Bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 2

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

128
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 2

289 3a 2 S⋄ABCD = 3S∆BCD = 12 1 2 1 289 3a 120 a . = 170 3 a3 ⇒VSABCD = 3 S⋄ABCD.SH = 3 12 17 Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng  (ABCD). ∆SAB có SA = a, ASB = 2 ỏ và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc ỏ. Tính thể tích khối chóp SABCD GIẢI S Trong ∆SCD hạ SH  CD Vì ∆SCD cân tại S ⇒ H là trung điểm CD. A D SH  CD (SCD)  (ABCD K H ⇒ SH  (ABCD) Gọi K là trung điểm AB B C Ta có HK  AB AB SH (vì SH  (ABD)) ⇒AB  (SKH) ⇒ AB  SK ⇒ ∆SAB cân tại S Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = ỏ ∆SAB có SK = acos ỏ , AB = 2AK = 2asin ỏ ∆SHK vuông tại H có SH =SK.cosỏ = acos2 ỏ KH = SKsinỏ = asinỏcosỏ. SABCD =AB.BC = 2asinỏ.asinỏcosỏ = 2a2sin2ỏcosỏ ⇒VSABCD = 3 SH . S ABCD  2 a sin ỏ 3 2 1 3 Bài 14: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60o, BC = a, SA = a 3 , M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC GIẢI M A C H a B Cách 1. SA b (ABC) Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H ⇒ MH b (ABC) http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Vì M trung điểm SB H- trung điểm MH= 1 SA  a 2 3 2 S∆ABC = 1 AB.BC  1 a. tan 60 o.a  1 a 2 3 2 2 2 VMABC = 1 S ABC .MH  1 . 1 a 3. a 2 3  a3 2 3 32 4 Cách 2. VMABC   SM 1 VSABC 1 VMABC = V ASABC SB 2 2 mà VSABC = 1 SA.S∆ABC = 1 a 3. 1 a 3  1 a 6 2 3 3 3 2 2 a3 1 ⇒VMABC = 4 Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA  (ABCD), AB = a, SA = a 2 . H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: SC  (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK. GIẢI S H a2 N F E K a A B x a O C D y AH  SB (gt) (1) BC  AB (vì ABCD là hình vuông) BC  SA (vì SA  (ABCD)) ⇒BC  (SAB) BC  AH (2) Từ (1) (2) ⇒AH  (SBC ⇒AH  SC (3) Chứng minh tương tự ta có: SC  AK (4) Từ (3) (4) ⇒ SC  (AKH) Gọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF Kéo dài AF cắt SC tại N Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE  (AHK) http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
1 Vì OA = OC; OE//CN OE = 2 CN  a   a 2 .a AS . AD 2 1 1 1 Tam giác vuông SAD có ⇒ AK = 3 AK 2 AS 2 AD 2 AS 2  AD 2 3a 2 Dễ thấy AH = a 2 3 ∆AKH cân tại A Dễ thấy ∆SBD có SK  KH mà SK = SA2  AK 2  2a 2  2 a 2  2 a SD BD 3 3 SD = a 3 ⇒ KH  32aa 3   SF 2 BD 3 SO a2 2 2 HK = BD = 3 3 OF = 1 SO ⇒ SF  2 OF 1 3 ∆SAC có : OA = OC OE OF 1 1 1 ⇒OE = SN = a ⇒   SN SF 2 2 2 HK 2 2a 2 2 1 S∆AHK = KH. AK 2  = 4 2 9 3 2a 2 1 ⇒ V = OE.S AHK  27 3 * Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK như sau: Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.Ta có: aa A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a 2 ) , O( , , 0) 22 2a SK SA ∆SKA ∆ SAD ⇒ SK= ⇒  SA SD 3 2 a2 ⇒K(0, a , ) 3 3 2a ∆ABS có AS 2  SB.SH ⇒ SH= 3 2 a2 ⇒H( a ,0, ) 3 3 2 a2 Ta có AH  ( a,0, ) 3 3 2 a2 AK  (0, a, ) 3 3 aa AO  ( , ,0) 22  2 2a 2  2 2 a 2 4a 2 [ AH , AK ] =( ) , , 9 9 9 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
1 23 ⇒ VOAHK= |[ AH , AK ]. AO |= a 6 27 Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 , SA = a, SA  (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. {I} = BM ∩ AC. Tính thể tích hình chóp ANIB. GIẢI SA (ABCD) Gọi {O} = AC ∩ BD Trong ∆SAC có ON // SA ⇒ON  (ABCD) ⇒ NO  (AIB) a N Ta có NO = 1 SA  a K a2 A 2 2 D Tính S∆AIB = ? a ABD só I là trọng tâm I O 22 a . S⋄ABCD = 2 2 21 ⇒S∆ABI = 3 S∆ABO = a.a 2 = 6 B 34 3 C  2 3 .. 1aa 2 a 2 1 ⇒ SANIB = 3 NO.S∆AIB = 32 6 36 Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD)  (ABCD), ∆SAD đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Tính thể tích hình chóp CMNP GIẢI z S M A B F E N x D a C P y - Gọi E là trung điểm AD. (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD (SAD)  (ABCD) ⇒SE  (ABCD) - Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE. Dễ thấy F ∈ EB và F là trung điểm EB http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
. a 23  a3 1 1 Ta có MF = SE = 2 4 2 S CBD  1 S ABCD  1 a 2 1 S∆CNP = 4 8 8 a3 3 VCMNP = 1 S∆NCP.MF = 3 8 a . 4  96 2a3 11 2 Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O . 0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B. sao cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OO’AB GIẢI O' H D A' B A O Kẻ đường sinh AA’. Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu của B trên A’D. Ta có BH  A’D BH  A’A ⇒ BH  (AOO’A’) ⇒BH là đường cao của tứ diện BAOO’ a2 SAOO’ = , A’B = AB 2  AA' 2  a 3 2 ∆A’BD vuông ở B ⇒ BD=a a2 3 a3 1 ∆O’BD đều ⇒ BH= ⇒VBAOO’ = BH . SAOO’ = 12 2 3 Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; a3 SA  (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o. Điểm M thuộc cạnh SA, AM = . 3 (BCM) ∩ SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
S H N M A D B C 0 Ta có SAB=60 a3 , AB = a ⇒ ABM = 300 ∆SAB vuông tại A có AM = 3 Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMN ta có SH=SB sin 300 = a SM MN AD.SM 4a BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ ⇒MN =   SA AD SA 3 2 1 10a ⇒SBCMN = ( MN  BC ).BM  2 33 10 3a3 1 ⇒VSBCMN = SH . SBCMN = 27 3 Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o; AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lượt là trung điểm SA và SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM GIẢI S H N M A D http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
1 1 Ta có BC//AD ,BC= AD ,MN//AD , MN= AD ⇒BC = MN , BC// MN (1) 2 2 BC ⊥AB BC ⊥SA ⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2) Từ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật Kẻ SH ⊥BM thỡ SH⊥ (BCNM) a3 1 1 ⇒VSBCNM= SBCNM.SH= BC.NM.SH= 3 3 3 Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA1 = a 2 . M là trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Hướng dẫn: a3 2 +Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = 12 +Có thể dùng cả phương pháp toạ độ Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1. a.Tính thể tích tứ diện theo x. b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất GIẢI a. C H D B C Cách 1: http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB S∆ABC = 1 CC '.AB  4 .x  4  x 2 .x x2 1 1 2 2 4 4    x x x 1 HC = R∆ABC = 2 sin C 4 sin C cos C 2 4 x 2 4. 2 1 x4 x 2 2 ⇒Tam giác vuông HCD có HD2 = CD2- DC2 = 1   3 x 2 1 4 x 2 4 x 2 3 x 2 3 x 2 SABC .HD  1 . 1 4  x 2 .x.  12 3  x 2 ⇒ HD = ⇒VABCD = x 1 4 x 2 3 34 4 x2 Cách 2: A C' D B M Gọi M là trung điểm CD ⇒ CD  ABM 3 Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM = 2 .S ABM 21 VABCD = 2VCBMA = 2. 1 CM.S∆ABC = 32 3 1 S∆ABM = 2 MC’.AB = 1 x. ( 23 ) 2  ( 2 ) 2  3  x2 x x 2 4 3  x 2  12 3  x 2 .x 1x 1 VABCD = 34 b) 3V 1 3 SACD= ⇒ d(B,(ACD))= ABCD = 3  x 2 .x S ACD 4 3 c) VABCD = 12 3  x 2 .x  8 1 3 x 2  x 2 . 1 1 12 2 1 Dấu “=” xảy ra ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x = và thể tích lớn nhất là 3 2 8 Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất. GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
S A B H D C M Ta có BM  SH (gt) BM  SA (Vì SA  ( ABCD) ⇒BM  AH 1 1 SABCD = a2 SABM = 2 2 a2 a2 1 Mà SABM = AH.BM ⇒ AH=  BM 2 a2  x2 a2 ∆SAH vuông ở A có SH= SA 2  AH 2  h 2  a2  x2 a4 ax ∆BAH vuông ở H có BH= AB 2  AH 2  a 2   a2  x2 a2  x2 a3x 1 1 SABH = AH.BH = 2 2 a2  x2 1 a 3 xh 1 2 a 3 xh 1 1 VSABH = S ABH .SA  .   ah 6 2ax 12 3 6 a2  x2 Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D. Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt góc ACM bằng  Hạ SH vuông góc với CM a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI. Đáp số a 3 sin 2 a3 a)Vmax= b)VSAKI = 24(1  sin 2  ) 12 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
CÓ THỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NHỜ VIỆC CHIA THÀNH CÁC KHỐI NHỎ HOẶC BỔ SUNG THÊM Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC = c Tính thể tích ABCD GIẢI H R P B C Q +Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm PQ, QR, PR. 1 +S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB = 4 S∆PQR 1 ⇒ S∆BCD = 4 S∆PQR AD = BC = PR D là trung điểm PR ⇒AR  AP Tương tự AP b AQ, AQ b AR 1 VAPQR = S∆PQRAR 4 1 Bài 26: VABCD = AD.BC.MN.Sin ỏ. Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài của 6 đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD và CB, ỏ =(AD, BC) Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này. Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều bằng ỏ. AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
S F C A a E B -Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C -Gọi E là trung điểm AB ⇒ AB b SE AB b CE ⇒AB b (SCE) ⇒VSABC = VASEC + VBSEC = 1 S∆SEC.(AE+BE) = 1 S∆SEC.AB 3 3 Tính S∆SEC = ? ∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g)) Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF b SC ∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g)) FS = FC  ⇒FBC = 3 Tam giác vuông EBC có CE =  tan  2 a Tam giác vuông FBC có BC = CE  EB  (  ) a EB 2 2 2 cos  cos  2cos    FC . sin  a Sin 2 = BC ⇒ FC = BC sin = 2 cos  2 2 Tam giác vuông EFC có a 2 sin 2  tan 2   (sin 2   sin 2  a2 a2  1 2 2 2 2 EF = EC - FC = 4 4 cos 2  2 2 4 cos  sin 2   sin 2  . 2 cos  . sin  a a 1 S∆SEC = EF.SC = EF.FC = 2 cos  2 2 2 . sin  . sin 2   sin 2  a2 = 2 2 2 cos2  . sin  . sin 2   sin 2  a3 VSABC = 2 2 12 cos2  http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến