại số tuyến tính

Chia sẻ: Gió Biển | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Báo xấu

67
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Đại số C - Chương 2: Định thức và hệ phương trình đại số tuyến tính" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Định nghĩa định thức cấp n, các tính chất cơ bản của định thức, định thức của tích ma trận, điều kiện cần và đủ để ma trận vuông khả nghịch,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số C - Chương 2: Định thức và hệ phương trình đại số tuyến tính

CHƯƠNG 2 ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ----- 1
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 1. Định nghĩa định thức cấp n: Định nghĩa 1: Cho A là ma trận vuông cấp n, định thức của A là một số thực bằng ∑ ( −1) n 1+ j a1 j M1 j j =1 Ký hiệu định thức: a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n ∆ = det A = aij = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann Định thức con M1j là định thức của ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng 1 và cột j 1 2 3 A =  4 5 6  Ví dụ: 4 5 M13 = 7 8 9  7 8 2
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Định nghĩa 2: Phần phụ đại số của các phần tử dòng 1, ký hiệu là A1j, được định nghĩa qua các định thức con M1j bằng công thức: 1+ j A1 j = ( −1) M1 j Khi đó định thức của ma trận vuông cấp n của A là: ∆ = ∑ a1 j A1 j n j =1 3
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Định lý 1 (Định lý Laplace) Phần phụ đại số của các phần tử dòng 1, ký hiệu là A1j, được định nghĩa qua các định thức con M1j bằng công thức: a) dòng i: (công thức khai triển định thức theo dòng i) ∆ = det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain = ∑ aij Aij n =1 j= b) cột j: (công thức khai triển định thức theo cột j) ∆ = det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj = ∑ aij Aij n i =1 Trong đó Aij là phần phụ đại số: i+ j Aij = ( −1) M ij 4
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT • Công thức tính định thức MT cấp 2 và 3 a) Định thức MT cấp 2: a b  A=   c d  a b ∆ = det A = = ad − bc c d b) Định thức MT cấp 3:  a11 a12 a13  A =  a21 a22 a23   a31 a32 a33  a11 a12 a13 a11 a12 ∆ = det A = a21 a22 a23 a21 a22 = a31 a32 a33 a31 a32 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 − a11a23a32 − a12 a215a33
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Ví dụ: Tính định thức của ma trận  0 −a −b −d   a 0 − c −e  A=  b c 0   0 d e 0 0 Để giảm chi phí tính toán khi áp dụng định lý Laplace thường ta sẽ chọn khai triển theo dòng (cột) có nhiều số không nhất. Khai triển theo dòng 3. ∆ = det A = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 + a34 A34 6
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 3+1 A31 = ( −1) M 31 = e [be − cd ] − a −b − d 3+1 −b − d M 31 = 0 −c −e = ( −1) e = −c −e e 0 0 = e ( −b )( −e ) − ( −c )( − d )  = e [be − cd ] 7
3+ 2 A32 = ( −1) M 32 = −d [be − cd ] 0 −b − d 3+1 −b − d M 32 = a −c −e = ( −1) d = −c −e d 0 0 = d ( −b )( −e ) − ( −c )( − d )  = d [be − cd ] • Vậy ∆ = be ( be − cd ) − cd ( be − cd ) = ( be − cd ) 2 8
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT VD 2. Tính định thức của các ma trận sau:  1 2 −1  3 −2    A=      2 1 1  , B = 3 −2 1 .   1 4 Giải 3 −2 det A = = 3.4 − 1(−2) = 14 . 1 4 1 2 −1 det B = 3 −2 1 = [1.( −2).1 + 2.1.2 + 3.1.( −1) ] 2 1 1 − [ 2.( −2)( −1) + 3.2.1 + 1.1.1] = −12. 9
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT VD 3. Tính định thức của ma trận  0 0 3 −1  4 1 2 −1 A= . 3 1 0 2    2 3 3 5  Giải. det A = 0. A11 + 0. A12 + 3. A13 + (−1). A14 1+ 3 1+ 4 = 3( −1) det M 13 − ( −1) det M 14 4 1 −1 4 1 2 = 3 3 1 2 + 3 1 0 = −49 . 2 3 5 2 3 3 10
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 2. Các tính chất cơ bản của định thức: Tính chất 1: det A = det AT Nhận xét: Tính chất 1 chứng tỏ rằng một kết luận đúng với dòng thì nó cũng đúng với cột. Do đó các tính chất sau đây ta chỉ phát biểu cho dòng. 1 3 −1 2 1 2 VD 4. 2 −2 1 = 3 −2 1 = −12 . −1 1 1 2 1 1 11
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 2. Các tính chất cơ bản của định thức: Tính chất 2: Khi hoán vị hai dòng, định thức sẽ thay đổi dấu. Gọi A’ là ma trận có được bằng cách hoán vị 2 dòng khác nhau của A thì det A′ = − det A 1 3 2 −1 1 1 1 −1 1 VD 5. 2 −2 1 = − 2 −2 1 = −2 2 1. −1 1 1 1 3 2 3 1 2 Tính chất 3: Nếu hai dòng của ma trận có các phần tử tương ứng (Hệ quả t/c 2) bằng nhau thì det(A)=0 3 3 1 x x2 x3 VD 6. 2 2 1 = 0 ; 1 y2 y5 = 0. 1 1 7 1 y2 y5 12
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 2. Các tính chất cơ bản của định thức: Tính chất 4: Nếu nhân một dòng của ma trận A với một số α khác 0 thì det(A) tăng lên α lần. Tính chất 5: Nếu các phần tử ở dòng i của ma trận A có dạng aij=bj+cj thì det A = det B + det C trong đó B và C là hai ma trận có dòng thứ i gồm các phần tử lần lượt là bj và cj. Chú ý: Từ t/c 4 và 5 ta có thể phát biểu tổng quát như sau: Nếu dòng i của ma trận A có dạng: aij = λb j + µ c j Thì: det A = λ det B + µ det C trong đó B và C là hai ma trận có dòng thứ i gồm các phần tử lần lượt là bj và cj. 13
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 3.1 0 3.(−1) 1 0 −1 VD 7. 2 1 −2 = 3 2 1 −2 ; 3 1 7 3 1 7 x +1 x x3 1 x x3 x +1 y y 3 = ( x + 1) 1 y y3 . x +1 z z3 1 z z3 x +1 x x3 x x x3 1 x x3 VD 8. x + 1 y y3 = x y y3 + 1 y y3 . x −1 z z3 x z z3 −1 z z3 14
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 2. Các tính chất cơ bản của định thức: Tính chất 6: Nếu ma trận A có một dòng là dòng 0 thì det(A)=0 Tính chất này dễ dàng suy ra được từ t/c 6 và chú ý ở trên. Tính chất 7: Nếu hai dòng của ma trận A có các hệ số tương ứng (Hệ quả của tỉ lệ nhau thì det(A)=0. t/c 3 và 4) Tính chất 8: Nếu ma trận A có một dòng là tổ hợp tuyến (Hệ quả của tính của hai dòng khác thì det(A)=0 t/c 6 và 7) 15
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 2. Các tính chất cơ bản của định thức: Tính chất 9: Định thức không thay đổi khi cộng vào một dòng tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Như vậy: Nếu A’ có được từ A qua phép biến đổi sơ cấp trên dòng loại (III) thì det(A’)=det(A) Tính chất 10: Nếu A’ có được từ A qua hữu hạn các phép biến đổi (Tổng quát sơ cấp trên dòng loại (III) thì det(A’)=det(A) hóa t/c 9) Nhắc lại: Vì det(A)=det(AT) nên các t/c từ (2) đến (9) vẫn đúng khi ta thay chữ “dòng” bằng chữ “cột” 16
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 3. Định thức của tích ma trận. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông khả nghịch. • Định thức của tích ma trận: Định lý: Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n, ta có det ( AB ) = det A det B Hệ quả: Cho A, A1, A2,…, Ak là các ma trận vuông cấp n, ta có i) det ( A1A 2 ...A k ) = det A1 det A 2 … det A k ii) ( ) = ( det A ) det A m m ∀m ∈ N iii) Nếu A khả nghịch thì 1 det ( A ) = −1 det ( A ) 17
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT • Điều kiện cần và đủ để ma trận khả nghịch: Định lý: Để ma trận vuông cấp n A khả nghịch, điểu kiện cần và đủ là định thức của A khác không. A khả nghịch khi và chỉ khi det ( A ) ≠ 0 Chứng minh: Điều kiện cần: A khả nghịch => det ( A ) ≠ 0 Do A khả nghịch => tồn tại B sao cho AB=I ⇒ det ( AB ) = det ( I ) ⇔ det ( A ) det ( B ) = det ( I ) = 1 ⇔ det ( A ) ≠ 0 ∧ det ( B ) ≠ 0 ⇒ det ( A ) ≠ 0 18
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Điều kiện đủ: det ( A ) ≠ 0 A khả nghịch Ta cần chứng minh: tồn tại ma trận B sao cho AB=BA=I Nghĩa là ta sẽ tìm ma trận B sao cho AB=BA=I B sẽ được tìm thông qua ma trận liên hợp của A có dạng như sau:  A11 A21 ⋯ An1  A A22 ⋯ An 2    ⋮ ⋮ ⋱ ⋮  V 12 A =    A1n A2 n ⋯ Ann  trong đó các Aij là phần phụ đại số. 19
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Bây giờ ta sẽ xét tích AAV  a11 a12 ⋯ a1n   A11 A21 ⋯ An1  a ⋯ a2 n   A12 A22 ⋯ An 2   a  ⋮ ⋱ ⋮  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮  V 21 22 C = AA =    ⋮  an1 an 2 ⋯ ann   A1n A2 n ⋯ Ann  cij = ∑ aik A jk n Phần tử bất kỳ của C: k =1 cii = ∑ aik Aik Trường hợp i=j, ta có n (*) k =1 vế phải của (*) chính là công thức khai triển định thức theo dòng i. 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.