Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 2 - PGS TS Vinh Quang

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

1.027
lượt xem 720
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 2 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 2 - PGS TS Vinh Quang

Đ IS TUY N TÍNH Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a PGS. TS M Vinh Quang Ngày 28 tháng 10 năm 2004 Bài 2 : Các Phương Pháp Tính Đ nh Th c C p n Đ nh th c đư c đ nh nghĩa khá ph c t p, do đó khi tính các đ nh th c c p cao (c p l n hơn 3) ngư i ta h u như không s d ng đ nh nghĩa đ nh th c mà s d ng các tính ch t c a đ nh th c và thư ng dùng các phương pháp sau. 1 Phương pháp bi n đ i đ nh th c v d ng tam giác S d ng các phép bi n đ i sơ c p trên dòng (c t) c a ma tr n và các tính ch t c a đ nh th c đ bi n đ i ma tr n c a đ nh th c v d ng tam giác. Đ nh th c sau cùng s b ng tích c a các ph n t thu c đư ng chéo chính (theo tính ch t 3.3 ). Ví d 1.1: Tính đ nh th c c p n (n 2) sau đây: 1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 D= 2 2 3 ... 2 ... ... ... ... ... 2 2 2 ... n Bài gi i: Nhân dòng (2) v i (−1) r i c ng vào dòng (3), (4), . . . , (n). Ta có 1 2 2 ... 2 1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 0 −2 −2 . . . −2 (1) D= 0 0 1 ... 0 = 0 0 1 ... 0 = (−2)(n − 2)! ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... n−2 0 0 0 ... n−2 (1): nhân dòng (1) v i (−2) c ng vào dòng (2). 1
Ví d 1.2: Tính đ nh th c c p n a b b ... b b a b ... b D= b b a ... b ... ... ... ... ... b b b ... a Bài gi i: Đ u tiên công các c t (2), (3),. . . , (n) vào c t (1). Sau đó nhân dòng (1) v i (−1) c ng vào các dòng (2), (3),. . . , (n). Ta có: a + (n − 1)b b b ... b a + (n − 1)b b b ... b a + (n − 1)b a b ... b 0 a−b 0 ... 0 D= a + (n − 1)b b a ... b = 0 0 a−b ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... a + (n − 1)b b b ... a 0 0 0 ... a − b = a + (n − 1)b (a − b)n−1 2 Phương pháp qui n p Áp d ng các tính ch t c a đ nh th c, bi n đ i, khai tri n đ nh th c theo dòng ho c theo c t đ bi u di n đ nh th c c n tính qua các đ nh th c c p bé hơn nhưng có cùng d ng. T đó ta s nh n đư c công th c truy h i. S d ng công th c truy h i và tính tr c ti p các đ nh th c cùng d ng c p 1, c p 2, . . . , đ suy ra đ nh th c c n tính. Ví d 2.1: Tính đ nh th c 1 + a1 b 1 a1 b 2 ... a1 bn a2 b 1 1 + a2 b 2 ... a2 bn Dn = ... ... ... ... an b 1 an b 2 ... 1 + an b n Bài gi i: S d ng tính ch t 2.4, tách đ nh th c theo c t n, ta có: 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 0 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 a1 b n a2 b 1 ... a2 bn−1 0 a2 b 1 ... a2 bn−1 a2 b n Dn = ... ... ... ... + ... ... ... ... an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 0 an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 an−1 bn an b 1 ... an bn−1 1 an b 1 ... an bn−1 an b n 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 0 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 a1 a2 b 1 ... a2 bn−1 0 a2 b 1 ... a2 bn−1 a2 = ... ... ... . . . + bn ... ... ... ... an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 0 an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 an−1 an b 1 ... an bn−1 1 an b 1 ... an bn−1 an Khai tri n đ nh th c đ u theo c t (n) ta s có đ nh th c đ u b ng Dn−1 . Nhân c t (n) c a đ nh th c th hai l n lư t v i (−bi ) r i c ng vào c t i (i = 1, 2, . . . , n − 1). 2
Ta đư c: 1 0 ... 0 a1 0 1 ... 0 a2 Dn = Dn−1 + bn ... ... ... ... ... = Dn−1 + an bn 0 0 ... 1 an−1 0 0 ... 0 an V y ta có công th c truy h i Dn = Dn−1 + an bn . Vì công th c trên đúng v i m i n nên ta có Dn = Dn−1 + an bn = Dn−2 + an−1 bn−1 + an bn = · · · = D1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bn Vì D1 = a1 b1 + 1 nên cu i cùng ta có Dn = 1 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bn Ví d 2.2: Cho a, b ∈ R, a = b. Tính đ nh th c c p n a + b ab 0 ... 0 0 1 a + b ab ... 0 0 Dn = ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . a + b ab 0 0 0 ... 0 a+b Bài gi i: Khai tri n đ nh th c theo dòng đ u, ta đư c: 1 ab 0 ... 0 0 0 a + b ab ... 0 0 Dn = (a + b)Dn−1 − ab . . . ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . a + b ab 0 0 0 ... 0 a+b Ti p t c khai tri n đ nh th c sau theo c t (1) ta có công th c: Dn = (a + b)Dn−1 − abDn−2 v i n 3 (∗) Do đó: Dn − aDn−1 = b(Dn−1 − aDn−2 ) Công th c này đúng v i m i n 3 nên ta có Dn − aDn−1 = b(Dn−1 − aDn−2 ) = b2 (Dn−2 − aDn−3 ) = · · · = bn−2 (D2 − aD1 ) Tính toán tr c ti p ta có D2 = a2 + b2 + ab và D1 = a + b do đó D2 − aD1 = b2 . B i v y Dn − aDn−1 = bn (1) Ti p t c, t công th c (∗) ta l i có Dn − bDn−1 = a(Dn−1 − bDn−2 ). Do công th c này đúng v i m i n 3 nên tương t như trên ta l i có Dn − bDn−1 = a(Dn−1 − bDn−2 ) = a2 (Dn−3 − bDn−4 ) = · · · = an−2 (D2 − bD1 ) = an vì D2 − bD1 = a2 V y ta có Dn − bDn−1 = an (2) Kh Dn−1 t trong (1) và (2) ta s đư c k t qu an+1 − bn+1 Dn = a−b 3
3 Phương pháp bi u di n đ nh th c thành t ng các đ nh th c Nhi u đ nh th c c p n có th tính đư c d dàng b ng các tách đ nh th c (theo các dòng ho c theo các c t) thành t ng c a các đ nh th c cùng c p. Các đ nh th c m i này thư ng b ng 0 ho c tính đư c d dàng. Ví d 3.1: Ta s tính đ nh th c Dn trong Ví d 2.1 b ng phương pháp này. Bài gi i: M i c t c a Dn đư c vi t thành t ng c a 2 c t mà ta ký hi u là c t lo i (1) và lo i (2) như sau: 1 + a1 b 1 0 + a1 b 2 . . . 0 + a1 b n 0 + a2 b 1 1 + a2 b 2 . . . 0 + a2 b n Dn = ... ... ... ... ... ... ... ... 0 + an b 1 0 + an b 2 . . . 1 + an b n (1) (2) (1) (2) (1) (2) S d ng tính ch t 2.4 c a đ nh th c, ta l n lư t tách các c t c a đ nh th c. Sau n l n tách ta có Dn là t ng c a 2n đ nh th c c p n. C t th i c a các đ nh th c này chính là c t lo i (1) ho c lo i (2) c a c t th i c a đ nh th c ban đ u Dn . Ta chia 2n đ nh th c này thành ba d ng như sau: D ng 1: Bao g m các đ nh th c có t 2 c t lo i (2) tr lên. Vì các c t lo i (2) t l nên t t c các đ nh th c lo i này có giá tr b ng 0. D ng 2: Bao g m các đ nh th c có đúng m t c t lo i (2), còn các c t khác là lo i (1). Gi s c t i là lo i (2) ta có đ nh th c đó là 1 0 . . . a1 b i ... 0 0 1 . . . a2 b i ... 0 Dn,i = = ai b i ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . an bi ... 1 ↑ c ti (khai tri n theo c t i). Có t t c n đ nh th c d ng 2 ( ng v i i = 1, 2, . . . , n) và t ng c a t t c các đ nh th c d ng 2 là n ai b i i=1 D ng 3: Bao g m các đ nh th c không có c t lo i (2), nên t t c các c t đ u là lo i (1) và do đó có đúng m t đ nh th c d ng 3 là 1 0 ... 0 0 1 ... 0 =1 ... ... ... ... 0 0 ... 1 V y Dn b ng t ng c a t t c các đ nh th c ba d ng trên và b ng n ai b i + 1 i=1 4
Nh n xét: T t c các đ nh th c mà các c t (dòng) có th bi u di n dư i d ng t ng 2 c t (2 dòng) trong đó các c t lo i (2) (dòng lo i (2)) t l v i nhau đ u có th tính đư c d dàng b ng phương pháp 3 v i cách trình bày gi ng h t như trên. 4 Phương pháp bi u di n đ nh th c thành tích các đ nh th c Gi s ta c n tính đ nh th c D c p n. Ta bi u di n ma tr n tương ng A c a D thành tích các ma tr n vuông c p n đơn gi n hơn: A = B.C. Khi đó ta có D = det A = det(B.C) = det B. det C v i các đ nh th c det B, det C tính đư c d dàng nên D tính đư c. Ví d 4.1: Tính đ nh th c c p n (n 2) sau 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn D= ... ... ... ... 1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn Bài gi i: V i n 2 ta có:   1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn  1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn  A=   ... ... ... ...  1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn    1 x1 0 ... 0 1 1 ... 1  1 x2 0 ... 0   y1 y2 ... yn     =  1 x3  0 ... 0  0  0 ... 0    ... ... ... ... ...  ... ... ... ...  1 xn 0 ... 0 0 0 ... 0 B C B i v y: 0 n un>2 D = det A = det B. det C = (x2 − x1 )(y2 − y1 ) n u n = 2 Ví d 4.2: Tính đ nh th c c p n (n 2) sin 2α1 sin(α1 + α2 ) ... sin(α1 + αn ) sin(α2 + α1 ) sin 2α2 ) ... sin(α2 + αn ) D= ... ... ... ... sin(αn + α1 ) sin(αn + α2 ) ... sin 2αn 5
Bài gi i: V i n 2 ta có:   sin 2α1 sin(α1 + α2 ) . . . sin(α1 + αn )  sin(α2 + α1 ) sin 2α2 ... sin(α2 + αn )  A=   ... ... ... ...  sin(αn + α1 ) sin(αn + α2 ) . . . sin 2αn    sin α1 cos α1 0 . . . 0 cos α1 cos α2 ... cos αn  sin α2 cos α2 0 . . . 0   sin α1 sin α2 ... sin αn     =  sin α3 cos α3 0 . . . 0     0 0 ... 0    ... ... ... ... ...  ... ... ... ...  sin αn cos αn 0 . . . 0 0 0 ... 0 B C B i v y: 0n un>2 D = det A = det B. det C = − sin2 (α1 − α2 ) n u n = 2 Bài T p Tính các đ nh th c c p n sau: 1 + a1 a2 a3 ... an a1 1 + a2 a3 ... an 6. a1 a2 1 + a3 ... an ... ... ... ... ... a1 a2 a3 . . . 1 + an 0 1 1 ... 1 1 0 x ... x 7. 1 x 0 ... x ... ... ... ... ... 1 x x ... 0 5 3 0 0 ... 0 0 2 5 3 0 ... 0 0 8. 0 2 5 3 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 2 5 a1 x ... x x a2 . . . x 9. ... ... ... ... x x . . . an a1 + b 1 a1 + b 2 ... a1 + b n a2 + b 1 a2 + b 2 ... a2 + b n 10. ... ... ... ... an + b 1 an + b 2 ... an + bn 6
cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) . . . cos(α1 − βn ) cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) . . . cos(α2 − βn ) 11. ... ... ... ... cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) . . . cos(αn − βn ) Tính các đ nh th c c p 2n sau a 0 ... 0 0 0 ... b 0 a ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... a b 0 ... 0 12. 0 0 ... b a 0 ... 0 0 0 ... 0 0 a ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... b 0 ... 0 0 0 ... a (đư ng chéo chính là a, đư ng chéo ph là b, t t c các v trí còn l i là 0) a1 0 ... 0 b1 0 ... 0 0 a2 ... 0 0 b2 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... an 0 0 ... bn 13. c1 0 ... 0 d1 0 ... 0 0 c2 ... 0 0 d2 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... cn 0 0 ... dn 7