Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 7 - PGS TS Vinh Quang

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

728
lượt xem 517
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 7 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 7 - PGS TS Vinh Quang

Đ IS TUY N TÍNH Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n chưa ch nh s a PGS TS. M Vinh Quang Ngày 19 tháng 12 năm 2004 H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH 1 Các khái ni m cơ b n 1.1 Đ nh nghĩa H phương trình d ng:   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a x + a x + ··· + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 (1) ... ...   am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm  trong đó x1 , x2 , . . . , xn là các n, aij , bj ∈ R là các h ng s , g i là h phương trình tuy n tính (m phương trình, n n). Ma tr n   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A=  ...  ... ... ...  am1 am2 . . . amn g i là ma tr n các h s c a h (1). Ma tr n   a11 a12 . . . a1n b1  a21 a22 . . . a2n b2  A=  ... ...  ... ... ...  am1 am2 . . . amn bm g i là ma tr n các h s m r ng c a h (1). M t h phương trình hoàn toàn xác đ nh khi ta bi t ma tr n các h s m r ng c a nó. C t   b1  b2     .   .  . bm 1
g i là c t t do c a h (1). Chú ý r ng, h phương trình (1) có th cho dư i d ng ma tr n như sau     x1 b1  x 2   b2  A .  =  .       . .   .  . xn bm trong đó A là ma tr n các h s c a h (1). Nh n xét: N u ta th c hi n các phép bi n đ i sơ c p trên các dòng c a m t h phương trình tuy n tính ta đư c h m i tương đương v i h đã cho. 1.2 M t vài h phương trình đ c bi t a. H Cramer H phương trình tuy n tính (1) g i là h Cramer n u m = n (t c là s phương trình b ng s n) và ma tr n các h s A là không suy bi n (det A = 0). b. H phương trình tuy n tính thu n nh t H phương trình tuy n tính (1) g i là h thu n nh t n u c t t do c a h b ng 0, t c là b1 = b2 = · · · = bm = 0. 2 Các phương pháp gi i h phương trình tuy n tính 2.1 Phương pháp Cramer N i dung c a phương pháp này cũng chính là đ nh lý sau đây: Đ nh lý 1 (Cramer) Cho h Cramer   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a x + a x + ··· + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 (2) ... ...   an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn  trong đó   a11 a12 ... a1n  a21 a22 ... a2n  A=  ...  ... ... ...  an1 an2 ... ann là ma tr n các h s . H Cramer luôn có nghi m duy nh t đư c cho b i công th c det Ai xi = det A 2
trong đó Ai chính là ma tr n thu đư c t ma tr n A b ng cách thay c t i c a A b ng c t t do   b1  b2     .  .   . bn Ví d 1: Gi i h phương trình:   ax1 + bx2 = c  cx2 + ax3 = b  cx1 + bx3 = a  trong đó a, b, c là ba s khác 0. Gi i: Ta có: a b 0 det A = 0 c a = 2abc = 0 c 0 b nên h trên là h Cramer. Hơn n a c b 0 det A1 = b c a = a2 − b 2 + c 2 b a 0 b a c 0 det A2 = 0 b a = −a2 + b2 + c2 a c a b và a b c det A3 = 0 c b = a2 + b 2 − c 2 c c 0 a Do đó, h có nghi m duy nh t: det A1 a2 − b 2 + c 2 det A2 −a2 + b2 + c2 det A3 a2 + b 2 − c 2 x1 = = , x2 = = , x3 = = det A 2ac det A 2bc det A 2ab 2.2 S d ng phương pháp bi n đ i sơ c p (phương pháp Gauss) đ gi i h phương trình tuy n tính t ng quát N i dung cơ b n c a phương pháp này d a trên đ nh lý quan trong sau v nghi m c a m t h phương trình tuy n tính. Đ nh lý 2 (Đ nh lý Cronecker-Capelly) Cho h phương trình tuy n tính t ng quát (1), A và A l n lư t là ma tr n các h s và ma tr n các h s m r ng. Khi đó: 1. N u rank A < rank A thì h (1) vô nghi m. 2. N u rank A = rank A = r thì h (1) có nghi m. Hơn n a: (a) N u r = n thì h (1) có nghi m duy nh t. 3
(b) N u r < n thì h (1) có vô s nghi m ph thu c vào n − r tham s . Ta có thu t toán sau đ gi i h phương trình tuy n tính: L p ma tr n các h s m r ng A. B ng các phép bi n đ i sơ c p trên dòng đưa ma tr n A v d ng b c thang. Ma tr n b c thang cu i cùng có d ng: 0 . . . c∗ 1 . . . . . . . . . . . .   1i ... c1n d1  0 . . . 0 . . . c∗ . . . . . . 2i2 ... c2n d2     . ... ... ... ... ... ... ... ... ...    A → C =  0 ... 0 ...  . . . c∗ r ri ... crn dr    0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 dr+1     . ... ... ... ... ... ... ... ... ...  0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 dm H phương trình tương ng v i ma tr n C tương đương v i h ban đ u. Do đó 1. N u t n t i ít nh t di v i r + 1 i m khác 0 thì h vô nghi m. 2. N u dr+1 = dr+2 = · · · = dm = 0 thì h có nghi m. Khi đó các c t i1 , i2 , . . . , ir (là các c t đư c đánh d u *) gi l i bên trái và các xi1 , xi2 , . . . , xir là các n còn các c t còn l i chuy n sang bên ph i, các n xk ng v i các c t này s tr thành tham s . V y ta có n − r tham s và h đã cho tương đương v i h   c1i1 c1i2 ... c1ir d1 (xk )  0 c2i2 ... c2ir d2 (xk )    ... ...  (3) ... ... ...  0 0 ... crir dr (xk ) trong đó di (xk ) là các hàm tuy n tính c a xk v i k = i1 , i2 , . . . , ir . H phương trình (3) là h phương trình d ng tam giác, ta có th d dàng gi i đư c b ng phương pháp th d n t dư i lên, t c là tính l n lư t xr , xr−1 , . . . , x1 . Chú ý : N u trong quá trình bi n đ i xu t hi n 1 dòng mà bên trái b ng 0 còn bên ph i khác 0 thì ta có th k t lu n h vô nghi m mà không c n ph i làm ti p. Ví d 2: Gi i h phương trình:   x1 + 2x2 + 2x4 + x5 = 1    2x + 4x + x + 3x = 3 1 2 3 4  3x1 + 6x2 + 2x3 + 3x4 + x5 = m   x1 + 2x2 + x3 + x5 = 2m − 8  Gi i:     1 2 0 2 1 1 1 2 0 2 1 1  2 4 1 3 0 3  d2 →(−2)d1 +d2  0 0 1 −1 −2 1  −−−−→ A=  d− − −1 +d3  0 0 2 −3 −   3 6 2 3 1 m 3 →(−3)d −2 m−3  d4 →(−1)d1 +d4 1 2 1 0 1 2m − 8 0 0 1 −2 0 2m − 9     1 2 0 2 1 1 1 2 0 2 1 1 d3 →(−2)d2 +d3  0 0 1 −1 −2 1  d4 →(−1)d3 +d4  0 0 1 −1 −2 1  −−−−→ −−−− −−−−→ −−−−   d4 →(−1)d2 +d4  0 0 0 −1 2 m−5  0 0 0 −1 2 m−5  0 0 0 −1 2 2m − 10 0 0 0 0 0 m−5 4
* N u m = 5 h phương trình vô nghi m. * N u m = 5, h đã cho tương đương v i  ∗  1 2 0 2 1 1  0 0 1∗ −1 −2 1     0 0 0 −1∗ 2 0  0 0 0 0 0 0 Trư ng h p này h có vô s nghi m ph thu c vào 2 tham s là x2 và x5 . Chuy n c t 2 và c t 5 sang bên ph i, h có d ng   x1 + 2x4 = 1 − 2x2 − 2x5 x3 − x4 = 1 + 2x5 −x4 = −2x5  Gi i t dư i lên ta s có x4 = 2x5 x3 = x4 + 2x5 + 1 = 4x5 + 1 x1 = 1 − 2x2 − 2x5 − 2x4 = −2x2 − 5x5 + 1 Tóm l i, trong trư ng h p này nghi m c a h là   x1 = −2a − 5b + 1    x2 = a    x3 = 4b + 1 a, b tùy ý.   x4 = 2b     x = b 5 Ví d 3: Gi i h phương trình:   x1 + x2 + x3 + mx4  =1   x + x + mx + x 1 2 3 4 =1  x1 + mx2 + x3 + x4  =1  mx1 + x2 + x3 + x4 =1  Gi i:    1 1 1 m 1 d2 →(−1)d1 +d 1 1 1 m 1  1 1 m 1 1  d3 →(−1)d1 +d2  0 0 3 m−1 1−m 0  1 m 1 1 1  −4 →(−m)d− →  0 m − 1 0 A=  −−− −  −−− d 1 +d4 1−m 0 m 1 1 1 1 0 1 − m 1 − m 1 − m2 1 − m   1 1 1 m 1 d ↔d3  0 m − 1 0 1−m 0  −2− →  −−   0 0 m−1 1−m 0  2 0 1−m 1−m 1−m 1−m   1 1 1 m 1 d →d +d +d  0 m−1 0 1−m 0  −4 − 2 −3 −4  − − −→ − =C 0 0 m−1 1−m 0  0 0 0 3 − 2m − m2 1 − m 5
Chú ý r ng 3 − 2m − m2 = (1 − m)(m + 3). B i v y: 1) m = 1, khi đó   1 1 1 1 1  0 0 0 0 0  C=  0  0 0 0 0  0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c vào 3 tham s x2 , x3 , x4 . Nghi m là   x1 = 1 − a − b − c   x = a 2  x3 = b   x4 = c  2) m = −3, khi đó   1 1 1 −3 1  0 −4 0 4 0  C=   0 0 −4 4 0  0 0 0 0 4 H vô nghi m. 3) m = 1 và m = −3, h có nghi m duy nh t 1−m 1 x4 = 2 = 3 − 2m − m m+3 1 1 x3 = x4 = , x 2 = x4 = m+3 m+3 1 x1 = 1 − x2 − x3 − mx4 = m+3 1 V y: x1 = x2 = x3 = x4 = m+3 . Tóm l i: • m = 1 h có vô s nghi m; • m = −3 h vô nghi m; 1 • m = 1, −3, h có m t nghi m duy nh t x1 = x2 = x3 = x4 = m+3 . Bài t p Gi i và bi n lu n các h sau:   2x1 + x2 + x3 + x4 = 1    x + 2x − x + 4x = 2 1 2 3 4 27.  x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = m   4x1 + 8x2 − 4x3 + 16x4 = m + 1    2x1 − x2 + x3 − 2x4 + 3x5 = 3   x + x − x − x + x = 1 1 2 3 4 5 28.  3x1 + x2 + x3 − 3x4 + 4x5 = 6   5x1 + 2x3 − 5x4 + 7x5 = 9 − m  6
  mx1 + x2 + x3 = 1  29. x1 + mx2 + x3 = 1   x + x + mx = 1 1 2 3   mx1 + x2 + x3 + x4 = 1  30. x1 + mx2 + x3 + x4 = 1   x + x + mx + x = 1 1 2 3 4 31. Cho aij là các s nguyên. Gi i h :  1  x1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn 2    1   x = a x + a x + ··· + a x 2 21 1 22 2 2n n 2 ...    1    x = a x + a x + ··· + a x  n n1 1 n2 2 nn n 2 32. Gi i h phương trình:   x1 + x2 + · · · + xn = 1    x1 + 2x2 + · · · + 2n−1 xn = 1    x1 + 3x2 + · · · + 3n−1 xn = 1  ...     x + nx + · · · + nn−1 x = 1  1 2 n 33. Ch ng minh r ng h phương trình:   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0   a x + a x + ··· + a x = 0 21 1 22 2 2n n ···   an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = 0  trong đó aij = −aji và n l , có nghi m khác 0. 7