Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 16 - PGS TS Vinh Quang

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

496
lượt xem 362
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 16 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 16 - PGS TS Vinh Quang

Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 16. Vectơ riêng - Giá tr riêng c a ma tr n và c a phép bi n đ i tuy n tính - Chéo hóa PGS TS M Vinh Quang Ngày 28 tháng 2 năm 2006 1 Vectơ riêng - Giá tr riêng c a ma tr n 1.1 Các khái ni m cơ b n Cho A là ma tr n vuông c p n, (A ∈ Mn (R))   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n     . . .. .  . . .  . . . .  an1 an2 . . . ann Khi đó • Đa th c b c n c a bi n λ: a11 − λ a12 ... a1n a21 a22 − λ ... a2n PA (λ) = det(A − λI) = . . . . .. . . . . . . an1 an2 ... ann − λ = (−1)n λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ1 + a0 g i là đa th c đ c trưng c a ma tr n A. • Các nghi m th c c a đa th c đa th c đ c trưng PA (λ) g i là giá tr riêng c a ma tr n A. • N u λ0 là m t giá tr riêng c a A thì det(A − λ0 I) = 0. Do đó h phương trình thu n nh t:     x1 0  .   .  . = .  (A − λ0 I)  . . (1) xn 0 1
có vô s nghi m. Không gian nghi m c a h (1) g i là không gian con riêng c a ma tr n A ng v i giá tr riêng λ0 . Các vectơ khác không là nghi m c a h (1) g i là các vectơ riêng c a ma tr n A ng v i giá tr riêng λ0 . Các vectơ t o thành m t cơ s c a không gian riêng (t c là các vectơ t o thành h nghi m cơ b n c a h (1)) g i là các vectơ riêng đ c l p tuy n tính ng v i giá tr riêng λ0 . 1.2 Ví d Tìm đa th c đ c trưng, vectơ riêng, giá tr riêng c a ma tr n:   0 1 1 A= 1 0 1  1 1 0 Gi i −λ 1 1 • Ta có PA λ = 1 −λ 1 = −λ3 + 3λ + 2 1 1 −λ V y đa th c đ c trưng c a ma tr n A là PA (λ) = −λ3 + 3λ + 2 • PA (λ) = 0 ⇔ −λ3 + 3λ + 2 = 0 ⇔ (λ + 1)2 (2 − λ) = 0 ⇔ λ = −1 (kép) , λ = 2. V y ma tr n A có 2 giá tr riêng là λ = −1, λ = 2. • Đ tìm vectơ riêng c a A, ta xét hai trư ng h p: – ng v i giá tr riêng λ = −1. Đ tìm vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = −1, ta gi i h :   1 1 1 0  1 1 1 0  1 1 1 0 H có vô s nghi m ph thu c hai tham s x2 , x3 . Nghi m t ng quát c a h là: x1 = −a − b, x2 = a, x3 = b. Do đó, không gian con riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = −1 là V−1 = {(−a − b, a, b) | a, b ∈ R}. Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = −1 là t t c các vectơ có d ng: (−a − b, a, b) v i a2 + b2 = 0 (vì vectơ riêng ph i khác không). Ta có dim V−1 = 2 và A có 2 vectơ riêng đ c l p tuy n tính ng v i giá tr riêng λ = −1 là α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1). – ng v i giá tr riêng λ = 2. Đ tìm vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 2, ta gi i h :     −2 1 1 0 1 1 −2 0  1 −2 1 0  −→  1 −2 1 0  1 1 −2 0 −2 1 1 0     1 1 −2 0 1 1 −2 0 −→  0 −3 3 0  −→  0 −3 3 0  0 −3 3 0 0 0 0 0 2
H có vô s nghi m ph thu c tham s x3 . Nghi m t ng quát c a h là: x1 = a, x2 = a, x3 = a. Do đó, không gian con riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 2 là V2 = {(a, a, a) | a ∈ R}. Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 2 là t t c các vectơ có d ng: (a, a, a) v i a = 0. Ta có dim V2 = 1 và A có 1 vectơ riêng đ c l p tuy n tính ng v i giá tr riêng λ = 2 là α3 = (1, 1, 1). Chú ý r ng, n u xét c hai trư ng h p, A có t t c 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α1 , α2 , α3 . 2 Chéo hóa ma tr n 2.1 Ma tr n đ ng d ng • Cho A, B là các ma tr n vuông c p n. Ta nói A đ ng d ng v i B, ký hi u A ∼ B, n u t n t i ma tr n T vuông c p n, không suy bi n sao cho B = T −1 AT . B n đ c có th d dàng ki m tra r ng quan h đ ng d ng là m t quan h tương đương. • Quan h đ ng d ng b o toàn khá nhi u các tính ch t c a ma tr n, ch ng h n n u A ∼ B thì det A = det B, rank A = rank B, PA (λ) = PB (λ), giá tr riêng c a A và B là như nhau... 2.2 Chéo hóa ma tr n • Đ nh nghĩa. Cho A là ma tr n vuông c p n. Ta nói ma tr n A chéo hóa đư c n u A đ ng d ng v i m t ma tr n chéo. Như v y ma tr n A chéo hóa đư c n u t n t i ma tr n T vuông c p n không suy bi n sao cho T −1 AT là ma tr n chéo. Chéo hóa ma tr n A t c là tìm ma tr n T vuông c p n không suy bi n sao cho T −1 AT là ma tr n chéo. • Ý nghĩa c a vi c chéo hóa ma tr n N u ma tr n A chéo hóa đư c thì vi c nghiên c u các tính ch t (b o toàn qua quan h đ ng d ng) c a ma tr n A d n đ n vi c nghiên c u các tính ch t đó trên m t ma tr n chéo và như v y v n đ s tr nên đơn gi n hơn nhi u. Mu n bi t ma tr n A có chéo hóa đư c hay không, ta có đ nh lý sau: • Đ nh lý (Đi u ki n c n và đ đ m t ma tr n vuông chéo hóa đư c) Ma tr n A vuông c p n chéo hóa đư c khi và ch khi A có đ n vectơ riêng đ c l p tuy n k tính, khi và ch khi dim Vλi = n, trong đó λ1 , . . . , λk là t t c các giá tr riêng c a A. i=1 3
2.3 Cách chéo hóa m t ma tr n Cho A là ma tr n vuông c p n. Đ chéo hóa ma tr n A, ta làm như sau: Tìm các giá tr riêng và các vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A. Khi đó x y ra m t trong hai kh năng sau: k 1. N u t ng s vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A bé hơn n (t c là dim Vλi < n, trong i=1 đó Vλi là không gian con riêng ng v i giá tr riêng λi ) thì k t lu n ma tr n A không chéo hóa đư c, t c là không t n t i ma tr n T đ T −1 AT là ma tr n chéo. k 2. N u t ng s vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A b ng n (t c là dim Vλi = n thì ma i=1 tr n A chéo hóa đư c. Khi đó ma tr n T c n tìm là ma tr n mà các c t c a nó chính là các vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A vi t theo c t, và khi đó   λ1 0 . . . 0  0 λ2 . . . 0  −1 T AT =  .   . . .. . .  .   . . . . 0 0 . . . λn là ma tr n chéo, trong đó λi chính là giá tr riêng c a A ng v i vectơ riêng là vectơ c t th i c a ma tr n T . 2.4 Ví d Chéo hóa ma tr n   0 1 1 A= 1 0 1  1 1 0 Gi i Trư c h t tìm vectơ riêng, giá tr riêng c a A. Theo ví d b), m c 1, ma tr n A có hai giá tr riêng là λ = −1, λ = 2 và A có ba vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α1 = (−1, 1, 0), λ = (−1, 0, 1) ng v i giá tr riêng λ = −1 và α3 = (1, 1, 1) ng v i giá tr riêng λ = 2. Do đó, ta k t lu n: - Ma tr n A chéo hóa đư c. - Ma tr n c n tìm là:   −1 −1 1 T = 1 0 1  0 1 1 và   −1 0 0 T −1 AT =  0 −1 0  0 0 2 4
3 Vectơ riêng, giá tr riêng c a phép bi n đ i tuy n tính 3.1 Các khái ni m cơ b n Cho V là không gian vectơ và f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính. N u U là không gian vectơ con b t bi n c a V sao cho f (U ) ⊂ U thì U g i là không gian con b t bi n c a V . Gi s U là không gian con b t bi n 1 chi u và α là m t vectơ khác không, thu c U (do đó α là cơ s c a U ), khi đó vì f (U ) ⊂ U nên f (α) ∈ U và f (α) = λα. T đó ta có đ nh nghĩa sau: Đ nh nghĩa. Cho V là không gian vectơ, f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính c a V . N u ta có f (α) = λα trong đó α ∈ V là vectơ khác không và λ ∈ R thì α g i là vectơ riêng c a f ng v i giá tr riêng λ. 3.2 Cách tìm giá tr riêng, vectơ riêng c a phép bi n đ i tuy n tính Các giá tr riêng, vectơ riêng c a phép bi n đ i tuy n tính có s tương ng ch t ch v i các giá tr riêng, vectơ riêng c a ma tr n c a nó. Ta s th y rõ đi u đó qua ph n trình bày dư i đây. Cho V là không gian vectơ n-chi u (dim V = n) và cho f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính. Gi s (U ) : u1 , . . . , un là cơ s c a V và A = Af /(U ) là ma tr n c a f trong cơ s (U ). Ta có bi u th c t a đ c a f như sau (xem bài 15): [f (α)]/(U ) = A.[α]/(U ) (∗) N u α là vectơ riêng c a f ng v i giá tr riêng λ0 thì f (α) = λ0 f . Thay vào vào (∗) ta có: λ0 .[α]/(U ) = A.[α]/(U ) hay [A − λ0 I][α]/(U ) = 0 (∗∗) Vì vectơ α khác không nên h phương trình (∗∗) có nghi m khác không ⇔ det[A − λ0 I] = 0 ⇔ λ0 là giá tr riêng c a A. Như v y, λ0 là giá tr riêng c a f ⇔ λ0 là giá tr riêng c a ma tr n A = Af /(U ) và α ∈ V là vectơ riêng c a f ng v i giá tr riêng λ0 ⇔ [α]/(U ) là vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ0 . T đó ta có quy t c tìm giá tr riêng và vectơ riêng c a phép bi n đ i tuy n tính f : V → V như sau: 1. Bư c 1. Tìm ma tr n c a f trong m t cơ s (U ) : u1 , . . . , un nào đó c a V , nghĩa là tìm A = Af /(U ) . 2. Bư c 2. Tìm các giá tr riêng và vectơ riêng c a ma tr n A. 3. Bư c 3. K t lu n • Các giá tr riêng c a A cũng chính là giá tr riêng c a f . • N u (a1 , . . . , an ) là vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ0 thì a1 u1 + · · · + an un là vectơ riêng c a f ng v i giá tr riêng λ0 . 5
3.3 V n đ tìm cơ s c a V đ ma tr n c a f trong cơ s là ma tr n chéo Đ nghiên c u m t phép bi n đ i tuy n tính f : V → V , ta có th qui v vi c nghiên c u ma tr n c a f . T đó d n đ n vi c c n tìm cơ s đ ma tr n c a f trong cơ s đó là ma tr n chéo (là ma tr n khá đơn gi n, d nghiên c u). Sau đây là cách tìm cơ s như v y: Đ u tiên ta tìm các vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a f . N u f có ít hơn n vectơ riêng đ c l p tuy n tính (n = dim V ) thì không có cơ s nào c a f đ ma tr n c a f trong cơ s đó là ma tr n chéo. N u f có n vectơ riêng đ c l p tuy n tính là (α) : α1 , . . . , αn thì n vectơ riêng đ c l p tuy n tính đó làm thành cơ s (α) c a V và ma tr n c a f trong cơ s (α) đó là ma tr n chéo. C th :   λ1 0 . . . 0  0 λ2 . . . 0  Af /(U ) =  .   . .. .   .. . . . .  . 0 0 . . . λn trong đó λi là giá tr riêng ng v i vectơ riêng αi (các λi có th b ng nhau). 3.4 Ví d Trong R3 cho cơ s : u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0) và cho phép bi n đ i tuy n tính f : R3 → R3 xác đ nh b i: f (u1 ) = (4, 3, 2) f (u2 ) = (4, 3, 1) f (u3 ) = (1, 0, 0) Tìm cơ s đ ma tr n f trong cơ s đó là ma tr n chéo. Gi i Đ u tiên ta tìm vectơ riêng, giá tr riêng c a f . Đ tìm vectơ riêng, giá tr riêng c a f , ta tìm ma tr n c a f trong m t cơ s nào đó c a R3 . Trong bài toán c th này, tìm ma tr n c a f trong cơ s (U ) : u1 , u2 , u3 là d nh t. V y: 1. Bư c 1. Tìm ma tr n c a f trong cơ s (U ) Ta ph i gi i 3 h phương trình sau: • H 1   1 1 1 4  1 1 0 3  1 0 0 2 a1 = 2, a2 = 3 − a1 = 1, a3 = 4 − a1 − a2 = 1 6
• H 2   1 1 1 4  1 1 0 3  1 0 0 1 b1 = 1, b2 = 3 − b1 = 2, b3 = 4 − b1 − b2 = 1 • H 3   1 1 1 1  1 1 0 0  1 0 0 0 c1 = 0, c2 = −c1 = 0, c3 = 1 − c1 − c2 = 1   2 1 0 V y Af /(U ) =  1 2 0  1 1 1 2. Bư c 2. Tìm giá tr riêng, vectơ riêng c a A và c a f 2−λ 1 0 2−λ 1 PA (λ) = 1 2−λ 0 = (1 − λ) 1 2−λ 1 1 1−λ PA (λ) = (1 − λ)[(2 − λ)2 − 1] = (1 − λ)2 (3 − λ) PA (λ) = 0 ⇔ λ = 1, λ = 3 V y A có hai giá tr riêng là λ = 1, λ = 3. Suy ra f có hai giá tr riêng là λ = 1, λ = 3. • Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 1 là nghi m c a h     1 1 0 0 1 1 0 0  1 1 0 0  −→  0 0 0 0  1 1 0 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c hai tham s x2 , x3 . Nghi m t ng quát c a h là: x1 = −a, x2 = a, x3 = b. Vectơ riêng c a A, ng v i giá tr riêng λ = 1, là (−a, a, b), a2 + b2 = 0. Trong trư ng h p này, A có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α1 = (−1, 1, 0) và α2 = (0, 0, 1). Do đó, ng v i giá tr riêng λ = 1, vectơ riêng c a f là các vectơ có d ng −au1 + au2 + bu3 = (b, 0, −a) v i a2 + b2 = 0. Trong trư ng h p này, f có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β1 = −u1 + u2 + 0u3 = (0, 0, −1) β2 = 0u1 + 0u2 + u3 = (1, 0, 0) 7
• Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 3 là nghi m c a h     −1 1 0 0 −1 1 0 0  1 −1 0 0  −→  0 0 −2 0  1 1 −2 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s x2 . Ta có: x2 = a, x3 = 0, x1 = a Nghi m t ng quát c a h là: x1 = a, x2 = a, x3 = 0. Vectơ riêng c a A, ng v i giá tr riêng λ = 3, là (a, a, 0), a = 0. Trong trư ng h p này, A có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α3 = (1, 1, 0). Do đó, ng v i giá tr riêng λ = 3, vectơ riêng c a f là các vectơ có d ng au1 + au2 + 0u3 = (2a, 2a, a), a=0 Trong trư ng h p này, f có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β3 = 1u1 + 1u2 + 0u3 = (2, 2, 1) 3. Bư c 3. K t lu n f có ba vectơ riêng đ c l p tuy n tính là các vectơ β1 , β2 ( ng v i λ = 1) và β3 ( ng v i λ = 3). Do đó, β1 , β2 , β3 làm thành cơ s c a R3 mà ma tr n c a f trong cơ s β1 , β2 , β3 là ma tr n chéo. C th :   1 0 0 Af /(β) =  0 1 0  0 0 3 8
Bài t p 1. (a) Cho f : Rn → R. Ch ng minh f là ánh x tuy n tính ⇔ t n t i các s a1 , . . . , an ∈ R đ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn . (b) Cho f : Rn → Rm . Ch ng minh f là ánh x tuy n tính ⇔ t n t i các s aij ∈ R đ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn ). 2. Tìm công th c c a ánh x tuy n tính f : R3 → R3 (tìm f (x1 , x2 , x3 )) bi t: (a) f (1, 1, 2) = (1, 0, 0) f (2, 1, 1) = (0, 1, 1) f (2, 2, 3) = (0, −1, 0) (b) f (1, 2, 3) = (−1, 0, 1) f (−1, 1, 1) = (0, 1, 0) f (1, 3, 4) = (1, 0, 2) 3. Trong R3 cho 2 cơ s u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1) (U ) v1 = (1, −1, 0), v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 0, 1) (V ) và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 , f (ui ) = vi , i = 1, 2, 3. (a) Tìm công th c c a f . (b) Tìm các ma tr n sau: Af /(U ) , Af /(U ),(V ) , Af /(V ) , Af /(V ),(U ) , Af /(ε3 ) 4. Cho ánh x tuy n tính Θ : Rn [x] → Rn [x], p(x) → p (x). Tìm ma tr n c a Θ trong cơ s : (a) 1, x, x2 , . . . , xn (x − a)2 (x − a)n (b) 1, (x − a), , ..., 2! n! 5. Cho ánh x tuy n tính f : R4 → R3 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 + x3 , 2x1 + x4 , 2x2 + x3 + x4 ) Tìm cơ s , s chi u c a Ker f , Im f . 6. Tìm vectơ riêng, giá tr riêng chéo hóa các ma tr n sau:   1 0 1 (a)  0 0 0  1 0 1   5 −1 1 (b)  −1 2 −2  1 −2 2 9
  1 2 1 (c)  2 4 2  1 2 1   1 0 0 0  0 0 0 0  (d)    0 0 0 0  1 0 0 1   1 3 1 2  0 −1 1 3  (e)   0  0 2 5  0 0 0 −2 7. Trong R3 cho cơ s : u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2) và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 xác đ nh b i f (u1 ) = (0, 5, 3) f (u2 ) = (2, 4, 3) f (u3 ) = (0, 3, 2) Tìm m t cơ s đ ma tr n f trong cơ s đó là ma tr n chéo. 8. Cho phép bi n đ i tuy n tính ϕ : V → V th a ϕ2 = ϕ. Ch ng minh: Im ϕ + Ker ϕ = V Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0} 9. Cho f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính, L là không gian vectơ con c a V . Ch ng minh: (a) dim L − dim Ker f ≤ dim f (L) ≤ dim L (b) dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f 10. Cho ϕ : V → W , ψ : W → U là ánh x tuy n tính. Ch ng minh: (a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ} (b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) (c) rank(ψϕ) ≥ rank ϕ + rank ψ − dim W 10