zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp - Nguyễn Trung Đông

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Báo xấu

36
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp" được biên soạn bởi tác giả Nguyễn Trung Đông có nội dung trình bày về hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, phép tính vi phân hàm một biến, hàm nhiều biến, phương trình vi phân,... Hi vọng đây sẽ là tài liệu bổ ích giúp các em học tập và củng cố kiến thức hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp - Nguyễn Trung Đông

lOMoARcPSD|16911414 BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ KHOA CƠ BẢN THS. NGUYỄN TRUNG ĐÔNG Slide bài giảng TOÁN CAO CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
lOMoARcPSD|16911414 TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING TÀI CHÍNH - MARKETING KHOA CƠ BẢN KHOA CƠ BẢN Moân : TOÁN CAO CẤP Môn : TOÁN CAO CẤP Hình thức đánh giá môn học Điểm quá trình (30%) Số tín chỉ : 4 Điểm kết thúc học (70%) Số tiết : 60 Điểm học phần = (Điểm quá trình + Điểm kết thúc học) Giảng viên : ThS. Nguyễn Trung Đông Giảng viên : ThS. Nguyễn Trung Đông Mail : nguyentrungdong144@gmail.com Mail : nguyentrungdong144@gmail.com 1 2 ĐÁNH GIÁ ĐIỂM QUÁ TRÌNH NỘI DUNG MÔN HỌC Chương 1. Ma trận – Định thức Gồm các tiêu chí sau Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1) Kiểm tra ngẫu nhiên (50%) Chương 3. Không gian vectơ 2) Bài tập về nhà (20%) Chương 4. Số thực 3) Chuyên cần (20%) Chương 5. Phép tính vi phân hàm một biến 4) Tích cực học tập (10%) Chương 6. Tích phân Chương 7. Hàm nhiều biến Chương 8. Phương trình vi phân 3 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 5) Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh 1) Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho các nhà Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình kinh tế, NXB Đại học kinh tế Quốc Dân. giải tích (Một biến + nhiều biến), NXB ĐHQG TPHCM. (Phần I: Giải tích và Phần II : Đại số tuyến tính) Tiếng Anh 2) PGS.TS. Lê Văn Hốt, Toán cao cấp, Trường ĐHKT TPHCM. 6) Second edition CALCULUS CONCEPTS AND CONTEXTS JAMES STEWART. 3) Đỗ Công Khanh, Toán cao cấp, NXB ĐHQG TPHCM. (Đại số + Giải tích). 7) Edward T. Dowling, Ph.D, Introduction to Mathematical economics. 4) Lê Sĩ Đồng, Toán cao cấp, NXB Giáo Dục. 5 8) Ngoài ra, một số tài liệu khác 6 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 1
lOMoARcPSD|16911414 Bài Giảng Chương 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma Trận - Định Thức (Linear Algebra) Ma trận Chương 1 Ma Trận - Định Thức Định thức của ma trận vuông Ma trận nghịch đảo GV: ThS. Nguyễn Trung Đông Hạng của ma trận nguyentrungdong144@gmail.com 1 2 1. Ma Trận (Matrix) 1. Ma Trận (Matrix) 1. Định nghĩa 2. Ma trận bằng nhau  a11 a12  a1n   A, B  M mn   AB a a 22  a 2n  A   21 [A]ij  [B]ij , i  1, m, j  1, n       a m1 a m2   a mn  3. Các ma trận đặc biệt A gọi là ma trận cấp m  n , A  Mmxn 3.1. Ma trận không 0 0  0 Ký hiệu : A   a ij  hay A   a ij    0 0  0 m n m n 0 mn       [A]ij là phần tử tại hàng i, cột j trong A   3 0 0  0 4 1. Ma Trận (Matrix) 1. Ma Trận (Matrix) 3. Các ma trận đặc biệt 3. Các ma trận đặc biệt 3.2. Ma trận vuông (Square Matrix) 3.2. Ma trận vuông Là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Ví dụ 1: A  Mnxn hay A  Mn , A được gọi là ma trận vuông cấp n.  1 2 3   1 2 3      Các phần tử [A]11, [A]22, .. , [A]nn được A  0 6 5  A  0 6 5   2 3 5   2 3 5  gọi là thuộc đường chéo chính của A.     Các phần tử [A]n1, [A]n-1,2, .. , [A]1n được Đường chéo chính Đường chéo phụ gọi là thuộc đường chéo phụ của A. 5 6 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 1
lOMoARcPSD|16911414 1. Ma Trận (Matrix) 1. Ma Trận (Matrix) 3. Các ma trận đặc biệt 3. Các ma trận đặc biệt 3.3. Ma trận chéo (Diagonal Matrix) 3.4. Ma trận đơn vị (Identity Matrix) Là ma trận vuông mà mọi phần tử Là ma trận chéo mà mọi phần tử nằm không nằm trên đường chéo chính trên đường chéo chính đều bằng 1. đều bằng 0. Ký hiệu : In là ma trận đơn vị cấp n. Ví dụ 2: 5 0 0 1 0 ... 0  A   0 7 0  , gọi là ma trận  0 1 ... 0   In   0 0 0   chéo cấp 3  ... ... ... ...    7 0 0 ... 1  8 1. Ma Trận (Matrix) 1. Ma Trận (Matrix) 3. Các ma trận đặc biệt 3. Các ma trận đặc biệt 3.5. Ma trận tam giác trên (dưới) 3.6. Ma trận hàng (cột) Là ma trận vuông mà mọi phần tử nằm Là ma trận chỉ có một hàng (cột). Còn ở phía dưới (phía trên) đường chéo được gọi là vectơ hàng (cột). chính đều bằng 0. Một ma trận cấp m  n có thể được xem Ví dụ 3:  5 2 1 như được tạo bởi m vectơ hàng hay   A   0 7 4 bởi n vectơ cột. 2 0 0 0   Ma trận hàng: A   2 1 0  Ma trận cột: A   1 A được gọi là ma trận tam giác trên 9  0 10   1. Ma Trận (Matrix) 1. Ma Trận (Matrix) 4. Các phép toán trên ma trận 4. Các phép toán trên ma trận Cho A, B  Mmn , k   4.3. Tính chất 4.1. Phép nhân ma trận với một số thực a. A + B = B + A (tính giao hoán) k.A là ma trận được xác định bởi b. (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp)  kA ij  k  Aij ,  i  1, m, j  1, n c. A + 0 = A (0 được hiểu là 0mxn) (–1).A hay –A được gọi là ma trận đối của A. d. A + (A) = 0 4.2. Phép cộng hai ma trận e. h(kA) = k(hA) A + B là ma trận được xác định bởi f. h(A + B) = hA + hB  A  Bij   Aij   Bij ,  i  1, m, j  1, n g. (h + k)A = hA + kA Phép trừ được định nghĩa là A + (–B) 11 h. 1.A = A 12 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 2
lOMoARcPSD|16911414 1. Ma Trận (Matrix) 1. Ma Trận (Matrix) 4. Các phép toán trên ma trận 4. Các phép toán trên ma trận 4.4. Phép nhân hai ma trận 4.4. Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A  M mn , B  M np Ví dụ 4: Tích của A và B là ma trận cấp m  p  1 2    2 3 ký hiệu: AB được xác định bởi A   1 1   M3x 2 , B     M 2x 2  2 1   2 3   n  ABij    A ik  Bkj , i  1, m , j  1, p  1 2  -2 5  k 1    2 3   AB   1 1  .     -4 -2  [AB]ij chính là tích vô hướng của vectơ hàng thứ i  2 3   2 1   2 9      của ma trận A với vectơ cột thứ j của ma trận B. 13 14 1. Ma Trận (Matrix) 1. Ma Trận (Matrix) 4. Các phép toán trên ma trận 5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng 4.5. Tính chất 5.1. Hoán vị hai hàng i và j a. A(BC) = (AB)C (tính kết hợp) Ký hiệu (i) ~ (j) b. (A + B)C = AC + BC Ví dụ 5: C(A + B) = CA + CB (tính phân bố) 3 2 1 5 1 3 2 4 c. k(AB) = (kA)B = A(kB)  0 1   2 3  1 3  0 1  2 3 A  Lưu ý: Tích của A và B không chắc 1 3  2 4  3 2  1 5  tồn tại và không có tính giao hoán.  5 1 2 0  5 1 2 0 15 16 1. Ma Trận (Matrix) 1. Ma Trận (Matrix) 5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng 5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng 5.2. Nhân hàng i với một số  ≠ 0 5.3. Thay hàng i bởi hàng i cộng với  Ký hiệu (i) := (i) lần hàng j Ví dụ 6: Ký hiệu (i) := (i) + (j) Ví dụ 7:  1 2 3  1  1 2 3     3: 5 3    1 1 0   1 1 0  A   0 1 4    0 1 4    3: 3 1   0 0 5  0 0 1  A   0 1 1    0 1 1           1 0 2   0 1 2  17 18 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 3
lOMoARcPSD|16911414 1. Ma Trận (Matrix) 1. Ma Trận (Matrix) 6. Áp dụng của các phép biến đổi sơ 6. Áp dụng của các phép biến đổi sơ cấp cấp theo hàng theo hàng 6.2. Chuyển ma trận tam giác trên về ma 6.1. Chuyển ma trận vuông về ma trận đơn vị trận tam giác trên Nếu các phần tử thuộc đường chéo chính Ví dụ 8:  1 1 0   1 1 0  của ma trận tam giác trên đều khác 0.   3: 3 1   A 0 1 1   0 1 1  1  0 2   0 1 2  Ví dụ 10  1 1 0   1 1 0   1 1 0  1 0 0     1 :  1   (1) : (1)  (2)    3 :  3   2    0 1 1   A   0 1 1          2 :  2  3  0 1 0   (2) :   (2)   0 1 0   I3  0 0 1  0 0 1  (3) :  (3) 0 0 1  0 0 1         19 20 1. Ma Trận (Matrix) 1. Ma Trận (Matrix) 6. Áp dụng của các phép biến đổi sơ cấp theo hàng 6. Áp dụng của các phép biến đổi sơ 6.3. Ma trận bậc thang theo hàng cấp theo hàng Là ma trận với hai hàng bất kỳ, số hạng 6.4. Chuyển ma trận bất kỳ về ma khác 0 đầu tiên của hàng dưới luôn nằm trận bậc thang theo hàng bên phải số hạng khác 0 đầu tiên của hàng Ví dụ 13: trên. 0 1 0 3 5 7  1 0 2 0 9 6       1 1 3 1   1 1 3 1   1 1 3 1  0 0 0 2 4 6 0 2 4 4 7 1    (2):( 2) (1)   (3):(3) 3.(2)   Ví dụ 12: A   0 0 0 0 3 3 ; B   0   0 0 1 0 3  A   1 2 2 1    2 1 6 3 (3): (3)  2.(1)   0 1 1 2   0 3 0 1 0 1 1 2   0 0 3 5        0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0    21 22 1. Ma Trận (Matrix) 1. Ma Trận (Matrix) 7. Ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) 7. Ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) 7.1. Định nghĩa 7.2. Tính chất Cho A  Mmxn , chuyển vị của A, ký hiệu AT là ma trận cấp n  m được định nghĩa a. A  T T A bởi : b.  A  B T  A T  BT  A    A  ji ,  i  1, n, j  1, m T ij  1 4 c.  AB  T  BT A T  1 2 3 Ví dụ 15: A  T     M 23 ; A   2 5   M 32  4 5 6  3 6   23 24 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 4
lOMoARcPSD|16911414 1. Ma Trận (Matrix) 2. Định thức của ma trận vuông 8. Ma trận đối xứng (Symmetric Matrix) 1. Ma trận bù 8.1. Định nghĩa Ký hiệu : Aij, là ma trận nhận được từ Ma trận vuông A được gọi là một ma A sau khi bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j. trận đối xứng khi và chỉ khi A = AT  Ví dụ 17: 1 2 3 các phần tử trong A đối xứng nhau qua   A   4 5 6   M3 đường chéo chính. 7 8 9   Ví dụ 16:  x 1 3   5 6 1 2  1 2 A   1 y 5 A11   , A 23    , A 33     M2  3 5 z   8 9  7 8  4 5 25 26 2. Định thức của ma trận vuông 2. Định thức của ma trận vuông a a  2. Định nghĩa: Cho A  Mn. Định thức 3. Nhận xét A   11 12   a 21 a 22  của A, ký hiệu det(A) hay |A|, là một det(A)  (1)11 a11 det (A11 )  (1)1 2 a12 det ( A12 ) số thực được định nghĩa bằng quy nạp det(A)  a11a 22  a 21a12 theo n như sau :  a1 a 2 a3  b2 b3 b1 b 3 b b2 Với n = 1, ta có A = (a11), det(A) = a11 B   b1 b 2 b3  , B  a1  a2  a3 1 c c  c2 c3 c1 c3 c1 c2  1 2 c3  Với n  2, giả sử A = (aij)nxn , thì n B  a1  b2 c3  b3c2   a 2  b1c3  b3c1   a 3  b1c2  b2 c1  det(A)    1 a 1j det A1j 1 j  a1b2 c3  a 2 b3c1  a 3 b1c2  a1b3c2  a 2 b1c3  a 3 b2 c1 j1 27 28 2. Định thức của ma trận vuông 2. Định thức của ma trận vuông 4. Tính định thức cấp 3 bằng quy tắc Sarrus 5. Ví dụ 18 Xây dựng ma trận A'3x5 từ A3x3 bằng cách viết 1 2 3  1 2 3 1 2  cột 1 và cột 2 kế bên cột 3 của A như sau: Det(A)  3 4 0  A/   3 4 0 3 4    1 2  1  2   a1 a 2 a3   a1 a2 a3 a1 a2  1 2 5  5     A33   b1 b 2 b3  A / 3 5   b1 b2 b3 b1 b2  Det(A)  1.4.5  2.0.  1  3.3.  2   3.4.  1  1.0.  2   2.3.5  16 c c c3   1 2 c  1 c2 c3 c1 c 2  6. Lưu ý 3 số hạng mang dấu cộng trong định thức là tích Công thức tính định thức của ma trận vuông các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo chính được trình bày ở mục định nghĩa 2 là công thức 3 số hạng mang dấu âm trong định thức là tích các tính định thức khai triển theo dòng thứ 1. Định phần tử nằm trên ba đường song song với đường thức của ma trận vuông không đổi khi ta khai chéo phụ 29 triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ. 30 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 5
lOMoARcPSD|16911414 2. Định thức của ma trận vuông 2. Định thức của ma trận vuông 7. Định lý. Cho A   a  , khi đó 8. Các tính chất của định thức i j n n n Tính chất 1: Cho A, B, C  Mn thỏa: det(A)   (1)i0  ja i0 j det(A i0 j ) (1) [C]1j = [A]1j + [B]1j j1 n [A]ij=[B]ij=[C]ij  i = 2..n, j = 1…n. det(A)   (1)i  j0 a i j 0 det(A i j0 ) (2) Ta có: detC = detA + detB i 1 Ví dụ 19: với mọi 1  i0, j0  n a b bc ca a b c b c a (1) là công thức khai triển theo hàng i0, 1 2 3  1 2 31 2 3 (2) là công thức khai triển theo cột j0. 2 3 4 2 3 4 2 3 4 31 32 2. Định thức của ma trận vuông 2. Định thức của ma trận vuông 8. Các tính chất của định thức 8. Các tính chất của định thức Tính chất 2: Cho k   và A Mn Tính chất 3:  A, B  Mn, Ta có : det(k.A) = kn.detA ,  A  Mn Ta có : det(AB) = det(BA) = det(A).det(B) Ví dụ 20: Ví dụ 21: 1 3 4 1 2  3 2      A    ; B   ; A  2 5 1 3 4 2 1   3 1 2 det(A)  2; det(B)  1 det(A)  46  det(2A)  23 det A  368  det(AB)  det(BA)  det(A)  det(B)  2 33 34 2. Định thức của ma trận vuông 2. Định thức của ma trận vuông 9. Định lý 10. Các ví dụ minh họa a. Nếu A  (i)  (i ) B thì det(B) = det(A) 1 2 3 4 9 6 2 4 6 1 2 3 b. Nếu A  (i): (i)  B thì det(B) = .det(A) a) 4 9 6  45   1 2 3 ; b) 4 9 6  2 4 9 6  90 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 c. Nếu A B thì det(B) = det(A) (i): (i)  (i) 1 2 3 1 2 3  d. Định thức của ma trận tam giác trên bằng  c)A   4 9 6    (2):(2) 4(1)  (3): (3)  3(1)   0 1 6   tích các phần tử thuộc đường chéo chính.  3 2 0    0 4 9    e. Định thức của ma trận có hai dòng bất kỳ 1 2 3    tỷ lệ với nhau thì bằng 0. (3): (3) 4(2)    0 1 6   B  0 0 33  f. det(A) = det(AT),  A  Mn   35 det(A)  det(B)  1.1 (33)   33 36 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 6
lOMoARcPSD|16911414 3. Ma trận nghịch đảo 3. Ma trận nghịch đảo 1. Định nghĩa. Cho A, B  Mn. A, B gọi 2. Tính chất là hai ma trận nghịch đảo của nhau A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0 khi và chỉ khi AB = BA = In. 3. Tìm MT nghịch đảo bằng định thức Khi đó ta nói A, B là các ma trận khả Cho A  Mn, đặt B   bij     1i j det Aij   M n nghịch. Ký hiệu A = B-1 hay B = A-1. Ta có T Ví dụ 22: b  b  b  11 12  1n 1 1 1  b 21 b 22  b 2n   1 3 7  2 5 1  1 0 0 A  BT  A   2 1 2    B   22 53 12    AB  BA   0 1 0  det(A) det(A)       7 1 4     b n1 b n 2  b nn   9 22 5  0 0 1      37 38 3. Ma trận nghịch đảo 3. Ma trận nghịch đảo 3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định 4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng các thức phép biến đổi sơ cấp theo hàng Bước 1: Lập ma trận  A I n  là ma trận Ví dụ 23:  1 3 7  gồm n hàng và 2n cột, trong đó   A   2 1 2 det(A)  1 n cột đầu chính là ma trận An  7 1 4    n cột cuối là ma trận đơn vị In  2 5  1   Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ A 1   22 53 12  cấp trên hàng, nếu có thể chuyển được  9 22 5   ma trận  A I n  về ma trận  In B  , 39 khi đó B = A-1 40 3. Ma trận nghịch đảo 3. Ma trận nghịch đảo 4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng các 5. Định lý phép biến đổi sơ cấp theo hàng Nếu A khả nghịch thì ma trận nghịch Ví dụ 24: đảo A-1 tồn tại duy nhất.  1 3 7 1 3 7 1 0 0  A   2 1 2   A I    2 3 1 2 0 1 0  6. Tính chất  7 1 4   7 1 4 0 0 1     Cho A, A1, A2 khả nghịch cấp n 1 0 0 2 5 1   2 5 1  a)  A -1  =A -1 b)  A1A 2  =A -12 A1-1   -1  0 1 0     22 53 12   I3 A 1  A 1   22 53 12  0 0 1 9 22 5   9 22 5     c)  A T  =  A -1  -1 T 41 42 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 7
lOMoARcPSD|16911414 4. Hạng (rank) của ma trận 4. Hạng (rank) của ma trận 1. Định thức con 1. Định thức con Ví dụ 25. Cho ma trận sau Cho A  Mmxn. Định thức con cấp 1 2 3 4 5 k của A là định thức của ma trận  6 7 8 9 10   A  11 12 13 14 15  vuông cấp k thu được từ A sau khi   16 17 18 19 20  bỏ đi một số hàng và cột. 1 2 3  8 9 10      A1   6 7 8  ; A 2   13 14 15  16 17 18   18 19 20      43 44 4. Hạng của ma trận 4. Hạng của ma trận 2. Định nghĩa hạng của ma trận 2. Định nghĩa hạng của ma trận Cho A  Mmxn. Hạng của A là r nếu: Ví dụ 25: a. Mọi định thức con của A cấp lớn 1 2 3 hơn r đều bằng 0.  A  2 4 6  r A  2 b. Trong A tồn tại một định thức con 2 5 0   cấp r khác 0. Ký hiệu: rank(A) hay r(A). vì detA = 0, và A có định thức con cấp 2 Ta quy ước rank(0) = 0 1 2 0  0  r(A)  min{m,n} 45 2 5 46 4. Hạng của ma trận 4. Hạng của ma trận 3. Tính chất 4. Tìm hạng ma trận theo tính chất 3 a. Hạng của ma trận không đổi qua các Ví dụ 26: phép biến đổi sơ cấp 1 2 1 0    A   1 2 4 2 b. Rank(A) = Rank(AT) 3 6 3 0   c. Nếu A là ma trận bậc thang theo hàng 1 2 1 0   1 2 1 0  thì hạng của A là số hàng khác 0 của A.   1 2   4 2  0 4 3 2  3 6 3 0   0 0 0 0  Tìm hạng ma trận bằng cách biến  đổi về ma trận bậc thang theo hàng. 47 Vậy rank(A) = 2 48 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 8
lOMoARcPSD|16911414 Bài Giảng Chương 2 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Hệ Phương Trình Tuyến Tính (Linear Algebra) Khái niệm chung Chương 2 Hệ tuyến tính Cramer Hệ Phương Trình Tuyến Tính Hệ tuyến tính tổng quát GV: ThS. Nguyễn Trung Đông Hệ tuyến tính thuần nhất nguyentrungdong144@gmail.com 1 2 1. Khái niệm chung 1. Khái niệm chung 1. Định nghĩa. Hệ phương trình tuyến Đặt  a11 a12  a1n   x1   b1  a a 22  a 2n  x  b  tính (Linear Equations System) là một A   21     ,X   ,B   2 , 2       hệ gồm m phương trình bậc nhất theo   a m1 a m2  a mn      xn     bm  n ẩn số có dạng tổng quát như sau:  a11 a12 ... a1n b1    a 21 a 22 ... a 2n b 2   a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 A   A B    ... ... ... ... ...  a x  a x  ...  a 2n x n  b2    21 1 22 2  m1 m2 ... a mn b m  a a   ... ... ... ... ... ... ... ... ... Hệ được viết lại ở dạng ma trận : AX=B a m1x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm A được gọi là ma trận hệ số, B là ma trận cột các 3 hệ số tự do, X là ma trận ẩn, A là ma trận bổ sung. 4 1. Khái niệm chung 1. Khái niệm chung 2. Định nghĩa 3. Tính chất a. Hệ phương trình tuyến tính chỉ có thể có duy C   c1 , c2 ,, c n    n gọi là nghiệm của hệ nhất 1 nghiệm, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. b. Nếu ta đổi thứ tự hai phương trình, nhân hai vế nếu thay X bằng CT thì A.CT=B. của một phương trình với một số khác 0, thay phương trình đó bằng phương trình đó cộng Hai hệ phương trình gọi là tương với một hằng số nhân một phương trình khác thì ta nhận được hệ mới tương đương với hệ đương khi chúng có cùng tập nghiệm. ban đầu. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng trên ma trận 5 các hệ số mở rộng cho ta hệ mới tương đương.6 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 1
lOMoARcPSD|16911414 2. Hệ Cramer 2. Hệ Cramer 1. Định nghĩa. Hệ Cramer là hệ phương 2. Giải hệ Cramer trình tuyến tính có số phương trình Nhận xét: hệ Cramer AX = B luôn có 1 nghiệm duy nhất. bằng với số ẩn và định thức của ma a. Sử dụng ma trận nghịch đảo trận hệ số khác 0 |A| ≠ 0  A khả nghịch  X = A-1.B Ví dụ1: b. Phương pháp Gauss: Sử dụng các phép   x1   2x 2  2  1 2 0    biến đổi sơ cấp trên dòng để biến ma trận  I  3x1  x2  x3  6 A   3 1 1 bổ sung A   A B  về A   A / B/  sao cho A / /  2x  x2  1  2 1 0     là ma trận tam giác trên. Nghiệm của hệ 1 1 2 0 A 3 1 1  5  0 (I) Là hệ Cramer được giải từ dòng dưới lên trên. 2 1 0 7 8 2. Hệ Cramer 2. Hệ Cramer 2. Giải hệ Cramer 2. Giải hệ Cramer b. Phương pháp Gauss c. Sử dụng định thức (công thức Cramer) Ví dụ 2: Gọi A i , i  1, n là ma trận nhận được từ  x1  3x 2  7x 3  1  1 3 7  I   2x1  x 2  2x 3  0 , A   2 1 2  , A  1 A bằng cách thay cột thứ i bằng cột  7x  x  1 2  4x 3  1    7 1 4  các hệ số tự do. Khi đó, hệ Cramer có |A| ≠ 0  (I) là hệ Cramer. nghiệm duy nhất : 1 3 7 1   1  x  1  7x 3  3x 2  1  det A i  /    2  12x 3 xi  , i  1, n  A   0 5 12 2    x 2  0 0 4  5  10  det A   1  5 5  x 3   45 : 15  4 9 10 2. Hệ Cramer 3. Hệ phương trình tuyến tính 2. Giải hệ Cramer tổng quát c. Sử dụng định thức (công thức Cramer) 1. Định lý Kronecker – Capelli Ví dụ 3: Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m  x1  3x 2  7x 3  1  1 3 7 1 phương trình, n ẩn số, AX = B. Với       I  2x1 7x  x2  2x 3  0 , A   2 1 2, B = 0  7 1 4  1 A   A B  , ta có :   x 2  4x 3  1     1  det A1 a. Nếu rankA  rankA thì hệ vô nghiệm. 1 3 7 1 3 7 x1  det A  1 b. Nếu rankA  rankA  n thì hệ có 1 nghiệm det A  2 1 2  1 , det A1  0 1 2  1  7 1 4 1 1 4  x 2  det A 2  10 duy nhất. 1 1 7 1 3 1  det A det A 2  2 0 2  10 , det A3  2 1 0  4  det A3 c. Nếu rankA  rankA  n thì hệ có vô số x 3  det A  4 7 1 4 7 1 1  11 nghiệm. 12 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 2
lOMoARcPSD|16911414 3. Hệ phương trình tuyến tính 3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát tổng quát 2. Giải HPTTT tổng quát 2. Giải HPTTT tổng quát Cho HPTTT m phương trình, n ẩn số. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng để biến Ví dụ 4:  x  3x  2x  1 2 3 x4  2  4x1  x 2  3x 3  2x 4  1 (I) A   A B  về A   A / B /  là ma trận bậc thang. /  2x  7x  x3  1 /  1 2 a. A có 1 hàng có dạng  0 0 ... 0 b  , b  0  1 3 2 1 2   2 : 2  41  1 3 2 1 2  kết luận hệ vô nghiệm.  A   4 1 3 2 1    3: 3 21    0 13 5 2 7    2 7 1 0 1   0 13 5 2 5  b. Bỏ đi các hàng toàn 0 trong A , trên mỗi dòng /      1 3 2 1 2  còn lại chọn 1 ẩn cơ sở để giải, các ẩn còn lại  3: 3   2      0 13 5 2 7  Hệ (I) vô nghiệm mang giá trị tự do. 13 0 0 0 0 2    14 3. Hệ phương trình tuyến tính 3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát tổng quát 2. Giải HPTTT tổng quát 2. Giải HPTTT tổng quát Ví dụ 5: 2xx  4xx  x  5x 1 2x 2 4  5  1 3x  x  x  Ví dụ 6:  x  x  2x  1 2 3 2x 4  1  1 2 3 4 1 2 3 4x 4  5  x1  3x 2  5x 4  3 (II)  (III)  3x  7x  3x 3  9x 4  14  x1  x 2  3x 3  6x 4  9  1 2 12x1  2x 2  x3  2x 4  10  2x1  8x 2  4x 3  2x 4  22  29  1 1 2 4 5   x1  5  2x 4  x 2  3 / 1 1 0 2 5   A      0 2 5 10 14  0 2 1 1 11  x 2  11  x 4  x 3  2  2 Chọn x1, x2 làm các ACS. Cho x3=m, x4=n; m, n   / A  0 0 1 2 3    17 0 0 0 3 4   x 3  3  2x 4   3 0 0 0 0 0    1 5     x4  4 W    m  n  2 ;  m  5n  7 ; m ; n  / m, n     3 15  2 2   16 4. Hệ phương trình tuyến tính 4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (homogeneous) thuần nhất (homogeneous) 1. Định nghĩa. Hệ phương trình tuyến 2. Nghiệm của hệ thuần nhất tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả Hệ thuần nhất chỉ có hai khả năng: hệ số tự do bằng 0. Hệ có dạng: a. Hệ có duy nhất 1 nghiệm là (0,0,..,0) được  a11x1  a12 x 2    a1n x n  0 gọi là nghiệm tầm thường. a x  a x    a 2n x n  0 b. Hệ có vô số nghiệm.  21 1 22 2   ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3. Giải hệ thuần nhất. Sử dụng phương pháp a m1x1  a m2 x 2    a mn x n  0 Gauss, nhưng thay vì biến đổi ma trận A   A B  , ta chỉ cần biến đổi ma trận A. 17 18 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 3
lOMoARcPSD|16911414 4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (homogeneous) 3. Giải hệ thuần nhất Ví dụ 7:  x  2x  1 2 4x 3  3x 4  0  3x1  5x 2  6x 3  4x 4  0  (I)  4x1  5x 2  2x 3  3x 4  0  3x1  8x 2  24x 3  19x 4  0  1 2 4 3  A/     0 1 6 5  Chọn x1, x2 làm các ACS. Cho x3=a, x4=b; a, b   W   8a  7b ;  6a  5b ; a ; b  / a, b   19 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 4
lOMoARcPSD|16911414 Bài Giảng Chương 3. Không Gian Vectơ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Linear Algebra)  Các khái niệm cơ bản Chương 3. Không Gian Vectơ  Cơ sở và số chiều của (Vector Space) không gian vectơ GV: ThS. Nguyễn Trung Đông  Hạng của hệ vectơ nguyentrungdong144@gmail.com 1 2 1. Các khái niệm cơ bản 1. Các khái niệm cơ bản 1. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ. V ở trên được gọi Cho tập hợp V ≠, trên V có hai là một không gian vectơ trên  , ký phép toán : hiệu  V, ,  nếu hai phép toán trên V  :VV  V  :V  V thỏa các tính chất: a. u+v = v+u e. h(k.u) = (h.k)u  u, v   u  v  k, u   ku b. (u+v)+w = u+(v+w) f. h(u+v) = h.u + h.v Phép toán trong Phép toán ngoài gọi là c. ! 0  V : u+0 = u g. (h+k)u = h.u + k.u gọi là phép cộng phép nhân với số thực d.  u  V : u+(u) = 0 h. 1.u = u 3 0 được gọi là phần tử trung hòa của phép cộng. 4 1. Các khái niệm cơ bản 1. Các khái niệm cơ bản 1. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ Ví dụ 1: Ví dụ 2:  a b   Xét 3   x, y, z  / x, y, z   , với hai V  M 2       / a, b, c, d     c d   phép toán: V có hai phép toán:  x1 , x 2 , x 3    y1 , y 2 , y3    x1  y1 , x 2  y2 , x 3  y3  Cộng hai ma trận k  x1 , x 2 , x 3    kx1 , kx 2 , kx 3  Nhân ma trận với một số thực  R3 là một không gian vectơ  V là một không gian vectơ 5  Rn là một không gian vectơ 6 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 1
lOMoARcPSD|16911414 1. Các khái niệm cơ bản 1. Các khái niệm cơ bản 2. Tổ hợp tuyến tính 2. Tổ hợp tuyến tính Cho  V, ,  là một không gian vectơ. Ví dụ 3 : Cho V = 3, u1=(1,1,0), Với u1, u2, …, un  V và k1, k2, …, kn  , u2=(0,1,1), u3=(1,0,1)  V ta gọi k1u1 + k2u2 + … + knun là một tổ hợp tuyến tính các vectơ u1, u2, …, un Với k1, k2, k3  , ta có các tổ hợp Nếu u  V và u = k1u1 + k2u2 + … + knun, tuyến tính của u1, u2, u3 là : u được gọi là biểu thị tuyến tính qua các k1u1  k 2 u 2  k 3u 3 =  k1  k 3 , k1  k 2 , k 2  k 3   3 vectơ u1, u2, …, un NX: một THTT các vt trong V thì cũng thuộc V 7 8 1. Các khái niệm cơ bản 1. Các khái niệm cơ bản 3. Không gian vectơ con 3. Không gian vectơ con Cho V là một không gian vectơ, W là Ví dụ 4: Cho V = 2 một tập con khác rỗng của V. Xét W1={(x,0) | x  }, nhận thấy Nếu  u, v  W, k  , ta có rằng W1≠ và W1  V. u+v, k.u  W Thì ta nói W là một không gian vectơ Xét W2={(m,2m) | m  }, nhận con của V (gọi tắt là không gian thấy rằng W2≠ và W2  V. con), ký hiệu W  V 9 10 1. Các khái niệm cơ bản 1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp 4. Không gian sinh bởi tập hợp Cho V là một không gian vectơ, Ví dụ 5: Xét 3 và W  3, với S = {u1, u2, …, un}  V, W   m  n, m  n, n  m, n   W là tập tất cả các tổ hợp tuyến =  m, m, 0    n,  n, n  m, n   tính các vectơ trong S = m 1,1, 0   n 1, 1,1 m, n    W  V. Vậy Ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W. W  1,1, 0  , 1, 1,1 Ký hiệu W = = < u1, u2, …, un > 11 12 . Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 2
lOMoARcPSD|16911414 1. Các khái niệm cơ bản 1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp 4. Không gian sinh bởi tập hợp Hệ quả: Tập hợp tất cả các nghiệm của một HPT thuần nhất theo n ẩn là một không Lưu ý: Khi = V, ta nói S sinh ra gian vectơ con của n. V. Khi đó với mọi vectơ v thuộc V, Ví dụ  x  2x  4x  3x  0 1 2 3 4  I    3x 1  5x 2  6x 3  4x 4  0 v là một tổ hợp tuyến tính các phần  4x 1  5x 2  2x 3  3x 4  0  3x 1  8x 2  24x 3  19x 4  0 tử trong S, nghĩa là: (I) có nghiệm  8m  7n, 6m  5n, m, n  , m, n   v  V, k1 , k 2 ,..., k n   :  Tập hợp nghiệm của hệ : v  k1u1  k 2 u 2  ...  k n u n W  m  8, 6,1, 0   n  7,5, 0,1 / m, n     8, 6,1, 0  ,  7,5, 0,1 13 14 1. Các khái niệm cơ bản 1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp 5. Hệ vectơ độc lập tuyến tính Ví dụ 6: Chứng minh = V Cho V là một không gian vectơ, Xét V = 3, S = {e1,e2,e3}  3, với S = {e1, e2, …, en}  V. e1=(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1) S được gọi là độc lập tuyến tính nếu Lấy v = (a,b,c) bất kỳ thuộc 3, chứng minh k1 , k 2 , ..., k n  , k1e1  k 2 e2  ...  k n e n  0 = 3 nghĩa là chứng minh v  . k1  k 2  ...  k n  0 Ngược lại, S không độc lập tuyến tính và S v    k1,k2,k3 : v = k1e1+k2e2+k3e3  k1  k2  a 1 1 0 được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là      k1  k3  b A   1 0 1  , DetA  2   k2  k3  c 0 1 1   15 k i  0, k1e1  k 2e2  ...  k n en  0 16 1. Các khái niệm cơ bản 1. Các khái niệm cơ bản 5. Hệ vectơ độc lập tuyến tính 5. Hệ vectơ độc lập tuyến tính Ví dụ 7: CM hệ vectơ độc lập tuyến tính Ví dụ 8: CMR hệ vectơ độc lập tuyến tính Xét V = 3, S = {e1,e2,e3}  3, với Xét V = 3, S = {u1,u2,u3}  3, với e1=(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1) u1=(1,-2,1), u2=(2,1,-1), u3=(7,-4,1) Xét k1e1 + k2e2 + k3e3 = 0, Xét k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0,  k1  k 2  0  k1  2k 2  7k3  0    k1  k3  0 S độc lập   2k1  k2  4k 3  0 S phụ thuộc   k2  k3  0 tuyến tính  k  1  k2  k3  0 tuyến tính 17 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 3
lOMoARcPSD|16911414 2. Cơ sở và số chiều của KGVT 2. Cơ sở và số chiều của KGVT 1. Định nghĩa. Cho V là một KGVT, 2. Tọa độ của vectơ S = {e1,e2,…,en}  V. Ta nói S là một cơ sở Cho V là một KGVT, S = {e1,e2,…,en}  của V nếu V, S là một cơ sở của V. Suy ra : a. = V hay S sinh ra V vV, k1,k2,…,kn   : b. S độc lập tuyến tính v = k1e1+k2e2+…+knen Khi đó, số chiều của V, ký hiệu dimV = n. Khi đó, tọa độ của v đối với cơ sở S, k  Ta nói rằng V là KGVT hữu hạn chiều, ký hiệu   k 1 và mọi cơ sở khác của V cũng đều có  vS   2     đúng n vectơ. 19  kn  20 2. Cơ sở và số chiều của KGVT 2. Cơ sở và số chiều của KGVT 2. Tọa độ của vectơ 2. Tọa độ của vectơ Ví dụ 9: Cho V   2 cơ sở Ví dụ 10. Cho S  e1 , e2  , e1  1, 0  , e 2   0,1 V   2 , S/  f1 , f 2  , f1  1,1 , f 2   1,1 Ta có v   a, b    , v  ae1  be 2 2 a  Dễ thấy rằng S/ là một cơ sở của V, khi Vậy  vS    đó v   a, b    , v  k f  k f b 2 1 1 2 2 S ở trên được gọi là cơ sở chính tắc trong 2 , ab  k  k 2  a   ĐN tương tự cho cơ sở chính tắc trong  . n  1  v S /  2   k1  k 2  b  a  b    21  2  22 2. Cơ sở và số chiều của KGVT 2. Cơ sở và số chiều của KGVT 3. Định lý về ma trận đổi cơ sở 3. Định lý về ma trận đổi cơ sở Cho V là KGVT với hai cơ sở Ví dụ 11: Xét V   3, và hai cơ sở B  e1 , e2 ,..., en  ; B/  f1 ,f 2 ,..., f n  B  e1 , e2 ,e3  , e1  1, 0, 0  ,e2   0,1, 0  , e3   0,0,1 Đặt A  f1 B f 2 B ... f n B  B /  f1 , f 2 , f3  ,f1  1,1,0  , f 2  1,0,1 , f3   0,1,1 khi đó,  v  V, ta có  v B  A. vB 0 Xét v có  v /    1  Ma trận A được ký hiệu là P(B  B / ), B/  2   và được gọi là ma trận đổi cơ sở từ B 1  1 00 1      v B  PB  B  v B  1 0 11   2 sang B / . / / 0 1 1   2   3  23  24 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 4
lOMoARcPSD|16911414 2. Cơ sở và số chiều của KGVT 2. Cơ sở và số chiều của KGVT 4. Tính chất của ma trận đổi cơ sở Ví dụ 13: xét ví dụ ở trên, tìm P  B /  B  1 1 0 Cho 3 cơ sở S0 ,S1 ,S2 trong không gian Cách 1 P  B  B    1 /  0 1 vec tơ V. 0 1 1    1/ 2 1/ 2 1/ 2  i) P  S1  S2    P  S2  S1   1 P  B/  B   P  B  B/     1/ 2 1/ 2 1/ 2  1  1/ 2 1/ 2 1/ 2    ii) P(S1  S2 )  P(S1  S0 )  P(S0  S2 ) Cách 2  1/ 2 1/ 2 1/ 2  P  B /  B   e1 B / e2 B e3 B    1 / 2 / / 1/ 2 1/ 2    1/ 2 1/ 2 1/ 2   25 26 3. Hạng của hệ vectơ 3. Hạng của hệ vectơ 1. Định nghĩa. Cho V là một KGVT, 2. Tính chất S = {v1,v2,…,vn}  V. Số chiều của Nếu ta thực hiện các phép biến đổi sau được gọi là hạng của S trên S: Ký hiệu rankS = dim • Hoán vị hai vectơ Số phần tử của tập con độc lập tuyến tính • Nhân một vectơ với một số khác 0 lớn nhất của S được gọi là số vectơ tối • Thay một vectơ bằng vectơ đó cộng đại của S với một hằng số nhân vectơ khác Tính chất: hạng của S chính là số vectơ tối đại của S. 27 Thì ta thu được hệ mới S’ và = 28 3. Hạng của hệ vectơ 3. Hạng của hệ vectơ 2. Giải thuật tìm hạng của hệ vectơ 3. Giải thuật tìm hạng của hệ vectơ Cho V là KGVT, S={v1,…,vn}  V, W= Ví dụ 14: Xét S={v1,…,vn}3,v1=(1,3,0), Bước 1: Lập ma trận A với v2=(0,2,4), v3=(1,5,4), v4=(1,1,-4).  v1     v1   1 3 0  1 3 0  1 3 0 v A 2     ...  v 0 2 4   0 2 4   0 2 4    A 2    vn   v3   1 5 4  0 2 4  0 0 0         Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp  v4   1 1 4   0 2 4   0 0 0 trên hàng để đưa A về ma trận bậc thang, W  S  v1  1 3 0  , v 2   0 2 4  ta nhận được hệ S’ mới sinh ra W. Hạng của S chính là số các vectơ của S’. 29 v1 , v2 độc lập tuyến tính  rankS = 2 30 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 5
lOMoARcPSD|16911414 3. Hạng của hệ vectơ 3. Hạng của hệ vectơ 4. Khảo sát cơ sở và số chiều của không 5. Khảo sát cơ sở và số chiều của không gian gian nghiệm của HPTTT thuần nhất các số hạng tự do để HPTTT có nghiệm  x1  2x 2  x3  3x 4  4x5  0 Xét hệ (I)  Xét hệ (I) 2 x1  4x 2  2x3  7x4  5x 5  0 2x  1  4x 2  2x3  4x 4  2x5  0  x1  2x 2  x3  3x 4  4x 5  a  2x1  4x 2  2x 3  7x 4  5x 5  b Tập nghiệm 2x  4x 2  2x 3  4x 4  2x 5  c  1 W   2m  n, m, n, 0, 0   m  2,1, 0, 0, 0  + n 1, 0,1, 0, 0   u1   2,1, 0, 0, 0  , u 2  1,0,1, 0, 0  Xét W={(a,b,c) | hệ (I) có nghiệm}, ta có: cơ sở u1, u2 độc lập tuyến tính. Vậy {u1, u2} là cơ sở của không gian nghiệm W. Số chiều của W = 2 W  1, 2, 2  ,  0,1, 2  ,  0, 0, 32   dim W  3 31 32 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 6

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.