Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số-phần2 - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

154
lượt xem 35
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về "Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số-phần2" cung cấp kiến thức lý thuyết, 1 số bài tập ví dụ và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số-phần2 - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 KH O SÁT VÀ V Th y III. I M U N, TÍNH L I LÕM Quy t c xét tính l i lõm, tìm i m u n: Tính o hàm y ' r i tính ti p y '' Gi i phương trình y '' = 0 , t ó tìm ư c t a Xét d u c a y '' k t lu n: + n u y '' > 0 thì th hàm s lõm. + n u y '' < 0 thì th hàm s l i. Ví d 1: Tìm t a a) y = 2x – 6x + 2x. 1 5 c) y = x 4 − 3x 2 + . 2 2 Ví d 2: Tìm a, b Ví d 3: Tìm m 3 2 TH HÀM S ng Vi t Hùng - P2 i m u n. i m u n và các kho ng l i, lõm c a th các hàm s sau: b) y = x3 + 6x – 4. x4 x2 d) y = + − 2. 4 2 hàm s y = ax3 + bx2 + x + 2 nh n i m U(1; –1) làm i m u n. hàm s y = x3 + 3x 2 + 1 nh n i m U(–1; 3) làm i m u n. m BÀI T P T Bài 1: Tìm m 3 2 LUY N : ti p tuy n t i i m u n c a th hàm s a) y = x + 3x – mx + 2 song song v i ư ng th ng d: y = 3x – 5. b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + 3 vuông góc v i ư ng th ng ∆: y = x – 3. Bài 2: Tìm m, n th các hàm s a) y = x 4 − 2 x3 − 6 x 2 + mx + 2m − 1 có hai i m u n th ng hàng v i i m A(1; –2). b) y = − x3 2 − x 2 + mx + có i m u n n m trên ư ng th ng d : y = x + 2. 3 3 th các hàm s 2 Bài 3: Tìm m, n 3 a) y = x – 3mx + 9x + 1 có i m u n thu c ư ng th ng d: y = x + 1. b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – 2 có i m u n n m trên tr c hoành. c) y = x3 – 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + 3 có i m u n cách IV. TI M C N C A TH HÀM S u hai tr c t a Ox, Oy. 1) Nh c l i m t s gi i h n quan tr ng   b c    +∞ khi a > 0 lim ( ax n + bx n −1 + cx n − 2 ...) = lim  x n  a + + 2 + ...   =  x  ∞ → x x    −∞ khi a < 0   1 1  lim → lim  x  ∞ x = 0  x  ∞ x n = 0 → →  1   lim   x  0+ x = +∞ 1 →  lim = ∞   → →  x  0 x  lim 1 = −∞   x  0− x  →  x  ∞ → Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95   0; khi m > n a n x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0  lim =  ∞; khi m < n m m −1 x  ∞ b x + b → + ... + b1 x + b0  m m −1 x  an ; khi m = n  bm  2) Ti m c n ng c a th hàm s ng (TC ) c a ng bên ph i. ng bên trái. nh nghĩa: ư ng th ng x = a ư c g i là ti m c n + n u lim f ( x) = +∞ thì x = a là ti m c n x  a → x  a → th y = f(x) khi lim f ( x) = ∞ x  a → + n u lim f ( x) = −∞ thì x = a là ti m c n Cách tìm ti m cân ng: th hàm phân th c thư ng có ti m c n s ã cho không xác nh. ng, và giá tr x = a thư ng là nghi m c a m u s , ho c t i x = a thì hàm Ví d 1: Tìm ti m c n x a) y = 2 x −9 ng c a các th hàm s sau x+2 b) y = 2 x + 4x − 5 Hư ng d n gi i :  x  a) Ta có lim  →  = ∞  x = ±3 là ti m c n ng c a x  3  x 2 − 9  →±   x =1 b) Xét phương trình x 2 + 4 x − 5 = 0 ⇔   x = −5   x+2  =∞  x lim 1  2   x + 4 x − 5  →  Ta có   x = 1; x = 5 là các ti m c n →  x+2   lim =∞  →−  2  x  5  x + 4 x − 5  th hàm s . ng c a th hàm s . Ví d 2: Bi n lu n theo m s ti m c n S ti m c n ng c a th hàm s x−2 . x + 3x + m Hư ng d n gi i : ã cho là s nghi m khác 2 c a phương trình x2 + 3x + m = 0. ng c a th hàm s y= 2 9 ng khi x2 + 3x + m = 0 vô nghi m ⇔ ∆ < 0 ⇔ 9 − 4m < 0 ⇔ m > . 4 th hàm s có m t ti m c n khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có nghi m kép khác 2, ho c có hai nghi m phân bi t, trong ó m t nghi m x = 2.  9   ∆ = 0 ⇔ 9 − 4m = 0 ⇔ m = 4 9    m = → 4  x = − b ≠ 2 ⇔ − 3 ≠ 2  2a 2 i u ó x y ra khi   9   ∆ > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m < 4  m = −10 →   2  2 + 6 + m = 0 ⇔ m = −10  th hàm s không có ti m c n th hàm s có hai ti m c n khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có hai nghi m phân bi t khác 2. 9 9    ∆ > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m < m < Khi ó ta có  → 4   4  22 + 6 + m ≠ 0 ⇔ m ≠ −10  m ≠ −10   3) Ti m c n ngang c a th hàm s th y = f(x) khi lim f ( x) = b x  ∞ → nh nghĩa: ư ng th ng y = b ư c g i là ti m c n ngang (TCN) c a Cách tìm ti m cân ngang: Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 th hàm phân th c ch có ti m c n ngang khi b c c a t s không l n hơn b c c a m u s . Thông thư ng, v i hàm phân th c ta thư ng chia c t và m u s cho lũy th a mũ cao nh t c a x tìm ti m c n ngang. Chú ý: V i các gi i h n mà hàm s có ch a căn thì chúng ta th c hi n theo quy t c sau: B C  Ax 2 + Bx + C = x 2  A + + 2  = x x x   x A+ B C + khi x  +∞ → x x2 B C + → khi x  −∞ x x2 A+ B C + = x x2 −x A + Ví d m u: Tìm các ti m c n a) y = d) y = x +1 . 2x − 3 x2 + 2 . x −3 ng và ti m c n ngang c a các b) y = e) y = 3 − 2x . x +1 th hàm s sau c) y = x +1 . x − 2x + 1 2 . 2x2 + 3 Hư ng d n gi i : x +1 a) Ta có lim x +1 3 = +∞  x = là ti m c n → 3 2 x  2 x − 3 → 2 ng c a th hàm s . 1 1+ x +1 x = 1  y = 1 là ti m c n ngang c a M t khác, lim = lim → th hàm s . 3 2 x  2 x − 3 →∞ x  →∞ 2 2− x 3 − 2x b) Ta có lim = +∞  x = −1 là ti m c n ng c a th hàm s . → x  1 x + 1 →− 3 −2 3 − 2x M t khác, lim = lim x = −2  y = −2 là ti m c n ngang c a → th hàm s . 1 x  →∞ x + 1 x  →∞ 1+ x x +1 c) Ta có lim 2 = +∞  x = 1 là ti m c n ng c a → th hàm s . x  1 x − 2 x + 1 → 1 1 + 2 x +1 M t khác, lim 2 = lim x x = 0  y = 0 là ti m c n ngang c a → th hàm s . 2 1 x  →∞ x − 2 x + 1 x  →∞ 1− + 2 x x d) Ta có lim x  3 → x2 + 2 = +∞  x = 3 là ti m c n → x−3 ng c a th hàm s . 2   2 x 2 1 + 2  x 1+ 2 x +2  x  x Xét lim = lim = lim x  →∞ x − 3 x  →∞ x  →∞ x −3 x−3 2 2 1+ 2 x 1+ 2 x = lim x = 1  y = 1 là ti m c n ngang. Khi x  +∞ thì |x| = x nên ta ư c lim → → 3 x  →+∞ x  →+∞ x −3 1− x 2 2 −x 1+ 2 − 1+ 2 x = lim x = −1  y = −1 là ti m c n ngang. Khi x  −∞ thì |x| = −x nên ta ư c lim → → 3 x  →−∞ x  →−∞ x −3 1− x x +1 x +1 x +1 e) Xét lim = lim = lim x  →∞ 2 x 2 + 3 x  →∞ x  →∞ 3 3   x 2+ 2 x2  2 + 2  x x   2 Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y Khi x  +∞ thì |x| = x nên ta ư c → NG VI T HÙNG x +1 3 x 2+ 2 x = lim Facebook: LyHung95 x +1 3 x 2+ 2 x = lim 1+ 1 x = 1 3 2 2+ 2 x x  →+∞ lim x  →+∞ x  →+∞ ⇒y= 1 là ti m c n ngang. 2 lim x +1 x 2+ 3 x2 Khi x  −∞ thì |x| = −x nên ta ư c → x  →−∞ = lim x +1 x  →−∞ −x 2 + 3 x2 = lim 1+ 1 x 3 x2 x  →−∞ = −1 2 − 2+ −1 là ti m c n ngang. 2 4) Ti m c n xiên c a th hàm s . nh nghĩa: ư ng th ng y = ax +b ư c g i là ti m c n xiên (TCX) c a ⇒ y= th y = f(x) khi lim x  ∞ → [ f ( x) − (ax + b)] = 0 Cách tìm ti m cân xiên: th hàm phân th c ch có ti m c n xiên khi b c c a t s ph i l n hơn b c c a m u s m t b c. Cách 1: f ( x) + Tìm h s a = lim x x  →∞ + Tìm b = lim [ f ( x) − ax ] . T ó suy ra ư ng ti m c n xiên là y = ax + b. x  →∞ Cách 2: Th c hi n phép chia a th c f ( x) = Suy ra lim g ( x) r ( x) r ( x) = ax + b + ⇒ f ( x) − (ax + b) = h( x ) h( x ) h( x) r ( x) = 0 do r(x) có b c nh hơn h(x). h( x ) th hàm s sau −2 x 2 + x + 3 . 2x + 1 Hư ng d n gi i : 3x 2 + x + 3 . x+2 x  ∞ → lim [ f ( x) − (ax + b)] = x  ∞ → Ví d 1: Tìm các ti m c n c a các a) y = x2 + x + 1 . x−2 b) y = c) y = x2 + x + 1 . x−2 + Ta d dàng nh n th y th có ti m c n ng là x = 2. x2 + x + 1 7 7 + Ta có y = f ( x) = = x −3+ ⇒ f ( x) − ( x − 3) = x−2 x−2 x−2 7 Suy ra lim [ f ( x) − ( x − 3) ] = lim = 0 ⇒ y = x − 3 là ti m c n xiên c a x  ∞ → x  →∞ x − 2 −2 x 2 + x + 3 b) y = . 2x + 1 1 + Ta d dàng nh n th y th có ti m c n ng là x = − . 2 2 −2 x + x + 3 2 2 + Ta có y = f ( x) = = x +1+ ⇒ f ( x) − ( x + 1) = 2x + 1 2x + 1 2x + 1 2 Suy ra lim [ f ( x) − ( x + 1)] = lim = 0 ⇒ y = x + 1 là ti m c n xiên c a x  ∞ → x  →∞ 2 x + 1 3x 2 + x + 3 c) y = . x+2 + Ta d dàng nh n th y th có ti m c n ng là x = −2. a) y = th hàm s . th hàm s . Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y + Ta có y = f ( x) = NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 3x 2 + x + 3 13 13 = 3x − 5 + ⇒ f ( x) − (3 x − 5) = x+2 x+2 x+2 13 Suy ra lim [ f ( x) − (3 x − 5) ] = lim = 0 ⇒ y = 3x − 5 là ti m c n xiên c a x  ∞ → x  →∞ x + 2 th hàm s . m t tam giác có di n tích Ví d 2: Tìm m b ng 4. th hàm s y= 2 x 2 + mx − 2 có ti m c n xiên t o v i hai tr c t a x +1 Hư ng d n gi i : 2 x + mx − 2 m = 2x + m − 2 − x +1 x +1 th có ti m c n xiên khi m ≠ 0. V i m ≠ 0 thì ti m c n xiên c a th hàm s là y = 2x + m – 2, (d). 2−m  + Gi s A = d ∩ Ox, B = d ∩ Oy uy ra A  ;0  , B (0; m − 2)  2  + Ta có y = 2 1 ; OB = 2 − m . Tam giác OAB vuông t i O nên SOAB = OA.OB ⇒ OA.OB = 8 2 2 m=6 2−m  ⇔ . 2 − m = 8 ⇔ (2 − m) 2 = 16 ⇔  2  m = −2 V y m = 6 và m = –2 là các giá tr c n tìm. Ta d dàng tính ư c OA = 2−m Ví d 3: Cho hàm s a) ti m c n xiên c a b) ti m c n xiên c a y = 2mx + m + 2 − m2 + 1 . Tìm m bi t r ng x +1 th vuông góc v i ư ng th ng y = 3x – 5. th cách g c t a O m t kho ng b ng 1 . 17 BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Tìm ti m c n 2x + 3 a). y = x −1 d) y = 1 + 1 x2 ng và ti m c n ngang các th hàm s sau : b) y = e) y = 1 1− x −3x x2 + 3 c) y = f) y = 1 4 − x2 x2 + 2 x −1 Bài 2: Tìm các ư ng ti m c n các x 2 + 3x + 4 1) y = x−2 3 x +2 4) y = 2 x −1 −1 7) y = x2 + 5x + 6 10) y = x − x 2 + 1 13) y = x − x2 − 4 x + 1 16) y = −2 x − 1 x2 + x + 2 th hàm s sau : x2 2) y = 1− x 5) y = 8) y = 2x 6 x + 11x − 10 1 2 x 2 + 3x + 4 x2 + 1 5 − 3x 2 6) y = 1 − x2 3) y = ( 2 x − 3) x2 2 2 9) y = x2 + x + 1 12) y = 15) y = 18*) y = x x + x +1 2 11) y = x +4 14) y = 2 x + 1 + 4 x 2 − 2 x + 1 17) y = 2 x − 4 x 2 − x + 2 20) y = 3x 2 − 2 x + 4 th hàm s sau 2x2 + 1 2x −1 4x2 − 5x + 1 x −1 19) y = 2 x − 3 + x 2 + x + 4 Bài 3: Bi n lu n theo tham s m s ti m c n c a các Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!