SKKN: Hướng dẫn học sinh xác định chân đường cao trong bài toán tính thể tích khối đa diện

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN<br /> <br /> <br /> <br /> 1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh xác định chân đường cao trong bài toán tính <br /> thể tích khối đa diện.<br /> <br /> 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo.<br /> <br /> 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 25 tháng 09 năm 2015 đến ngày 15 tháng <br /> 05 năm 2016.<br /> <br /> 4. Tác giả: <br /> <br /> Họ và tên: Phạm Cao Thế.<br /> <br /> Năm sinh: 1983.<br /> <br /> Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng ­ Huyện Xuân Trường ­ Tỉnh Nam Định.<br /> <br /> Trình độ chuyên môn: Cử nhân toán học.<br /> <br /> Nơi làm việc: Trường THPT Xuân Trường.<br /> <br /> Địa chỉ liên hệ: Xã Xuân Thượng ­ Huyện Xuân Trường ­ Tỉnh Nam Định.<br /> <br /> Điện thoại: 0914.436.388.<br /> <br /> Tỉ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 90%.<br /> <br /> 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: <br /> <br /> Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường.<br /> <br /> Địa chỉ: Xã Xuân Hồng ­ Huyện Xuân Trường ­ Tỉnh Nam Định.<br /> <br /> Điện thoại: 03503.886.167.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />  BÁO CÁO SÁNG KIẾN <br /> HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG CAO TRONG <br /> BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN<br /> <br /> <br /> <br /> PHẦN I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN <br /> <br /> Thể tích khối đa diện là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề toán học <br /> ở trường phổ  thông. Đặc biệt, trong những năm gần đây, bài toán tính thể  tích khối  <br /> đa diện là không thể thiếu trong các kỳ thi đại học, kỳ thi học sinh giỏi, nó xuất hiện <br /> thường xuyên và độ  khó cũng ngày càng được nâng lên nên đôi lúc cách giải quyết  <br /> đối với nhiều học sinh còn gặp nhiều khó khăn. <br /> <br /> Với mong muốn giúp các em học sinh có kỹ  năng tốt, không còn bỡ  ngỡ  khi <br /> gặp câu hỏi tính thể thích khối đa diện, tôi suy nghĩ rằng, cần phải hệ thống lại kiến <br /> thức, phân dạng bài tập cụ thể và cần có phân tích đối với lớp các bài toán đó để học  <br /> sinh hiểu, vận dụng và có tư duy logic những bài tập có dạng tương tự.<br /> <br /> PHẦN II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP<br /> <br /> A. MÔ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI CÓ SÁNG KIẾN<br /> <br /> Đối với bài toán thể tích khối đa diện, SGK Hình học 12 chỉ đưa ra được rất ít  <br /> ví dụ  và một số bài tập cơ bản. Chính vì vậy học sinh thường gặp nhiều khó khăn  <br /> trong việc tính thể tích khối đa diện va thâm chi không biêt cach giai. Đăc biêt trong<br /> ̀ ̣ ́ ́ ́ ̉ ̣ ̣  <br /> ̣ ̣ ̉<br /> cac đê thi Đai hoc ­ Cao đăng, đ<br /> ́ ̀ ề thi THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi cac em se<br /> ́ ̃ <br /> ̣<br /> găp bài toán v ề thể  tích của khối đa diện  ở  nhiêu dang khac nhau. Vi vây, viêc giup<br /> ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̣ ́ <br /> cho cac em co ki năng tôt, cung nh<br /> ́ ́ ̃ ́ ̃ ư cung câp thêm cac ph<br /> ́ ́ ương phap tính th<br /> ́ ể tích khối <br /> đa diện  la rât cân thiêt nhăm đap <br /> ̀ ́ ̀ ́ ̀ ́ ứng nhu câu th<br /> ̀ ực tê hiên nay. <br /> ́ ̣<br /> <br /> ̣ ̣<br /> Môt điêu rât quan trong trong qua trinh tính th<br /> ̀ ́ ́ ̀ ể tích khối đa diện là đa phần các <br /> em học sinh chưa biết cách xác định chiều cao của khối đa diện nên việc tính thể <br /> <br /> 2<br /> tích khối đa diện là không chính xác. Do đó tôi đã hệ thống lại các cách xác định chân <br /> đường cao của một số khối đa diện đặc biệt để các em nắm được và từ đó hoàn toàn <br /> tính được thể tích của các khối đa diện cụ thể.<br /> <br /> <br /> <br /> B. MÔ TẢ GIẢI PHÁP SAU KHI CÓ SANG KIÉN<br /> CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> 1.1. Các hệ thức lượng trong tam giác<br /> a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác  ABC  vuông tại  A ,khi đó ta có<br />        (1).  Định lí Pithago:  BC 2 = AB 2 + AC 2 .<br /> A<br />        (2).  c 2 = c '.a      ( AB 2 = BH .BC ) .<br /> <br />        (3).   b 2 = b '.a      ( AC 2 = CH .BC ) . c h b<br /> <br /> <br />        (4).  ah = bc        ( AH .BC = AB. AC ) . B c' b'<br /> C<br /> H a<br /> 1 1 1<br />        (5).  2<br /> = 2+ 2.<br /> h b c<br /> b c b c<br />        (6).  sin B = ;    cos B = ;    tan B = ;    cot B = .     <br /> a a c b<br /> b. Hệ thức lượng trong tam giác ABC :<br /> A<br />   Định lí côsin:    a = b + c − 2bc cos A .<br /> 2 2 2<br /> b<br /> c<br /> a b c<br />  Định lí sin:       = = = 2R .<br /> sin A sin B sin C a C<br /> c. Công thức tính diện tích tam giác: B<br /> <br /> 1 1 1 1 1 1<br /> ●S= aha = bhb = chc = ab sin C = ac sin B = bc sin A .<br /> 2 2 2 2 2 2<br /> abc a+b+c<br /> ●S = = pr = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )             (Với  p = ).<br /> 4R 2<br /> d. Diện tích hình vuông cạnh a:   S = a 2 .<br /> e. Diện tích hình chữ nhật các kích thước a và b:  S = a.b .    <br /> 1<br /> f. Diện tích hình thang:  S = ( a + b ) h  trong đó a và b là độ dài hai đáy, h là chiều cao <br /> 2<br /> của hình thang.<br /> 1.2. Quan hệ song song<br /> <br /> 3<br /> 1.2.1. Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song<br /> <br /> a. Phương pháp 1(về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt)<br /> <br /> ( α ) �( β ) = a<br /> �<br /> a / / b, b / / c, c / / a<br /> ( β ) �( γ ) = b �<br /> a, b, cđồng quy<br /> ( ) ( )<br /> γ � α = c<br /> <br /> γ<br /> β β<br /> <br /> α α<br /> a a<br /> b<br /> b<br /> c c<br /> <br /> <br /> γ<br /> <br />            <br /> b. Phương pháp 2 (Hệ quả của định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt)<br /> <br /> � ( α ) �a<br /> c a; c b<br /> (β) b<br /> c / /a  <br /> a / /b<br /> c/ /b<br /> ( α ) �( β ) = c<br /> <br /> β<br /> β β<br /> α a b<br /> α b α b<br /> c a<br /> a c c<br /> <br /> <br /> <br /> <br />               <br /> c. Phương pháp 3<br /> <br /> γ<br /> β<br /> <br /> a b α<br /> <br />              a / / c a / / b      a<br /> b<br /> <br /> b / /c c<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> d. Phương pháp 4<br /> <br /> <br /> <br /> 4<br />  β<br /> a<br /> a / /(α )<br />              ( β ) �a � b / / a     <br /> ( β ) �( α ) = b b<br /> <br /> α<br /> <br /> <br /> <br /> e. Phương pháp 5  <br />  <br /> <br /> � (α) ( β ) β<br />             ( α ) / / d , ( β ) / / d d '/ / d     <br /> α<br /> ( α ) �( β ) = d ' d<br /> d'<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> f. Phương pháp 6<br />  <br /> <br /> (α) / /( β ) γ<br /> <br />             ( γ ) �( α ) = a � a / /b    <br /> ( γ ) �( β ) = b α<br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> b<br /> β<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> g. Phương pháp 7<br />  <br /> a b<br /> a b<br />             a ⊥ ( α ) a / / b   <br /> b ⊥ (α)<br /> α<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1.2.2. Một số phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng <br />  a. Phương pháp 1<br /> <br /> 5<br />              β<br /> d<br /> �d �( α )<br />             d / / d ' d / /(α)<br /> d ' (α) d'<br /> <br /> α<br /> b. Phương pháp 2<br />            <br /> a b<br /> �a �( α )<br />             a ⊥ b a / / ( α )     <br /> (α) ⊥ b α<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1.2.3. Một số phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song <br /> a. Phương pháp 1<br />             a<br /> <br /> ( α ) �a, ( α ) �b<br /> � b<br /> I<br /> α<br /> a �b = I<br />            (α) / /( β )<br /> a / /( β )<br /> b / /( β )<br /> β<br /> b. Phương pháp 2<br />                   <br /> <br /> �(α) ( β ) α<br /> <br />            ( α ) / / ( γ ) (α) / /( β ) γ<br /> <br /> ( β ) / /( γ )<br /> β<br /> <br /> c. Phương pháp 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 6<br />          <br /> a<br /> �(α) ( β )<br />             a ⊥ ( α ) (α ) / /( β )  <br /> a ⊥(β)<br /> α<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> β<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1.3. Quan hệ vuông góc<br /> 1.3.1. Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc<br /> a. Phương pháp 1<br /> uuur uuur r<br /> Cho hai đường thẳng AB, CD khi đó nếu  AB.CD = 0 � AB ⊥ CD  <br /> b. Phương pháp 2<br /> Tính góc giữa hai đường thẳng bằng 900.<br /> c. Phương pháp 3(Định lí ba đường vuông góc)<br /> Gọi b’ là hình chiếu vuông góc <br /> b<br /> của   <br />            b lên  ( α )  và  a ( α ) . <br /> b'<br />             Khi đó  a ⊥ b � a ⊥ b '      a<br /> α<br /> <br /> <br /> d. Phương pháp 4<br /> <br /> a<br /> <br /> �a ⊥ ( α )<br />              � a ⊥ b    <br /> b (α)<br /> b<br /> α<br /> <br /> <br /> <br /> e. Phương pháp 5<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 7<br />  a<br /> <br /> b/ / ( α ) b<br />              � a ⊥ b   <br /> a ⊥ (α)<br /> <br /> α<br /> <br /> <br /> <br /> 1.3.2. Một số phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng<br /> a. Phương pháp 1<br />          <br /> a<br /> a⊥b<br /> a⊥c<br />               � a ⊥ ( α )     b<br /> b �c = I<br /> I<br /> b, c ( α ) α c<br /> <br /> <br /> <br /> b. Phương pháp 2<br /> <br /> a b<br /> a / /b<br />              � b ⊥ ( α )    <br /> a ⊥ (α)<br /> <br /> α<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> c. Phương pháp 3<br />    a<br /> <br /> (α) / /( β )<br />              � a ⊥ ( β )   <br /> a ⊥ (α)<br /> α<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> β<br /> <br /> <br /> <br /> d. Phương pháp 4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 8<br />        <br /> β<br /> <br /> � (α ) ⊥ ( β )<br /> ( α ) �( β ) = a � b ⊥ α<br />               ( ) b<br /> b (β)<br /> b⊥a<br /> a<br /> <br /> <br /> α<br /> <br /> e. Phương pháp 5<br />   <br /> <br /> ( α ) �( β ) = a<br /> � a<br /> <br />                ( α ) ⊥ ( γ ) � a ⊥ ( γ )<br /> ( β) ⊥(γ )<br /> <br /> α<br /> β<br /> γ<br /> <br /> <br /> <br /> 1.3.3. Một số phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc <br /> Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một <br /> đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.<br /> 1.4. Góc <br /> 1.4.1. Góc giữa 2 đường thẳng:<br /> Nếu  a / / a ', b / / b ', b �b ' = O   thì  a<br /> a'<br /> <br /> góc giữa hai đường thẳng  a  và  b  là góc  O  <br /> b'<br /> giữa hai đường thẳng a’ và b’.<br /> <br /> b<br /> <br /> <br />     <br /> 1.4.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:<br /> Gọi   a '   là hình chiếu của   a   trên <br /> a<br /> <br /> ( α ) . Góc giữa a và  ( α )  là góc giữa a và <br />   a'<br /> <br /> a’.  <br />     <br /> 1.4.3. Góc giữa hai mặt phẳng:<br /> <br /> 9<br />  Gọi  ϕ  là góc giữa hai mặt phẳng <br />  <br /> b<br /> <br /> ( α ) �( β ) = d<br /> �<br />    <br />   d<br /> A<br /> ( α )  và  ( β ) . Khi đó, nếu  a �( α ) , a ⊥ d    <br /> a<br /> <br /> b �( β ) , b ⊥ d<br /> <br /> thì  ϕ là góc giữa a và b.<br /> <br /> <br /> 1.5. Khoảng cách<br /> 1.5.1. Khoảng cách từ điểm đến một đường thẳng<br /> d ( A, ∆ ) = AH  với H là hình chiếu <br /> A<br /> vuông góc của A lên  ∆ .<br /> H<br /> <br /> <br /> Δ<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1.5.2. Khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng <br /> A<br /> <br /> <br /> <br />                     d ( A, ( α ) ) = AH   với  H  là hình <br /> <br /> chiếu vuông góc của A lên  ( α ) .    <br /> H<br /> <br /> <br /> <br /> α<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1.5.3. Khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng song với nhau <br /> Δ A<br /> <br /> <br />             d ( ∆, ( a ) ) = d ( A, ( α ) ) , A �∆<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> H<br /> <br /> <br /> <br /> α<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 10<br /> 1.5.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song<br />            <br /> <br />           d ( ( a ) , ( β ) ) = d ( A, ( β ) ) , A ( α )     A<br /> <br /> <br /> <br /> α<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> H<br /> <br /> <br /> <br /> β<br /> <br /> <br /> <br /> 1.5.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b <br />   a A<br /> <br /> <br />             d ( a, b ) = d ( a , ( β ) )  trong đó  ( β )  <br /> <br /> là mặt phẳng chứa b và song song với a.<br />    <br /> b<br /> <br /> β<br /> <br /> CHƯƠNG 2. NỘI DUNG <br /> Về thể tích khối đa diện, trong chương trình toán trung học phổ thông ta chủ <br /> yếu xét đến thể tích của khối chóp và khối lăng trụ. Các công thức tính thể tích của  <br /> khối chóp và khối lăng trụ như sau<br /> A<br /> B<br /> S<br /> <br /> <br /> E<br /> C<br /> <br /> <br /> D<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> D E A'<br /> F B'<br /> C<br /> <br /> E'<br /> G C'<br /> <br /> <br />                B A<br />                                 D'<br /> <br /> 1<br />       Thể tích khối chóp: V = B.h    (1) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h     (2)<br /> 3<br /> (trong đó B, h lần lượt  là diện tích đáy và chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng  <br /> trụ)<br /> Có ba phương pháp chính để tính thể tích khối đa diện <br /> 1) Tính trực tiếp theo công thức<br /> 2) Tính gián tiếp thông qua phân chia khối đa diện hoặc sử dụng tỉ số thể tích<br /> 3) Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian để tính thể tích.<br /> Tuy nhiên xu hướng ra đề thi trong các năm gần đây người ta chú trọng vào việc tính  <br /> thể  tích một cách trực tiếp hoặc gián tiếp, còn việc sử  dụng phương pháp tọa độ <br /> 11<br /> trong không gian để tính thể tích được hạn chế rất nhiều. Do vậy trong bản báo cáo  <br /> này tôi chỉ đưa ra hai phương pháp tính thể tích đầu tiên.  <br /> <br /> 2.1. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRỰC TIẾP THEO CÔNG THỨC<br /> <br /> Phương pháp của  dạng này là áp dụng công thức (1) và (2) đã nêu ở  trên để <br /> tính. Về diện tích thì học sinh đã tính toán quen thuộc, chủ yếu của loại này là ta đi <br /> xác định chiều cao của các khối đa diện. Với khối chóp chiều cao của nó là khoảng  <br /> cách từ  đỉnh đến mặt đáy, muốn xác định được khoảng cách này thì ta phải đi tìm <br /> hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy. Còn với khối lăng trụ  thì chiều cao là <br /> khoảng cách giữa hai mặt đáy và cũng là khoảng cách từ một đỉnh thuộc đáy này đến  <br /> đáy kia, như vậy với khối lăng trụ  ta có thể tìm chiều cao giống như khối chóp. Từ <br /> đó ta sẽ chia loại này theo các dạng toán như sau<br /> <br /> 2.1.1. DẠNG TOÁN CHO SẴN CHIỀU CAO<br /> Đối với dạng này ta đã biết sẵn đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với <br /> mặt đáy. Chủ yếu ta xét các loại đa diện sau:<br /> ­ Khối chóp đều thì chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm của đa giác đáy.<br /> ­ Khối lăng trụ đứng thì chiều cao là cạnh bên của lăng trụ. <br /> ­ Khối chóp có một đường thẳng qua đỉnh vuông góc với mặt đáy(Chiều cao  <br /> là đoạn thẳng nối đỉnh với giao điểm của đường thẳng đó với mặt đáy) hoặc có hai <br /> mặt chứa đỉnh cùng vuông góc với đáy(Chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh với điểm  <br /> chung của ba mặt phẳng là hai mặt phẳng đó cùng với mặt đáy).<br /> ­ Khối đa diện biết hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy.<br /> <br /> Ví dụ 1. Tính theo a thể tích khối chóp tứ  giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và <br /> góc  ﾷASB = α .<br /> <br /> Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh chân đường cao chính là tâm của đa giác đáy. <br /> Giải:<br /> <br /> Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên nếu gọi    <br /> O là tâm đa giác đáy thì  SO ⊥ ( ABCD) . S<br /> Ta có: SABCD = a2. α<br /> Gọi M là trung điểm AB, do SAB là tam giác cân  <br /> đỉnh S nên SM là đường cao và là trung tuyến.<br /> α AM a<br /> AM = SA.sin � SA = =<br />   Ta có:  2 α α<br /> sin 2sin<br /> 2 2<br /> a cos α<br /> SO = SA2 − AO 2 = A B<br />     α M<br /> 2sin<br /> 2 O a<br /> <br /> D C<br /> <br /> <br /> <br /> 12<br />  1 a cos α a 3 cos α<br /> VS . ABCD = .a 2 . =<br />     3 α α<br /> 2sin 6sin<br /> 2 2<br /> <br /> Nhận xét: Mục tiêu là tính chiều cao nên ta có thể  thay đổi giả  thiết góc  ﾷASB = α  <br /> bởi góc giữa cạnh bên và mặt đáy hoặc góc giữa mặt bên và mặt đáy. Bài toán này ta  <br /> có thể cho biết thể tích và cạnh đáy rồi yêu cầu tính chiều cao.<br /> <br /> Ví dụ  2.  Cho lăng trụ  tứ  giác đều  ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy  a  và   mặt phẳng <br /> (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o. Tính thể tích khối lăng trụ đó theo a. <br /> <br /> Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh chiều cao chính là các cạnh bên của lăng trụ.<br /> Giải:<br /> C' D'<br /> Gọi O là tâm của ABCD . <br /> Ta có hai tam giác CBD, C’BD lần lượt cân  <br /> tại C và C’ nên   CO ⊥ BD, C ' O ⊥ BD   do đó   B' A'<br /> góc   giữa   hai   mặt  (BDC')  và  (ABCD)  bằng <br /> Cﾷ ' OC � Cﾷ ' OC = 600<br /> <br /> Khi đó CC' = OC.tan60o =<br /> a 6 <br /> D<br /> 2 C<br /> 600<br /> Mà SABCD = a2 O<br /> 3<br /> Vậy VABCD.A’B’C’D’ = <br /> a 6 B a A<br /> 2<br /> Nhận xét: Mục tiêu  ở  bài này là tính chiều cao do đó ta có thể  thay giả  thiết góc  <br /> giữa hai mặt bởi góc giữa đường và mặt đáy để tìm chiều cao. Bài toán này ta có thể  <br /> cho biết thể tích và cạnh đáy rồi yêu cầu tính chiều cao.<br /> Ví dụ 3. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a, đáy là tam giác vuông cân có <br /> AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ  từ  A của tam <br /> giác SAC. <br /> a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. <br /> b. Chứng minh SC vuông góc với (AB’C’). <br /> c. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ theo a.<br /> <br /> Phân tích: Tính thể  tích khối chóp S.ABC là đơn giản. Muốn tính thể  tích của khối <br /> chóp S.AB’C’ thì ta phải dựa vào câu b) mới xác định được chiều cao.<br /> Giải:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 13<br />  1 1<br /> a) Ta có  S ABC = AB.BC = a 2  <br /> 2 2 S<br /> <br /> 1 1 1 2 a3<br /> � VS . ABC = SA.S ABC = a. a = C'<br /> 3 3 2 6<br /> b)<br /> BC ⊥ ( SAB ) � BC ⊥ AB ' a<br /> �� ( SBC ) ⊥ AB ' . <br /> B'<br /> <br /> SB ⊥ AB ' C<br /> A<br /> Suy ra  SC ⊥ AB '<br /> Mà  AC ' ⊥ SC  nên  SC ⊥ ( AB ' C ' ) a a<br /> <br /> <br /> c) Vì   SC ⊥ ( AB ' C ')   nên chiều cao của khối  <br /> B<br /> 1<br /> chóp S.AB’C’ là SC’ � VS . AB ' C ' = SC '.S AB ' C ' .<br /> 3<br /> SB a 2<br />  Ta có  AB ' = =<br /> 2 2<br /> <br /> 1 1 1 3 a 6<br /> Trong  ∆SAC  ta có:  = + = � AC ' =<br /> AC '2 a 2 2a 2 2a 2 3<br /> a 6 a2 3<br /> Tam giác AB’C’ vuông tại B’ nên  B ' C ' = . Khi đó  S ∆SB ' C ' =<br /> 6 12<br /> 2a 2<br /> a 3 a3<br /> Mà  SC ' = SA − AC ' = a −<br /> 2 2 2<br /> = . Từ đó ta có   VS . AB ' C ' = .<br /> 3 3 12<br /> Nhận xét:. Ở bài này ta có thể tính thể tích SAB’C’ dựa vào công thức tỉ số thể tích  <br /> sẽ được trình bày ở phần sau.<br /> <br /> Ví   dụ   4(B   2006).  Cho   hình   chóp  S.ABCD  có   đáy  ABCD  là   hình   chữ   nhật   với <br /> AB = a, AD = a 2, SA = a, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và <br /> SC; I là giao điểm của BM và AC. <br /> a. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SMB). <br /> b. Tính thể tích khối tứ diện AINB  theo a.<br /> <br /> Phân tích: Chiều cao của hình chóp S.ABCD chính là SA nên ta có thể tính được thể <br /> tích của S.ABCD. Chiều cao của khối tứ diện AINB chính là đường thẳng đi qua N và <br /> song song với SA.<br /> <br /> Giải:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 14<br /> a) Ta chứng minh MB vuông góc với (SAC).  S<br /> Thậy vậy:<br /> Ta có  SA ⊥ ( ABCD ) � SA ⊥ MB  (1)<br /> uuur uuur uuur uuur uuur uuur<br /> ( )(<br /> Mà  MB. AC = MA + AB AB + BC = 0   ) N<br /> � MB ⊥ AC  (2) A<br /> B<br /> Từ  (1) và (2) ta có MB vuông góc với (SAC) nên  <br /> (SAC) vuông góc với (SMB). I<br /> M O<br /> a<br /> b) Gọi O là tâm của đáy ABCD. Ta có NO =  và  D<br /> 2 C<br /> <br /> NO//SA, tức NO ⊥ ( ABCD ) .  <br /> 1 a A B<br /> Ta có:  VANIB = VN . AIB = S AIB .NO = .S AIB<br /> 3 6<br /> Ta tính SAIB.<br /> Dễ thấy I là trọng tâm tam giác ABD nên I<br /> M<br /> 1 2a + a 2<br /> a 3.2<br /> � AI = AC = =<br /> 3 3 3<br /> 2 2 2 a2 a 6<br /> Lại có  BI = BM = a + =<br /> 3 3 2 3 D C<br /> 2<br /> 1 1 a 3 a 6 a 2<br /> Vậy  S AIB = IA.IB = . . = ( 2) .<br /> 2 2 3 3 6<br /> a3 2<br /> Thay (2) vào (1) ta có:  VANIB =<br /> 36<br /> Nhận xét:  Ta còn có thể tính  thể tích của khối chóp có đỉnh là N, đáy là một tam  <br /> giác hoặc tứ  giác trong hình chữ  nhật ABCD. Ngoài ra ta có thể  chứng minh MB  <br /> vuông góc với AC theo nhiều cách khác.<br /> <br /> Ví dụ  5(A 2009).  Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy là hình thang vuông tại   A,  D  và <br /> AB = AD = 2a; CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là <br /> trung   điểm   của   cạnh  AD.   Biết   (SBI)   và   (SCI)   cùng   vuông   góc   với   mặt   phẳng <br /> (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.<br /> <br /> Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh chiều cao của khối chóp chính là SI. <br /> Giải:<br /> �( SBI ) ⊥ ( ABCD )<br /> Ta có  ( SCI ) ⊥ ( ABCD) � SI ⊥ ( ABCD ) .<br /> ( SBI ) �( SCI ) = SI<br /> Kẻ   IH ⊥ BC � SH ⊥ BC .   Ta   có   SHI<br /> ﾷ = 600   là   góc   giữa   2   mặt   phẳng   (SBC)   và  <br /> (ABCD). <br /> Trong  ∆SIH , ta có SI=IH.tan600=IH. 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 15<br /> Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, BC. Vì IN là đường trung bình của hình thang  <br /> 3a<br /> ABCD nên: IN =<br /> 2<br /> ﾷ<br /> Ta có:  IH = IN cos HIN ﾷ<br /> = IN cos MCB   S<br /> <br /> <br /> 3a MC 3a 2a 3a 5<br />                   = . = . = .<br /> 2 BC 2 4a + a2 2 5<br /> 1 ( 2a + a ) 2a 3a 3 15<br /> Vậy  VS . ABCD = . .SH . 3 =  <br /> 3 2 5<br /> M<br /> A B<br /> <br /> <br /> I<br /> N<br /> <br /> H<br /> D C<br /> <br /> <br /> <br /> Nhận xét:  Bài toán này phức tạp  ở  chỗ  học sinh phải tìm được góc giữa hai mặt  <br /> phẳng thì mới tính được SI. Để  đơn giải hơn ta có thể  thay đổi giả  thiết góc giữa  <br /> hai mặt bởi điều kiện tam giác SAD đều hoặc vuông.<br /> <br /> Ví dụ  6. Cho lăng trụ  xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. <br /> Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết <br /> AA' hợp với đáy ABC một góc 600.<br /> a. Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.<br />            b. Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' theo a.<br /> <br /> Phân tích : Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh biết chiều cao chính là A’O.<br /> Giải :<br /> <br /> a)  Ta có OA là hình chiếu của AA' trên (ABC).  <br /> Vậy góc giữa AA’ và (ABC) là góc giữa AA’ và   A' C'<br /> ﾷ<br /> OA và bằng  OAA ' = 60o<br /> Ta có  AO ⊥ BC  tại trung điểm H của BC nên <br /> BC ⊥ A ' H  mà  BC ⊥ A ' O  nên B'<br /> � BC ⊥ ( AA ' H ) � BC ⊥ AA '   mà   AA'//BB'  <br /> nên  BC ⊥ BB '  . Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.<br /> b) Vì  ∆ABC  đều nên <br /> 2 2a 3 a 3<br /> AO = AH = =<br /> 3 3 2 3 A<br /> 600<br /> <br /> ∆AOA ' � A 'O = AO tan 60o = a<br /> C<br /> a O<br /> 3<br /> Vậy VABC.A’B’C’ = SABC.A'O = <br /> a 3 H<br /> <br /> 4 B<br /> <br /> <br /> Nhận xét: Trong bài này ta có thể thay hình chiếu của A’ xuống (ABC) bởi một điểm  <br /> khác (ví dụ như điểm H) thì ta vẫn tính được thể tích của khối lăng trụ.<br /> 16<br /> Ví dụ  7(A 2008). Cho lăng trụ  ABC.A'B'C' có độ  dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là <br /> tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt <br /> phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể  tích khối chóp A'.ABC và <br /> tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'. <br /> <br /> Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh biết chiều cao chính là A’H.<br /> Giải:<br /> +)  Gọi   H   là   trung   điểm   của   BC.  Suy   ra  B' C'<br /> A ' H ⊥ ( ABC )  <br /> 1 1 2 A' 2a<br /> và  AH = BC = a + 3a 2 = a .<br /> 2 2<br /> Do đó A ' H = AA '2 − AH 2 = 3a 2 � A ' H = a 3<br /> 2<br /> <br /> .<br /> 1 a3<br /> Vâỵ  VA '. ABC = A ' H .S ∆ABC =  (đvtt) C<br /> 3 2 B<br /> a<br /> H<br /> 3a<br /> +)  Tính cosin của góc: Có hai cách tính cosin   A<br /> của góc dựa vào tích vô hướng hoặc xác định  <br /> góc giữa hai đường rồi mới đi tính toán. <br /> Nhận xét: Ở bài toán này ta có thể tính thể tích của khối chóp có đỉnh là B’ hoặc C’  <br /> đáy là tam giác ABC hoặc đỉnh là A; B; C đáy là A’B’C’.<br /> <br /> Ví dụ 8(B 2009). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a. Góc giữa đường thẳng BB’ và <br /> ﾷ<br /> mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tam giác  ABC  vuông tại  C  và   BAC = 600. Hình chiếu <br /> vuông góc của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích <br /> khối tứ diện A’.ABC theo a. <br /> <br /> Phân tích: Chiều cao của khối lăng trụ  chính là B’H. Khi đó chiều cao của khối tứ <br /> diện A’.ABC là A’K và bằng B’H.<br /> Giải:<br /> 1<br /> Ta có  VA '. ABC = B ' H .S ABC<br /> 3 B' A'<br /> Góc   giữa   BB’   và   (ABC)   bằng   góc <br /> ﾷ ' BH � B<br /> B ﾷ ' BH = 600 B<br /> a<br /> a 3 C'<br /> Khi đó B ' H = BB '.sin 600 =<br /> 2<br /> a 3a<br /> và  BH = BB '.cos 600 = � BM =<br /> 2 4 600<br /> Ta có  B A<br /> H M<br /> 600 C M A<br /> 3 AB AB<br /> BC = AB , AC = � MC = .<br /> 2 2 4 C<br /> <br /> <br /> 17<br />  6a 13<br /> Mà  BC 2 + MC 2 = BM 2 � AB =<br /> 13<br /> 1 9a 2 3 1 a 3 9a 3 3 9 a 3<br /> Nên   S ABC =BC. AC = . Khi đó  VA '. ABC = . . = .<br /> 2 13 3 2 13 26<br /> Nhận xét: Nếu trong bài này ta đi dựng chiều cao của khối tứ diện sẽ gặp nhiều  <br /> khó khăn.<br /> <br /> Ví dụ 9(A 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M <br /> và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. <br /> Biết  SH  vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và   SH = a 3 . Tính thể  tích khối chóp <br /> S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.<br /> <br /> Phân tích: Trong bài này ta xác định được chiều cao là SH.<br /> Giải:<br /> 5a 2 S<br /> Ta có:  SCDNM = S ABCD − S AMN − S BCM =<br /> 8<br /> 3<br /> 1 5 3a<br /> � VS .CDNM = � SCDNM .SH =<br /> 3 24<br /> ﾷ ﾷ<br /> ∆ADM = ∆DCN � ADM = DCN � DM ⊥ CN , kết  <br /> hợp với   DM ⊥ SH , suy ra   DM ⊥ ( SHC ) . Hạ  HK<br /> ⊥ SC ( K SC ) , suy ra HK là đoạn vuông góc chung   A M B<br /> <br /> của DM và SC, do đó  d ( DM , SC ) = HK .  K<br /> N<br /> 2<br /> CD 2a<br /> Ta có  HC = =  và  H<br /> CN 5 D C<br /> SH .HC 2 3a 2 3a<br /> HK = = � d ( DM , SC ) = .<br /> SH 2 + HC 2 19 19<br /> Nhận xét: Mục tiêu chỉ là đi tính diện tích đáy là xong nên ta có thể yêu cầu tính thể  <br /> tích của một khối chóp khác có đáy là tam giác, tứ giác khác trong hình vuông ABCD.<br /> <br /> Ví dụ 10. (HSG – Vĩnh Phúc 2012 ­ 2013) Cho lăng trụ   ABC. A ' B ' C '  có đáy là tam <br /> giác đều cạnh  a. Hình chiếu vuông góc của điểm   A '   lên mặt phẳng   ( ABC )  trùng <br /> với trọng tâm tam giác  ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng  AA '  và  BC  <br /> a 3<br /> bằng  . Tính theo  a  thể tích khối lăng trụ  ABC. A ' B ' C ' .<br /> 4<br /> <br /> Phân tích: Trong ví dụ nà thì chiều cao ta đã biết, mục tiêu là đi xác định khoảng cách <br /> giũa hai đường thẳng AA’ và BC. Nhận thấy AA’ và BC  vuông góc với nhau nên ta có <br /> thể dựng đường vuông góc chung của chúng để tính khoảng cách. <br /> Giải:<br /> a2 3<br /> Diện tích đáy là  S ABC = . Gọi  G  là trọng tâm tam giác  ABC<br /> 4<br /> <br /> 18<br />  BC ⊥ AE<br /> Gọi  E  là trung điểm  BC . Ta có  � BC ⊥ ( AA ' E )<br /> BC ⊥ A ' G<br /> Gọi  D là hình chiếu vuông góc của  E  lên đường thẳng  AA ' .<br /> Do đó  BC ⊥ DE , AA ' ⊥ DE<br /> Suy ra  DE  là khoảng cách giữa hai đường thẳng  AA '  và  BC<br /> Tam giác  ADE  vuông tại  D  suy ra  B'<br /> ﾷ DE 1 ﾷ<br /> sin DAE = = � DAE = 300 A'<br /> AE 2<br /> Xét tam giác  A ' AG  vuông tại  G  ta có  C'<br /> a<br /> A ' G = AG.tan 300 =<br /> 3 D B<br /> a3 3<br /> Vậy  VABC . A ' B ' C ' = A ' G.S ABC =  .<br /> 12 E<br /> A G<br /> <br /> C<br /> <br /> <br /> Các bài tập tương tự:<br /> Bài 1.  Cho khối chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng a, góc ở đáy của mặt bên <br /> là 45o.<br /> 1) Tính độ dài chiều cao SH của khối chóp SABC .                        Đs:  SH = <br /> a<br /> 3<br /> 3<br />            2) Tính thể tích khối chóp SABC.                                                        Đs: V =<br /> a<br /> 6<br /> Bài 2.  Cho khối chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một <br /> góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABC.                                               <br /> <br /> Đs: V =<br /> a3 3<br /> 24<br /> Bài 3.  Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và  ﾷASB = 60o . <br /> 1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.                                     Đs:  <br /> a2 3<br /> S=<br /> 3<br />              2) Tính thể tích khối chóp tương  ứng.                                           Đs:  <br /> a3 2<br /> V=<br /> 6<br /> Bài 4.  Cho khối chóp  S.ABCD  có tất cả  các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng <br /> S.ABCD là chóp tứ  giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể  tích của  nó bằng  <br /> 9a3 2 .                                                                               <br /> V=<br /> 2<br /> Đs: AB = 3a    <br /> <br /> <br /> <br /> 19<br /> Bài 5.  Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy  ABCD  là một hình thang cân (AB//CD) với <br /> AC = 20cm, BC = 15cm, AB = 25cm. Cho SA vuông góc với đáy và SA = 18cm. Tính <br /> VS.ABCD.<br />        Đs: VS.ABCD = 1152<br /> Bài 6.  Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy  ABCD  là hình thang vuông tại  A  và  D. Biết <br /> AB = AD = 2a, CD = a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là <br /> trung điểm AD, biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính VSABCD theo a.<br /> 3 3a 3<br />         Đs:  VSABCD =<br /> 5<br /> Bài   7.  Cho   hinh   chóp  S.ABCD  có   đáy  ABCD  là   hình   thoi,   2   đường   chéo <br /> AC = 2 3a, BD = 2a  và  AC �BD = O . Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông <br /> a 3<br /> góc với (ABCD) biết k hoảng cách từ O đến (SAB) bằng  . Tính  VSABCD  theo a. <br /> 4<br /> a3 3<br /> Đs: VS.ABCD =   <br /> 3<br /> Bài 8(A2012). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông <br /> góc của S lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa SC và <br /> (ABC) bằng 600. Tính thể  tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa SA và BC <br /> theo a.<br /> <br /> Bài 9(KB2012). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là <br /> hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với (ABH). Tính <br /> thể tích khối chóp S.ABH theo a.<br /> <br /> Bài 10(KD2012). Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác <br /> A’AC vuông cân, A’C=a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ A đến <br /> (BCD’) theo a.<br /> <br /> Bài 11(KA2011).  Cho hình chóp  S.ABC  có đáy  ABC  là tam giác vuông cân tại  B, <br /> AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC). <br /> Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. <br /> Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 600. Tính thể  tích khối chóp <br /> S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.<br /> <br /> Bài 12(KB2011).  Cho lăng trụ  ABCD.A1B1C1D1  có đáy  ABCD  là hình chữ  nhật và <br /> AB = a, AD =  a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng <br /> với giao điểm  AC  và  BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. <br /> Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm  B1 đến mặt phẳng (A1BD) <br /> theo a.<br /> <br /> Bài 13(KD2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD  là hình vuông cạnh a, cạnh <br /> bên  SA  =  a. Hình chiếu vuông góc của  S  lên (ABCD) là điểm  H  thuộc đoạn  AC, <br /> AH = AC/4. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm <br /> của SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a. <br /> 20<br />  a 3<br /> Bài 14. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ =   <br /> 2<br /> và góc BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. <br /> Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể  tích khối chóp <br /> A.BDMN  theo a.<br /> <br /> Bài 15.  Cho hình lăng trụ  ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh  a, hình chiếu <br /> vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt <br /> phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ  theo một thiết diện có diện <br /> a2 3<br /> tích bằng  . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.<br /> 8<br /> <br /> Bài 16. Cho hình hộp ABCD.A B C D  có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA  = 2a. <br /> Hình chiếu vuông góc của A  lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. M là trung <br /> điểm của BC. Tính  theo a thể tích hình hộp và cosin của góc giữa hai đường thẳng <br /> AM và A C.<br /> <br /> Bài 17. Cho lăng trụ tam giác đều  ABC. A ' B ' C '  có cạnh đáy là a và khoảng cách từ <br /> a<br /> A đến mặt phẳng (A’BC) bằng  . Tính theo a thể tích khối lăng trụ  ABC. A ' B ' C ' .<br /> 2<br /> Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Hình chiếu <br /> vuông góc của S lên mặt (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn AO. Góc giữa SA <br /> và (ABCD) bằng  600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm SC và CD. Tính thể tích khối <br /> chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SH theo a.<br /> a3 6 3a 10<br /> Đs:  VS. ABCD = , d ( MN , SH ) =<br /> 12 20<br /> Bài 19. (HSG Hà Tĩnh 2014­2015)  Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân <br /> <br /> tại B, AB = a. Gọi I là trung điểm của AC. Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt <br /> uur uuur<br /> phẳng (ABC)  là điểm  H   thoả  mãn   BI = 3IH   và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và <br /> (SBC) là 600. Tính theo  a  thể  tích của khối chóp  S.ABC  và khoảng cách giữa hai <br /> <br /> a3<br /> đường thẳng AB và SI.                                                       Đs:  VS . ABC = (đvtt), <br /> 9<br /> <br /> 2a 153<br /> d ( AB, SI ) =<br /> 53<br /> Bài 20. (HSG Vĩnh Phúc 2013­2014) Cho hình chóp  S . ABC  có  SA  vuông góc với <br /> mặt phẳng đáy. Gọi  M  là trung điểm của  BC  và  H là trung điểm của  AM .  Biết <br /> HB = HC = a ,  HBC<br /> ﾷ = 300 ; góc giữa mặt phẳng   ( SHC )   và mặt phẳng   ( HBC )  <br /> bằng  600 . Tính theo  a  thể tích khối chóp  S .HBC  và tính cosin của góc giữa đường <br /> thẳng  BC  và mặt phẳng  ( SHC ) .<br /> 21<br />  3a 3 ﾷ 13<br /> Đs:  VS .HBC = ,  cos BCB '= .<br /> 16 4<br /> Bài 21. (HSG Thái Bình 2015­2016) Cho lăng trụ  đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác <br /> vuông tại C, với BC = a, BB' = 2a, AB' = 3a. Gọi M là trung điểm A'B', I là giao điểm <br /> của  BM  và  AB'. Tính theo  a  thể  tích tứ  diện  IABC  và khoảng cách từ  B  đến mặt <br /> phẳng (IAC).<br /> 4a 3 d ( B, ( IAC )) = 2a<br /> Đs:  VIABC = , <br /> 9 5<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2.1.2. DẠNG TOÁN ĐI DỰNG CHIỀU CAO.<br /> <br /> Trong nhiều bài toán tính thể  tích khối đa diện chiều cao thường không dễ <br /> thấy, do đó đòi hỏi ta cần kẻ thêm hình để xác định chiều cao. Điểm mấu chốt là xác  <br /> định được chân đường cao hạ từ đỉnh xuông mặt đáy. Ở dạng này ta xét một số hình  <br /> chóp có dấu hiệu cơ bản để tìm chân đường cao. <br /> <br /> Dấu hiệu 1: Hình chóp có một mặt phẳng (P) chứa đỉnh và vuông góc với mặt  <br /> đáy.<br /> Phương pháp: Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy nằm trên giao tuyến của <br /> mặt phẳng (P) với mặt đáy. <br /> <br /> Ví dụ 1(CĐ 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt <br /> phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD),  SA  =  SB, góc giữa đường thẳng  SC  và mặt <br /> phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.<br /> <br /> Phân tích: Trong bài này (SAB) và (ABCD) có giao tuyến chính là AB, nên để xác định <br /> chiều cao của khối chóp ta chỉ cần tìm ra đường thẳng đi qua  S năm trong (SAB) và <br /> vuông góc với AB là xong. <br /> Giải:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 22<br /> Gọi I là trung điểm AB. Ta có SA = SB  <br /> S<br /> � SI ⊥ AB . Mà  ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , suy  <br /> ra   SI ⊥ ( ABCD ) .   Góc   giữa   SC   và  <br /> (ABCD)   bằng   SCI ﾷ = 450 ,   suy   ra <br /> a 5<br /> SI = IC = IB 2 + BC 2 = . <br /> 2 A D<br /> 3<br /> a 5<br /> Vậy  VS . ABCD =  (đvtt) I<br /> 6<br /> 450<br /> <br /> B C<br /> Nhận xét: Trong bài toán này ta có thể thay đổi giả thiết góc giữa đường thẳng SC  <br /> và mặt phẳng đáy bằng  450   bởi góc giữa mặt bên và mặt đáy hoặc cho độ  dài SI  <br /> nhưng không cho độ dài cạnh đáy thi vẫn tính được thể tích khối chóp.<br /> <br /> Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; CA = CB = a. Mặt <br /> bên (SAB) vuông góc với đáy (ABC) và SB = SC = a, SA = x.<br />            a) Chứng minh rằng  ∆SAB  vuông.<br />            b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và x.<br /> <br /> Phân tích: Bài này tương tự  như  bài trên ta có ngay  SH là chiều cao của khối chóp <br /> nhưng nếu coi đáy là (SAB) thì ta lại có chiều cao là CH.<br /> Giải:<br /> a)  Gọi H là trung điểm AB,  ∆ABC  cân tại C